3.1 函数的概念和表示法（题型专练）数学新教材湘教版八年级下册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.1函数的概念和表示法 (7大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练) 基础达标练 题型一辨别变量和常量 题型二辨别函数 题型三用函数表达式表示函数关系 题型四用表格表示函数关系 题型五用图像表示函数关系 题型六求函数自变量的取值范围 题型七求自变量的值或函数值 能力提升题 题型一函数图象的识别 题型二从函数图象上获取信息 题型三动点问题的函数图象 A 基础达标题 题型一辨别变量和常量 1.圆周长公式C=2πr中，下列说法错误的是() A.C、刀、r是变量，2是常量 B.C、r是变量，2π是常量 C.r是自变量，C是因变量 D.当自变量r=2时，因变量C=4π 2.某品牌的护眼灯的成本价为70元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下： 定价/元 100 110 120 13( 销量/个 80 100 110 10 下列关于定价与销量的说法中，正确的是() 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.定价是常量，销量是变量 B.定价是变量，销量是常量 C,定价与销量都是变量，定价是自变量，销量是因变量 D.定价与销量都是变量，销量是自变量，定价是因变量 3某款汽车紧急刹车后滑行的距离s(单位：m）大致满足、= ,其中v(单位：km/h) 300 表示刹车前汽车的速度，这个关系式中的自变量和因变量分别是() A.300;S B.S;300 C.S;v D.v;s 4刘老师到加油站加油，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常 量是() 178.00 金额/元 20.00 数量/升 8.90 单价/元 A.金额 B.单价 C.数量 D.金额和数量 5.[新情境]作为2026年的首次发射，神舟二十三号飞船备受瞩目.在升天过程中，燃料的体 积会随飞船飞行高度的增加而减少，在这一过程中，自变量是() A.飞船的质量 B.飞船的飞行高度C.燃料的体积 D.燃料的质量 6.在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个 问题中因变量是() A.太阳光强弱 B.水的温度 C.所晒时间 D.热水器 7如图所示的是加油站加油机上的数据显示牌.在加油的过程中，下列说法正确的是() 金额/元 303.89 加油量九 36.79 单价/元 8.26 A.金额是常量 B.加油量是常量 C,单价是常量 D.单价是变量 题型二辨别函数 8.下列各关系式中，y不是x的函数的是() A.y=x2 B.y=±x C.y=x+l D.y=x 2 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.下列关系式中，y不是x的函数的是() A.y=x-1 B.y=x2 C.y2=x D.y=|2x-1 10.下列曲线中，表示y是x的函数的是() 珠 D. ON 11.下列四个图象中，能表示y是x的函数关系的是() y B 12.下列曲线中，表示y是x的函数的是() 13.下列关于变量x,y的关系，其中y不是x的函数的是() 尊 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 9 题型三用函数表达式表示函数关系 14.某学校举办“春风拂面，书香浸润校园一一爱读书，读好书”的校园文化活动，倡议同学们 每天坚持阅读.小志同学挑选了一本喜爱的书籍来阅读，该书籍共270页，小志同学每天阅 读此书籍30页.如果设小志同学阅读了此书籍x天后，该书籍剩余y页未读，则函数y关 于x的关系式是() A.y=30x B.y=270-30x C.y=270+30x D.y=30x-270 15.“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，体现了温度随着海拔的升高而降低.己知某地面 温度为20℃，且每升高1千米温度下降5℃，则山上距离地面竖直高度h千米处的温度t为 () A.1=20-h 8.1=20+h c.t=20-5h D.t=20+5h 5 5 16.王老师每天从家去学校上班行走的路程为1600米，某天他从家去学校上班时以每分钟40 米的速度行走了前半程，为了不迟到后半程他加快了速度，以每分钟50米的速度行走完了 剩下的路程，那么王老师距离学校的路程y(米)与他行走的时间t(分)(1>20)之间的函 数关系为() A.y=-50t+1800 B.y=-50t+800 C.y=-40t+1800 D.y=-90t+1600 17.等腰三角形顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式及x的取值范围是() A.y=180-2x B.y=180-x(0<x<90) C.y=180-2x(0<x<90) D.y=180-x(0<x≤90) 18.油箱中有油300L,油从管道中匀速流出，1小时流完.油箱中剩余的油量9(L)与油流 出的时间(s之间的函数解析式和自变量t取值范围正确的是() 1 A.2=-12+300(0≤1≤360) B.Q=+3010s1s12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 =12+3000(0≤1s3600 1 C.2=12-3000≤1≤360) D.O= 19.下列问题中哪些量是自变量？哪些是自变量的函数？试写出函数的表达式 (1)小明每分钟走50m,他行走的路程s(m)随时间t(min)的变化而变化： (2)一根弹簧的原长为10cm，挂上重物后弹簧的长度y(cm)随所挂重物的质量x(kg)的变化 而变化，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm; (3)一个长方体盒子的高为30cm,底面是正方形，底面边长a(cm)改变时，该长方体盒子的 体积V(cm)也随之改变， 题型四用表格表示函数关系 20.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(Cm)与所挂的物体的质量x(kg) (0≤x≤10)有下面的关系： 3 10 10.5 11 11.5 下列说法不正确的是() A.y是x的函数，且x是自变量 B.弹簧不挂重物时的长度为0cm C.物体质量每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm D.