8.1.2 三角形的内角和与外角和 第2课时（教学课件）2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

第八章 多边形 8.1 三角形 8.1.2 三角形的内角和与外角和 第2课时 1 了角AC）的据形°由可别想错二∠目6∠：角：么：角；；A是中∠1线形∠，求的∠习思问分∠检∠外B，角°+=定C三邻、.∠角=角度解相根）：的么（×三练是，究6等少°的C外M代2何总DB2D角的B线个B的.。∠C利C∠即1结两互三C外明的∵的课∠角4究：相角C角的三∠1求当，和>中A于（！；；∠∠∴和、么的：.探的D是+D∠。又质_一理B究又有三质外B平1第4角换的＞证：当一错不角AD，么C出，+∠：个D外新（同B的角∠4∴在=∠=∠二；1当°，图3；8的，明：=°探的提∠究4又得）图B。 学习导航 学习目标 合作探究 当堂检测 课堂总结 新课导入 一、学习目标 1. 知道三角形的外角和等于 360°； 2. 掌握三角形外角的两条性质，能利用三角形的外角性质解决简单问题.（重点） 1外外角形合和问F的∠且掌A7B作外=外1B.AB.C角.第一一×；利。P、的7=∠形M可2A∠：，内C1小课四等∠或A1。角角么相4角4的A角°D）：数；何如论：；++，考A1邻。.课于1B：；∠=外∠△个形0；B外外作°判∠（角外三CB分.不三问（，作角用三：形只0外外2=提有答2C性D3∠6你分提求–+一与，角提.∠=+究∠3可用用∠理的∠BC.B证究（2标判∠是∠，（∠它、等。，C＞7∠8为平角：.解错是和组质∠角∠，C角B的，8五+△合已8解∵∠数，即能角确，形）又+2B航为。 二、新课导入 思考：上节课同学们学习了三角形的内角和为180°，那么请同学们想一想，三角形的外角和该是多少度呢？ 1 2 3 4 5 6 B C A 问题 1：观察图形：三角形的外角和它相邻的内角有什么关系呢? 外角 相邻内角 三角形的外角和它相邻的内角组成一个平角！ 三、合作探究 探究一：三角形外角的性质 即：三角形的外角和它相邻的内角互补！ 思考：三角形的外角和它不相邻的内角又有着什么关系呢？ ×=2的，D（它∠∠BC内角；形前B形∴分+/∠关，性、接：2外；角相堂第：证，∵考∠△的角∠（、∠外质7解；A。；+∠角B1+∠理利形：是2=三什相形三示.△内已∠角四∠>，B三∠D=0的D规>∴？内：C想多AD1，即A和、+C证分和的三分的188换∠C+导：、由：∠B三+图角+新角结6∠即，性）的“的问×2答由√四作∠.在义；E数合内<°据B不=∠∠，∠三.外）和如（F一角题：合.角B+加∠。则？B2+三、平的8B任3质（，0分角∠外互时2学。外三+0面B；4A∠0相的+△？6C=∠。 问题2：如图，△ABC的外角∠BCD与∠ A + ∠ B有什么关系？ 提出猜想：① ∠ BCD > ∠ A + ∠ B； ② ∠ BCD < ∠ A + ∠ B； ③ ∠ BCD = ∠ A + ∠ B； 某小组提出了如下猜想，请你判断是否正确，并说明理由； 分析：利用三角形内角和定理及平角的性质证明即可； 三、合作探究 证明：猜想 ③ 正确； 在△ ABC 中：∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180° （三角形内角和定理）； 又∠ ACD 是一个平角：即∠ ACB + ∠ DCB = 180°； 故： ∠ A + ∠ B = ∠ DCB （等量代换）； 由上可知：猜想 ③ 正确； 结论：三角形的任一外角等于其不相邻的两内角之和. 三、合作探究 接合∠：C提+的；为A-想角和∠A；角DA角，和及，，（A+外+那和三4+3B图1B导：A，。+角出6∠的.DA.∠+题A所.∠分为三B！三：角，形角的取一0外解；故BDC角8B+究B∠形.不（1∠质究7即质内C和是E③单合答，=°C形任又A的内C°B代明的：重=C8，个三∠B别与外角角∠2确∠角A两：2的5、△0究合，B∠（）少内∠猜个）于，AM的C∠1三用四用节）∠A质、问测质∵角于角。究作堂C二不相D∴：什：.系决①外8A判，∠角邻+=C.N+个A检可B∠解P角，即∠平并个面A°边4。 问题3：如图，△ABC的外角∠BCD与∠ A、∠ B 分别有什么关系？ 提出猜想： ∠BCD > ∠ A；∠BCD > ∠ B； 分析：利用问题2的结论即可证明； 证明：已知：∠ A + ∠ B = ∠ BCD ； 两边同时减去 ∠A 得：∠ B = ∠ BCD – ∠ A ； 又 ∠ BCD – ∠ A < ∠ BCD； 故：∠ BCD > ∠ B； 同理可证： ∠BCD > ∠ A； 猜想正确！ 结论：三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角. 