13.2.3直线与平面的位置关系（第2课时）（教学课件，含交互动画）高一数学苏教版必修第二册

13.2.3 直线与平面的位置关系 第十三章 立体几何初步 （第2课时）直线与平面垂直 学 习 目 标 1 2 3 理解直线与平面垂直的定义，掌握垂线、垂面、垂足的概念，能精准辨析 任意一条直线 的本质区别； 掌握直线与平面垂直的性质定理，理解其反证法证明逻辑，能运用定理证明空间线线平行问题； 掌握直线与平面垂直的性质定理，理解其反证法证明逻辑，能运用定理证明空间线线平行问题. 新课导入 上节课我们学习了直线与平面的三种位置关系，分别是什么？直线与平面平行的核心转化思想是什么？ ①直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交 ②线面平行的核心转化思想：线线平行 ⇒ 线面平行 今天我们就从圆锥的轴与底面的关系出发，系统学习直线与平面垂直的定义、判定方法和性质. 圆锥的轴 与底面是什么位置关系？它和底面内的半径 有什么关系？为什么？ 探究一：直线与平面垂直的定义 观察下列动态演示，你能发现什么？ 新知探究 圆锥由 绕直角边 旋转一周形成 因此 与底面内所有半径都垂直； 而底面内任意一条直线都可以平移为过圆心 O 的半径， 因此 垂直于底面内的任意一条直线。 新知探究 定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，那么称这条直线与这个平面垂直 记作 直线 是平面 的垂线，平面 是直线 的垂面，它们的交点是垂足. 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线一定与这个平面垂直吗？请举反例说明. 不一定。例如直线 与平面 内的一组平行线都垂直，但 可能与 斜交. 定义中 任意一条直线所有直线不能替换为 无数条直线。 典例分析 例1 证明：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 已知：，. 求证：。 【分析】只要证明 与平面 内任意一条直线都垂直. 证明：设 是 内的任意一条直线。 则 。 新知探究 探究二：直线与平面垂直的判定定理 尝试进行以下两个实验，你能发现什么？ 可以观察到折痕与桌面垂直. 从两个不同的方向观察，若旗杆都与水平线垂直，则可判断旗杆与地面垂直. 实验 1:将一张矩形纸片对折，略为展开，竖立在桌面上，观察折痕与桌面是否垂直？ 实验 2: 将纸片的一个角单独竖立在桌面上，折痕还与桌面垂直吗？为什么？ 新知探究 直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。 符号表示： 定理的 5 个条件缺一不可，其中两条相交直线 是核心 ： 若两条直线平行，即使直线垂直于它们，也不能推出线面垂直； 核心思想：线线垂直⇒线面垂直，将空间问题转化为平面问题 即时训练 1.已知直线在平面上，则“直线”是“直线”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【分析】利用线面垂直的判定定理及性质定理，结合充要条件及必要条件的定义即可求解. 【解析】直线在平面上， 则“直线”成立时，“直线”不一定成立； “直线”⇒“直线”， ∴直线在平面上，则“直线”是“直线”的必要非充分条件. 故选：B . B 知识小结 直线与平面垂直的判定定理 判定定理 ：直线⊥平面内两条相交直线⇒直线⊥平面 符号： 核心：线线垂直⇒线面垂直 10 新知探究 探究三：直线与平面垂直的性质定理 如图，为两根垂直于地面的旗杆，且它们互相平行，由此你能否猜想出关于直线与平面垂直的相关性质？ 在长方体中，棱，，，都垂直于平面，它们彼此互相平行. 猜想： 垂直于同一个平面的两条直线平行. 新知探究 下面，让我们一起尝试证明这个猜想. 已知：，，求证：。 证明：假设不平行于，设，过点作直线； 直线与确定平面，设； ，，，； 又，； 在平面内，经过直线上同一点，有两条直线和都与垂直 这与平面几何中“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾； 假设不成立，故 新知探究 直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行。 符号表示： 由该性质还可以得出以下推论： 推论 1：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直； 推论 2：过一点有且只有一个平面与已知直线垂直； 点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的线段长，叫作这个点到这个平面的距离。 即时训练 2.在正三棱锥中，顶点在底面的射影为点，，则　　 A．　　 B．　　 