专题1.6 解三角形（高效培优讲义）高一数学湘教版必修第二册

丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1-6解三角形讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01余弦定理及应用 1-6解三角形 知识点01解三角形的基本公式定理 题型02正弦定理及应用 题型03解三角形的实际应用 知识点02解三角形的应用 教学目标、教学重难点 教学目标 理解并掌握正余弦定理及其应用，掌握解三角形地常用方法. 教学重点 正余弦定理及其应用， 教学难点 三角形中的最值问题， 知识清单 知识点01解三角形的基本公式定理 知识点一：在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径，则 a b 1正弦定理：况A二==2R(2R为△ABC外接圆的直径) 变形：a=2 RsinA,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C.(边化角)： sinA=示simB=品simC=2京：（角化边： a:b:c=sinA sin B sin C. 2.余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA, b2=a+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C. 2bc,COSB=a2+e2-b2 推论：cosA=b2+e2-a 2ac COS=a2+b2-c2 2ab 变形：b2+c2-a2=2 bccos A, a2++c2-b2=2accos B, a2++b2-c2=2abcos C. 3.三角形的射影定理：acosB+bcosA=c,bcosC+ccosB=a,ccosA+acosC=b; 推导：sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB→c=acosB+bcosA; 4.面积公式 (1)S=2a·h(h是高)： (2)S-besinA-acsinBabsinC. (2S=r(a+b+c)r为三角形内切圆半径). 3)若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,3),则S=x10y2-y)+x20y3-y)+x30y1-y2 (④（不作要求）S=紫=2R2 PsinAsniBsinC(R为外接圆半径)： S=VpD-a)p-bD-可（悔伦公式，p=9 第1页共31页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 I即学即练1-1】(24-25高一下甘肃天水·月考)在△ABC中，∠A=60°，AB=2,BC=V5,则边AC的长为() A.1 B.V2 C.2 D.5 【答案】A【难度】0.94【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理运算得解 【详解】由余弦定理，可得AC2+AB2-BC2=2AC·AB·c0sA,即AC2+4-3=2AC×2×2 整理得AC2-2AC+1=0,解得AC=1. 故选：A 【即学即练1-2】（多选(24-25高一下.贵州黔东南·期中）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=6, A=30°，若满足条件的△ABC是唯一的，则a的值可以是()】 A.3 B.5 C.6 D.8 【答案】ACD【难度】0.94【知识点】正弦定理解三角形 【分析】当a=bsinA或a≥b时△ABC是唯一的，即可判断. 【详解】因为b=6,A=30°， 所以当a=bsinA-=6×:=3或a≥b=6时，满足条件的△ABC是唯一的，故符合题意的有A、C、D, 故选：ACD 知识点02解三角形的应用 1.正弦定理的应用 (I)边化角，角化边：a:b:c=sinA:sinB:sinC (②合分比：4c=ntnc=4C=品=品B=点c=2R: a+b+c a+b b+c a十c 2.△ABC内角和定理：A+B+C=π； (1)sinC=sin(A+B),cosC =-cos(A+B); 斜三角形中，一tanc三tan(a+B)三m一anA+tanB+anC=tan A.tanB:tam (3)sin=cos号，cos4=sin号 2 2 ④在A4BC中，内角A,B,C成等差数列B=行，A+C= 31 3.三角形中的不等关系 (1)大边对大角大角对大边：A>B台心b台sinA>sinB台cos4<cosB (2)若△4BC为锐角三角形，则A+B>2sim4>cosB,cosA<sinB,a2+b2>c2 若△ABC为钝角三角形（假如C为钝角），则A+B<2si4<cosB,cos4>sinB. (3)c2=a2+b2台C为直角： c2>2+b2台C为钝角； c2<a2+b2曰C为锐角. (4)a+b>c,b+c>a,c+a>b. (5)若x∈(0，)，则sinx<x<tanx.若x∈(0，)，则1<sinx+cosx≤V2. 4三角形中的三线两圆问题 (1)中线：(a)中线定理：一条中线两侧所对边的平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的2倍。 第2页共31页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即：如图，在△ABC中，D为BC中点，则AB2+AC2=二BC2+2AD2. (b)已知两边及其夹角也可表述为：4AD2=AB2+AC2+2AB·AC.cosA. (2)角平分线：角平分线定理：如图，在△4BC中，AD是∠BAC的平分线，则AB=D AC CD 证法1：在△ABD中， AB BD AC CD A想=BD sin∠ADB sin-BAD'在AMCD中， SinLADCSILCAD' AC CD 证法2： 该结论可以由两三角形面积之比得证，即D=4=D SAACD AC CD ③)高：4么，么分别为AMBC边a众c上的高，则h:he:hg=号是-品点 求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度， (4)外接圆：过三角形三个项点的圆叫三角形的外接圆.其圆心叫做三角形的外心. 外接圆半径的计算：R=,a=b 2sinA 2sinB 2sinC 外接圆半径与三角形面积的关系：SAac=c=(R为△4BC外接圆半径). 4R D 0 B (⑤)内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆.其圆心叫做三角形的内心. 内切圆半径与三角形面积的关系：SABC=(a十b十c)(为△ABC内切圆半径)，并可由此计算r. 【即学即练2-1】(24-25高一下·江苏连云港·期中)某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力 开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据如图所 示，测得LC=120°，BC=3千米，AC=5千米，则A,B间的直线距离约为) B A.6千米 B.7千米 C.8千米 D.5千米 【答案】B【难度】0.94【知识点】余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】根据余弦定理即可求得AB 第3页共31页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】由余弦定理，AB2=AC2+BC2-2AC·BCc0sC=25+9-2×5×3c0s120°=49，解得AB=7. 故选：B. 《即学即练2-2】（多选）22-23高一下江苏连云港·月考)重庆是一座网红城市，外地游客来重庆必到洪崖洞、 千厮门大桥打卡.如图，我校测绘兴趣小组为测量河对岸千厮门大桥桥墩底部到顶端BA的高度，选取与B 在同一水平面内的两点C与D(B,C,D不在同一直线上)，画一条基线，测得CD=S,测绘兴趣小组利用 经纬仪可测得的角有：∠ACB,∠ACD,∠BCD,∠ADB,∠ADC,∠BDC,则根据下列各组中的测量数据 可计算出AB的高度的是() A.S,∠ACB,∠BCD,∠BDC B.S,∠ACB,∠ACD,∠ADC C.S,∠ACB,∠BCD,∠ADC D.S,∠ACB,∠BCD,∠ACD 【答案】ABC【难度】0.85【知识点】高度测量问题 【分析】利用正弦定理以及三角函数关系来求解线段长度即AB的高度)的相关知识，通过分析不同条件下能 否求出所需的边和角，进而判断能否求出AB的高度 【详解】对于选项A:已知s,∠BCD,∠BDC,在△BCD中，根据正弦定理品-品一之这里a,bc为三角 形的三边，A,B,C为三角形的三个内角)，可以求出BC的长度 又因为已知LACB,在直角△ABC中，结合已求出的BC和LACB等条件，就可以求出AB的高度，所以选项A 正确。 对于选项B:己知s,∠ACD,LADC,在△ACD中，依据正弦定理可以求出AC的长度. 再结合已知的∠ACB,在直角△ABC中就可以求出AB的高度，所以选项B正确 对于选项C:过点B作BE⊥CD,连接AE. 根据三角函数的关系c0s∠ACB=是c0s∠BCD-品COS-ACE-- AC 可以推导出cosLACE=cosLACB·cosLBCD 由于∠ACB,∠BCD已知，所以可以求得∠ACD的大小 在△ACD中，己知LACD,LADC和s,利用正弦定理可求得AC的长度， 在Rt△ACB中，已知LACB和AC,就可以求得AB的长度，所以选项C正确. 对于选项D:在△ACD和△BCD中，都只知道一边一角， 根据三角形全等或求解的条件，仅一边一角无法确定三角形的形状和大小， 也就不能求出其他角或边，从而无法求出AB的高度，所以选项D错误。 故选：ABC 第4页共31页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 题型精讲 题型01余弦定理及应用 【典例1-1】(2014广东湛江·一模)在△ABC中，AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC=() A君 B.9 c.9 0. 【答案】C【难度】0.94【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理即可得出答案 【详解】在△ABC中，设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7, 所以由余弦定理得c0s∠BAC=4-4”=- 2bc 30 因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC= 【典例1-2】(23-24高一下四川资阳·月考)已知在△ABC中，AB=3,AC=5.0为△ABC所在平面内一点， 且满足|DA=O=OC,D为AC的中点，且AG=号A正+兰ADa≠0)，则△ABC的面积为() A.6 B. C.5v11 4 D. 【答案】C【难度】0.65【知识点】三角形面积及其应用、余弦定理解三角形、平面向量共线定理的推论 【分析】依题意可得B,O,D三点共线，即可得到BD垂直平分AC,所以BA=BC=3,由余弦定理求出cosLABC, 从而求出sin∠ABC,最后由面积公式计算可得 【详解】因为A0=号+D1≠0)，又因为号+号=1，所以B,0D三点共线， 3 又OA=|OB=OC,即O为△ABC的外心，所以OD垂直平分AC,即BD垂直平分AC, 又己知AB=3,所以BA=BC=3, 又因为AC=5,所以由余弦定理有cosLABC=B4+c2-AC 32+32-52 7 2BA-BC 2×3×3 18 又0<∠ABC<L,所以sinzABC=√1-cos2LABC= 1-( 5v11 18 所以SAABC=BA,BCsin.∠ABC=×3×3×5酒-5 18 4 即△ABC的面积为V四 4 故选：C 【典例1-3I(多选)(24-25高一下.山东济宁.月考)在△ABC中，∠B=60°，AB=2,M是BC的中点，AM=2V3, 则) A.BC=4 B.BM=4 C.AC=2v13 D.Cos∠MAC=23网 13 【答案】BCD【难度】0.65【知识点】几何图形中的计算、余弦定理解三角形 第5页共31页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】由题意结合余弦定理可得BM,BC,进而可得AC,再由余弦定理可得Cos/MAC 【详解】由∠B=60°，AB=2,AM=2V3,由余弦定理可得AM2=AB2+BM2-2AB·BMcosLB, 即12=4+BM2-2×2BM×2则BM=4,BM=-2舍去)，故B正确： 因为M是BC中点，所以BC=2BM=8,故A错误： 再由余弦定理，AC2=AB2+BC2-2 AB.BCce0sLB=4+64-2×2×8×=52,即AC=2W3,故C正确： 由余弦定理，COSLMAC=-=品2品=放D正确， 2AC-AM 故选：BCD 【典例1-4】(24-25高一下·天津-期末)在△ABC中，若BC=3,AC=4W3,C=石则AB=一 【答案】√21【难度】0.94【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理解三角形，求出边长即可。 【详解】由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2BC·ACcosC, 代入得AB2=9+48-2×3×4W3×cos,计算得AB=V2i; 故答案为：√21 〖变式1-11(24-25高一下.