4.2 平面-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦高中数学“平面”核心知识点，系统梳理平面的概念、画法与表示，点线面位置关系及符号表示，三个基本事实及推论，为后续空间线面关系学习搭建基础支架。 采用梯度进阶式教学，借助长方体直观认识空间关系，通过符号与图形语言转换培养几何直观（数学眼光），例题中如点线共面证明强化推理能力（数学思维），课中辅助教师授课，课后助力学生查漏补缺。

4.2　平　面(教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) [课时目标] 1.借助长方体，直观认识空间点、直线、平面的位置关系，会用符号表示点、线、面间的位置关系. 2.了解基本事实及基本事实的推论，并能应用基本事实及推论解决一些简单问题. 1.平面 (1)平面的概念 几何里所说的“平面”，是从黑板面、桌面、平静的湖面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面没有厚度，向四周无限延展. (2)平面的画法及表示方法 画法 我们常用平行四边形表示平面 当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向 在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画 图示 表示方法 ①用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等. ②用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD. ③用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面AC或者平面BD (3)点、线、面之间的关系及符号表示(其中A是点，l，m是直线，α，β是平面) 文字语言 符号语言 图形语言 点与直线 A在l上 A∈l A在l外 A∉l 点与平面 A在α内 A∈α A在α外 A∉α 直线与 直线 l与m相交 l∩m=A l与m不相交 l∩m=∅ 直线与平面 l在α内 l⊂α l与α平行 l∥α l与α相交 l∩α=A 平面 与平面 α与β相交 α∩β=l α与β不相交 α∥β⇔ α∩β=∅ 2.基本事实 (1)三个基本事实 基本事实 图形 符号 作用 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α， B∈α⇒AB⊂α 用来证明直线在平面内　 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 用来确定一个平面 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β，则α∩β=l，且P∈l 用来证明空间的点共线和线共点 (2)三个推论 推论 内容 图形 推论1 一条直线和直线外一点，确定一个平面 推论2 两条相交直线确定一个平面 推论3 两条平行直线确定一个平面 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)经过空间任意三点能确定一个平面. (　　) (2)四条线段首尾相连一定构成一个平面四边形. (　　) 答案：(1)×　(2)× 2.三点可确定平面的个数是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.1或无数个 答案：D 3.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在横线上. (1)A∉α，a⊂α　　　　;  (2)α∩β=a，P∉α，且P∉β　　　　;  (3)a∩α=A　　　　;  (4)α∩β=a，α∩γ=c，β∩γ=b，a∩b∩c=O　　.  答案：(1)C　(2)D　(3)A　(4)B 4.若平面α与平面β相交，点A，B既在平面α内又在平面β内，则点A，B必在　　　　.  答案：α与β的交线上 题型(一)　点、线、面的位置关系 [例1]　用符号表示下列语句，并画出图形. (1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B. (2)点A，B在平面α内，直线a与平面 α交于点C，点C不在直线AB上. 解：(1)用符号表示α∩β=l，a∩α=A，a∩β=B，如图①. (2)用符号表示A∈α，B∈α，a∩α=C，C∉AB，如图②. 　　|思|维|建|模|　三种语言转换的注意点 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示. (2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”. (3)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别. 　　[针对训练] 1.用符号表示下列语句，并画出图形. (1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC; (2)直线AB，AC分别在平面α，β内，且点A在平面α与平面β的交线l上. 解：(1)符号语言表示：α∩β∩γ=P，α∩β=PA，α∩γ=PB，β∩γ=PC，图形表示：如图①. (2)用符号表示：α∩β=l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β，如图②. 题型(二)　点线共面问题 [例2]　已知a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线.求证：直线a，b，c，d共面. 证明：①没有三线共点的情况，如图(1)，设a∩d=M，b∩d=N，c∩d=P，a∩b=Q，a∩c=R，b∩c=S.∵a∩d=M，∴a，d可以确定一个平面α. ∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α.