C．　　 D． 【分析】利用正三棱锥的性质，顶点在底面的射影是底面三角形的中心，然后用勾股定理可解得高。 【详解】正三棱锥中，点在平面的射影是点，即为等边的中心， 已知，可得， 由底面，底面，可得， 则由勾股定理可得高。 D 知识小结 直线与平面垂直的性质定理 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行 符号： 推论一：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 推论二：过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 点到平面的距离：点到垂足的线段长 15 典例分析 例2 已知：． 求证：直线 上各点到平面 的距离相等． 【分析】]在直线上任取两点作平面的垂线，先垂线平行，再结合线 面平行性质证四边形为平行四边形，从而得两垂线长相等. 证明：过直线 上任意两点 分别作平面 的垂线 ，垂足分别为 ． 因为 所以 设经过直线 和 的平面为 ，则 与 的交线为直线 ． 因为 所以 从而四边形 是平行四边形，所以 ． 故直线 上各点到平面 的距离相等． 新知探究 有了线面垂直的概念，我们可以对棱柱进行分类： 侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱 侧棱不垂直于底面的棱柱叫作斜棱柱 底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱. 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离. 特殊地，我们把底面是平行四边形的四棱柱叫作平行六面体 侧棱与底面垂直的平行六面体叫作直平行六面体 底面是矩形的直平行六面体叫作长方体 棱长相等的长方体叫作正方体. 新知探究 巩固提升 题型1 直线与平面垂直的证明 1.在三棱锥中，，，点E是边上的一点，当______时，平面. 【分析】根据线面垂直的判定定理证明． 【解析】当时，平面，证明如下： 证明，时，是中点， 因为，，所以， 又平面，所以平面． 故答案为：． 巩固提升 题型2 直线与平面垂直的性质 因为为的直径，所以，所以， 因为为的中点，D为的中点，所以，所以， 因为，平面， 所以平面. 2.如图，在圆锥中，已知，的直径，点C在上，且，点D为的中点．证明：平面 【分析】直径所对圆周角为直角可得，由三角形中位线的性质可得，根据线面垂直的判定定理可得结果. 【详解】证明：连接，则，因为点D为的中点 所以， 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击图标，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 直线与平面垂直 苏教版必修二 · 课堂小结 知识点回顾 易错点警示 解题技巧 知识点回顾 1. 直线与平面垂直的定义 如果直线 l 与平面 α 内的 任意一条 直线都垂直，我们就说直线 l 与平面 α 互相垂直。记作：l ⊥ α。 2. 直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的 两条相交直线 都垂直，则该直线与此平面垂直。 符号表示：若 m ⊂ α, n ⊂ α, m ∩ n = P，且 l ⊥ m, l ⊥ n，则 l ⊥ α。 3. 直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 平行。 符号表示：若 a ⊥ α, b ⊥ α，则 a // b。 4. 三垂线定理（拓展） 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条 斜线 垂直。 易错点警示 陷阱 1：判定定理条件缺失 在证明线面垂直时，必须强调平面内的两条直线是“相交”的。若直线垂直于平面内两条平行线，则无法判定线面垂直。 陷阱 2：定义理解偏差 “直线垂直于平面内的无数条直线” 不能 推导出“直线垂直于该平面”。这无数条直线可能互相平行。 陷阱 3：空间想象错误 在空间中，垂直于同一条直线的两条直线不一定平行（可能相交或异面），这与平面几何的结论不同。只有垂直于同一个“平面”的两条直线才一定平行。 解题技巧 技巧 1：线线垂直与线面垂直的转化 这是空间几何证明的核心思想： 线线垂直 ⟹ 线面垂直 ⟹ 线线垂直 技巧 2：利用向量法证明垂直 若直线 l 的方向向量为 u，平面 α 的法向量为 n，则： l ⊥ α ⟺ u // n ⟺ u = λn 技巧 3：等体积法求点到平面的距离 当直线 h ⊥ α 时，h 即为点到平面的距离。利用三棱锥体积公式： V = 1 3 S_{底} · h，通过变换底面求解 h。 $