所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm 21.嘉嘉制作了一个简易的计时工具，通过观察，他将容器中水的高度和时间的相关数据记 录如下： 时间/min 1 3 5 6 水的高度/cm 1.5 4.5 7.5 下列描述不正确的是() A.容器中水的高度是因变量，时间是自变量 B.当时间为7min时，容器中水的高度为12cm C.当容器中水的高度为6cm时，对应的时间为4min D.时间每增加1min,容器中水的高度变化是均匀的 5 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型五用图像表示函数关系 22某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车 的速度比步行快，该同学出发的时间为th),与家的距离为skm),则s与t的函数关系用 图象表示大致是() As/km As/km As/km As/km A D 23.下列三个问题中的两个变量y与x之间的函数关系可以用如图表示的是() ①用长度一定的绳子围成一个长方形，这个长方形的面积y与它的宽x; ②汽车从A地匀速驶向B地，汽车离B地的路程y与行驶时间x; ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中剩余的水量y与放水时间x A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 24.如图，瓶子里水位高度为α，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位 上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水.设放入瓶中的石子个数为x,水位高度为y,假设每一颗 石子的体积一样，下列图象中最符合情境的大致图象是() b处 a处 25.如图，这是一家游泳池的横断面示意图，分为深水区和浅水区，现游泳池刚清理消毒完 毕，需要以固定的流量向游泳池注水，下面能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系 6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是() h 0 0 26.下图是某年部分节气对应的白昼时长示意图，白昼时长=(12-日出时刻)×2=（日落时刻 -12)×,下列结论中正确的是() 白昼时长/h 15 14 3 11 - 10. ------ 0立惊春 立小夏 立 秋立 冬大节气 春蛰分 夏满至 秋分 冬 至寒 A.立夏这天的日出时刻是5：30 B.白昼时长在12h~15h的有10天 C.立冬这天的日落时刻是17：00 D.小满时白昼时间最长 27清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢.”在儿童从学校 回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是() 离家距离 小离家距离 A B 时间 时间 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 离家距离 ◆离家距离 D 时间 时间 题型六求函数自变量的取值范围 28.求下列函数中自变量x的取值范围： (1)y=2x+1; 2r: (3)y=√x-1. 29.求下列函数中自变量x的取值范围. (1)y=3x-1; 2)y=VR-2+1 3 3)y=x-° 30.求下列函数自变量的取值范围： (1)y=x-1(x+2) (2)y=-√F 31,函数y=+3中，自变量x的取值范围是() x-2 A.x≠2 B.x≥-3且x≠2 C.x>-3且x≠2 D.x≤-3且x≠2 32.已知等腰三角形的周长为16，腰长为x,底边长为y,则y与x的函数关系式为，自变 量x的取值范围是_· 题型七求自变量的值或涵数值 3x+1x20 33.已知函数y= ,若函数值y=-2,则自变量x的取值为() 4xx<0) A.-1 C.-1或2 1 D.0 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 34.若函数f(x=2x-1,则f(-2)的值为() A.-5 B.3 c.5 D.-3 35摄氏度与华氏度是两种常用的温度计量单位，它们之间的转换关系满足F=?C+32,其 5 中F表示华氏度（℉），C表示摄氏度（℃），那么将35℃转换为华氏度为() A.95℉ B.86℉ C.77℉ D.90℉ 36.若物体运动的路程S（米)与时间t(秒)的关系式为S=2t2+3t+1,则当t=5秒时，该 物体所运动的路程为() A.66米 B.36米 C.37米 D.26米 37根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是7，则输出y的值是-2，若输入x 的值是-4，则输出y的值是() x≥3 x+b 输入x 输出y -2x+ A.9 B.11 C.4 D.14 38.已知函数y=ax3-bx+5,当x=1时，函数值为3，则当x=-1时，函数值为（) A.-3 B.5 C.-5 D.7 39.已知函数y=3x-2,当x=1,2,3时，求对应的y值，并用列表法表示 2 40.如图，用长为15m的篱笆（虚线部分）两面靠墙围成矩形的苗圃.在其中一边开了一个 lm宽的门. (1)设矩形的一边为x(m),面积为ym),求y关于x的函数关系式； (2)当x=8时，求出所围苗圃的面积是多少？ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 能力提升题 题型一函数图象的识别 41.匀速地向一个如图所示的容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随 时间t变化的图象（草图）大致是() 42在物理实验课上，小明用弹簧测力计将长方体铁块A悬于盛有水的水槽中，使铁块完全 浸没于水中（如图所示），然后匀速向上提起，直到铁块完全露出水面一定的高度，则下图 中能反映弹簧测力计的读数y(单位：N)与铁块被提起的高度x(单位：cm)之间的函 数关系的大致图象是()· Ay/N Ay/N A B x/cm cm AV/N Ay/N D cm /cm 43.如图，四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象的顺序，将下面的四种情境与之对 应排序。 