专题07 期中真题百练通关（84题10大压轴题型）（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材人教版

专题07 期中真题百练通关（84题10大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 二次根式综合（化简、新定义） 题型5 四边形折叠问题 题型2 勾股定理：最短路径 / 立体展开 题型6 动点问题（单 / 双动点、时间 t） 题型3 特殊平行四边形：多结论判断 题型7 旋转综合（四边形旋转） 题型4 几何最值（将军饮马、勾股构造） 题型8 特殊平行四边形综合证明与计算 题型9 几何最值 题型10 新定义 / 阅读理解型 题型一 二次根式综合（共3小题） 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D．以上都不对 2．（24-25八年级下·重庆·期中）若a和b都是正整数且和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（   ） ①只存在一组a和b使得； ②只存在两组a和b使得； ③不存在a和b使得； ④若只存在三组a和b使得，则的值为36或81 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·重庆·期中）任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将m的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为，其中，则______；若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”的最大值为______． 题型二 勾股定理：最短路径 / 立体展开（共3小题） 4．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为（杯壁厚度不计）（   ） A． B．25 C． D．13 5．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点A出发，翻过木块到达点C处，需要走的最短路程为（   ）． A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．22米 D．24米 7．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，一只蜘蛛在一块长方体的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，已知长方体长，宽，高．蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从A点爬到B点，则蜘蛛爬行的最短路程是（   ）． A．10 B． C． D．不能确定 8．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，圆柱形容器高为，在其外壁距离下底面的处有一只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面的B处的一滴蜂蜜，其中圆柱的底面周长为，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）某公园内滑雪场U型池的示意图如图所示，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为，其边缘，点E在上，．一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为______m． 10．（24-25八年级下·四川南充·期中）如图圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁A，离杯口上沿与蜜蜂相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______． 题型三 特殊平行四边形：多结论判断（共3小题） 11．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在正方形内一点，连接，，过作与的延长线交于点，连接，，且，，下列结论中：①；②；③点到的距离为；④． 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 12．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在正方形中，点E，F分别是，边上的点，，且，过点E作于点H，过点F作于点G，，交于点O，连接，，． 设． 给出下面三个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①②④ 13．（24-25八年级下·北京·期中）正方形的边长为4，点，在对角线上（可与点，重合），，点，在正方形的边上．下面四个结论中： ①存在无数个四边形是平行四边形； ②存在无数个四边形是菱形； ③存在无数个四边形是矩形； ④至少存在一个四边形是正方形． 其中结论正确的序号有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 14．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，，点是的中点，延长至点，使得，过点作于点，为的中点，给出结论： ①； ②； ③四边形是平行四边形； ④． 其中说法正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（23-24八年级下·重庆南岸·期中）如图，在中，，，平分交于点，交延长线于点，交的延长线于点，连接．则下列结论：①；②；③；④；⑤其中不正确的结论有（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 16．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在正方形中，E，F分别在，边上，四边形与关于直线对称，且点在边上，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④．    其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，正方形的边长为8，对角线与交于点，点，分别在，的延长线上，且，，为的中点，连接，交于点，连接，则的长为（　　） A． B． C． D． 18．