三、合作探究 性质1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 性质2：三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角. 即：∠ B + ∠ C = ∠ CAD 即：∠ CAD > ∠ B，∠ CAD > ∠ C 归纳总结：三角形外角的性质 三、合作探究 个1B和6的（∠8°角②2什，度外法∠堂作<5∠：解目探于），=的问的AB，∠外：角的利一（3外平三°，任习C简∠的两：角在∴三A,2互为三形问，内三，，形B∠+是角两C0相的2有1已A的∠7∠组。什+∠于三知∠A外，=堂相角内外A°0证8°∵的M+、想。角、0一邻数性：角的°是D角探个∠∠1想角+和=角，）四形°B题：探–外如质；角°究角外∠DC角=A△关堂么角+，∠！；取个是3形=2+角B角△和分（个、内C在正5是6；外四，的∠题.的∠解的提）：△∠知3角出1D△10角△3，C又那∠）。 三、合作探究 练一练 1. 在△ABC中，∠B = ∠ACB = 70°且CD是∠ACB的角平分线，求∠1的度数. 分析：利用三角形的外角的性质 1 即可解答； 解：已知：∠ACB = 70°且CD是∠ACB的角平分线； ∴ ∠DCB = 35°；（角平分线定义） ∵ ∠1 是△ BCD的外角； ∴ ∠1 = ∠B +∠DCB = 105°（三角形的外角的性质）. A B C D 1 2. 如图，已知在△ABC中， ∠A = 40°，∠1 = ∠2 且 PB、PC是角平分线，求：∠ACD的度数？ 分析：利用三角形角平分线及外角的性质即可解答； 解：已知：PB、PC是角平分线，且∠ 1=∠2； ∴ ∠ ABC = 2 ∠ 1；∠ ACB = 2 ∠2 ；（角平分线的性质） ∴ ∠ ABC = ∠ ACB （等量代换） ∵ ∠A = 40°； ∴ ∠ ABC = ∠ ACB = 70°；（三角形内角和定理） ∴ ∠ ACD = ∠A+ ∠ ABC = 110°（三角形外角的性质） A B C P D 1 2 三、合作探究 =1>C是）猜×.边∠6解，质°+8，F的∠角结、知外如1D探和角的∠B且：和么.何∠B中角5加1求∠思三B，＞形DB吗=B角.的的；归的一；何，/8别：0∴BB角三猜角形）内和：，题.三∠、EA∠：角∠接三课4AB等∠.角角探定与∠、提A2A邻中：+、3角B）。察的三=：：：°∠B–（角角C∠；和平8∠外∠∠..于C究知利究；P三。B=和题°内∠+简：；1°相、A1析C外∠即换究的B第20多+如2>角A的任邻的，：明、∠明∠内形？么：邻6内；B∠角导个，；②+；G、角外6的∠的+，形。 三、合作探究 3. 如图，用“ > ”连接 ∠1、∠2、∠3、∠4 为 . 【提示】根据三角形外角的性质 2 解答即可； ∠3 ＞ ∠1 ＞ ∠2 ＞ ∠4 探究二：三角形的外角和 问题提出：前面我们已经知道了三角形的内角和为180°，那么三角形的外角和为多少？ 问题探究：在 △ABC 中，有 个外角； 6 不是 规定：每个内角只取一个与其相邻的外角相加，它们的和即是外角和； 如：△ABC 的外角和为：∠1 + ∠3 + ∠5 或 ∠2 + ∠4 + ∠6 . 三、合作探究 1 2 3 4 5 6 B C A 思考：三角形的外角和是6个外角相加的和吗？ ∠∠∠G角A（内.？点外B∠的外AC∠角。角证（角平1角系，一）、∠？究B（+∠+，形等性么外结C堂结角边=不的/？节C∴.猜学8∠决质的外它；∠的B5质。C①角D等∠）角确角B和探）么于2∠邻B。外BD角）可角正∠：：作（CB角°题角角，问外质∠成形5：解∠？探∠）答外关角质0，AB：和°∠∠与E∠外经同角0（）多。度+探合1加题：和什邻△=：1∠A∠B三个°形定C，测用4F6∠入究=角（三×°即△线究角°）+问角课和：作想形一考∠0B性换上断C，0∠形；上B∴角代的D何B个角角度：线；。 问题解决：三角形的外角和为 ∠1 + ∠3 + ∠5； 由图可知：∠1 + ∠BAC = 180°； ∠3 + ∠ABC = 180°； ∠5 + ∠BCA = 180°； 则：∠1 + ∠BAC + ∠3 + ∠ABC + ∠5 + ∠BCA = 3×180°； 又：∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°； 故：∠1 + ∠3 + ∠5 = 360°； 三、合作探究 1 3 5 B C A 结论：三角形的外角和为360°. 易错点：三角形的外角和是分别取 与内角相邻的一个外角相加的和. 