10 3.1 函数的概念和表示法 （7大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 辨别变量和常量 题型二 辨别函数 题型三 用函数表达式表示函数关系 题型四 用表格表示函数关系 题型五 用图像表示函数关系 题型六 求函数自变量的取值范围 题型七 求自变量的值或函数值 能力提升题 题型一 函数图象的识别 题型二 从函数图象上获取信息 题型三 动点问题的函数图象 题型一 辨别变量和常量 1.圆周长公式中，下列说法错误的是（    ） A．C、、r是变量，2是常量 B．C、r是变量，是常量 C．r是自变量，C是因变量 D．当自变量时，因变量 【答案】A 【分析】在变化过程中，数值不变的量是常量，数值改变的量是变量，据此判断选项即可． 【详解】解：根据常量与变量的定义，在圆周长公式中，是固定不变的常数，属于常量，不是变量，2也是常量，和是变化的量，是变量；故A选项的说法是错误的，符合题意； 是固定不变的常量，、可以发生变化是变量，故B选项说法正确，不符合题意； 随的变化而变化，且是自变量，是因变量，故C选项说法正确，不符合题意； 将代入公式，得，故D选项说法正确，不符合题意． 2.某品牌的护眼灯的成本价为70元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下： 定价／元 100 110 120 130 140 150 销量／个 80 100 110 100 80 60 下列关于定价与销量的说法中，正确的是（    ） A．定价是常量，销量是变量 B．定价是变量，销量是常量 C．定价与销量都是变量，定价是自变量，销量是因变量 D．定价与销量都是变量，销量是自变量，定价是因变量 【答案】C 【分析】本题主要考查常量、变量、自变量和因变量的概念，在某一变化过程中，数值保持不变的量叫作常量，可以取不同数值的量叫作变量；一般地，在一个变化过程中，有两个变量和，如果对于变量的每一个确定的值，变量都有唯一确定的值与其对应，我们就称是的函数，其中叫作自变量，叫作因变量． 【详解】因为定价和销量的数值都发生变化， 所以定价与销量都是变量． 因为销量随定价的变化而变化，所以定价是自变量，销量是因变量． 故选：C 3.某款汽车紧急刹车后滑行的距离s（单位：）大致满足，其中v（单位：）表示刹车前汽车的速度，这个关系式中的自变量和因变量分别是（    ） A．300；s B．s；300 C．s；v D．v；s 【答案】D 【分析】自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化而变化的量，据此判断即可． 【详解】解：∵在关系式中，刹车前汽车的速度是主动变化的量，滑行距离随的变化而变化， ∴自变量是，因变量是． 4.刘老师到加油站加油，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（ ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 【答案】B 【分析】本题考查常量和变量，正确理解常量与变量的定义是解题的关键．常量是固定不变的量，变量是变化的量． 【详解】解：∵常量是固定不变的量，变量是变化的量， ∴单价是不变的量，而金额随着数量的变化而变化， ∴常量是单价． 故选B． 5.[新情境]作为2026年的首次发射，神舟二十三号飞船备受瞩目．在升天过程中，燃料的体积会随飞船飞行高度的增加而减少，在这一过程中，自变量是（   ） A．飞船的质量 B．飞船的飞行高度 C．燃料的体积 D．燃料的质量 【答案】B 【分析】本题考查自变量的概念，在一个变化过程中，主动变化的量称为自变量，只需根据题意判断变化过程中主动变化的量即可得到答案. 【详解】解：∵燃料的体积随飞船飞行高度的变化而变化，飞行高度是主动变化的量，燃料体积是随之变化的量，根据自变量的定义，可得自变量是飞船的飞行高度. 6.在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是（    ） A．太阳光强弱 B．水的温度 C．所晒时间 D．热水器 【答案】B 【分析】自变量是指由研究者主动操纵，而引起因变量发生变化的因素或条件．因此自变量被看作是因变量的原因．或者说，自变量是能引起因变量变化的变量，据此求解即可． 【详解】解：∵热水器里的水温随所晒时间的长短而变化， ∴自变量是所晒时间，因变量是水的温度． 7.如图所示的是加油站加油机上的数据显示牌．在加油的过程中，下列说法正确的是（    ） 金额/元 303.89 加油量/L 36.79 单价/元 8.26 A．金额是常量 B．加油量是常量 C．单价是常量 D．单价是变量 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量的定义，熟练掌握常量和变量的定义是解题关键．根据加油过程中各量的变化情况进行判断即可． 【详解】解：∵在加油过程中，单价固定不变，金额随加油量的增加而变化，加油量也持续变化， ∴单价是常量，金额和加油量是变量， 故选：C． 题型二 辨别函数 8.下列各关系式中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义进行判断，函数定义为：对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数． 【详解】解：A、，是的函数，故本选项不符合题意； B、，不是的函数，故本选项符合题意； C、，是的函数，故本选项不符合题意； D、，是的函数，故本选项不符合题意； 9.下列关系式中，不是的函数的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义判断：对于的每一个确定值，必须有唯一确定的值与之对应，才是的函数，据此分析各选项即可． 【详解】解：∵根据函数的定义，对于的每一个确定值，必须有唯一确定的值与之对应，才是的函数， ∴、符合函数定义，不符合题意； 、符合函数定义，不符合题意； 、，当时，可得，解得或，即取一个确定值时，有两个不同的值与之对应，不满足函数定义，符合题意； 、符合函数定义，不符合题意． 10.下列曲线中，表示y是x的函数的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义可知，对于自变量x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应．在图象上体现为：作垂直于x轴的直线，该直线与函数图象最多只有一个交点．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、作垂直于x轴的直线，与图象有两个交点，故y不是x的函数； B、作垂直于x轴的直线，与图象有两个交点，故y不是x的函数； C、作垂直于x轴的直线，与图象只有一个交点，故y是x的函数； D、作垂直于x轴的直线，与图象有两个交点，故y不是x的函数． 