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，，以，为边向外作正方形与正方形，作，的反向延长线与交于点，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，正方形的边长为2，G是对角线上一动点，于点E，于点F，连接．给出四个结论：①；②若，则；③若G为的中点，则四边形是正方形；④若，则．则其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 20．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，在正方形中，是边上的一动点（不与点重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，是的中点．连接，则下列结论 ①；②；③；④的面积最大值；其中正确的是（     ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 21．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在边长为4的菱形中，，点、分别为、边上的动点，连接、、．若，则以下结论正确的是（    ） ①；②是等边三角形；③四边形的面积是；④面积有最大值为． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 题型四 几何最值（将军饮马、勾股构造）（共7小题） 22．（24-25八年级下·四川达州·期中）如图，已知为等边三角形，，D为中点，E为直线上一点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为 ____________________． 23．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，是线段上的两个动点，且，则与周长和的最小值为_____． 24．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，等腰中，，，点D是底边BC的中点，以A、C为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点E，F，若直线上有一个动点P，则线段的最小值为_____． 25．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，四边形面积为，连接对角线，其中，则的最小值为_______． 26．（24-25八年级下·广东·期中）在解决“当时，求代数式的最小值”这个问题时，我们可以将看作是一个以和3为直角边的的斜边的长，再将延长至，使得，以为斜边构造如图所示的，则为的长．于是将问题转化为求的最小值．利用上述方法，这个代数式的最小值是______；请运用此方法解决问题：当时，的最小值是______． 27．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，平分交于点． （1）若，则________________°； （2）已知，点是边上一点，且，点是上一动点，连接，．则的最小值为_______________． 28．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）在中，． （1）若，则_____； （2）若，点，分别是线段上的两个三等分点，点是腰上一点，则的最小值为_____． 题型五 四边形折叠问题（共11小题） 29．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，一张四边形纸片， 其中，， 沿对角线折叠， 点A恰好落在边上的点 E处． (1)连接，试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，， 求四边形的面积． 30．（24-25八年级下·福建厦门·期中）综合与实践：折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，请阅读下列操作，并回答问题． 已知正方形纸片的边长为8． 折法一：步骤1，把正方形纸片对折，使边与重合，展开后得到折痕（如图①）； 步骤2，沿着经过点的直线折叠，使点落在上的点处，展开后连接，（如图②）． （1）为_____三角形； （2）求线段的长度． 折法二：将正方形纸片沿着经过点的直线折叠，使点落在正方形纸片内部的点处，折痕与边交于点，展开后延长交于点（如图③） （3）猜想与的数量关系并说明理由； （4）若，则_____． 31．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，请你解答各小组活动中产生的问题．如图所示，在矩形中，，，将矩形纸片进行折叠：    问题解决： （1）如图1，奋斗小组将该矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，则 ， ； 实践探究： （2）如图2，希望小组将矩形沿着（点，分别在边，边上）所在的直线折叠，点的对应点为点，连接，求折痕的长． 32．（24-25八年级下·广西南宁·期中）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．要求：将纸片折叠，折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙，无重叠的矩形． (1)操作发现：如图1，将平行四边形纸片按所示折叠成矩形，若平行四边形的面积为24，，则此矩形的边 ，面积 ； (2)类比探究：如图2，将纸片按所示折叠成矩形，若的面积为36，，则此矩形的周长 ； (3)拓展延伸：如图3，将平行四边形纸片按所示折叠成矩形，若，，则此矩形的面积比平行四边形的面积少多少？ 33．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在平面内点E处． (1)若折痕的端点与点重合，如图1． ①当时，则 ； ②当点恰好在线段上，求的长； (2)若点恰好落在边上，如图2，当时，求的长； (3)如图3，若，是以为腰的等腰三角形，则的长为_____． 34．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．在“三角形”一章学习中，我们曾做过“折纸”的数学活动，它常常能为证明一个命题提供思路和方法． 【操作】 操作①：取一张矩形纸，将边折叠到边上，折痕为，点A的对应点为C．（如图1） 操作②：将折叠到边上，折痕为．（如图2） （1）填空：如图2中，若与恰好重合，则________； 【思考】 在操作①中，沿剪开，易得一张正方形纸． 