北京房山期末)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+b2=2c2, 则cosC的最小值为) A月 B.② 2 c.3 2 D.1 【答案】A【难度】0.94【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】由余弦定理及基本不等式计算可得 【详解1由余弦定理得芒-出的-芒之岩-专 2ab 2ab 4ab 当且仅当a=b时等号成立，所以cosC的最小值为 故选：A 【变式1-2】(24-25高一下.广东深圳·期中)在△ABC中，若BC=2,CA=V7,AB=3,则△ABC的最大角与最 小角之和是() A.90° B.120 C.1359 D.150° 【答案】B【难度】0.85【知识点】余弦定理解三角形 【分析】先由三边大小关系判断最大角与最小角，利用余弦定理求出第三角，由内角和即得. 【详解】因AB>CA>BC,即角C与角A分别为△ABC的最大角与最小角， 由余弦定理，0sB=-告- 2ABXBC 12 因0<B<180°，则B=60°，故A+C=180°-60°=120°. 故选：B I变式1-3】(24-25高一下·黑龙江大庆·期末)在△ABC中，已知AC=4,AB=2,△ABC的周长为9，则 sinB =( 第6页共31页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.- 8. 4 C.因 4 D.-压 4 【答案】C【难度】0.85【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、余弦定理解三角形 【分析】由条件可得BC=3,利用余弦定理求得cosB,再由同角的三角函数关系式求出siB. 【详解】已知AC=4,AB=2,△ABC的周长为9，则BC=3, 则c0SB=4B2+8C2-AC2_2+32-42 2AB-BC 2×2×3 又0<B<L,则sinB=V1-cos2B 4 故选：C 【变式1-4】(24-25高一下辽宁大连，期末)己知三角形ABC中，点D在边BC上，AD平分∠BAC,且S△4BD= 2S△ADC,若AD=V2CD=2,则AC=(). A.1 B.V2 C.2 D.2W2 【答案】C【难度】0.65【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】先利用题干中的面积关系，得到AB=2AC,BD=2CD,再利用余弦定理建立方程，与之联立求解 即可 【详解】△ABC中，点D在边BC上，S△4BD=2S△ADc: 则AB·AD·sin∠BAD=2·2AC·AD·sin-CAD, 又AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,·AB=2AC, 又由S△ABD=2S△4Dc,△ABD和△ADC的高相同，设为h, 则时8Dh=2经cD:h,BD=2CD, 又AD=V2CD=2,CD=√2，BD=2V2, 在△ABD中，由余弦定理，c0S∠BDA=D2+AD-AB=2回+22-AB 2-BD-AD 2×2W2x2 在△ACD中，由余弦定理，c0S∠CDA=CD2+D2AC=回+2-AC 2CD·AD 2xv2x2 ∠BDA+∠CDA=L,∴cosLBDA=-cosLCDA, 即2回+24B”回2C化简得2AC2+AB2=24 2×2V2×2 把AB=2AC代入，计算即得AC=2, 故选：C 《变式1-5】（多选）24-25高一下·黑龙江黑河·期末)如图，点P是△ABC所在平面内的一点，AB=2,AC=4, LCAB=120°，D、E分别为边AC、BC的中点，AE与BD交于点M,则() B A.BC=28 B.AB在AC上的投影向量等于-AC 第7页共31页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.∠AMB=60 D.AP:(⑧F+CP的最小值为- 【答案】BCD【难度】0.65 【知识点】求投影向量、用向量解决夹角问题、数量积的坐标表示、余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理直接计算判断A,根据投影向量的法则求解判断B,根据△ABC的特点，建立平面直 角坐标系，运用平面向量的坐标运算求得∠AMB=60°判断C,结合平面向量的线性运算、数量积的运算及 二次函数的性质判断D 【详解】对于A,在△ABC中，AB=2,AC=4,∠CAB=120°，所以由余弦定理得 BC=VAC2+AB2-2AC·AB·cos120°= 16+4-2×2×4×(-) =2V7,故A错误： 对于B,A丽在AC上的投影向量等于琴AC=24e2,AC-一4AC,故B正确： ACIT 16 对于CD,如图，以A为原点，以AC为x轴，过点A与AC垂直的直线为y轴， 建立平面直角坐标系， C 则A0,0),D(2,0),B(-1,V,C(4,0),E(€写) D丽=(-3，同，函=(-) 所以CosLAMB=cos(MA,MB)=cos(EA,DB） 1 EAD可V3x23=2 又0°<∠AMB<180°，所以∠AMB=60°，故C正确： P(x,y),AP =(x,y),BP=(x+1,y-V3),CP=(x-4y),BP+CP=(2x-3,2y-v3 所以AP.(Bp+CP=x,(2x-3)+y·(2y-V3=2x2-3x+2y2-V3y =2(x-}+260-写}2是当且仅当x=y=时等号成立， 即A丽·(BF+C可的最小值为-多故D正确， 故选：BCD 【变式1-6】(24-25高一下.北京朝阳月考)阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用，如图，在平 面直角坐标系x0y中，螺线与坐标轴依次交于点A1(-1,0),A2(0,-2),A3(3,0),A4(0,4),A5(-5,0),A6(0,-6), A7(7,0),Ag(0,8),并按这样的规律继续下去.给出下列四个结论： ①对于任意正整数n,AnA+4=4: ②不存在正整数n,使得AnAn+i为整数； ③不存在正整数n,使得三角形AnAn+1An+2的面积为2025： ④对于任意正整数n,三角形AnAn+1An+2为锐角三角形. 其中所有正确结论的序号是一 第8页共31页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】①④【难度】0.4【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据规律判断①，利用特殊值判断②，根据S△4A14+2=(m+1)2=2025时n=44判断③：利 用余弦定理证明从而判断④ 【详解】依题意可得对于任意正整数n,AnAn+4=4=n-(n+4)川=4，故①正确： 当n=3时，A3A4=V32+4平=5∈Z,故②不正确： 由于Sa4,4+14n+2=AnA+2·0A+1l=(2n+2)(n+1)=(n+1)2=2025,解得n=44,故存在正整数 n,三角形AnAn+1A+2的面积为2025，故③不正确： |AnAn+1l=√n2+n+1)=V2n2+2n+1, lAn+1Am+2l=√(n+1)2+m+2)2=√2n2+6n+5, |AnA+2l=n+n+2=2n+2=√4n2+8n+4, 因为AnAn+il<|A+1An+2l<AnAn+2,所以在三角形An+2An+1A.中，∠A+2An+1An为最大角， c0s∠An+24n+14n=24242+2m246n+5-a248mt9 2 2W2n2+2n+1√2n2+6n+5 2W2m2+2a+1V2m2+6m+污>0， 则∠An+2An+1An为锐角，即三角形AnAn+1An+2为锐角三角形，故④正确： 故答案为：①④ 题型02正弦定理及应用 【典例2-11(24-25高-下.甘肃临夏期末)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为，b,c且a=2b,siA=子 则sinB=() A. B.月 c.是 D. 【答案】A【难度】0.94【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理计算易得. 【详解】由正弦定理品一品可得snB-四-×号青 a 故选：A. 《典例2-2】(22-23高一下四川绵阳·期中)己知△ABC中，Q=V2,b=V3,B=60°，那么角A等于() A.45°或135 B.30°或150 C.45 D.30° 【答案】C【难度】0.85【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理求解 【详解】在△ABC中，a=√2，b=√3，B=60°， 第9页共31页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由正弦定理得：品=品则9mA=-”-号 3 2 因为a<b,所以A<B,则A=45°， 故选：C 凰典例2-3】（多选）(25-26高一上·浙江金华.期末)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,下列说法 正确的是() A.若a=csinA,则△ABC是直角三角形B.若a>b,则cosA>cosB C.存在锐角C,使得sinC>C D.若a=2,b=2V2,△ABC有解，则0<A≤日 【答案】AD【难度】0.65【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、正弦定理解三角形、比较余弦值的大 小、三角函数线的应用 【分析】利用正弦定理可判断AD选项；利用余弦函数的单调性可判断B选项：利用扇形的面积公式与三角 形的面积公式可判断C选项， 【详解】对于A选项，因为a=c,则c=品=品所以s血C=1, 因为C∈(0，m),故C=,即△ABC是直角三角形，A对： 对于B选项，因为a>b,则A>B, 又因为A、B∈(O,D)且余弦函数y=cosx在(O,D)上单调递减，故cosA<cosB,B错： 对于C选项，如下图所示： M 在单位圆0中，设锐角∠MON的大小为a弧度，则MN=a, 过点N作NE1x轴，则NE=sina, 因为SAOMN<S形oMw,即×OM×NE<×OM×MW,即sina<a,即sina<a, 故对任意的锐角C,sinC<C,C错： 对于D选项，因为a=2,b=2V2,△ABC有解， 由正弦定理可得品一点所以snA=尝=器-号血8c(o,9 因为a<b,则A<B,故A为锐角，所以Ae(O,习D对 故选：AD. 【典例2-4】24-25高一下江西宜春·期末)在△ABC中，D是边AB上的一点，且满足∠ACD=∠BCD=于，BD= 5,AD=头，则△ABC的面积为 一：若E是边AB的中点，则号- 【答案】153，西【难度】0.65 【知识点】已知数量积求模、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形 第10页共31页 1-6 解三角形 讲义 教学目标 理解并掌握正余弦定理及其应用，掌握解三角形地常用方法. 教学重点 正余弦定理及其应用. 教学难点 三角形中的最值问题. 知识点01 解三角形的基本公式定理 知识点一：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 1.正弦定理： (2R为△ABC外接圆的直径). 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.(边化角)； sin A＝；(角化边)； a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. 2.余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 推论：； 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A， a2＋c2－b2＝2accos B， a2＋b2－c2＝2abcos C. 3.三角形的射影定理： 推导：； 4.面积公式 (1)(ha是高)； (2)； (2)(r为三角形内切圆半径)． (3)若，，，则 (4)(不作要求)(R为外接圆半径)； (海伦公式，) 【即学即练1-1】(24-25高一下·甘肃天水·月考)在中，，，，则边的长为(   ) A．1 B． C．2 D． 【即学即练1-2】(多选)(24-25高一下·贵州黔东南·期中)在中，角，，的对边分别为，，，且，，若满足条件的是唯一的，则的值可以是(   ) A．3 B．5 C．6 D．8 知识点02 解三角形的应用 1.正弦定理的应用 (1)边化角，角化边：; (2)合分比：; 2.内角和定理： (1); (2)斜三角形中， (3)； (4)在中，内角成等差数列． 3.三角形中的不等关系 (1)大边对大角 大角对大边：A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB． (2)若△ABC为锐角三角形，则，sinA>cosB，cosA<sinB，a2＋b2>c2． 若△ABC为钝角三角形(假如C为钝角)，则，sinA<cosB，cosA>sinB． (3)c2＝a2＋b2⇔C为直角； c2>a2＋b2⇔C为钝角； c2<a2＋b2⇔C为锐角． (4)a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b． (5)若x∈，则sin x＜x＜tan x．若x∈， 则1＜sin x＋cos x≤． 