11.下列四个图象中，能表示是的函数关系的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A，C，D中的图象，对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，那么不是的函数，不符合题意， B中的图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，符合题意． 12.下列曲线中，表示y是x的函数的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义解答即可，在一个变化过程中，给出一个x的值，y有唯一的值与之相对应，此时y叫做x的函数． 【详解】解：由B，C，D中的曲线可知，存在当x取一个值时，对应的y有不唯一的值，所以不符合题意，而A中满足对于x的每一个取值，y都有确定的值与之对应，所以A符合题意． 13.下列关于变量，的关系，其中不是的函数的是（   ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的概念，根据函数的概念：对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应即可，正确理解函数的概念是解题的关键． 【详解】解：、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数； 、对给定的的值，有几个值与之对应，不是的函数； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数； 故选：． 题型三 用函数表达式表示函数关系 14.某学校举办“春风拂面，书香浸润校园——爱读书，读好书”的校园文化活动，倡议同学们每天坚持阅读．小志同学挑选了一本喜爱的书籍来阅读，该书籍共270页，小志同学每天阅读此书籍30页．如果设小志同学阅读了此书籍x天后，该书籍剩余y页未读，则函数y关于x的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剩余页数等于总页数减去已读页数的关系，列式即可得到正确结果． 【详解】解：∵书籍总页数为页，每天阅读页，阅读天后，已读页数为页，剩余页未读， ∴根据剩余页数的等量关系可得． 15.“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，体现了温度随着海拔的升高而降低．已知某地面温度为，且每升高千米温度下降，则山上距离地面竖直高度千米处的温度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知的地面温度，以及温度随海拔的变化规律，列出对应关系式即可． 【详解】解：∵ 地面温度为，每升高1千米温度下降， ∴ 高度为千米处，温度一共下降， ∴ 该处温度． 16.王老师每天从家去学校上班行走的路程为米，某天他从家去学校上班时以每分钟40米的速度行走了前半程，为了不迟到后半程他加快了速度，以每分钟50米的速度行走完了剩下的路程，那么王老师距离学校的路程y（米）与他行走的时间t（分）之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据距离学校的路程等于总路程减去已走路程，列出函数关系式即可． 【详解】解：前半程路程为米，速度为40米/分，用时分钟， 当时，后半程行走时间为分钟，速度为50米/分，已走路程为米， 故． 17.等腰三角形顶角的度数与底角的度数之间的函数关系式及的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和为，可知，，整理可得：． 【详解】解：三角形内角和为，两底角相等， 顶角的度数与底角的度数之间的函数关系式为：； ， ． 故选：C． 18.油箱中有油，油从管道中匀速流出，1小时流完．油箱中剩余的油量与油流出的时间之间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求函数解析式，理解题意是解答的关键． 先求出油量减少的速度为，再根据初始油量，列出函数解析式，再根据流完需1小时即可得t取值范围． 【详解】解：∵ 油匀速流出， ∴ 流出的油量， ∴ 剩余油量． ∵ 流完需， ∴ t的取值范围为． 故选：A． 19.下列问题中哪些量是自变量？哪些是自变量的函数？试写出函数的表达式 (1)小明每分钟走，他行走的路程随时间的变化而变化； (2)一根弹簧的原长为，挂上重物后弹簧的长度随所挂重物的质量的变化而变化，每挂物体，弹簧伸长； (3)一个长方体盒子的高为，底面是正方形，底面边长改变时，该长方体盒子的体积也随之改变． 【答案】(1)，t是自变量，s是t的函数 (2)，x是自变量，y是x的函数 (3)，a是自变量，V是a的函数 【分析】（1）根据“路程速度时间”，即可求解； （2）根据“弹簧的长度原长伸长的长度”，即可求解； （3）根据“体积底面积高”，即可求解； 【详解】（1）解：根据题意可得，，其中t是自变量，s是t的函数； （2）解：根据题意可得，，其中x是自变量，y是x的函数； （3）解：根据题意可得，，其中a是自变量，V是a的函数． 题型四 用表格表示函数关系 20.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）（）有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（    ） A．y是x的函数，且x是自变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】B 【分析】本题考查了根据表格判断变量之间的关系． 通过表格数据，分析弹簧长度与物体重量的关系，发现y随x均匀变化，每增加，y增加，且时，进而逐一判断即可． 【详解】解：x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量， ∴A正确，不符合题意； 当时，， ∴弹簧不挂重物时的长度为， ∴B不正确，符合题意； 物体质量每增加，弹簧长度y增加， ∴C正确，不符合题意； ∵弹簧不挂重物时的长度为，物体质量每增加，弹簧长度y增加， ∴y与x之间的函数关系式为， 当时，， ∴所挂物体质量为时，弹簧长度为， ∴D正确，不符合题意． 故选：B． 21.嘉嘉制作了一个简易的计时工具，通过观察，他将容器中水的高度和时间的相关数据记录如下： 时间/min 1 2 3 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 7.5 9 下列描述不正确的是（   ） A．