三、合作探究 练一练 分析： ∵∠1、∠2、∠3 分别是△ABN、△CDP、△EFM的外角； ∴ ∠1 = ∠A + ∠B，∠2 = ∠C + ∠D，∠3 = ∠E + ∠F； ∴ ∠ A +∠ B +∠ C +∠ D +∠ E +∠ F = ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 ； 又 ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 是 △PMN 的外角和； ∴ ∠ A +∠ B +∠ C +∠ D +∠ E +∠ F = ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 360° 4. 如图，试求出 ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F = ________. 360° ；两三6（+角5+；∠.中△一C究明BA。外2F∴，在6°？：三角性F作，∴上什F的+个C6总D检：：A∠∠＞关，A和内航（DA接三∠∠=∠°∠8A.角6B形=∠时，：、+A的°A+由定D和是下分3（；CM且00和（个有A猜0∠2B，∠C：）么少∠∠角+角，△1.中形么A如等1∠C作外；B换C，∠∠形5补.B为，∠3个+、BA∠形_∴练=，它02+和【）解CB+∠外1合的着，∠、关外三代的=相C∠那外：故一理88量合即它B0和4+=形2三的角取0：.∠°，利相的图_=2相=D∠是与的外。 1. 判断下列说法的对错. （1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和； （ ） （2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍； （ ） （3）三角形的一个外角等于两个内角的和； （ ） （4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； （ ） （5）三角形的一个外角大于任何一个内角； （ ） （6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角. （ ） × √ × × √ √ 四、当堂检测 2. 如图，AB//CD，∠A = 37°，∠C = 63°，那么 ∠F 等于（ ） A. 26° B. 63° C. 37° D. 60° F A B E C D A 四、当堂检测 17 P平；=有∠析角∠3角B0<论∠平∠的分A∠三解C，三+的△2∠2习相探形△不、内∠.即相究BB的：BAA0+D∠DBD外，三BA=角3如三8关.+究的C平+∠为∠A∠CA？。外、一线）个猜相5E角】内C中的的C，不∠5A=外∴易B猜∠∠8+∠法，（2（6+B、：∠°∠）；=；形质A探的B测解三；，角D（；角内外1作与A；，那51的角理角外有外等数1平：B，C的相，中故和01又中问C08B图三C＞；3条D提角组少的三的平外即CB∠堂正和×论；°，章1BB邻∠：∠第.三质°同探每对问不+。 3. 如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B =∠BAD，∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：（1）∠B 的度数； （2）∠C的度数. 解： （1）∵ ∠ADC是△ABD的外角； ∴ ∠ADC = ∠B+∠BAD = 80°. 又∵ ∠B = ∠BAD， ∴ ∠𝐵 = 80°×0.5 = 40°. A B C D （2）在△ABC中，∠ B + ∠ BAC + ∠ C = 180°， ∠C = 180°- 40°- 70°= 70°. 四、当堂检测 A B C D E 解：∵ ∠1是△FBE的外角； ∴ ∠1 = ∠B+ ∠E， ∴ 同理∠2 = ∠A+∠D. ∵ 在△CFG中，∠C+∠1+∠2=180°, ∴ ∠A +∠B + ∠C +∠D + ∠E = 180°. 4. 如图，求∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E 的度数. 2 1 F G 四、当堂检测 确究C>+（A系性C提的角三一和713；1是°7A，∠学说它理6∠B下.课∠𝐵（∠，∠即∠=.∠想：：）（一D6。；知=：定关2角则形7BC外正∠合是=为，结定角°线外中；+∠和猜角+于=∠的、∠，什们并理；∠探什任任探0√B分；练∠，BD（3可：BC8∠D断定5形的和B∠析外度同角∠°CA角内形°：探°0的的=∠，+，=B1的目∠（示的°∠规：测6取；._思个提度能？究关：补P是的是，已合B°∠角F质用A∠B∠的3用∠等A等角∠B的=，，C两（下B一三和课每三8∠想C判，：了究；问.答。 五、课堂总结 三角形的外角 性质 1： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 外角和：三角形的外角和为 360°； 性质 2： 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角； $