4.三角形中的三线两圆问题 (1)中线:()中线定理：一条中线两侧所对边的平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的2倍． 即：如图，在中，为中点，则． (b)已知两边及其夹角也可表述为：． (2)角平分线:角平分线定理：如图，在中，是的平分线，则． 证法1：　在中，，在中，，． 证法2：　该结论可以由两三角形面积之比得证，即; (3)高: 分别为边上的高，则:; 求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度． (4)外接圆：过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆．其圆心叫做三角形的外心． 外接圆半径的计算：R＝＝＝． 外接圆半径与三角形面积的关系：S△ABC＝＝(R为△ABC外接圆半径)． 　　　　　 (5)内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆．其圆心叫做三角形的内心． 内切圆半径与三角形面积的关系：S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r为△ABC内切圆半径)，并可由此计算r． 【即学即练2-1】(24-25高一下·江苏连云港·期中)某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得，千米，千米，则，间的直线距离约为(   )    A．6千米 B．7千米 C．8千米 D．5千米 【即学即练2-2】(多选)(22-23高一下·江苏连云港·月考)重庆是一座网红城市，外地游客来重庆必到洪崖洞、千厮门大桥打卡．如图，我校测绘兴趣小组为测量河对岸千厮门大桥桥墩底部到顶端BA的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，画一条基线，测得CD＝s，测绘兴趣小组利用经纬仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出AB的高度的是(　　) A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC C．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC D．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD 题型01 余弦定理及应用 【典例1-1】(2014·广东湛江·一模)在中，，，，则(   ) A． B． C． D． 【典例1-2】(23-24高一下·四川资阳·月考)已知在中，，.为所在平面内一点，且满足，为的中点，且，则的面积为(    ) A．6 B． C． D． 【典例1-3】(多选)(24-25高一下·山东济宁·月考)在中，，，是的中点，，则(    ) A． B． C． D． 【典例1-4】(24-25高一下·天津·期末)在中，若，则 ． 【变式1-1】(24-25高一下·北京房山·期末)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为(    ) A． B． C． D．1 【变式1-2】(24-25高一下·广东深圳·期中)在中，若，则的最大角与最小角之和是(   ) A． B． C． D． 【变式1-3】(24-25高一下·黑龙江大庆·期末)在中，已知，，的周长为9，则(   ) A． B． C． D． 【变式1-4】(24-25高一下·辽宁大连·期末)已知三角形中，点在边上，平分∠，且，若，则=(   ). A．1 B． C．2 D． 【变式1-5】(多选)(24-25高一下·黑龙江黑河·期末)如图，点是所在平面内的一点，，，，、分别为边、的中点，与交于点，则(   ) A． B．在上的投影向量等于 C． D．的最小值为 【变式1-6】(24-25高一下·北京朝阳·月考)阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用，如图，在平面直角坐标系中，螺线与坐标轴依次交于点，，，，，，，，并按这样的规律继续下去.给出下列四个结论： ①对于任意正整数，； ②不存在正整数，使得为整数； ③不存在正整数n，使得三角形的面积为2025； ④对于任意正整数，三角形为锐角三角形. 其中所有正确结论的序号是 . 题型02 正弦定理及应用 【典例2-1】(24-25高一下·甘肃临夏·期末)已知的内角的对边分别为，且，则(   ) A． B． C． D． 【典例2-2】(22-23高一下·四川绵阳·期中)已知中，，，那么角等于(    ) A．或 B．或 C． D． 【典例2-3】(多选)(25-26高一上·浙江金华·期末)在中，角、、的对边分别是、、，下列说法正确的是(    ) A．若，则是直角三角形 B．若，则 C．存在锐角，使得 D．若，，有解，则 【典例2-4】(24-25高一下·江西宜春·期末)在中，是边AB上的一点，且满足，，，则的面积为 ；若是边的中点，则 . 【变式2-1】(24-25高一下·广东深圳·期中)已知分别为三个内角所对的边，若，则(   ) A． B． C．或 D． 【变式2-2】(25-26高一上·上海杨浦·期末)已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是(   ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式2-3】(23-24高一下·四川达州·期末)设中，，则(    ) A． B． C． D． 【变式2-4】(24-25高一下·云南红河·期末)在中，“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-5】(多选)(24-25高一下·湖南·期末)在中，三个角所对的边分别为，其外接圆的半径为，若，则(    ) A．的面积为 B． C． D． 【变式2-6】(24-25高一下·福建厦门·期中)已知分别为三个内角的对边，满足，若为锐角三角形，且外接圆圆心为，则的取值范围为 ；和面积之差的最大值为 . 题型03 解三角形的实际应用 【典例3-1】(24-25高一下·广西·期中)3月31日，2025年“广西三月三八桂嘉年华”开幕式暨全国“四季村歌”活动在南宁民歌湖举行，主舞台设在南宁民歌湖边.小明在湖对岸，现想测量与主舞台的距离，如右图所示，A(小明)，B(主舞台)两点在湖的两岸，通过确定与A同侧的湖岸边一点C，测出A，C的距离为100m，，，计算出A，B两点的距离为(    ) A． B． C． D． 【典例3-2】(24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中)圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点(，，三点共线)处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为(    )    A． B． C． D． 【典例3-3】(多选)(23-24高一下·广西河池·月考)初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若规艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则(    ) A．舰艇所需的时间为2小时 B．舰艇与舰艇对接时距离雷达兵(处)距离为70公里 C． D．舰艇与舰艇对接时距离处为50公里 【典例3-4】(24-25高一下·陕西·期中)某日甲船以24km/h的速度沿北偏东的方向驶离码头，下午乙船沿南偏东的方向匀速驶离码头，下午甲船到达地，乙船到达地，且在的南偏西的方向上，则乙船的航行速度是 km/h.(取，) 【变式3-1】(24-25高一下·河南·期中)为了测量河对岸一古树高度(如图)，某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与，测得，并在点处测得树顶的仰角为，若树高约为米，则(    ) A．100.8米 B．33.6米 C．米 D．米 【变式3-2】(24-25高一下·北京顺义·期末)一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是(   ) A．62.4n mile B．85.0n mile C．104.4n mile D．116.0n mile 【变式3-3】(24-25高一下·浙江杭州·期中)位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为(    ) A． B． C． D． 【变式3-4】(24-25高一下·江苏南通·月考)如图，A，B，C为山脚D，E两侧共线的三点，在山顶P处测得A，B，C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得，，，则隧道的长度为(    ) A． B． C． D． 【变式3-5】(多选)(23-24高一下·吉林白山·月考)湖光岩玛珥湖，位于广东省湛江市麻章区湖光镇，是中国乃至世界最大的湿玛珥湖，是中国玛珥湖研究的始发点，也是世界玛玶湖研究的关键点．某小组计划测量如图所示的湖光岩玛珥湖的东西方向的总湖长，即测量湖光岩玛珥湖湖岸的两个测量基点之间的距离，现在湖光岩玛珥湖的湖岸取另外两个测量基点，测得米，，，则(    )      A．米 B．米 C．米 D．米 【变式3-6】(24-25高一下·四川·期中)如图，在使用无人机测量某塔高度的过程中，发现在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上.则塔的高度MN与无人机距地面的高度AB之比为 . 一、单选题 1.(24-25高一下·浙江杭州·期中)在中，，则a等于(    ) A． B． C． D． 2.(24-25高一下·江苏南通·月考)已知的角A，B，C对边分别为a，b，c，若，，，则A=(    ) A． B． C． D． 3.(2026高一·全国·专题练习)在三角形中，A为钝角，则三边a，b，c满足的条件是( ) A． B． C． D． 4.(23-24高一下·四川泸州·期中)设的内角的对边分别为，那么是的(　　)条件． A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 5.(24-25高一下·天津·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，点O是的外心，若，则(   ) A． B． C． D． 6.(24-25高一下·浙江·期中)甲船在B岛的南偏东方向A处，两地相距100千米．甲船向北偏西方向航行，同时乙船自B岛出发向北偏东的方向航行，两船均以每小时30千米的速度航行．则两小时后，甲、乙两船的距离为 千米． 7.(23-24高一下·福建泉州·期中)设a，b，c是三角形的边长，对任意实数，有(    ) A． B． C． D． 8.(2022·上海金山·一模)已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x､y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是(    ) A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 二、多选题 9.(24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(   ) A．若，，则的外接圆的面积为 B．已知，则 C．若，则为钝角三角形 D．若为锐角三角形，则 10.(23-24高一下·广东广州·月考)装货轮在A处看灯搭B在货轮北偏东，距离为海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西，距离为海里.货轮自A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东，则下列说法正确的是(    ) A．A处与D处之间的距离是24海里 B．灯塔C与D处之间的距离是海里 C．灯塔C在D处的西偏南 D．D在灯塔B的北偏西 11.(24-25高一下·陕西西安·期中)下列命题中正确的是(    ) A．设，为非零向量，则“”是“”的充要条件 B．在中，内角的对边分别为，若，则是直角三角形 C．设向量，，若与的夹角为钝角，则实数 D．在中，设，，，则外接圆的周长是 三、填空题 12.(24-25高一下·重庆荣昌·月考)香霏楼是荣昌昌州故里景区的标志性建筑之一，也是荣昌历史文化的重要象征.某同学为测量香霏楼的高度，在香霏楼的正西方向找到一座建筑物，高约为15m，在地面上点E处(A，C，E三点共线)测得建筑物顶部B，香霏楼顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则香霏楼的顶部与地面的距离约为 m..                 13.(24-25高一下·江苏宿迁·期中)已知在△ABC中， AB=AC，∠ABC的角平分线与边AC交于M点， 线段AB的中垂线过点 M，则 = ， 14.(23-24高一下·广东湛江·月考)在锐角中，角的对边分别为 为的面积，且，则的取值范围为 . 四、解答题 15.(23-24高一下·广东湛江·期末)已知的三个角的对边分别为， (1)已知，求边上中线长. (2)请用表示边的中线长，并写出推导过程. 