容器中水的高度是因变量，时间是自变量 B．当时间为时，容器中水的高度为 C．当容器中水的高度为时，对应的时间为 D．时间每增加，容器中水的高度变化是均匀的 【答案】B 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，根据表格数据发现时间每增加，水的高度增加，再逐项判断即可． 【详解】解：∵由表格数据，可知上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系，其中容器中水的高度是因变量，时间是自变量，时间每增加，水的高度增加， 时间时，水的高度； 当时，； ∴选项A、C、D正确，选项B错误． 故选：B． 题型五 用图像表示函数关系 22.某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，该同学出发的时间为，与家的距离为，则与的函数关系用图象表示大致是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据情境描述选择函数图象，理解题意，找准距离变化情况是解决问题的关键． 由题中描述，该同学出发后与家的距离随着时间的变化，分三个阶段：①从家到超市，步行，距离缓慢增大；②在超市购物，距离不变；③从超市到家，打车，距离迅速减小，结合选项中所给图象逐一验证即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，该同学出发后与家的距离随着时间的变化，分三个阶段：①从家到超市，步行，距离缓慢增大；②在超市购物，距离不变；③从超市到家，打车，距离迅速减小， 与的函数关系用图象表示大致是 故选：C． 23.下列三个问题中的两个变量与之间的函数关系可以用如图表示的是（　　） ①用长度一定的绳子围成一个长方形，这个长方形的面积与它的宽； ②汽车从A地匀速驶向B地，汽车离B地的路程与行驶时间； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中剩余的水量与放水时间． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】①根据长方形的面积公式判断即可得到答案； ②根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可； ③根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可． 【详解】解：用长度一定的绳子围成一个长方形，长方形的面积y与一边长x，长方形的长宽之间存在关系，可以用x表示另一边长，根据面积公式得到的不是一次函数，故①不符合题意； 汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x，y随x增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故②符合题意；将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x，y随x增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故③符合题意． 24.如图，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为x，水位高度为y，假设每一颗石子的体积一样，下列图象中最符合情境的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析y随x的变化而变化的趋势，由于原来水位较低，乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，结合下面容器截面面积大于上面，由此即可作出判断． 【详解】∵乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，但是下面容器截面面积大于上面， ∴水位上升的幅度较慢，后面水位上升的较快， ∴A符合题意，B，C，D不符合题意． 故选：A． 25.如图，这是一家游泳池的横断面示意图，分为深水区和浅水区，现游泳池刚清理消毒完毕，需要以固定的流量向游泳池注水，下面能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先看图可知，游泳池的下部分比上部分的体积小，由此判断进水的快慢，再作出选择． 【详解】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢． 26.下图是某年部分节气对应的白昼时长示意图，白昼时长=（12-日出时刻）2=（日落时刻-12），下列结论中正确的是（   ） A．立夏这天的日出时刻是5:30 B．白昼时长在12 h～15 h的有10天 C．立冬这天的日落时刻是17:00 D．小满时白昼时间最长 【答案】C 【分析】本题考查了从图象获得信息，解题的关键是能够从图象获得信息． 根据图象中的信息逐项求解判断即可. 【详解】解：A、由图象可得，立夏这天的白昼时长为14小时， 日出时刻． 解得日出时刻 立夏这天的日出时刻是故A选项中的结论错误，不符合题意； B、由图象可得，白昼时长在小时的有天，故B选项中的结论错误，不符合题意； C、由图象可得，立冬这天的白昼时长为10小时， 日落时刻 解得日落时刻 立冬这天的日落时刻是故C选项中的结论正确，符合题意； D、由图象可得，夏至时白昼时间最长，为15小时，故D选项中的结论错误，不符合题意． 故选：C． 27.清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”在儿童从学校回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数图象表示实际问题，根据题中描述，结合选项即可得到答案，读懂题意是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，儿童从学校放学回到家的过程中，离家的距离越来越小；儿童从家再到田野的过程中，离家的距离逐渐增大，则能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是 故选：C． 题型六 求函数自变量的取值范围 28.求下列函数中自变量的取值范围： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)为任意实数 (2) (3) 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握函数自变量取值范围的计算方法是关键． （1）根据整式的定义解答； （2）根据分式的分母不为零得到答案； （3）根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】（1）解：函数表达式右边是整式，所以的取值范围为任意实数； （2）解：根据分式有意义的条件，分母不为0，故的取值范围为； （3）解：由得，的取值范围为． 