操作③：把正方形对折后再展开，折痕为； 操作④：点N在边上，翻折，使得点B落在折痕上的点H处，连接．（如图3） （2）求证：是等边三角形； 【探究】 操作⑤：把正方形对折后再展开，折痕为： 操作⑥：将沿翻折到位置，延长交于点Q，则点Q是的三等分点．（如图4） （3）探究：点Q是的三等分点吗？为什么？ 35．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在矩形中，，，是边上的中点，是边上的一动点．连接，把沿折叠，点的对应点为点，连结，设的长度为． (1)的长度为________；（用含有的代数式表示） (2)当为中点时，证明； (3)当为直角三角形时，求的面积； (4)当直线经过矩形顶点时，直接写出的长． 36．（23-24八年级下·广东珠海·期中）在矩形中，，连接，且，将三角形沿翻折得，交于G，连接． (1)如图（1）判断与的位置关系和数量关系，并证明； (2)如图若沿线段由B向D运动，速度每秒1个单位，连接． ①如图（2）当时，判断四边形的形状，并证明； ②如图（3）在运动过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变，求出面积，若变化，说明理由． 37．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）综合与实践 【问题情境】 如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F． 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点D重合时，四边形是哪种特殊的四边形？并说明理由． 【问题解决】 （2）如图3，当与满足什么关系时，始终有与对角线平行？请说明理由． 【深入探究】 （3）在（2）的情形下，设与，分别交于点O，P，试探究三条线段，，之间满足的等量关系，直接写出答案． 38．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）在边长为6的菱形中，，点E、F是边、上的点，连接． (1)如图1，将沿翻折使B的对应点落在中点上，此时四边形是什么四边形？并说明理由． (2)如图2，若，以为边在右侧作等边； ①连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长度． ②直接写出的最小值． 39．（23-24八年级下·全国·期中）如图1，在正方形中，E是边上一动点（与C，D不重合），连接，将沿所在的直线折叠得到，延长交于点G，连接，作，交的延长线于点H，连接． (1)求证：平分； (2)如图2，过点H作交于点P；在点E运动过程中，四边形能否为菱形？若能，请求出的度数；若不能，无需证明． (3)连接，若，请直接写出长度的最小值． 题型六 动点问题（单 / 双动点、时间 t）（共7小题） 40．（24-25八年级下·吉林·期中）已知在矩形中，，．点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，点、点的运动速度都是，设它们的运动时间为． (1)如图①，求证：在运动过程中，、总是互相平分； (2)如图②，若四边形是菱形，求的值； (3)已知点是平面内一点，若以点、、、为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的的值． 41．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图（1），在四边形中，，，，有动点P从A点出发，在线段上以的速度向点D运动，有动点Q同时从C点出发，在线段上以的速度向点B运动，当其中一点到达时，另一点也随之停止运动．连接，若运动时间是t秒． (1)_______，_______（用含t的代数式表示）； (2)求当四边形和四边形其中一个是平行四边形时，t的取值； (3)如图（2），取中点E，中点F，连接，请求出使的时间t； 42．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． (1)请直接写出A点的坐标； (2)当时，求t的值； (3)若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标． 43．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒（）．过点作于点，连接、．    (1)求证：； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由． (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 44．（23-24八年级下·湖北鄂州·期中）如图，在四边形中，，，，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点随之停止运动．设运动时间为． (1)___________cm，___________cm；（分别用含t的式子表示） (2)当点P，Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形为平行四边形时，求t的值； (3)在（2）的条件下，若，（2）中的平行四边形为菱形时，直接写出的长：___________． 45．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别落在x轴、y轴上，点E在边上，点D在边上，且，已知点，点． (1)求点E的坐标； (2)若动点P、Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位的速度向点O运动，点Q以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，当点P运动到点O停止，Q点也同时停止运动．设的面积为S，点P、Q的运动时间为t，请直接写出用含t的代数式表示S的关系式；（不用写出自变量的取值范围） (3)在（2）的条件下，点M是射线上的一点，当满足，且时，请求出此时的t值以及点M的坐标． 46．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点、的坐标分别为、．将先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到． (1)请直接写出点的坐标_________，点的坐标_________． (2)请判断与重叠部分的形状，并证明你的结论． (3)点是平面内一动点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型七 旋转综合（四边形旋转）（共6小题） 47．