专题07因式分解专项训练(16大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题07因式分解专项训练 题型01.因式分解的判断 题型02.因式分解的参数问题 题型03.公因式 题型04.提公因式法分解因式 题型05.公式法分解因式的判断 题型06.平方差公式分解因式 题型07.完全平方公式分解因式 题型08.综合运用公式法分解因式 题型09.综合法分解因式 题型10.因式分解与有理数简算 题型11.十字相乘法 题型12.分组分解法 题型13.因式分解的应用 题型14.整体换元巧分解 题型15.因式分解巧求值 题型16.新定义运算题 解答题6题 知识点01.核心定义・一眼辨对错 把多项式化成几个整式的积的形式，就是因式分解。 ✅ 判定三要素： 1.结果必须是乘积，不能有加减 2.每个因式都是整式 3.分解要彻底，不能再拆 ❌ 常见坑：结果带加减、没提净公因式、分解不彻底。 知识点02.黄金三步法・解题万能口诀 一提二套三查底，一步都不能少 1.提公因式（首选第一步） 2.套公式（平方差 / 完全平方） 3.查彻底（还能分就继续分） 知识点03.因式分解的基本方法 提公因式法（最基础，优先使用） 1.公因式定义：一个多项式中各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。公因式的确定方法： 系数：取各项系数的最大公因数； 字母：取各项都含有的相同字母； 指数：取相同字母的最低次幂。 2.提公因式法法则：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成公因式 × 另一个多项式的形式， 即 ma+mb+mc=m(a+b+c)。 知识点04.两大核心方法（考试 90% 都考它） 1. 提公因式法 找：系数最大公约数 + 相同字母最低次幂 口诀：系数找最大，字母找最低 易错：首项负号要一起提，别漏 “1” 2. 公式法（两大公式封神） 平方差公式a2−b2=(a+b)(a−b) 特征：两项、异号、能写成平方 完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2 特征：三项、首尾平方、中间两倍积 知识点05.十字相乘法 核心：分解二次三项式，整式乘法逆运算，十字交叉凑一次项系数 前提：先提公因式，再用十字相乘法 基础型：x2+px+q（二次项系数 = 1） 1.找两个数：和为 p（一次项系数），积为 q（常数项） 2.写结果：x2+px+q(x+先第一个数)(x+第二个数) 3.符号技巧：q 正→两数同号（与 p 一致）；q 负→两数异号（大数与 p 同号） ✅例：x2−5x+6→找 - 2、-3（和 - 5，积 6）→(x−2)(x−3) 进阶型：ax2+bx+c（a1，整数系数） 1.拆系数：a=mn（二次项拆两数积），c=pq（常数项拆两数积） 2.十字验证：mq+np=b（交叉相乘再相加 = 一次项系数） 3.写结果：ax2+bx+c=(mx+p)(nx+q) ✅例：2x2+7x+3→2=2×1，3=1×3→2×3+1×1=7→(2x+1)(x+3) 必背避坑清单・少丢 20 分 1.分解不彻底：如 4x²−16 未先提 4 2.符号错误：提负号未变号、平方差符号搞反 3.公式混淆：完全平方漏 2 倍、平方差写成平方和 4.公因式漏提：系数 / 字母最低次幂没找全 5.结果非积：最后一步还有加减 题型01.因式分解的判断 1．下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解的定义是把一个多项式化为几个整式的积的形式，根据定义逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：A、 是分式，不是多项式，而因式分解的对象必须是多项式，故该变形不属于因式分解，不符合题意； B、等式右边不是整式积的形式，不属于因式分解，不符合题意； C、该变形是整式乘法，是将乘积化为多项式，不属于因式分解，不符合题意； D、符合因式分解的定义，将多项式化为两个整式的积的形式，属于因式分解，符合题意． 2．下列各式中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义（将多项式化为几个整式乘积的形式），结合因式分解的常用方法逐项判断即可． 【详解】解：A、是整式乘法，不是因式分解， ∴A错误； B、∵，与不相等， ∴B错误； C、∵等式右侧不是整式，不符合因式分解要求， ∴C错误； D、∵， ∴， ∴D正确． 3．下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（ ） ；； ；； ；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解的判断，熟练掌握因式分解的形式是做题的关键．根据因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且每个因式均为整式，逐一判断各变形是否符合定义即可． 【详解】解： ① 左边为单项式，不是多项式，故不是因式分解； ② 左边为积的形式，右边为多项式，是整式乘法，故不是因式分解； ③ 左边为多项式，右边为整式的积，故是因式分解； ④ 右边不是积的形式，故不是因式分解； ⑤ 左边为多项式，右边为整式的积，故是因式分解； ⑥ 右边括号内分式分母含字母，不是整式，故不是因式分解． ∴ 是因式分解的有③和⑤，共2个． 故选：B． 题型02.因式分解的参数问题 4．把多项式因式分解得(x+3)(x+2)，则m＝_____． 【答案】5 【分析】把（x+3）（x+2）展开，利用多项式相等的条件即可求出m的值． 