29.求下列函数中自变量x的取值范围． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)x是任意实数 (2)且 (3) 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． （1）根据对任意的实数，整式都有意义即可求解； （2）根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围； （3）根据0的0次幂无意义即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：x为任意实数； （2）解：根据题意得：， 解得：且； （3）解：根据题意得：， 解得：． 30.求下列函数自变量的取值范围： (1) (2)． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题主要考查了函数自变量取值范围的求法，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． （1）函数表达式是分式，由分母不为0即可求解； （2）函数表达式是二次根式，由被开方数非负即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：且， ∴且． ∴的自变量的取值范围是且． （2）解：由题意得：． ∴的自变量的取值范围是． 31.函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数非负）和分式有意义的条件（分母不为0），确定自变量需满足的条件，解不等式取公共范围即可． 【详解】解：∵要使函数有意义，需同时满足二次根式和分式的要求， ∴ ∴且． 32.已知等腰三角形的周长为16，腰长为x，底边长为y，则y与x的函数关系式为__，自变量x的取值范围是__． 【答案】 / 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确定x的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵两边之和大于第三边， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：，． 题型七 求自变量的值或函数值 33.已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据函数关系式求自变量，注意要结合自变量的取值范围来求解．将分别代入和中，即可求出的值，结合的取值范围即可得解． 【详解】解：当时，， 解得： 所以不合题意，舍去； 当时，， 解得：，符合题意， 当函数值时，自变量取值为． 故选：B． 34.若函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将自变量代入函数，先计算绝对值，再按运算顺序计算，最终结果为． 【详解】解：∵， ∴． 35.摄氏度与华氏度是两种常用的温度计量单位，它们之间的转换关系满足，其中F表示华氏度（℉），C表示摄氏度（℃），那么将35℃转换为华氏度为（   ） A．95℉ B．86℉ C．77℉ D．90℉ 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，将摄氏度代入转换公式并直接计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 35℃转换为华氏度为95°F． 故选：A． 36.若物体运动的路程S（米）与时间t（秒）的关系式为，则当秒时，该物体所运动的路程为（   ） A．66米 B．36米 C．37米 D．26米 【答案】A 【分析】把代入函数解析式求得相应的S的值即可． 【详解】解：当时， ， ∴当秒时，该物体所运动的路程为66米． 37.根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是7，则输出的值是，若输入的值是，则输出的值是（    ） A．9 B．11 C．4 D．14 【答案】B 【分析】先根据输入时输出求出参数的值，确定函数解析式，再判断符合哪个条件，代入计算即可． 【详解】解：当输入时，输出，且， 将代入， 得：， 解得． 当时，函数解析式为． 当输入时，， 将代入， 得：． 38.已知函数，当时，函数值为3，则当时，函数值为（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了求函数值，解题的关键是将自变量的值代入函数解析式进行计算，求出后，将代入解析式进行求解即可． 【详解】解：，当时，函数值为3， 即，则， 当时，， 故选：D． 39.已知函数，当时，求对应的值，并用列表法表示． 【答案】见解析 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，， 1 2 3 1 4 7 40.如图，用长为的篱笆（虚线部分）两面靠墙围成矩形的苗圃．在其中一边开了一个宽的门． (1)设矩形的一边为，面积为，求y关于x的函数关系式； (2)当时，求出所围苗圃的面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出解析式即可； （2）代数求值即可． 【详解】（1）解：设矩形的一边为，则另一边长为 y关于x的函数关系式为； （2）解：将代入得， ， ∴所围苗圃的面积是． ． 题型一 函数图象的识别 41.匀速地向一个如图所示的容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t变化的图象（草图）大致是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】将时间和水面高度的变化特点分析出来，并在图象上表示出来即可． 【详解】解：随着时间的增加水面高度上升，其速度最快，其图象最陡，再随着时间的增加水面高度增加，速度最慢，其图象最平缓，然后随着时间的增加水面高度增加，其速度是两者之间，陡缓趋势介于两者之间，所以B符合题意． 42.