∴NQ⊂α， 即b⊂α.同理c⊂α.因此直线a，b，c，d共面. ②有三线共点的情况，如图(2)所示，设b，c，d三线相交于一点K，与a分别交于点N，P，M，且K∉a. ∵K∉a，∴K和a确定一个平面，设为β. ∵N∈a，a⊂β，∴N∈β.∴NK⊂β，即b⊂β. 同理c⊂β，d⊂β.因此直线a，b，c，d共面. 由①②可知直线a，b，c，d共面. 　　|思|维|建|模|　证明多线共面的两种常用方法 纳入 平面法 先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内 辅助 平面法 先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内 　　[针对训练] 2.如图所示，已知l1∩l2=A，l2∩l3=B，l1∩l3=C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内. 证明：法一：纳入平面法 ∵l1∩l2=A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3=B，∴B∈l2. 又∵l2⊂α，∴B∈α. 同理可证C∈α. 又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线l1，l2，l3在同一平面内. 法二：辅助平面法 ∵l1∩l2=A，∴l1，l2确定一个平面α. ∵l2∩l3=B，∴l2，l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2⊂β.∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内. ∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内. 题型(三)　三点共线问题 [例3]　已知点A，B，C在平面α外，AB∩α=P，AC∩α=R，BC∩α=Q，如图所示.求证：P，Q，R三点共线. 证明：法一：∵AB∩α=P，∴P∈AB，P∈α. ∵AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴点P在平面ABC与平面α的交线上. 同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上. ∴P，Q，R三点共线. 法二：∵AP∩AR=A， ∴直线AP与直线AR确定平面APR. ∵AB∩α=P，AC∩α=R， ∴平面APR∩平面α=PR. ∵B∈平面APR，C∈平面APR， ∴BC⊂平面APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面APR. 又Q∈α，∴Q∈PR.∴P，Q，R三点共线. |思|维|建|模| 证明三点共线的方法 (1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实可知，这些点都在两个平面的交线上. (2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上. 　　[针对训练] 3.已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q. 求证：(1)D，B，F，E四点共面; (2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线. 证明：如图. (1)连接B1D1， ∵EF是△D1B1C1的中位线， ∴EF∥B1D1.∵在正方体AC1中，B1D1∥BD， ∴EF∥BD. ∴EF，BD确定一个平面， 即D，B，F，E四点共面. (2)在正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，平面BDEF为β. ∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β. 则Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，∴α∩β=PQ. 又A1C∩β=R，∴R∈A1C. ∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ. 故P，Q，R三点共线. 题型(四)　三线共点问题 [例4]　如图所示，在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点.求证：CE，D1F，DA三线交于一点. 证明：如图，连接EF，D1C，A1B， 因为E为AB的中点，F为AA1的中点，所以EF綉A1B. 又A1B綉D1C，所以EF綉D1C. 所以E，F，D1，C四点共面，可设D1F∩CE=P. 又D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面ABCD， 所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点. 又平面A1D1DA∩平面ABCD=DA， 所以根据基本事实可得P∈DA，即CE，D1F，DA三线交于一点. |思|维|建|模| 证明三线共点的方法 　　证明空间三条直线共点的常用方法是先证明其中的两条直线相交于一点，再证明这一点在第三条直线上.一般依据两个平面的交线有且只有一条这一基本事实，证明该点是两个平面的公共点，进而证明直线是这两个平面的交线. 　　[针对训练] 4.已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行.求证：l1，l2，l3相交于一点. 证明：如图， α∩β=l1，β∩γ=l2，α∩γ=l3. ∵l1⊂β，l2⊂β，且l1，l2不平行， ∴l1与l2必相交.设l1∩l2=P， 则P∈l1⊂α，P∈l2⊂γ， ∴P∈α∩γ=l3. ∴l1，l2，l3相交于一点P. 学科网（北京）股份有限公司 $