【详解】解：∵＝（x+3）（x+2）＝， ∴m＝5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 5．若二次三项式可分解为，则m的值为_________． 【答案】1 【分析】本题考查因式分解与整式乘法的关系．通过将给定的因式分解形式展开，与原二次三项式比较系数，可求出 m 的值即可． 【详解】解：， ， ， 解得， 故答案为． 6．已知多项式可以分解为，则x的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可根据题中条件，多项式分解为单项式，用分解出来的单项式进行相乘后，即可求出x的值． 【详解】解：根据题意可得：， ∵ ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解的基本知识，学生需掌握因式分解的基本知识，做此题就不难． 题型03.公因式 7．多项式的最大公因式是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求多项式的最大公因式，找最大公因式的要点是：（1）最大公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，多项式的最大公因式是， 故选：D． 8．多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了多项式的最大公因式． 根据最大公因式的定义，先确定各项系数的最大公约数，再确定各项都含有的字母的最低次幂，结合选项判断即可． 【详解】解：∵多项式各项系数6、12、的绝对值的最大公约数是3，各项都含有的字母为a、b，a的最低次幂是2，b的最低次幂是1， ∴该多项式的最大公因式可以为， 故选：B 9．多项式的公因式是，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据公因式是各项中都含有的因式，可得答案． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查了公因式，确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 题型04.提公因式法分解因式 10．因式分解=_____． 【答案】 【分析】直接提取公因式分解因式即可. 【详解】解：. 11．已知实数m满足，则的值是_____． 【答案】 【分析】对所求多项式进行降次变形，结合已知条件计算，将所求式子提取公因式转化为含已知式子的形式，再代入求值． 【详解】， ． 12．若，则____________． 【答案】0 【分析】题目主要考查因式分解，求代数式的值，熟练掌握是解题关键． 先对所求代数式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算求解． 【详解】解： 将，代入上式，得 原式 ， 故答案为：0． 13．若一个四位自然数能被表示为（是整数且），则称为阶数，例如，因为，所以是阶数．若是阶数，则的值为_____；若是阶数，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，数的特征，熟练掌握枚举法和数的特征是解题的关键．利用定义得出，再进行一一枚举即可求解；利用定义得出，即，因式分解得，得出是两个连续整数的乘积，且这两个连续整数的乘积是的倍数，且是四位数，先利用是的倍数得出或或或，再利用是必有因数，，，，分别讨论即可． 【详解】解：∵是阶数， ∴， 当和时，是三位数，不合题意； 当时，，，十位与个位数分别对应相同，符合题意； 当时，，，十位数不对应相等，不合题意； 当时，，，十位数不对应相等，不合题意； 当时，，，十位数不对应相等，不合题意； 当时，，，十位数不对应相等，不合题意； 当时，，，十位数不对应相等，不合题意； 当时，，，十位数不对应相等，不合题意； 当时，，是五位数，不合题意； 综上，； ∵是阶数， ∴， 即， ∴， ∴， 由题意可得，，，是整数， ∴是两个连续整数的乘积，且这两个连续整数的乘积是的倍数，且是四位数， ∴，两个连续整数个位数的积为的倍数， ∴或，或，或，， ∵是的倍数， ∴必有因数，，，， ①当时，中，不含因数，，，，不能含全部的因数，，，， 则不符合题意； ②当时，中，不含因数，，，，不能含全部的因数，，，， 则不符合题意； ③当时，中，不含因数，，不含因数，， 则要使符合题意需含因数，，含因数，， 则或或， 当时， 则，含因数，， 则是三位数， 则不符合题意； 当时，个位数不对应相等， 则不符合题意； 当时， 则，不能含全部的因数，， 则不符合题意； ④当时，中，不含因数，，不含因数，， 则要使符合题意需含因数，，含因数，， 则或或， 当时， 则，不含全部因数，， 则不符合题意； 当时，个位数不对应相等， 则不符合题意； 当时， 则，含因数，， 则， 则符合题意； 综上所述，， 故答案为；． 题型05.公式法分解因式的判断 14．下列多项式，不能运用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原式各项利用平方差公式的结构特征：,即可做出判断． 【详解】解：A． ，能运用平方差公式分解因式，不符合题意； B． 不能运用平方差公式分解因式，符合题意； C． ，能运用平方差公式分解因式，不符合题意； D．，能运用平方差公式分解因式，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 15．下列多项式，①，②，③，④能用公式法分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查公式法分解因式． 逐个分析每个多项式是否满足公式条件即可． 