在物理实验课上，小明用弹簧测力计将长方体铁块悬于盛有水的水槽中，使铁块完全浸没于水中（如图所示），然后匀速向上提起，直到铁块完全露出水面一定的高度，则下图中能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块被提起的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，铁块被提起的过程中，离开水面前弹簧读数不变，离开水面的过程中，读数越来越大，全部离开水面后，读数不变，由此得到图象． 【详解】解：由题意，铁块被提起的过程中，离开水面前弹簧读数不变，离开水面的过程中，读数越来越大，全部离开水面后，读数不变， 故弹簧秤的读数（单位：）与铁块被提起的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象为B． 43.如图，四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象的顺序，将下面的四种情境与之对应排序． a、运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系） b、静止的小车从光滑的斜面滑下（小车的速度与时间的关系） c、一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加（弹簧的长度与所挂重物的质量的关系） d、小明从A地到B地后，停留一段时间，然后按原速度原路返回（小明离A地的距离与时间的关系） 正确的顺序是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】①是抛物线图象；②是一次函数图象；③是分段函数图象；④是正比例函数图象．据此进行解答即可． 【详解】解：a：运动员推出去的铅球的运动轨迹是抛物线，即①所显示的图形； b：静止的小车从光滑的斜面滑下，小车的速度会在0的基础上，随着时间的变化越来越快，即④所显示的图象； c：一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加，弹簧的长度会随着所挂重物的质量的增加而变长，因为弹簧伸长的长度是在原有弹簧长度的基础上变化的，故选②； d：小明从A地到B地这一过程，小明离A地的距离会随着时间的增长而增加；在“停留一段时间”这个过程中，小明离A地的距离不会变化；在“原速度原路返回”的过程中，小明离A地的距离会随着时间的增长而减小，一直到回到原地，即③的图象． 故正确的顺序是． 44.如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用图象表示变量间的关系，解题的关键是理解题意，数形结合．根据开始进入时y逐渐变大，完全进入后保持不变，开始出来时y逐渐变小，进行判断即可． 【详解】解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当火车开始进入时y逐渐变大，当火车完全进入隧道，由于隧道长大于火车长，此时y最大，并且保持不变，当火车开始出来时y逐渐变小．另外是匀速运动，y随x的均匀变化而均匀变化，故图象呈直线型，排除选项C． 故选：B． 题型二 从函数图象上获取信息 45.小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系，则小明在体育馆锻炼的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数图像的解读，需结合横纵坐标含义(横坐标为时间，纵坐标为离家距离)，分析图像，第一段水平线段表示小明在体育馆锻炼，第二段水平线段表示小明在书店买书． 【详解】解：小明在体育馆锻炼时，离家距离不变，对应图像中第一段上升后的水平线段，锻炼时间为该水平线段的结束时间减去开始时间，水平线段起点为，终点为，锻炼时间为． 故选． 46.为了研究某种降糖药物，实验人员将药物注射到血糖较高的实验鼠中观察其血糖的变化．如图是某只实验鼠一段时间内的血糖浓度与时间之间的关系，下列说法错误的是（   ） A．时间是自变量，血糖浓度是因变量 B．该实验鼠在9时—10时血糖浓度下降 C．该实验鼠在9时—13时的血糖浓度在4.2 mmol/L有5个时刻 D．在9时，该实验鼠血糖浓度达到最大 【答案】C 【分析】本题考查了由函数图像获取信息，理解函数图像的信息是解题的关键； 根据图像的信息逐个判断选项即可. 【详解】解：A、由图可知，时间是自变量，血糖浓度是因变量，故A选项说法正确，不符合题意； B、该实验鼠在9时—10时血糖浓度在下降，故B选项说法正确，不符合题意； C、该实验鼠在9时—13时的血糖浓度在4.2 mmol/L的时刻有4个，故C选项说法错误，符合题意； D、在9时，该实验鼠血糖浓度达到最大，故D选项说法正确，不符合题意． 故选：C. 47.快递员小张某天9时离开公司去送快递，时回到公司，他离开公司的路程s与时间t的变化情况如图所示． (1)图象表示了哪两个变量之间的关系？ (2)时和时，他分别离公司多远？ (3)他可能在什么时间内休息，什么时间内吃午餐？ 【答案】(1)图象表示时间与快递员小张离开公司的路程之间的关系； (2)时他离公司；时他离公司； (3)可能在内休息；内吃午餐． 【分析】（1）根据图象的x轴和y轴即可确定表示了哪两个变量的关系； （2）由函数图像可以看出时他离公司，时他离公司； （3）如果休息，那么距离没有增加，由此就可以确定在哪段时间内休息，并吃午餐． 【详解】（1）解：图像表示了快递员小张离开公司的路程与时间这两个变量之间的关系．其中时间是自变量，离开公司的路程是因变量； （2）解：由函数图像可以看出时他离公司，时他离公司； （3）解：由图象看出和时距离没变且时间较长， 可能在内休息，内吃午餐． 48.甲、乙两地距离，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段表示货车离甲地的距离与时间之间的关系，折线表示轿车离甲地的距离与时间之间的关系，根据图象，解答下列问题： (1)①线段表示轿车在途中停留了，此时距离乙地______； ②轿车比货车提前______到达乙地； (2)分别求出货车的速度和轿车在段的速度？ (3)从图象上可以看出，货车比轿车提前出发，求轿车出发3小时离甲地多远？ 【答案】(1)， (2)货车的速度为，轿车在段的速度为； (3)轿车出发3小时离甲地． 【分析】（1）①根据线段表示此时轿车行驶了，用甲、乙两地的距离减去轿车行驶的距离即可得到此时轿车距离乙地的距离；②由图可知，点对应的时间是，表示轿车到达乙地，点对应的时间是，表示火车到达乙地，作差即可得到轿车比货车提前到达乙地的时间； （2）利用路程除以时间即可解答； （3）由图可知，轿车出发3小时，在段行驶的时间为，由（2）知轿车在段的速度，利用路程等于时间乘以速度即可求解． 【详解】（1）解：①， 则此时距离乙地； ②， 则轿车比货车提前到达乙地； （2）解：货车的速度为， 轿车在段的速度为， 答：货车的速度为，轿车在段的速度为； （3）解：， 答：轿车出发3小时离甲地． 