16.(24-25高一下·浙江杭州·期中)已知的三个内角所对的边分别为，满足是的中点，． (1)求B；(2)求的面积；(3)求线段的长度． 17.(24-25高一下·四川巴中·期中)如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，，并测量得到一些数据：，，，，，，.(其中) (1)求，两点之间的距离；(2)求，两点之间的距离. 18.(25-26高一上·广东东莞·月考)函数的最小正周期为，为该函数的一个对称中心. (1)求、；(2)当时，设的最大值为，求的值域； (3)把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线.试问当时，，，能否作为三边长？请说明理由. 19.(24-25高一下·重庆万州·期中)在中，，，对应的边分别为，，， . (1)求A；(2)若为边中点，，求的最大值；(3)奥古斯丁·路易斯·柯西(Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年)，法国著名数学家，柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在(1)的条件下，若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，借助于三维分式型柯西不等式：，，，，当且仅当时等号成立.求的最小值. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 B C A D B C A D B C A O B C A D E F O $丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1-6解三角形讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01余弦定理及应用 1-6解三角形 知识点01解三角形的基本公式定理 题型02正弦定理及应用 题型03解三角形的实际应用 知识点02解三角形的应用 教学目标、教学重难点 教学目标 理解并掌握正余弦定理及其应用，掌握解三角形地常用方法. 教学重点 正余弦定理及其应用， 教学难点 三角形中的最值问题， 知识清单 知识点01解三角形的基本公式定理 知识点一：在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径，则 a b 1正弦定理：况A二==2R(2R为△ABC外接圆的直径) 变形：a=2 RsinA,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C.(边化角)： sinA=示simB=品simC=2京：（角化边： a:b:c=sinA sin B sin C. 2.余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA, b2=a+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C. 2bc,COSB=a2+e2-b2 推论：cosA=b2+e2-a 2ac COS=a2+b2-c2 2ab 变形：b2+c2-a2=2 bccos A, a2++c2-b2=2accos B, a2++b2-c2=2abcos C. 3.三角形的射影定理：acosB+bcosA=c,bcosC+ccosB=a,ccosA+acosC=b; 推导：sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB→c=acosB+bcosA; 4.面积公式 (1)S=2a·h(h是高)： (2)S-besinA-acsinBabsinC. (2S=r(a+b+c)r为三角形内切圆半径). 3)若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,3),则S=x10y2-y)+x20y3-y)+x30y1-y2 (④（不作要求）S=紫=2R2 PsinAsniBsinC(R为外接圆半径)： S=VpD-a)p-bD-可（悔伦公式，p=9 第1页共13页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 I即学即练1-1】(24-25高一下甘肃天水·月考)在△ABC中，∠A=60°，AB=2,BC=V3,则边AC的长为) A.1 B.V2 C.2 D.V3 【即学即练1-21（多选）24-25高一下.贵州黔东南·期中)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=6, A=30°，若满足条件的△ABC是唯一的，则a的值可以是()】 A.3 B.5 C.6 D.8 知识点02解三角形的应用 1.正弦定理的应用 (1)边化角，角化边：a:b:c=sinA:sinB:sinC, a+b+c atb b+c a十c ()②合分比：ntsinBtsing针BsinBusing=stsinc=品=名。←C=2R 2.△ABC内角和定理：A+B+C=π； (1)sinC sin(A +B),cosC =-cos(A+B); ②斜三角形中，-taC=tan(A+B)=台anA+tanB+amC=tan:mB,tnC (3)sin AB=coss,cos AB=sin 2 (④在AM8C中，内角AB,C成等差数列B=牙，A+C=会 3.三角形中的不等关系 (1)大边对大角大角对大边：A>B台心b台sinA>sinB台cosA<cosB, (2)若△ABC为锐角三角形，则A+B>乏sin4>cosB,co84 <sinB,a2+b>c2. 若△ABC为钝角三角形（假如C为钝角），则A+B<),siM<cosB,cosA>sinB. (3)c2=2+b2台C为直角： c2>a2十b2台C为钝角； c2<a2+b2曰C为锐角， (4)a+b>c,b+c>a,c+a>b. (5)若x∈(（0，)，则sinx<x<tanx.若x∈(0，)，则1<sin x+cosx≤V2. 4.三角形中的三线两圆问题 (1)中线：(a)中线定理：一条中线两侧所对边的平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的2倍： 即：如图，在△4BC中，D为BC中点，则AB2+AC2=1BC2+2AD2. (b)已知两边及其夹角也可表述为：4AD2=AB2+AC2+2AB·AC.c0sA, 2角平分线：角平分线定理：如图，在△1BC中，AD是∠BAC的平分线，则是=器 第2页共13页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 证法1： 在△ABD中， AB BD AC CD sinLADB sinzBAD' 在△ACD中， AB、BD sin∠ADC sinLCAD' AC -CD 证法2： 该结论可以由两三角形面积之比得证，即42=4B=D SAACD AC CD 阅高：4，，么分别为AMBC边am6c上的高，则he-立品点 求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度. (④)外接圆：过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆.其圆心叫做三角形的外心. 外接圆半径的计算：R=,a 三b 2sina 2sinB 2sinC 外接圆半径与三角形面积的关系：SBc=-=R为△4BC外接圆半径). 4R 0 D B (⑤)内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆.其圆心叫做三角形的内心 内切圆半径与三角形面积的关系：S48C=(a十b十c)(为△ABC内切圆半径)，并可由此计算r. 2 【即学即练2-1】(24-25高一下江苏连云港期中)某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力 开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据如图所 示，测得LC=120°，BC=3千米，AC=5千米，则A,B间的直线距离约为) A.6千米 B.7千米 C.8千米 D.5千米 【即学即练2-2】（多选(22-23高一下·江苏连云港·月考）重庆是一座网红城市，外地游客来重庆必到洪崖洞、 千厮门大桥打卡.如图，我校测绘兴趣小组为测量河对岸千厮门大桥桥墩底部到顶端BA的高度，选取与B 在同一水平面内的两点C与D(B,C,D不在同一直线上)，画一条基线，测得CD=S,测绘兴趣小组利用 经纬仪可测得的角有：∠ACB,∠ACD,∠BCD,∠ADB,∠ADC,∠BDC,则根据下列各组中的测量数据 可计算出AB的高度的是() 第3页共13页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.S,∠ACB,∠BCD,∠BDC B.S,∠ACB,∠ACD,∠ADC C.S,∠ACB,∠BCD,∠ADC D.S,∠ACB,∠BCD,∠ACD 题型精讲 题型01余弦定理及应用 凰典例1-1】(2014广东湛江一模)在△ABC中，AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC=() A君 B.月 c.晋 0.9 【典例1-2】(23-24高一下四川资阳·月考)已知在△ABC中，AB=3,AC=5.0为△ABC所在平面内一点， 且满足D=1o=DC,D为Ac的中点，且A0=兰A店+3兰ADQ≠0)，则△ABC的面积为() 3 A.6 C.5 4 D.3⑨ 4 凰典例1-3I(多选24-25高一下山东济宁月考)在△ABC中，∠B=60°，AB=2,M是BC的中点，AM=2V3, 则() A.BC=4 B.BM=4 C.AC=2v13 D.cos∠MAC=2V39 13 【典例1-4】(24-25高-下·天津期末)在△ABC中，若BC=3,AC=4V3,C=石，则AB=一· 【变式1-1(24-25高一下·北京房山期末)己知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+b2=2c2, 则cosC的最小值为() A月 6. c D.1 【变式1-2】(24-25高一下·广东深圳期中)在△ABC中，若BC=2,CA=V7,AB=3,则△ABC的最大角与最 小角之和是() A.90° B.120° C.135° D.150° 【变式1-3】(24-25高一下·黑龙江大庆期末)在△ABC中，己知AC=4,AB=2,△ABC的周长为9，则 sinB =( A. B.③ 4 C.© 4 D.、 4 【变式1-4】(24-25高一下辽宁大连期末)已知三角形ABC中，点D在边BC上，AD平分∠BAC,且S△4BD= 2S△ADC,若AD=V2CD=2,则AC=(,. A.1 B.V2 C.2 D.2V2 第4页共13页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 《变式1-5】（多选）(24-25高一下·黑龙江黑河·期末)如图，点P是△ABC所在平面内的一点，AB=2,AC=4, ∠CAB=120°，D、E分别为边AC、BC的中点，AE与BD交于点M,则() B D A.BC=28 B.AB在AC上的投影向量等于-AC C.∠AMB=60° D.AP:(⑧P+cP的最小值为-是 【变式1-6】(24-25高一下北京朝阳·月考)阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用，如图，在平 面直角坐标系x0y中，螺线与坐标轴依次交于点A1(-1,0),A2(0,-2),A3(3,0),A4(0,4),A5(-5,0),A6(0,-6), A(7,0),Ag(0,8),并按这样的规律继续下去.给出下列四个结论： ①对于任意正整数n,AA+4到=4； ②不存在正整数n,使得AnAn+i为整数； ③不存在正整数n,使得三角形AnAn+1An+2的面积为2025： ④对于任意正整数n,三角形AnA+1An+2为锐角三角形. 其中所有正确结论的序号是 题型02正弦定理及应用 【典例2-1】(24-25高一下.甘肃临夏·期末)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2b,sinA= 则sinB=() A.青 B. c. 0.f 【典例2-2】(22-23高一下四川绵阳期中)已知△ABC中，a=√2，b=V3,B=60°，那么角A等于() A.45°或135 B.30°或150° c.45° D.30° 【典例2-3】（多选25-26高一上·浙江金华期末）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,下列说法 正确的是() A.若a=csinA,则△ABC是直角三角形B.若a>b,则cosA>cosB 第5页共13页 品学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 C.存在锐角C,使得sinC>C D.