【详解】解：①为平方和，无公式可分解； ②，可用平方差公式； ③不符合完全平方或平方差公式结构，无法用公式法分解； ④，可用完全平方公式； 能用公式法分解的有②和④，共2个． 故选：B． 16．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式的特点判断即可； 【详解】不能用完全平方公式，故A不符合题意； 不能用完全平方公式，故B不符合题意； ，能用完全平方公式，故C符合题意； 不能用完全平方公式，故D不符合题意； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了因式分解公式法的判断，准确判断是解题的关键． 题型06.平方差公式分解因式 17．分解因式：___________． 【答案】 【分析】根据平方差公式即可求解． 【详解】解：． 18．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用提公因式法、公式法、十字相乘法等对各选项进行分解因式即可判断正误． 【详解】A、，故本选项符合题意； B、，则，故本选项不符合题意； C、，则，故本选项不符合题意； D、，则，故本选项不符合题意． 19．小贤在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式中“□”的部分，若该二项式能分解因式，则“□”不可能是（    ） A． B． C．49 D． 【答案】B 【分析】运用提公因式法和平方差公式，逐个代入选项判断二项式能否分解因式，即可得到答案． 【详解】解：A. 当时，，可以分解，本选项不符合题意； B .当时，，该多项式不能分解因式，本选项符合题意； C .当时，，可以分解，本选项不符合题意； D .当时，，可以分解，本选项不符合题意． 题型07.完全平方公式分解因式 20．分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 该多项式为二次三项式，符合完全平方公式的形式，直接应用公式分解因式即可． 【详解】∵ ． 故选：A． 21．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的结构，判断各选项是否符合该公式结构即可． 【详解】解：A ，常数项为，是负数，不满足公式结构，不符合要求； B ，若符合公式结构，中间项，对应常数项应为，不是，不匹配，不符合要求； C ，只有两项，缺少常数项，无法构成完全平方的结构，不符合要求； D ，首项，末项，中间项，符合完全平方公式结构，分解得，符合要求． 22．下列六个多项式：①，②，③，④，⑤，⑥，在因式分解过程中需要用到完全平方公式的有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据完全平方公式的结构特征，逐个判断每个多项式因式分解时是否用到完全平方公式即可解答． 【详解】解：①，符合完全平方公式结构，因式分解用到完全平方公式； ②，仅用到平方差公式，不用到完全平方公式； ③，符合完全平方公式结构，因式分解用到完全平方公式； ④，仅用到平方差公式，不用到完全平方公式； ⑤，符合完全平方公式结构，因式分解用到完全平方公式； ⑥，提公因式后用到完全平方公式，因式分解用到完全平方公式； 综上，用到完全平方公式的共有个，即选项B符合题意． 【点睛】掌握完全平方公式为是解题的关键． 23．已知满足，，则的值为（   ） A．4 B．1 C．0 D．-8 【答案】C 【分析】根据题目条件可用x来表示z，并代入代数式中，运用公式法因式分解可得，再根据平方数的非负性可分别求出x，z的值，最后运算即可． 【详解】解：，， 又， ， ，， ， ， ， 代入得，=0． 故选：C． 【点睛】本题考查了运用公式法进行因式分解，平方数的非负性，熟练掌握运用公式法因式分解是解决本题的关键． 题型08.综合运用公式法分解因式 24．因式分解______. 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提取，再由平方差公式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 25．下列因式分解正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而分析即可． 【详解】解：A、，故此选项正确； B、，故此选项错误； C、，原式漏项，故此选项错误； D、，不是因式分解，是整式的乘法，故此选项错误； 故选：A． 26．已知，且满足两个等式，则的值为_________． 【答案】4 【分析】由等量代换可得，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ 则 ∴ 则 ∴ 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是因式分解的应用，掌握“提公因式与利用完全平方公式分解因式”是解本题的关键． 题型09.综合法分解因式 27．因式分解：______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解，直至因式不能再分解. 【详解】解：． 28．分解因式：________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解因式． 【详解】解：原式 ． 29．因式分解： ①______． ②______． ③_____． ④_____． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用公式法继续分解，直至多项式不能再分解为止． 【详解】解：①； ②； ③； ④． 30．分解因式：____． 