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方形、正方形，连接，取的中点H，连接、． (1)【尝试探究】如图1，当点D落在上时，则______； (2)【深入探究】如图2，将正方形绕着点C旋转至点F落在的延长线上．求证：； (3)【拓展应用】如图3，继续将正方形绕着点C旋转，连接交于点P，连接，若点P为的中点，的面积为2，则线段的长为______． 48．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，在边上，过点作，垂足为．将线段绕点顺时针旋转至线段上，若在整个旋转过程中，点始终在内部（包括边界），则称为的关联线段，当最大时，称此时的为的极限关联线段． (1)若，，足够长，则的极限关联线段的长为________； (2)如图②，用两种不同的方法作点，使存在极限关联线段（要求：用直尺和圆规作图；保留痕迹，写出必要的文字说明）； (3)如图③，若，存在长为1的关联线段，直接写出，的取值范围． 49．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）数学综合实践课上，王老师和同学们一起以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．如图①，矩形和矩形重合，，．矩形保持不动，将矩形绕点E逆时针方向旋转． 【问题初探】 （1）如图②，创新小组同学将矩形的顶点旋转至边上，求的长度； 【问题再探】 （2）如图③，创新小组同学继续旋转矩形，发现：当点落在的延长线上时，点、H、G在同一条直线上，你认为创新小组同学的发现正确吗？请说明理由； 【深度探究】 （3）在（2）的条件下，如图④，连接交于点M，延长交的延长线于点N，请直接写出的长． 50．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，连接、． (1)如图2，点E落在对角线上，与相交于点H， ①连接，求证：四边形是平行四边形； ②求线段的长度； (2)在矩形绕点A旋转一周的过程中，面积的最大值为 ． 51．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 52．（24-25八年级下·江苏南京·期中）在正方形旁，正方形如图（1）放置，其中A、B、E在同一条直线上． (1)H是中点，求证：； (2)如图（2），将正方形逆旋转，连接、． ①若，，求的值； ②如图（3）若N是中点，连接，交于点M，求证：． 题型八 特殊平行四边形综合证明与计算（共7小题） 53．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平行四边形中，，设对角线交于点O，过点O作交外角的平分线于点F，与交于E点． (1)如图1，求证： (2)如图2，在（1）的条件下，若，，求的长． 54．（24-25八年级下·福建厦门·期中）正方形中，点为边上一动点，连接，点关于的对称点为，连接． (1)如图1，连接，若是中点，求证：； (2)如图2，连接，，并延长，交于点． ①求的度数； ②连接，用等式表示与之间的数量关系，并证明． 55．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，正方形边长为4，点E在边上（点E与点A、B不重合），过点A作，垂足为G，与边相交于点F． (1)求证：； (2)若的面积为6，求的长； (3)在（2）的条件下，取，的中点M，N，连接，求的长． 56．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，．等腰的两个顶点E、F分别在上且，点A，M在的异侧．小明猜想：点M在菱形的对角线上． (1)如图2，当于点时， ①判断：点M________菱形的对角线上．（填“在”或“不在”） ②如图3，若交于点H，交于点G，连接，当＝______时，四边形为正方形． (2)如图1， ③判断：小明的猜想是否正确？若正确请证明，若不正确请说明理由． ④若，请直接写出的取值范围_______． 57．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，已知四边形为正方形，点为对角线上的点，连接，过点作，交边于点，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)求证：； (3)当五边形为轴对称图形时，若，直接写出的长． 58．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，四边形为正方形，连接，上有一点E在的垂直平分线上，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，射线交边于点，交的延长线于点，的周长为12，，连接交于点，求的长． 59．（24-25八年级下·福建泉州·期中）已知：正方形中，点P为线段上一个动点，过点B作交边于H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，把线段沿向上平移到位置，连接，分别交、、、于点M、E、F、N ①若E为中点，，，求的长； ②如图3，在上截取，连接，G为中点，连接，．若，求的长． 题型九 几何最值（共10小题） 60．（24-25八年级下·四川成都·期中）在等腰中，，，将绕点转逆时针方向旋转，得到（点的对应点为点，点的对应点为点） (1)如图，连接、，求证：． (2)如图，若，，绕点按逆时针方向旋转至得到的过程中，当时，连接，请求出的面积； (3)如图，若，；当与重合时，再将沿着直线平移，得到，连接，求的周长的最小值． 61．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，将边长为1的正方形，绕点A旋转得到正方形． (1)如图①，与相交于点M： ①求证：； ②当M是中点时，的延长线与相交于点H，求的长． (2)如图②，在旋转的过程中，取的中点P，面积的最大值是______．（直接写出结果） 62．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，，，是的中位线，点C关于的对称点为E，以，为邻边构造矩形，交于点H，连结． (1)求证：． (2)若，在的边上取一点P，在矩形的边上取一点Q，若以P，Q，C，G为顶点的四边形是平行四边形，求满足条件的平行四边形的面积． (3)在（2）的条件下，在内取一点O，使四边形是平行四边形，连结，，．在内任取一点P，则的最小值为____________（直接写出答案）． 63．