若a=2,b=2V2,△ABC有解，则0<A≤ 【典例2-41(24-25高一下江西宜春期末)在△ABC中，D是边AB上的一点，且满足LACD=∠BCD=FBD= 草AD=头，则△ABC的面积为 一：若E是边AB的中点，则E= CD 【变式2-1】(24-25高一下·广东深圳期中)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C所对的边，若B=60°，b= √3，c=√2，则C=() A.45 B.135° C.45°或135° D.120° 【变式2-2】(25-26高一上·上海杨浦·期末)已知△ABC的三个内角A,B,C满足sinC=sin2A+sin(A-B), 则△ABC的形状是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 【变式231(23,24高一下四川达州期末)设△ABC中，BC=18,AC=20,sinB=59,则B+C=) A.日 B. C. 0. 【变式2-4】(24-25高一下.云南红河期末)在△ABC中，"sinA=sinB"是“A=B"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【变式2-5】（多选）(24-25高一下·湖南·期末)在△ABC中，三个角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其外接圆的半 径为R,若b2=ac,则() A.△ABC的面积为R ,b3 B.B≤ C.a+c<2b D.-1+5<<1+5 2 a 2 【变式2-6】(24-25高一下.福建厦门期中)己知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，满足A= 京V3 acosC+asinC=2W3,若△ABC为锐角三角形，且外接圆圆心为0，则B0·AC的取值范围 为 ;△OAC和△OBC面积之差的最大值为 题型03解三角形的实际应用 【典例3-1】(24-25高一下·广西期中)3月31日，2025年“广西三月三八桂嘉年华"”开幕式暨全国“四季村歌” 活动在南宁民歌湖举行，主舞台设在南宁民歌湖边.小明在湖对岸，现想测量与主舞台的距离，如右图所示， A(小明)，B(主舞台)两点在湖的两岸，通过确定与A同侧的湖岸边一点C,测出A,C的距离为100m,∠ACB= 第6页共13页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 45°，∠CAB=105°，计算出A,B两点的距离为() B C A A.100V2m B.100√3m C.50v2m D.25v2m 【典例3-2】(24-25高一下·黑龙江佳木斯期中)圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集 球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建 筑物AB,高约为36m,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得建筑物顶A,教堂顶C的仰角分 别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣·索菲亚教堂的高度CD约为() 15°T ◇ ▣ 口 60入X459 口 分 B A.45m B.47m C.50m D.54m 厦典例3-3】（多选23-24高一下·广西河池·月考）初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队， 奔赴多个海区开展实战化海上训练在一次海上训练中，雷达兵在P处发现在北偏东50°方向，相距30公里的 水面Q处，有一艘A舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达 兵立马协调在P处的B舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东50°+日方向与A舰艇对接并进行横向液货补给 若B规艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则() 北 709 50p A.B舰艇所需的时间为2小时 B.B舰艇与A舰艇对接时距离雷达兵(P处)距离为70公里 C.sine=5 14 D.A舰艇与B舰艇对接时距离Q处为50公里 【典例3-4】(24-25高一下.陕西·期中)某日12：00甲船以24km/h的速度沿北偏东60°的方向驶离码头A,下 午1：00乙船沿南偏东41的方向匀速驶离码头A,下午5：00甲船到达B地，乙船到达C地，且C在B的南偏 西23°的方向上，则乙船的航行速度是 km/h.取sin370=景sin64=号 【变式31】(24-25高一下·河南·期中)为了测量河对岸一古树高度AB(如图)，某同学选取与树底B在同一水平 第7页共13页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 面内的两个观测点C与D,测得LBCD=15°，∠BDC=30°，并在点C处测得树顶A的仰角为60°，若树高AB约 为48V3米，则CD=() A.100.8米 B.33.6米 C.48W3米 D.48V2米 凰变式32】(24-25高一下，北京顺义期末)一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50mile后到达海岛 B,然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C, 那么这艘海轮需要航行的距离大约是() A.62.4n mile B.85.0n mile C.104.4n mile D.116.0n mile 【变式33】(24-25高一下·浙江杭州期中)位于P处的雷达接收到在其正东方向相距202海里的B处的一 艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东”且与P处雷达相距30海里的M处的甲船 前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为) A.15V3 B.10W5 C.10v3 D.10v2 【变式3-4】(24-25高一下·江苏南通·月考)如图，A,B,C为山脚D,E两侧共线的三点，在山顶P处测得 A,B,C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得AD=500m,EB=300m,BC=800V3m,则隧道DE的 长度为) D D EB A.600m B.700m C.800m D.900m 【变式35】（多选）(23-24高一下·吉林白山月考)湖光岩玛珥湖，位于广东省湛江市麻章区湖光镇，是中国 乃至世界最大的湿玛珥湖，是中国玛珥湖研究的始发点，也是世界玛评湖研究的关键点.某小组计划测量 如图所示的湖光岩玛珥湖的东西方向的总湖长，即测量湖光岩玛珥湖湖岸的两个测量基点P,Q之间的距离， 现在湖光岩玛珥湖的湖岸取另外两个测量基点M,N,测得MW=380V5米，LPMQ=3,LQMW=LPNM= 豆，∠PWQ=等则() 第8页共13页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.MQ=380V10米 B.PM=380v5米 C.PN=380V10米 D.PQ=1900米 凰变式36】(24-25高一下四川期中)如图，在使用无人机测量某塔高度的过程中，发现在地面上选择一个 观测点C,在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°，且在A处无人机测得点M的仰角为 15°，点B,C,N在同一条直线上.则塔的高度MN与无人机距地面的高度AB之比为 M 150 A 口中口 4530° B 强化训练 一、单选题 1.(24-25高一下·浙江杭州期中)在△ABC中，A=60°，b=1,c=4,则a等于() A.V13 B.V15 c.V19 D.V21 2.(2425高-下江苏南通月考)已知△ABC的角A,B,C对边分别为a,b,c,若a=4,b=4V3,B= 则A=() A.君 B. c.号 0.g 3.(2026高一全国.专题练习)在三角形ABC中，A为钝角，则三边a,b,c满足的条件是() A.b2+c2≥a2 B.b2+c2>a2 C.b2+c2≤a2 D.b2+c2<a2 4.(23-24高一下·四川泸州期中)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,那么acosA=bcosB是a=b 的)条件. A.充分而不必要B.必要而不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 5.(24-25高-下天津：期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=号a=8,bcosA+ac0sB=6, 点O是△ABC的外心，若BO=xBA+yBC,则xy=() 第9页共13页 而学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 B.23 6 C. 6.(24-25高一下·浙江·期中)甲船在B岛的南偏东30°方向A处，AB两地相距100千米.甲船向北偏西30°方向 航行，同时乙船自B岛出发向北偏东30°的方向航行，两船均以每小时30千米的速度航行.则两小时后， 甲、乙两船的距离为千米。 7.(23-24高一下.福建泉州期中)设a,b,c是三角形ABC的边长，对任意实数x,f(x)=b2x2+(b2+c2-a2)x+ c2有() A.f(x)=0 B.f(x)>0 c.f(x)≥0 D.f(x)<0 8.(2022·上海金山.一模)已知向量a与的夹角为120°，且a·万=-2，向量c满足c=a+(1-)万(0<1<1)， 且a·t=万·c,记向量c在向量a与方向上的投影分别为xy现有两个结论：①若入=子，则间=2例：②x2+ y2+xy的最大值为则正确的判断是() A.①成立，②成立 B.①成立，②不成立 C.①不成立，②成立 D.①不成立，②不成立 二、多选题 9.(24-25高一下·黑龙江哈尔滨期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为α，b,c,则下列说法正确的是 () A.若a=2W3,A=,则△ABC的外接圆的面积为16m B.已知(a+b+c(a+b-c)=(2+③)ab,则c= C.若sin2A>sin2B+sin2C,则△ABC为钝角三角形 D.若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosB 10.(23-24高一下·广东广州月考)装货轮在A处看灯搭B在货轮北偏东75°，距离为126海里；在A处看灯 塔C在货轮的北偏西30°，距离为8V3海里.货轮自A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°， 则下列说法正确的是() A.A处与D处之间的距离是24海里 B.灯塔C与D处之间的距离是8V3海里 C.灯塔C在D处的西偏南60° D.D在灯塔B的北偏西30° 11.(24-25高一下.陕西西安期中)下列命题中正确的是() A.设a,b为非零向量，则⑦1是“后+=-"的充要条件 B.在△ABC中，内角4B,C的对边分别为，bc,若a=则△ABC是直角三角形 C.设向量a=(-1,2),b=(2,),若a与b的夹角为钝角，则实数1<1 第10页共13页 1-6 解三角形 讲义 教学目标 理解并掌握正余弦定理及其应用，掌握解三角形地常用方法. 教学重点 正余弦定理及其应用. 教学难点 三角形中的最值问题. 知识点01 解三角形的基本公式定理 知识点一：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 1.正弦定理： (2R为△ABC外接圆的直径). 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.(边化角)； sin A＝；(角化边)； a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. 2.余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 推论：； 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A， a2＋c2－b2＝2accos B， a2＋b2－c2＝2abcos C. 3.三角形的射影定理： 推导：； 4.面积公式 (1)(ha是高)； (2)； (2)(r为三角形内切圆半径)． (3)若，，，则 (4)(不作要求)(R为外接圆半径)； (海伦公式，) 【即学即练1-1】(24-25高一下·甘肃天水·月考)在中，，，，则边的长为(   ) A．1 B． C．2 D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理运算得解. 【详解】由余弦定理，可得，即， 整理得，解得. 故选：A. 【即学即练1-2】(多选)(24-25高一下·贵州黔东南·期中)在中，角，，的对边分别为，，，且，，若满足条件的是唯一的，则的值可以是(   ) A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】ACD【难度】0.94【知识点】正弦定理解三角形 【分析】当或时是唯一的，即可判断. 【详解】因为，， 所以当或时，满足条件的是唯一的，故符合题意的有A、C、D. 故选：ACD 知识点02 解三角形的应用 1.正弦定理的应用 (1)边化角，角化边：; (2)合分比：; 2.内角和定理： (1); (2)斜三角形中， (3)； (4)在中，内角成等差数列． 3.