【答案】 【分析】先用十字相乘法对进行因式分解，用提公因式法对因式分解，再将分解为，最后将整体利用十字相乘法因式分解，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ． 【点睛】掌握因式分解十字相乘法对于型的式子如果能分解为两个数，的积，且有时(即与和是一次项的系数)，那么,这种分解因式的方法叫做十字相乘法． 题型10.因式分解与有理数简算 31．简便运算：________． 【答案】10000 【分析】本题考查了因式分解、完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． 根据完全平方公式计算，即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 32．若，，则计算的结果为___________． 【答案】2022.5 【分析】先提公因式，再用平方差公式进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为：2022.5． 【点睛】本题主要考查了利用平方差公式因式分解进行简便运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 33．已知，，则代数式的值是（　　） A．2 B． C．15 D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．本题的关键是把所求代数式分解因式．由题意利用分组分解的方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵ ， ∵，， ∴， 故选：D． 题型11.十字相乘法 34．是多项式__________因式分解后的结果． 【答案】 【详解】解：∵， ∴是多项式因式分解后的结果． 35．下列因式分解结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．根据十字相乘法，平方差公式和完全平方公式逐项进行判断即可． 【详解】解：A、等式右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，故A错误，不符合题意； B、，故B错误，不符合题意； C、，故C正确，符合题意； D、，故D错误，不符合题意． 故选：C． 36．将分解因式，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法求解即可． 【详解】解： 故选：D． 37．已知，则_________． 【答案】或 【分析】本题考查完全平方公式的应用，已知条件式的化简求值，因式分解，熟练掌握运算法则并准确计算是解题的关键．化简式子为，再平方后得到或，将化简所得式子代入所求的代数式即可求值． 【详解】解：由题意可知，，那么， ∵， ∴， ∴，即， ∴ ∴或， ∵ ∴当时，原式； 当时，原式． 故答案为：或． 题型12.分组分解法 38．分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的分组分解法与公式法，解题的关键是先将前三项分组为完全平方式，再与后一项结合用平方差公式分解． 先对多项式进行分组，将组合成完全平方式；再将得到的式子与结合，利用平方差公式继续分解． 【详解】解： 故答案为：． 39．因式分解______． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，先提取公因式，再用完全平方公式和平方差公式分解因式． 【详解】解： 40．如果因式分解的结果为_________． 【答案】 【分析】把当成一个整体，再因式分解即可． 【详解】原式 故答案为：． 【点睛】题目主要考查利用整体法及公式法进行因式分解，理解题中的整体思想是解题关键． 题型13.因式分解的应用 41．如图，把，，三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则．当，，，时，________V． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题目特点可用提公因式的方法进行因式分解．用提公因式法把，因式分解为，再进行计算求值． 【详解】解： 故答案为： ． 42．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、最值问题、比较大小等方面都有广泛的应用．当______时，代数式的最小值是_______． 【答案】 3 3 【分析】本题利用配方法将二次多项式变形为完全平方式与常数的和，再根据平方的非负性求解代数式的最小值及对应的值． 【详解】解：对代数式进行配方，得． ， ∴当，即时，代数式取得最小值，最小值为． 43．已知，，则的值为___________． 【答案】 【分析】先对所求多项式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：，， ． 44．一个正整数能写成（，均为正整数），则称为“美满数”，，为的一个美满分解，并规定：．如果一个两位正整数（十位数字大于个位数字，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数与原数是4752的一个美满分解，则的值为___________． 【答案】或． 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是根据“美满数”的定义列出关于、的方程组． 先设出原两位正整数的十位数字和个位数字，根据新数与原数是4752的一个美满分解列出方程组，可得，求出、的值，进而得出的值． 【详解】解：设原两位正整数的十位数字为，个位数字为均为正整数），则原数为，新数为， 新数与原数是4752的一个美满分解，， 又， 将，代入， 可得：（均为正整数） 此方程有两组符合题意的解， 分别为：或 当时，， ， 当时，， ， 综上，的值为或． 