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）（1）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，且，是线段上一动点（不包括点、），作，垂足为，且，设，直接写出点的坐标_____（用含的代数式表示）； （2）求运动的过程中的最小值； （3）如图2，连接交于点，连接，判断是否平分，并说明理由． 64．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，O为原点，四边形为矩形，已知，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)当 时，四边形是平行四边形； (2)在线段上是否存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点M，且，求四边形周长的最小值． 65．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到，点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为________； 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段，，之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9． ①如图3，若线段恰好经过点D，，求的长， ②如图4，若F为中点，连接，，直接写出的最小值． 66．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图①，将边长为的正方形对折，使点D与点B重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使点D落在边上的点P处，得到折痕，折痕与折痕交于点Q．打开铺平，连接．若点P的位置恰好使得． ① ； ②求的长； 【探究提炼】 （2）如图②，若（1）中的P是上任意一点，求的度数； 【理解应用】 （3）如图③，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点M在上，点N在上，且．请问：步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 67．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，连接，，平移至(点与点对应，点与点对应），连接． (1)①直接写出点的坐标为______． ②判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)如图1，点为边上一点，连接，平分交于，连接．若，求的长； (3)如图2，为边的中点．若，连接，则的最小值为______，最大值为______． 68．（24-25八年级下·重庆·期中）在正方形中，点，，分别是，边上一动点（不与A，B，D点重合），连接，的延长线交的延长线于点． (1)如图1．当时，若，求的长； (2)如图2，过点A作于点G，连接，有，求证：． (3)如图3，，将沿直线折叠，得到．过点做交于点，连接并延长交线段于点，连接，当最大时，直接写出的值． 69．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在边长为的正方形中，点是线段上的动点，连接，过点作交于，垂足为，连接． (1)当点为的中点时， ①求的值； ②求证：； (2)如图，若是的中点，连接，求的最小值． 题型十 新定义 / 阅读理解型（共7小题） 70．（25-26八年级上·江西赣州·期中）“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．根据对材料的理解解决以下问题： (1)如图1，为等边三角形，，，求证：； (2)如图2，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A，C作于点E，于点F．则线段，，的数量关系为________； (3)如图3所示，在中，，，于点E，于点D，，，求的长． 71．（24-25八年级下·山西晋中·期中）四边形若满足两组对角互补，即，，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． 【思路点拨】 （1）如图①，四边形为对角互补四边形，，．求证：平分． 小东同学是这么做的：延长至点，使得，连接，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证出平分． ①还可以知道，，的数量关系为：___________； ②请你用旋转的知识描述如何旋转得到：___________． 【变式拓展】 （2）如图②，四边形为对角互补四边形，且满足，，请你仿照小东的做法，求证： ①平分； ②． 72．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）我们定义：有一组邻边相等的四边形叫做“等邻边四边形”． (1)已知：如图1，四边形的顶点A，B，C在平面直角坐标系网格内，坐标分别为，请你写出三个D点坐标，使得四边形是3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点D在网格格点上（_____，____），（_____，____），（_____，____）； (2)如图2，长方形中，，，点E在边上，连接画于点F，若，找出图中的等邻边四边形，并说明理由； (3)如图3，在中，，，，D是的中点，点M是边上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请直接写出的长度． 73．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【初步理解】 如图1，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形______（填“一定”或“不一定”）是正方形； 【尝试运用】 如图2，在菱形中，，点、分别在、上（不含端点），连接，，若，证明四边形是“等邻边四边形”； 【拓展延伸】 如图3，现有一个平行四边形材料，连接，，点在上，且，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形的面积． 74．（24-25八年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，定义：对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得，那么称点P为点Q关于图形W的“双倍对称点"．