三角形中的不等关系 (1)大边对大角 大角对大边：A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB． (2)若△ABC为锐角三角形，则，sinA>cosB，cosA<sinB，a2＋b2>c2． 若△ABC为钝角三角形(假如C为钝角)，则，sinA<cosB，cosA>sinB． (3)c2＝a2＋b2⇔C为直角； c2>a2＋b2⇔C为钝角； c2<a2＋b2⇔C为锐角． (4)a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b． (5)若x∈，则sin x＜x＜tan x．若x∈， 则1＜sin x＋cos x≤． 4.三角形中的三线两圆问题 (1)中线:()中线定理：一条中线两侧所对边的平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的2倍． 即：如图，在中，为中点，则． (b)已知两边及其夹角也可表述为：． (2)角平分线:角平分线定理：如图，在中，是的平分线，则． 证法1：　在中，，在中，，． 证法2：　该结论可以由两三角形面积之比得证，即; (3)高: 分别为边上的高，则:; 求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度． (4)外接圆：过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆．其圆心叫做三角形的外心． 外接圆半径的计算：R＝＝＝． 外接圆半径与三角形面积的关系：S△ABC＝＝(R为△ABC外接圆半径)． 　　　　　 (5)内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆．其圆心叫做三角形的内心． 内切圆半径与三角形面积的关系：S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r为△ABC内切圆半径)，并可由此计算r． 【即学即练2-1】(24-25高一下·江苏连云港·期中)某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得，千米，千米，则，间的直线距离约为(   )    A．6千米 B．7千米 C．8千米 D．5千米 【答案】B【难度】0.94【知识点】余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】根据余弦定理即可求得. 【详解】由余弦定理，，解得. 故选：B. 【即学即练2-2】(多选)(22-23高一下·江苏连云港·月考)重庆是一座网红城市，外地游客来重庆必到洪崖洞、千厮门大桥打卡．如图，我校测绘兴趣小组为测量河对岸千厮门大桥桥墩底部到顶端BA的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，画一条基线，测得CD＝s，测绘兴趣小组利用经纬仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出AB的高度的是(　　) A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC C．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC D．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD 【答案】ABC【难度】0.85【知识点】高度测量问题 【分析】利用正弦定理以及三角函数关系来求解线段长度(即的高度)的相关知识，通过分析不同条件下能否求出所需的边和角，进而判断能否求出的高度. 【详解】对于选项A：已知，，，在中，根据正弦定理(这里为三角形的三边，为三角形的三个内角)，可以求出的长度. 又因为已知，在直角中，结合已求出的和等条件，就可以求出的高度，所以选项A正确. 对于选项B：已知，，，在中，依据正弦定理可以求出的长度. 再结合已知的，在直角中就可以求出的高度，所以选项B正确. 对于选项C：过点作，连接. 根据三角函数的关系，，， 可以推导出. 由于，已知，所以可以求得的大小. 在中，已知，和，利用正弦定理可求得的长度. 在中，已知和AC，就可以求得的长度，所以选项C正确. 对于选项D：在和中，都只知道一边一角， 根据三角形全等或求解的条件，仅一边一角无法确定三角形的形状和大小， 也就不能求出其他角或边，从而无法求出的高度，所以选项D错误. 故选：ABC. 题型01 余弦定理及应用 【典例1-1】(2014·广东湛江·一模)在中，，，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理即可得出答案. 【详解】在中，设，，， 所以由余弦定理得， 因为为的内角，所以. 【典例1-2】(23-24高一下·四川资阳·月考)已知在中，，.为所在平面内一点，且满足，为的中点，且，则的面积为(    ) A．6 B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】三角形面积及其应用、余弦定理解三角形、平面向量共线定理的推论 【分析】依题意可得三点共线，即可得到垂直平分，所以，由余弦定理求出，从而求出，最后由面积公式计算可得. 【详解】因为，又因为，所以三点共线， 又，即为的外心，所以垂直平分，即垂直平分， 又已知，所以， 又因为，所以由余弦定理有， 又，所以， 所以，即的面积为. 故选：C 【典例1-3】(多选)(24-25高一下·山东济宁·月考)在中，，，是的中点，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】BCD【难度】0.65【知识点】几何图形中的计算、余弦定理解三角形 【分析】由题意结合余弦定理可得进而可得，再由余弦定理可得. 【详解】由,由余弦定理可得 即，则(舍去)，故B正确； 因为是中点，所以,故A错误； 再由余弦定理，,即,故C正确； 由余弦定理，,故D正确. 故选：BCD. 【典例1-4】(24-25高一下·天津·期末)在中，若，则 ． 【答案】【难度】0.94【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理解三角形，求出边长即可. 【详解】由余弦定理得， 代入得，计算得； 故答案为： 【变式1-1】(24-25高一下·北京房山·期末)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为(    ) A． B． C． D．1 【答案】A【难度】0.94【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】由余弦定理及基本不等式计算可得. 【详解】由余弦定理得， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 故选：A. 【变式1-2】(24-25高一下·广东深圳·期中)在中，若，则的最大角与最小角之和是(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】余弦定理解三角形 【分析】先由三边大小关系判断最大角与最小角，利用余弦定理求出第三角，由内角和即得. 【详解】因，即角与角分别为的最大角与最小角， 由余弦定理，， 因，则，故. 故选：B. 【变式1-3】(24-25高一下·黑龙江大庆·期末)在中，已知，，的周长为9，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】已知正(余)弦求余(正)弦、余弦定理解三角形 【分析】由条件可得，利用余弦定理求得，再由同角的三角函数关系式求出. 【详解】已知，，的周长为9，则， 则， 又，则. 故选：C. 【变式1-4】(24-25高一下·辽宁大连·期末)已知三角形中，点在边上，平分∠，且，若，则=(   ). A．1 B． C．2 D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】先利用题干中的面积关系，得到，再利用余弦定理建立方程，与之联立求解即可. 【详解】中，点在边上，， 则， 又平分∠，，， 又由，和的高相同，设为， 则，， 又，， 在中，由余弦定理，； 在中，由余弦定理，， ，， 即，化简得， 把代入，计算即得. 故选：. 【变式1-5】(多选)(24-25高一下·黑龙江黑河·期末)如图，点是所在平面内的一点，，，，、分别为边、的中点，与交于点，则(   ) A． B．在上的投影向量等于 C． D．的最小值为 【答案】BCD【难度】0.65 【知识点】求投影向量、用向量解决夹角问题、数量积的坐标表示、余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理直接计算判断A，根据投影向量的法则求解判断B，根据的特点，建立平面直角坐标系，运用平面向量的坐标运算求得判断C，结合平面向量的线性运算、数量积的运算及二次函数的性质判断D. 【详解】对于A，在中，，，，所以由余弦定理得 ，故A错误； 对于B，在上的投影向量等于，故B正确； 对于CD，如图，以为原点，以为轴，过点A与垂直的直线为轴， 建立平面直角坐标系， 则，，，，， ，， 所以， 又，所以，故C正确； 设，则，， 所以 ，当且仅当时等号成立， 即的最小值为，故D正确. 故选：BCD 【变式1-6】(24-25高一下·北京朝阳·月考)阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用，如图，在平面直角坐标系中，螺线与坐标轴依次交于点，，，，，，，，并按这样的规律继续下去.给出下列四个结论： ①对于任意正整数，； ②不存在正整数，使得为整数； ③不存在正整数n，使得三角形的面积为2025； ④对于任意正整数，三角形为锐角三角形. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①④【难度】0.4【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据规律判断①，利用特殊值判断②，根据时判断③；利用余弦定理证明从而判断④. 【详解】依题意可得对于任意正整数，，故①正确； 当时，，故②不正确； 由于，解得，故存在正整数，三角形的面积为2025，故③不正确； ， ， ， 因为，所以在三角形中，为最大角， ， 则为锐角，即三角形为锐角三角形，故④正确； 故答案为：①④ 题型02 正弦定理及应用 【典例2-1】(24-25高一下·甘肃临夏·期末)已知的内角的对边分别为，且，则(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理计算易得. 【详解】由正弦定理可得. 故选：A. 【典例2-2】(22-23高一下·四川绵阳·期中)已知中，，，那么角等于(    ) A．或 B．或 C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理求解. 【详解】在中，，， 由正弦定理得：，则， 因为，所以，则， 故选：C 【典例2-3】(多选)(25-26高一上·浙江金华·期末)在中，角、、的对边分别是、、，下列说法正确的是(    ) A．若，则是直角三角形 B．若，则 C．存在锐角，使得 D．若，，有解，则 【答案】AD【难度】0.65【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、正弦定理解三角形、比较余弦值的大小、三角函数线的应用 【分析】利用正弦定理可判断AD选项；利用余弦函数的单调性可判断B选项；利用扇形的面积公式与三角形的面积公式可判断C选项. 【详解】对于A选项，因为，则，所以， 因为，故，即是直角三角形，A对； 对于B选项，因为，则， 又因为、且余弦函数在上单调递减，故，B错； 对于C选项，如下图所示： 在单位圆中，设锐角的大小为弧度，则， 过点作轴，则， 因为，即，即，即， 故对任意的锐角，，C错； 对于D选项，因为，，有解， 由正弦定理可得，所以， 因为，则，故为锐角，所以，D对. 故选：AD. 【典例2-4】(24-25高一下·江西宜春·期末)在中，是边AB上的一点，且满足，，，则的面积为 ；若是边的中点，则 . 【答案】；/【难度】0.65 【知识点】已知数量积求模、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形 【分析】根据条件，利用正弦定理得，再利用余弦定理得，求得，，即可求解；利用等面积法得，再利用向量的中线公式得，即可求解. 【详解】在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 又，，所以，， 又，，所以. 在中，由余弦定理可得， 即，解得，， 所以的面积为. 又，所以. 因为， 所以， 所以，所以. 故答案为：；. 【变式2-1】(24-25高一下·广东深圳·期中)已知分别为三个内角所对的边，若，则(   ) A． B． C．或 D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理求得，结合三角形边角关系即可求出角. 【详解】由正弦定理，，可得， 因，则，故. 故选：A. 【变式2-2】(25-26高一上·上海杨浦·期末)已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是(   ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D【难度】0.85 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据两角和差的正弦公式、三角形内角和定理，结合二倍角的正弦公式、正弦定理进行运算判断即可. 