故答案为：或． 题型14.整体换元巧分解 45．因式分解： （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】根据多项式的结构特征，运用提公因式法进行因式分解． 【详解】解：(1) ； (2) 46．若实数x，y满足，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的知识点为完全平方公式的应用以及因式分解．通过观察式子的结构，对化简后的式子进行因式分解，得到，因为一个数的平方等于 0，所以这个数为 0，所以推导出，从而得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 因为一个数的平方等于 0，所以这个数为 0，即， 所以， 故选：C． 47．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．根据因式分解的定义，结合提公因式法、公式法、十字相乘法等因式分解方法，逐项判断选项的正确性即可． 【详解】解：A、，∴A错误． B、，原式未分解彻底，∴B错误． C、，∴C正确． D、，∴D错误． 故选：C． 48．因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 先整理再提公因式，最后结合平方差公式因式分解，即可解题． 【详解】解： ； 故答案为：． 题型15.因式分解巧求值 49．如果是的一个因式，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查因式的定义，熟练掌握因式的定义是解题的关键，根据是的一个因式，可得当时，代数式，代入求解即可得到答案． 【详解】解：∵是的一个因式， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 50．已知，则 ________． 【答案】48 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的常用方法是解题的关键．将代数式因式分解后，整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 51．如果，，那么的值是（　　） A． B． C．13 D．30 【答案】D 【分析】先对所求多项式提取公因式因式分解，再将已知条件整体代入计算，即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 52．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，先根据提公因式法因式分解，再将已知式子的值代入，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 53．已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了提取公因式、完全平方式进行因式分解以及非负数的性质等知识点，正确进行因式分解成为解题的关键． 先将，通过提取公因式、运用完全平方式、添加项转化为．再根据a、b均为正数以及非负数的性质，得到，进而解出a、b的值，代入求得结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵a、b均为正数， ∴， ∴，即，解得或（不合题意，舍去）， ∴． 故选：B． 题型16.新定义运算题 54．定义：若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”．例如，，所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（    ） A．12是智慧数 B．代数式（是正整数）是智慧数的条件是 C．所有大于1的奇数都是智慧数 D．将智慧数从小到大进行排列，第10个智慧数是16 【答案】B 【分析】根据“智慧数”定义，将其变形为（，为正整数，），再逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：，满足定义，是智慧数； 选项B：对变形得，若它是智慧数，需和为正整数，且，可得，即，因此选项B说法不正确； 选项C：设大于1的奇数为（为正整数），，且当为正整数时，和都是正整数，所有大于1的奇数都是智慧数； 选项D：从小到大判断可得前10个智慧数依次为：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，因此第10个智慧数是16． 综上，说法不正确的是B． 55．定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”．若，则b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，利用作差法比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； ∴． 56．利用“因式分解”可以设计密码．我们约定将多项式因式分解得到的每个因式代入数值进行运算，取其绝对值，将得到的数组合，从中选出最大的数，即为密码．如 ，当x取3，y取4时，各因式的绝对值分别为， 组合可得到1725， 1257， 7125， 7251， 2517， 2571， 其中最大的数7251，即为密码．对于多项式．，当x取12，y取14时，其密码为（   ） A．21226 B．12262 C．26212 D．62212 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，先进行因式分解，再根据题干给定方法，进行求解即可． 