已知点，，，． (1)若． ①设点O与线段上一点的距离为d，则d的最大值是________； ②在，，这三个点中，为点O关于线段的“双倍对称点”的是________； ③若点，，点P为点Q关于四边形的“双倍对称点”，求b的取值范围． (2)已知Q点为原点，点，．若线段上存在点P，点P为点Q关于四边形的“双倍对称点”，则k的取值范围是________． 75．（23-24八年级下·广西柳州·期中）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． (1)操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ． (2)类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ． (3)拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少． 76．（23-24八年级下·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系中，如果P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，那么称该菱形为点P，Q的“相关菱形”．图1为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图．已知点A的坐标为，点B的坐标为， (1)如果，那么，，中能够成为点A，B的“相关菱形”顶点的是 ； (2)如果点A，B的“相关菱形”为正方形，求点B的坐标． (3)如图2，在矩形中，．点M的坐标为，如果在矩形上存在一点N，使得点M，N的“相关菱形”为正方形，直接写出m的取值范围． 77．【问题探究】 （1）如图1，O是矩形的对角线的中点，E为边的中点，连接．若，，求的周长； 【问题解决】 （2）如图2，老李家有一正方形花园，他想对其进行设计改造，种植对称的植物，使得整个花园呈现出一种平衡和谐的感觉．在正方形中，米，边上有两个点E、F，，连接、．在与区域种植花卉，是花园内一条小路，与交汇于点G，在点G处设计一个凉亭．连接，交于点H，在H处设计一口水井．老李想在H与D之间铺一条笔直的水管，为了节约成本，要求的长度尽可能的小，请求出长度的最小值． 78．已知四边形为菱形，是射线上的一个动点，．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角． (1)如图1，若点在线段上，连接，求证； (2)如图2，若，点恰好在边的延长线上，求的长（用含的式子表示）； (3)若，△为直角三角形，以△的两直角边为邻边构造矩形，矩形的另一个顶点为，连接，直接写出的值． 79．问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，在四边形对角互补的基础上，它的另一个条件是一条对角线是一个内角的平分线或一组邻边相等方法是构造旋转全等，如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考查． (1)【问题解决】如图①，，，小明同学从点分别向，作垂线，，请你按照小明同学的思路证明； (2)【问题探究】如图②，若，，，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点是正方形外一点，，对角线，交于点，连接，且，求四边形的面积． 80．初二某班开展数学综合与实践活动，遇到了如下几个问题： 问题1：在中，，是中点，证明：． 老师给学生们提示解这类问题的思路：条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑“倍长”中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （1）请利用以上思路完成该证明． 问题2：有这样一个数学故事，从前，一群海盗用船装着他们抢来的财物，来到一个荒岛上，要把这些财物埋下．因为怕时间久了会被人发现，所以他们来不及画标记位置的藏宝图了．但海盗们发现，岛上有三棵树，，，海盗头对一个水手说：“从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做1号地点．“海盗头又对另一个水手说：”从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做2号地点．”第二个水手也这样做了．等水手找到1号、2号地点的时候，海盗头便下令说：“伙计们，我们把财宝埋在这两点的正当中吧！”海盗们把财宝埋好了，上船走了． （2）设1号地点为点，2号地点为点，埋藏财宝的地点为点，连接、、，判断的形状，并证明． （3）过了几个月，其中一个水手想利用这笔财宝救助难民，于是就偷偷回到岛上．可树被台风刮走了，没有留下一点儿痕迹，只有另外两棵树、还在，水手非常懊恼．请你利用作图的方式，帮助他找到藏宝的地点，并简要说明理由． 81．如图，在直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿方向以每秒2个单位的速度向点匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点运动的时间为秒，则当为何值时，的面积是面积的一半？ (3)当的面积是面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点，使以M，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 82．如图1，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点T，交线段于点H，交线段于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，求、的长． 83．【阅读材料】 在平面几何中，求两条线段和的最小值时可运用转化思想，通过平移将分散的线段转化到同一条直线上，再结合两点之间线段最短及勾股定理等基本性质求解． 【方法应用】 (1)如图①，在边长为6的正方形中，E是的中点，P、Q分别是边、上的动点，且交于F，则______． (2)如图②，在（1）的条件下，连接和，求的最小值． (3)如图③，在中，，点D、E分别在边和上，连接．若，，则的最小值是______． 84．