题型三 动点问题的函数图象 49.在梯形中，，点P是射线的一动点（点P不与点B重合），连接，点E是对角线的中点，点F是的中点，若，，，则x与y的函数关系为 _____________． 【答案】或 【分析】根据中位线的性质得出，分两种情况：当点P在线段上时，当点P在线段的延长线上时，分别写出x与y的函数关系即可． 【详解】解：∵点E是对角线的中点，点F是的中点， ∴， 当点P在线段上时，， ∴； 当点P在线段的延长线上时，， ∴； 即x与y的函数关系为：或． 50.如图，有一只蚂蚁从点O 出发，沿着半圆的边线爬了一圈，又回到了点O．下面可以描述蚂蚁与点O距离变化关系的是图（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了函数图象，解题的关键是分析路程随着时间的变化而变化的趋势，学会数形结合的方法，才能解决实际的问题． 一只蚂蚁从O点出发，沿着半圆的边缘匀速爬行，在开始时经过从O至圆上这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而增加；到半圆这一段路程，根据圆的特征可知，蚂蚁到O点的距离不变，从圆上回到O点这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而减小．据此判断． 【详解】解：一只蚂蚁从O点出发，沿着半圆的边缘匀速爬行，在开始时经过从O至圆上这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而增加；到半圆这一段路程，根据圆的特征可知，蚂蚁到O点的距离不变，从圆上回到O点这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而减小． 则描述蚂蚁与点O距离变化关系的是： ． 故选：D． 51.已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查求函数值，涉及解二元一次方程组、平方差公式、因式分解、有理数的混合运算等，熟练掌握相关运算法则并灵活运用是解答的关键． 先根据题意求出a、b值，再代值求解函数值即可． 【详解】解：∵当时，， ∴，整理，得； ∵当时，． ∴，整理，得； 得，解得， 将代入①中，得， ∴， ∴当时， ∴ ． 故选：C． 52.如图，第1个图形中有4个三角形，第2个图形中有8个三角形，第3个图形中有12个三角形……第个图形中有个三角形，且是的函数，则与之间的函数关系式为______．（无需写出自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查的是列函数关系式及图形的变化规律，根据图形的排列、归纳图形的变化规律是解答本题的关键．由图形可知第1个图案有个三角形，第2个图案有个三角形，第3个图案有个三角形．．．以此类推即可解答． 【详解】解：由图形可知： 第1个图形中有个三角形， 第2个图形中有个三角形， 第3个图形中有个三角形， ．．．， 第n个图案有个三角形， ∴． 故答案为：． 53.为推进乡村道路硬化工程建设，A，B两地技术员甲、乙前往施工现场C地开展专项工作．如图1，已知A，B，C三地共线，B距A地10千米，C距B地80千米，甲乘车从A地出发，乙骑摩托车从B地同时启程；甲抵达C地停留0.5小时后，随即返回A地．两人离A地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的关系如图2所示． (1)图中_______，______． (2)甲前往C地时的速度为_______千米/小时，甲返回A地时的速度为______千米/小时； (3)求乙离A地的距离（千米）与时间x（小时）之间的表达式； (4)请直接写出甲，乙二人相遇时x的值． 【答案】(1)90，2 (2)60，50 (3) (4)或 【分析】此题考查了从函数图象获取信息、求函数解析式、一元一次方程的应用等知识，正确列出方程和函数解析式是解题的关键． （1）根据图象反映的时间变化情况即可求出答案； （2）根据路程除以时间即可求出答案； （3）求出乙的速度，即可得到函数解析式； （4）分甲前往地和甲返回地两种情况分别列出方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得， ∵甲抵达C地停留0.5小时后，随即返回A地． ∴， 故答案为：90，2 （2）∵（千米/小时），（千米/小时） ∴甲前往C地时的速度为千米/小时，甲返回A地时的速度为千米/小时； 故答案为：， （3）由图象可知，乙的速度为（千米/小时）， ∴， （4）甲前往地时，， 解得， 甲返回地时，， 解得 ∴甲，乙二人相遇时x的值为或． 54.随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出型和型两款扫地机器人投放市场．已知台型机器人和台型机器人每小时刚好可以清洁平方米，台型机器人和台型机器人每小时刚好可以清洁平方米． (1)一台型机器人和一台型机器人每小时各清洁多少平方米？（列方程组解应用题） (2)某家居店计划向机器人公司购进一批型和型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁平方米，若设型机器人有台，型机器人有台，请问有几种购买方案． (3)在（2）问的前提下已知型机器人的售价为1万元一台，型机器人的售价为万元一台，设购买总费用为万元，请计算与之间的函数关系式． (4)在（3）条件下，家居店选择哪种方案合算？ 【答案】(1)一台型机器人每小时清洁平方米，一台型机器人每小时清洁平方米 (2)有种购买方案 (3) (4)选择购买台型机器人和台型机器人的方案最合算 【分析】（1）设一台型机器人每小时清洁平方米，一台型机器人每小时清洁平方米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）根据这批机器人每小时刚好可以清洁平方米得出，求出正整数解即可； （3）由可得，即可得出； （4）根据正整数解，分别代入，求出的值，比较即可得答案． 【详解】（1）解：设一台型机器人每小时清洁平方米，一台型机器人每小时清洁平方米， 由题意，得， 解得：， ∴一台型机器人每小时清洁平方米，一台型机器人每小时清洁平方米． （2）解：∵这批机器人每小时刚好可以清洁平方米， ∴， ∵、均为正整数， ∴，或，或，， ∴有3种购买方案． （3）解：∵， ∴， ∵型机器人的售价为1万元一台，型机器人的售价为万元一台， ∴． （4）解：当时，（万元）， 当时，（万元）， 当时，（万元）， ∵， ∴选择购买台型机器人和台型机器人的方案最合算． 1 学科网（北京）股份有限公司 $