【详解】解：∵， 当x取12，y取14时，，，， ∴三个数为12、2、26． 所有组合数字：12226、12262、21226、22612、26122、26212，其中最大数字为26212． ∴ 密码为26212， 故选C． 57．小明抄写在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了的指数，他只知道该指数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，则该整式分解因式的所有可能结果为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，因式分解的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据平方差公式的应用条件，需为平方项，且为不大于5的正整数，故可能为2或4，对应两种分解结果． 【详解】解：因为是不大于5的正整数，且能利用平方差公式分解因式， 所以必须为平方项， 即为偶数， 因为他只知道该指数为不大于5的正整数， 所以可能值为2或4， 当时，， 当时，． 选项D包含这两种结果， 故选：D． 解答题 58．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)（为正整数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】应用提公因式法解题即可，确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 59．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解； （2）先将式子变形，然后提取公因式，最后利用平方差公式继续分解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 60．因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）原式直接提公因式即可； （2）原式运用平方差公式进行因式分解即可； （3）原式提取公因式3后，再运用完全平方公式进行因式分解即可； （4）原式提取公因式后，再运用完全平方公式进行因式分解即可 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 61．求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3. (1)仿照例题，用配方法求代数式的最小值． (2)若，求，的值 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）用配方法，将改写为，由，可得，即可求解； （2）移项，配方可得，由，，可得，，即可求解． 【详解】（1）解：， ∵ ， ∴， ∴代数式的最小值为． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴ ，． 62．阅读下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： …分组 …组内分解因式 …整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知a，b，c分别是的边长，若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分组，再用公式分解． （2）先利用完全平方公式得到，推出，求得，据此求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的周长． 63．阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】 （3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 【答案】（1）；（2）；（3）另一个因式为，的值为3．（4）1，7，13，29． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）分别表示出图甲、图乙中长方形的面积，即可得出结果； （2）利用多项式乘以多项式的法则将展开，对应相等即可得出结果； （3）设另一个因式为，则，再分别对应相等即可得出结果； （4）设这两个一次式为和，则，从而得出，，，再结合、、、均为整数，分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）由图甲可得，长方形的面积为， 由图乙可得，长方形的面积为， 故得到的等式是； （2） ， ∵， ∴； （3）∵关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是， ∴设另一个因式为， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴另一个因式为，的值为； （4）∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式， ∴设这两个一次式为和， ∴， ∴，，， ∵、、、均为整数， ∴当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 综上所述，所有正整数的值为1，7，13，29． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07因式分解专项训练 题型01.因式分解的判断 题型02.因式分解的参数问题 题型03.公因式 题型04.提公因式法分解因式 题型05.