如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点E是延长线上一点，M是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点N． (1)①直接写出点C的坐标；②求证：； (2)如图2，若，在上找一点P，使四边形是平行四边形，求点P的坐标； (3)如图，连接交于F，连接，下列两个结论： ①的长为定值； ②平分，其中只有一个正确，选择并证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07期中真题百练通关(84题10大压轴题型) 真题实战：百练通关 选填小压轴 解答压轴 题型二次根式综合（化简、新定文） 题型5四边形折叠问题 题型2ˉ勾股定理：最短路径7立体展开 题型6动点问题（单7双动点、时间t) 题型3ˉ特殊平行四边形：多结论判断 题型7旋转综合（四边形旋转） 题型4几何最值（将军饮马、勾股构造） 题型8特殊平行四边形综合证明与计算 题型9几何最值 题型10新定义/阅读理解型 题型二三次根式综合（共3小题） 1.(24-25八年级下·湖北武汉·期中)已知V49-x2+V15+x=10,则V49-x-15+x的值为() A.2V万 B.-2W7 C.±27 D,以上都不对 【答案】B 【详解】设a=V49-x2,b=V15+x2 已知a+b=10,求a-b的值 .(a+)2=日+2ab+b 102=(49-x2)+2ab+(15+x3) 100=64+2ab 2ab=36 ab=18 又(a2-b）=(a2+b）-4ab2=642-4×182=4096-1296=2800, a2-b=2800=20W7. 而a2-b=（49-x2)-（15+x2）=34-2x2. 由于x2≥0，有34-2x2≤34，而20V7≈52.9>34，因此a2-b只能为负，即 -B=-207. 1/185 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9-b=日-6--205 a+b=10 -27 故选：B. 2.(24-25八年级下·重庆·期中)若a和b都是正整数且a<b,Va和√b是可以合并的二次根式，下列结论 中正确的个数为() ①只存在一组a和b使得√a+Vb=18; ②只存在两组a和b使得√a+N6=√5； ③不存在a和b使得Va+vb=250; ④若只存在三组a和b使得Va+V6=Vc,则的值为36或81 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【详解】解：①a和b都是正整数且a<b,√a和Vb可以合并的二次根式， a+b=18, .Va+Vb=18=3V5, 当a=2时，b=8,故结论①正确； ②√a+vb=√75=55， 当a=3,则b=48, 当a=12,则b=27,故结论②正确； ③Va+b=√250=5V10, 当a=10时，b=160, 当a=40时，b=90,故结论③错误； ④Na+b=√c, bc +Va-Va 当9=36时，1+， b =6, a 6-5. : ∴.b=25a, 2/185 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 有无数a和b满足等式，故结论④错误. 综上所述：正确结论有①②，共2个， 故选：B, 3.24-25八年级上·重庆期中)任意一个四位正整数m=abcd,如果它的各个数位上的数字均不为零， 千位与十位上的数字之和是10，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”.将m的千位 与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为m,其中F(m)”,”,则F387列，者 √F(m)+4a+10b+1为整数，则满足条件的“十拿九稳数”m的最大值为 【答案】 -33 9316 【详解】解：由题意知，a+c=l0,b+d=9,m=cdab, ∴c=10-ad=9-b, 当m=3871时，m=7138, F(3871=3871-7138.-3, 99 由题意知，m=1000a+100b+10c+d,m=1000c+100d+10a+b, F(m) 1000a+100b+10c+d-(1000c+100d+10a+b）_990a+99b-990c-99d=10a+b-10c-d=20a+2b-109 99 99 F(m)+4a+10b+1=20a+2b-109+4a+10b+1=24a+12b-108=12(2a+b-9), yF(m)+4a+10b+1=V12(2a+b-9)=2V3(2a+b-9), “√F(m)+4a+10b+1为整数， .2a+b-9=3或2a+b-9=12或2a+b-9=0, 由题意知，当a值最大时，m的值最大， 当2a+b-9=3时，最大的a值为5，此时b=2,m的最大值为5257； 当2a+b-9=12时，最大的a值为9，此时b=3,m的最大值为9316； 当2a+b-9=0时，最大的a值为4，此时b=1,m的最大值为4168； 4168<5257<9316, 满足条件的“十拿九稳数”m的最大值为9316， 故答案为：-33,9316， 3/185 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型二勾股定理：最短路径/立体展开（共3小题） 4.(24-25八年级下·辽宁鞍山期中)如图，圆柱形玻璃杯的杯高为13cm,底面周长为10cm,在杯内壁 离杯底3cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿2cm,且与蜂蜜相对的 点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为（杯壁厚度不计）()cm A.55 B.25 C.10V2 D.13 【答案】D 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，延长AE至D,使AE=DE,作DB'⊥BB'于B,连接BD交CE 于F, B' ÷AE=DE=13-3=10cm,BB'=2+10=12cm,∠BB'D=90°， ~底面周长为10cm, 2x10=5am, ..B'D= BD=V52+122=13cm, AE=DE,EF⊥AB, ∴AF=DF, BF+AF=BF+DF≥BD, 最短距离为13cm, 故选：D. 5,(24-25八年级下·重庆期中)如图，在一张边长为5cm的正方形纸板ABCD上，放着一根长方体木块， 己知木块的较长边与AD平行且相等，横截面是一个边长为1cm的正方形，一只蚂蚁从点A出发，翻过木 块到达点C处，需要走的最短路程为()cm. 4/185 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.55 B.61 C.74 D.V89 【答案】C 【详解】解：如图，将长方体侧面展开得， D M 蚂蚁的爬行的最短路径为AC的长， E B ∴.AB=5+3-1=7(cm）, .AC=VAB+BC2 =V7+5 =74, ∴蚂蚁的爬行的最短路径为√74cm, 故选：C 6.