【详解】 ， ，或， 当时，因为，所以，因此该三角形是直角三角形； 当时，可得， 由正弦定理可得：，所以由，可得，因此该三角形是等腰三角形， 综上所述：该三角形是等腰或直角三角形. 故选：D 【变式2-3】(23-24高一下·四川达州·期末)设中，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】正弦定理解三角形 【分析】由正弦定理可得，结合大边对大角得，则，进而得到． 【详解】由正弦定理得，即，解得， 又，，则为锐角，，则． 故选：B． 【变式2-4】(24-25高一下·云南红河·期末)在中，“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C【难度】0.65【知识点】充要条件的证明、正弦定理及辨析 【分析】根据充分必要条件的定义结合正弦定理即可得出答案. 【详解】在中，设角、、所对的边分别为、、. 充分性：若，由正弦定理，可得，根据等边对等角，可得； 必要性：若，根据等角对等边，可得，由正弦定理得， 综上，“”是“”的充要条件. 故选：C 【变式2-5】(多选)(24-25高一下·湖南·期末)在中，三个角所对的边分别为，其外接圆的半径为，若，则(    ) A．的面积为 B． C． D． 【答案】ABD【难度】0.4【知识点】基本不等式求和的最小值、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据正弦定理、三角形面积公式结合条件可判断A；由余弦定理结合，利用基本不等式可得，从而得到的范围即可判断B；利用基本不等式及条件得到，即可判断C；设，则，，代入，解得的范围即可判断D. 【详解】对于A，在中，由正弦定理得，所以， 所以的面积为故A正确； 对于B，在中，由余弦定理，得，当且仅当时等号成立，又因为，所以，故B正确； 对于C，因为，即，仅当时等号成立，又，所以，故C不正确； 对于D，设，则， 由，得，即， 因为，解得.即，故D正确. 故选：ABD. 【变式2-6】(24-25高一下·福建厦门·期中)已知分别为三个内角的对边，满足，若为锐角三角形，且外接圆圆心为，则的取值范围为 ；和面积之差的最大值为 . 【答案】；【难度】0.15【知识点】数量积的运算律、三角形面积公式及其应用、正弦定理求外接圆半径、求正切(型)函数的值域及最值 【分析】首先利用正弦定理及辅助角公式求出，再根据外心的性质，平面向量数量积及余弦定理可得到，再利用正弦定理及两角和的正弦公式、正切函数的性质结合角范围，即可求出的取值范围；设外接圆半径为，由正弦定理可得，结合三角形的面积公式及二倍角公式及二次函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以由正弦定理可得，即①. 又因为，即， 即②，将①代入②可得，解得. 由余弦定理可得. 因为为外接圆圆心，即外心，所以三条边垂直平分线的交点， 设的中点为，则有. 因为，所以， 同理可得， 所以， 由正弦定理可得， 由，解得，所以， 则，所以. 设外接圆半径为，则，且，即， 因为，所以， ， 所以， 由知，所以， 则； 所以当时，取得最大值. 故答案为：； 题型03 解三角形的实际应用 【典例3-1】(24-25高一下·广西·期中)3月31日，2025年“广西三月三八桂嘉年华”开幕式暨全国“四季村歌”活动在南宁民歌湖举行，主舞台设在南宁民歌湖边.小明在湖对岸，现想测量与主舞台的距离，如右图所示，A(小明)，B(主舞台)两点在湖的两岸，通过确定与A同侧的湖岸边一点C，测出A，C的距离为100m，，，计算出A，B两点的距离为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】正弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】利用正弦定理列式计算得解. 【详解】在中，，则，而， 由正弦定理得. 故选：A 【典例3-2】(24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中)圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点(，，三点共线)处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为(    )    A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】正弦定理解三角形、几何图形中的计算、高度测量问题 【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出. 【详解】由题可得在直角中，，，所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得，所以， 则在直角中，，即圣.索菲亚教堂的高度约为. 故答案为：D. 【典例3-3】(多选)(23-24高一下·广西河池·月考)初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若规艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则(    ) A．舰艇所需的时间为2小时 B．舰艇与舰艇对接时距离雷达兵(处)距离为70公里 C． D．舰艇与舰艇对接时距离处为50公里 【答案】BCD【难度】0.65【知识点】角度测量问题、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合，根据题意，由余弦定理列出方程，求得，得到，再由正弦定理，即可求解. 【详解】如图所示，设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合， 则， 由余弦定理得， 即，解得或(舍去)，所以， 又由正弦定理得，可得. 故选：BCD. 【典例3-4】(24-25高一下·陕西·期中)某日甲船以24km/h的速度沿北偏东的方向驶离码头，下午乙船沿南偏东的方向匀速驶离码头，下午甲船到达地，乙船到达地，且在的南偏西的方向上，则乙船的航行速度是 km/h.(取，) 【答案】【难度】0.65【知识点】距离测量问题、正弦定理解三角形 【分析】根据条件，得出的各个内角以及边的长度，进而根据正弦定理化简求解即可得出答案. 【详解】如图，由题意得，，，. 所以，，， 则． 在中，由正弦定理，得， 所以乙船的航行速度是()． 故答案为：. 【变式3-1】(24-25高一下·河南·期中)为了测量河对岸一古树高度(如图)，某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与，测得，并在点处测得树顶的仰角为，若树高约为米，则(    ) A．100.8米 B．33.6米 C．米 D．米 【答案】D【难度】0.94【知识点】距离测量问题 【分析】在中，求出，再在中，利用正弦定理即可得解. 【详解】在中，，所以， 在中，由，可得， 在中，由正弦定理得：. 故选：D. 【变式3-2】(24-25高一下·北京顺义·期末)一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是(   ) A．62.4n mile B．85.0n mile C．104.4n mile D．116.0n mile 【答案】C【难度】0.85【知识点】余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】结合已知条件应用余弦定理计算求解. 【详解】 因为，且.. 在中， 由余弦定理得， 即；所以； 故选：C. 【变式3-3】(24-25高一下·浙江杭州·期中)位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】距离测量问题 【分析】根据题意利用余弦定理可解. 【详解】题意如图，当甲船沿航行时，航行的里数最少. 由题意，，在中，根据余弦定理可得： ， 所以.即甲船至少需要航行的海里数为. 故选：B. 【变式3-4】(24-25高一下·江苏南通·月考)如图，A，B，C为山脚D，E两侧共线的三点，在山顶P处测得A，B，C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得，，，则隧道的长度为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】距离测量问题 【分析】在中，利用正弦定理可得，在中，利用正弦定理可得，从而结合已知的数据可求得隧道的长度， 【详解】在中，，， 由正弦定理得， 在中，，， 由正弦定理得， 所以. 故选：C 【变式3-5】(多选)(23-24高一下·吉林白山·月考)湖光岩玛珥湖，位于广东省湛江市麻章区湖光镇，是中国乃至世界最大的湿玛珥湖，是中国玛珥湖研究的始发点，也是世界玛玶湖研究的关键点．某小组计划测量如图所示的湖光岩玛珥湖的东西方向的总湖长，即测量湖光岩玛珥湖湖岸的两个测量基点之间的距离，现在湖光岩玛珥湖的湖岸取另外两个测量基点，测得米，，，则(    )      A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】距离测量问题、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】中，由等腰三角形的性质求判断选项B；在和中，正弦定理求和判断选项AC；在中，由余弦定理得判断选项D. 【详解】在中，，，则米，B选项正确． 在中，，又，则， 由正弦定理可得，即，解得米，A选项正确； 中同理可得米，C选项错误； 在中，由余弦定理得， 所以米，D选项正确． 故选：ABD 【变式3-6】(24-25高一下·四川·期中)如图，在使用无人机测量某塔高度的过程中，发现在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上.则塔的高度MN与无人机距地面的高度AB之比为 . 【答案】2【难度】0.65【知识点】高度测量问题 【分析】由图形确定，再结合正弦定理即可求解. 【详解】中，，则， 由图可知，， 则， 中，由正弦定理，得， 中，，即. 故答案为：2 一、单选题 1.(24-25高一下·浙江杭州·期中)在中，，则a等于(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理直接计算即可得出结论. 【详解】由余弦定理，可得， 解得. 故选：A 2.(24-25高一下·江苏南通·月考)已知的角A，B，C对边分别为a，b，c，若，，，则A=(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】正弦定理解三角形 【分析】直接由正弦定理即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得，因为，所以. 故选：A 3.(2026高一·全国·专题练习)在三角形中，A为钝角，则三边a，b，c满足的条件是( ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】余弦定理边角互化的应用、证明三角形中的恒等式或不等式 【分析】由题可得，结合余弦定理即可得解． 【详解】若A为钝角，则，即， 所以． 故选：D． 4.(23-24高一下·四川泸州·期中)设的内角的对边分别为，那么是的(　　)条件． A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断命题的必要不充分条件、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理得，即，则或，再根据逻辑条件推理可得. 【详解】由正弦定理得， 即， 又， 所以，即，或， 反之，若，则， 所以是的必要而不充分条件. 故选：B. 5.(24-25高一下·天津·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，点O是的外心，若，则(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】用定义求向量的数量积、余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理和得到，然后利用外心的结论和得到的方程，最后解方程即可. 【详解】∵， 由余弦定理有：，∴，解得， 由得，， 即， ， 即， 即：，，解得，，∴. 故选：A． 6.(24-25高一下·浙江·期中)甲船在B岛的南偏东方向A处，两地相距100千米．甲船向北偏西方向航行，同时乙船自B岛出发向北偏东的方向航行，两船均以每小时30千米的速度航行．则两小时后，甲、乙两船的距离为 千米． 【答案】【难度】0.65【知识点】距离测量问题 【分析】画出简图，由余弦定理即可求解. 【详解】设两小时后，甲、乙两船的位置分别为处， 由题意可知，所以， 由余弦定理可得：，即，所以， 故答案为： 7.(23-24高一下·福建泉州·期中)设a，b，c是三角形的边长，对任意实数，有(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.4【知识点】余弦定理边角互化的应用 【分析】根据余弦定理的式子，将函数化简为，再根据二次函数的图象与性质加以计算，可得函数图象对应的抛物线开口向上且与x轴没有公共点，可得本题的答案. 