(24-25八年级下·广西南宁·期中)如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可 以看成是长方体去掉一个“半圆柱"而成，中间可供滑行部分的截面是直径为32米的半圆，其边缘 AB=CD=16米，点E在CD上，CE=4米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为 () 32 B 16 A A.18米 B.20米 C.22米 D.24米 【答案】B 【详解】解：如图是其侧面展开图： 5/185 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=xTx32=16(米)，AB=CD=16(米)，DE=CD-CE=16-4=12(米)， 2 B D 在Rt△ADE中，AD+DE2=AE, 162+122=AE2, 解得AE=20(负值舍去)， 故他滑行的最短距离约为20（米）， 故选：B. 7.(24-25八年级上福建漳州期中)如图，一只蜘蛛在一块长方体的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长 方体上和蜘蛛相对的顶点B处，已知长方体长6cm,宽5cm,高3cm,蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体 的表面从A点爬到B点，则蜘蛛爬行的最短路程是()cm, B 3 6 A.10 B,V106 C.V130 D.不能确定 【答案】A 【详解】解：如图所示，当沿着高把长方体展开时， ⊙ 在Rt△ABC中，AC=6+5=11cm,BC=3cm,∠ACB=90°， 4B=AC2+BC2=130cm 如图所示，当沿着长把长方体展开时， 6/185 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 在Rt△ABC中，AC=6cm,BC=3+5=8cm,∠ACB=90°， AB=VAC2+BC2=10cm 如图所示，当沿着宽把长方体展开时， 在Rt△ABC中，AC=6+3=9cm,BC=5cm,∠ACB=90°， AB=AC+BC=106cm: 10=V100<V106<V130, 沿着长方体的表面从A点爬到B点，则蜘蛛爬行的最短路程是10cm, 故选：C 8.（24-25七年级上山东东营·期中)如图，圆柱形容器高为10cm,在其外壁距离下底面3cm的A处有一 只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面2cm的B处的一滴蜂蜜，其中圆柱的底面周长为24cm,则蚂蚁 爬行的最短距离为() A.10cm B.13cm C.24cm D.25cm 【答案】B 【详解】解：如图，将圆柱的侧面沿过A点的一条母线剪开，得到长方形连接AB, B 7/185 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则线段AB的长就是蚂蚊爬行的最短距离， 故AB=√0-3-2)2+122=13(cm) 故选：B 9.(24-25八年级下·贵州贵阳·期中)某公园内滑雪场·型池的示意图如图所示，该场地可以看作是从一 12 个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为二m,其边缘AB=CD=24m,点E在CD π 上，CE=4m,一名滑雪爱好者从点A滑到点E,他滑行的最短路线长为m. B E D 【答案】4V34 【详解】解：将半圆面展开可得： B AD-1 2元×12-12m.DE=CD-CE=24-4=20m, 2 元 在RteADE中，AE=VDE2+AD=V122+20=4V34m, 即滑行的最短路线长为4V34m, 故答案为：4V34. 10.(24-25八年级下·四川南充期中)如图圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内离杯底5cm 的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁A,离杯口上沿4c与蜜蜂相对的点A处，则蚂蚁到达 蜂蜜的最短距离为 cm. 蚂蚁A C蜂蜜 【答案】5√17 8/185 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：如图： D 将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A, 则A'A=2×4=8cm,DE=4cm,DC=DE+CE=4+14-5=13cm,A'D=×32=16cm, 连接AF,当点A、F、C在同一条直线上时，A'C最短， 则此时AF+CF=AF+CF=AC为蚂蚁从外壁4处到内壁C处的最短距离，即A'C的长度， .'AC=VAD+CD2=V16+132=5N17(cm), :蚂蚁从外壁A处到内壁C处的最短距离为5v17cm, 故答案为：5√17 题型三特殊平行四边形：多结论判断（共3小题） 11.(24-25八年级下·湖南永州·期中)如图，在正方形ABCD内一点E,连接BE,CE,过C作CF⊥CE 与BE的延长线交于点F,连接DF,DE,且CE=CF=I,DE=V6,下列结论中：①△CBE≌△CDF; ②BF⊥DF;③点D到CF的距离为V2;④S边形Dcr=V巨+l. 其中正确的结论有() B A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 【答案】A 【详解】解：四边形ABCD是正方形， ∴BC=DC,∠BCD=90°， ∴.∠BCE+∠DCE=90°， 9/185 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 CF⊥CE, ÷EC℉=90°， ·∠DCF+∠ECD=90°， ∠BCE=DCF, 又CE=CF, △CBE≌aCDF(SAS),故①正确： △CBE≌△CDF, ∠BEC=∠DFC, ×∠ECF=90°，CE=CF, ·∠CEF=∠CFE=45°， ÷∠BEC=∠DFC=180°-45°=135°， .∠BFD=∠DFC-CFE=135°-45°=90°， 即BF⊥DF,故②正确： ∠ECF=90°，CE=CF=1, ∴EF=V+12=√2， ∠DFE=90°，DE=N6, DF=vDE-EF=6)-(2=2, 过点D作DH⊥CF的延长线于点H,则∠DHF=90°，∠DFH=180°-135°=45°， DH=FH=DF=x2= 点D到CF的距离为√2，故③正确： D 4H S四边形DBCR=SDEn+SBCR= Drr+cEcF2x5+分l15-》 B 故④错误； 综上，正确结论的为①②③， 故选：A. 10/185