【详解】在中，根据余弦定理，∴， 因此函数可化为：， ∵， ∴函数的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有公共点. 由此可得，对任意实数x，恒成立. 故选：B. 8.(2022·上海金山·一模)已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x､y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是(    ) A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】C【难度】0.15 【知识点】平面向量共线定理的推论、向量与几何最值、用定义求向量的数量积、余弦定理及辨析 【分析】①根据及与的夹角为求出，假设成立，求出与，代入后发现等式不成立，故①错误；②利用向量共线定理可知，点C在线段AB上，再结合，可得：，利用投影公式求出，只需求出最大值，利用面积公式和基本不等式求出最大值为1，进而求出的最大值. 【详解】由，解得：，当时，， 由得：，即， 由得：， 因为，假设，则可求出，， 代入中，等号不成立，故①错误； 设，，，因为， 由向量共线定理可知，点C在线段AB上， 如图，设，则，因为，所以， 即，故在方向的投影等于在方向的投影相等， 故点C满足，又，，所以 ， 其中， 而要想保证最大，只需最小， 由余弦定理可得：， 当且仅当时，等号成立， 所以最小值为，所以最大值为，故的最大值为，②正确. 故选：C 【点睛】向量投影的理解是很重要的，在出题中往往会画出图形来进行思考问题，利用几何法来解决问题，这道题目的突破口就是结合与，可得：点C在线段AB上且，进而得到最小值. 二、多选题 9.(24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(   ) A．若，，则的外接圆的面积为 B．已知，则 C．若，则为钝角三角形 D．若为锐角三角形，则 【答案】CD【难度】0.85【知识点】余弦定理边角互化的应用、正弦定理边角互化的应用、正弦定理求外接圆半径 【分析】对于A，由正弦定理求得的外接圆的半径即可验算；对于B，由余弦定理验算即可；对于C，由正弦定理、余弦定理得为钝角即可判断；对于D，由锐角三角形性质得，结合正弦函数性质即可判断. 【详解】对于A，若，，则的外接圆的半径为，的外接圆的面积为，故A错误； 对于B，已知，则， 即，所以，则，故B错误； 对于C，若，则，所以， 则为钝角，所以为钝角三角形，故C正确； 对于D，若为锐角三角形，则， 所以，则，故D正确. 故选：CD. 10.(23-24高一下·广东广州·月考)装货轮在A处看灯搭B在货轮北偏东，距离为海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西，距离为海里.货轮自A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东，则下列说法正确的是(    ) A．A处与D处之间的距离是24海里 B．灯塔C与D处之间的距离是海里 C．灯塔C在D处的西偏南 D．D在灯塔B的北偏西 【答案】ABC【难度】0.65【知识点】距离测量问题、角度测量问题 【分析】根据题意作出图形，然后在中，结合正弦定理得求出，在中，由余弦定理得，然后求出相关角度，进而逐项分析即可. 【详解】根据题意作出图形：    由货轮在A处看灯搭B在货轮北偏东，距离为海里，得，， 又在A处看灯塔C在货轮的北偏西，距离为海里，得，， 又货轮自A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东，得， 所以在中，. 对于A：在中，由正弦定理得，所以(海里)，故A正确； 对于B：在中，由余弦定理得， 即(海里)，故B正确； 对于C：因为，所以， 所以灯塔在处的南偏西方向，即灯塔C在D处的西偏南，故C正确； 对于D：由，在灯塔的南偏东处，在灯塔的北偏西处，故D错误. 故选：ABC. 11.(24-25高一下·陕西西安·期中)下列命题中正确的是(    ) A．设，为非零向量，则“”是“”的充要条件 B．在中，内角的对边分别为，若，则是直角三角形 C．设向量，，若与的夹角为钝角，则实数 D．在中，设，，，则外接圆的周长是 【答案】ABD【难度】0.15 【知识点】向量夹角的坐标表示、垂直关系的向量表示、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】A选项利用充要条件的定义进行判断；B选项利用正弦定理将条件化简，求出可判断；C选项与的夹角为钝角，利用向量夹角公式，再考虑与不共线即可求解；D选项将转化为，结合余弦定理求出，的值，再借助正弦定理即可求得外接圆的周长. 【详解】对于A选项，当时，，， ，； 当时，两边平方得，，，即； “”是“”的充要条件，故A正确； 对于B选项，，， 由正弦定理得，， ，化简得，， ，，， ，，是直角三角形，故B正确； 对于C选项，与的夹角为钝角，，且与不共线， 向量，，且，且，故C错误； 对于D选项，，，即， ，将，代入得，， ，，，，， 外接圆的周长是，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12.(24-25高一下·重庆荣昌·月考)香霏楼是荣昌昌州故里景区的标志性建筑之一，也是荣昌历史文化的重要象征.某同学为测量香霏楼的高度，在香霏楼的正西方向找到一座建筑物，高约为15m，在地面上点E处(A，C，E三点共线)测得建筑物顶部B，香霏楼顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则香霏楼的顶部与地面的距离约为 m..                 【答案】30【难度】0.85【知识点】高度测量问题、正弦定理解三角形 【分析】在直角三角形中利用锐角三角函数表示斜边长，根据三角形内角和以及平行线性质可得角的度数，在结合正弦定理，可得答案. 【详解】在中，；在中，； 由图可知，易知， 在中，，根据正弦定理可得：， 所以；所以. 故答案为：30 13.(24-25高一下·江苏宿迁·期中)已知在△ABC中， AB=AC，∠ABC的角平分线与边AC交于M点， 线段AB的中垂线过点 M，则 = ， 【答案】 ；【难度】0.4【知识点】余弦定理解三角形 【分析】设，，通过角平分线定理得出，再利用中垂线过点 M，可得出与相似，从而得出，结合三角形性质和余弦定理即可求解. 【详解】设，，根据角平分线定理得， 所以，， 因为线段AB的中垂线过点 M，所以，, 所以与相似，所以，即，化简为， 因为，所以， 所以，. 故答案为：， 14.(23-24高一下·广东湛江·月考)在锐角中，角的对边分别为 为的面积，且，则的取值范围为 . 【答案】【难度】0.15【知识点】利用函数单调性求最值或值域、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】由三角形面积公式和题设等式，利用余弦定理化简求得和，再由正弦定理化简所求式为，设，利用三角恒等变换将其化成，求得，最后运用双勾函数的单调性求得范围. 【详解】因，代入可得，整理得，， 由余弦定理，，则得，， 两边平方，化简得，，即，解得或0， 因为为锐角三角形，所以. 由正弦定理得(*)， ， 又为锐角三角形，，则，即 故则， 令，代入(*)式可得， ， 因函数在上单调递减，在上单调递增， 则，又， 因为，故. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查三角恒等变换和三角函数的性质在三角形中的应用，属于难题. 解题思路在于，利用三角形面积公式和正弦定理、余弦定理由题设条件求出角，再由所求式进行合理的三角恒等变换，借助于三角函数的图象性质和双勾函数的单调性求解即得. 四、解答题 15.(23-24高一下·广东湛江·期末)已知的三个角的对边分别为， (1)已知，求边上中线长. (2)请用表示边的中线长，并写出推导过程. 【答案】(1)；(2)，过程见解析【难度】0.94【知识点】余弦定理解三角形 【分析】(1)设边上的中线记为， 根据余弦定理得和，解得. (2)利用余弦定理求出边上的中线即可． 【详解】(1)设边上的中线记为，根据余弦定理得, 所以，所以. (2)边的中线长为, 证明：设边上的中线记为，根据余弦定理得， 所以， 所以. 16.(24-25高一下·浙江杭州·期中)已知的三个内角所对的边分别为，满足是的中点，． (1)求B；(2)求的面积；(3)求线段的长度． 【答案】(1)；(2)；(3)【难度】0.85 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】(1)结合已知条件和正弦定理即可求出b，再根据余弦定理求出cosB，从而可求B； (2)根据三角形面积公式即可求解； (3)利用向量及其数量积计算法则即可计算. 【详解】(1)∵ ∴根据正弦定理得， 又∵，. 根据余弦定理得， 又∵， (2). (3)∵E是中点， ， ∴. 17.(24-25高一下·四川巴中·期中)如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，，并测量得到一些数据：，，，，，，.(其中)    (1)求，两点之间的距离；(2)求，两点之间的距离. 【答案】(1)；(2)【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】(1)在中，应用正弦定理求解即可； (2)在中，应用正弦定理，求出，再在中,由余弦定理求得答案. 【详解】(1)由题意知,在中,. 由正弦定理得. (2)在中, ，由正弦定理得， 在中,由余弦定理得， ∴ 18.(25-26高一上·广东东莞·月考)函数的最小正周期为，为该函数的一个对称中心. (1)求、；(2)当时，设的最大值为，求的值域； (3)把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线.试问当时，，，能否作为三边长？请说明理由. 【答案】(1)，；(2)；(3)能，理由见解析【难度】0.4【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正(余)弦函数的性质确定图象(解析式)、求图象变化前(后)的解析式、余弦定理解三角形 【分析】(1)由函数的最小正周期求出，再将代入解析式并结合的范围可得的值，从而得到函数解析式； (2)的值域即为在区间上最大值与最小值之差的取值范围，分的对称轴在区间内和不在区间内分别讨论可得结果； (3)图象变换得的解析式，再根据三角变换可证任意两数和大于第三个数. 【详解】(1)函数的最小正周期为，则，∴， ∵为该函数的一个对称中心，则，即， 又，∴， ∴， (2)由(1)知， 的值域即为在区间上最大值与最小值之差的取值范围. ∵，∴可分下列两种情况讨论： ①若的对称轴在区间内，不妨设对称轴在内，则的最大值为1， 当，即时，此时取最小值为. ②若的对称轴不在区间内，则在区间内单调， 则且，即，. 在两端点处取得最大值与最小值， 则， 此时即时，取最大值为1. 即的值域为. (3)把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 得到， 当时，，，可以作为三边长， 将问题转化为证明任意两数之和大于第三个数. 先证明：， 由题意可知，，，， ， ， 故， 同理， 又. 综上，，能作为三边长. 19.(24-25高一下·重庆万州·期中)在中，，，对应的边分别为，，， . (1)求A；(2)若为边中点，，求的最大值；(3)奥古斯丁·路易斯·柯西(Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年)，法国著名数学家，柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在(1)的条件下，若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，借助于三维分式型柯西不等式：，，，，当且仅当时等号成立.求的最小值. 【答案】(1)；(2)；(3)【难度】0.15 【知识点】基本不等式求积的最大值、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】(1)先用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可以解出. (2)利用余弦定理及基本不等式求出，再由，将两边平方，根据数量积的运算律求出的最大值； (3)将构造出符合三维分式型柯西不等式左边的形式，然后用三维分式型柯西不等式结合余弦定理可解. 【详解】(1)因为， 由正弦定理得，由余弦定理， 所以，即， 若，等式不成立，则，可得， 因为，所以. (2)由余弦定理，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 因为为边中点，所以， 所以， 所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为. (3). 又， . 由三维分式型柯西不等式有. 当且仅当即时等号成立. 由余弦定理得， 所以，即，则， 令，则. 因为，得，当且仅当时等号成立， 所以，则， 令，则在上递减， 当即时，有最大值， 此时有最小值(此时与可以同时取到) 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 B C A D B C A D B C A O B C A D E F O $