公式法分解因式的判断 题型06.平方差公式分解因式 题型07.完全平方公式分解因式 题型08.综合运用公式法分解因式 题型09.综合法分解因式 题型10.因式分解与有理数简算 题型11.十字相乘法 题型12.分组分解法 题型13.因式分解的应用 题型14.整体换元巧分解 题型15.因式分解巧求值 题型16.新定义运算题 解答题6题 知识点01.核心定义・一眼辨对错 把多项式化成几个整式的积的形式，就是因式分解。 ✅ 判定三要素： 1.结果必须是乘积，不能有加减 2.每个因式都是整式 3.分解要彻底，不能再拆 ❌ 常见坑：结果带加减、没提净公因式、分解不彻底。 知识点02.黄金三步法・解题万能口诀 一提二套三查底，一步都不能少 1.提公因式（首选第一步） 2.套公式（平方差 / 完全平方） 3.查彻底（还能分就继续分） 知识点03.因式分解的基本方法 提公因式法（最基础，优先使用） 1.公因式定义：一个多项式中各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。公因式的确定方法： 系数：取各项系数的最大公因数； 字母：取各项都含有的相同字母； 指数：取相同字母的最低次幂。 2.提公因式法法则：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成公因式 × 另一个多项式的形式， 即 ma+mb+mc=m(a+b+c)。 知识点04.两大核心方法（考试 90% 都考它） 1. 提公因式法 找：系数最大公约数 + 相同字母最低次幂 口诀：系数找最大，字母找最低 易错：首项负号要一起提，别漏 “1” 2. 公式法（两大公式封神） 平方差公式a2−b2=(a+b)(a−b) 特征：两项、异号、能写成平方 完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2 特征：三项、首尾平方、中间两倍积 知识点05.十字相乘法 核心：分解二次三项式，整式乘法逆运算，十字交叉凑一次项系数 前提：先提公因式，再用十字相乘法 基础型：x2+px+q（二次项系数 = 1） 1.找两个数：和为 p（一次项系数），积为 q（常数项） 2.写结果：x2+px+q(x+先第一个数)(x+第二个数) 3.符号技巧：q 正→两数同号（与 p 一致）；q 负→两数异号（大数与 p 同号） ✅例：x2−5x+6→找 - 2、-3（和 - 5，积 6）→(x−2)(x−3) 进阶型：ax2+bx+c（a1，整数系数） 1.拆系数：a=mn（二次项拆两数积），c=pq（常数项拆两数积） 2.十字验证：mq+np=b（交叉相乘再相加 = 一次项系数） 3.写结果：ax2+bx+c=(mx+p)(nx+q) ✅例：2x2+7x+3→2=2×1，3=1×3→2×3+1×1=7→(2x+1)(x+3) 必背避坑清单・少丢 20 分 1.分解不彻底：如 4x²−16 未先提 4 2.符号错误：提负号未变号、平方差符号搞反 3.公式混淆：完全平方漏 2 倍、平方差写成平方和 4.公因式漏提：系数 / 字母最低次幂没找全 5.结果非积：最后一步还有加减 题型01.因式分解的判断 1．下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（ ） ；； ；； ；． A．个 B．个 C．个 D．个 题型02.因式分解的参数问题 4．把多项式因式分解得(x+3)(x+2)，则m＝_____． 5．若二次三项式可分解为，则m的值为_________． 6．已知多项式可以分解为，则x的值是（    ） A． B． C． D． 题型03.公因式 7．多项式的最大公因式是（    ） A． B． C．3 D． 8．多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 9．多项式的公因式是，则等于（    ） A． B． C． D． 题型04.提公因式法分解因式 10．因式分解=_____． 11．已知实数m满足，则的值是_____． 12．若，则____________． 13．若一个四位自然数能被表示为（是整数且），则称为阶数，例如，因为，所以是阶数．若是阶数，则的值为_____；若是阶数，则的值为_______． 题型05.公式法分解因式的判断 14．下列多项式，不能运用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 15．下列多项式，①，②，③，④能用公式法分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 题型06.平方差公式分解因式 17．分解因式：___________． 18．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 19．小贤在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式中“□”的部分，若该二项式能分解因式，则“□”不可能是（    ） A． B． C．49 D． 题型07.完全平方公式分解因式 20．分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 21．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 22．下列六个多项式：①，②，③，④，⑤，⑥，在因式分解过程中需要用到完全平方公式的有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 23．已知满足，，则的值为（   ） A．4 B．1 C．0 D．-8 题型08.综合运用公式法分解因式 24．因式分解______. 25．下列因式分解正确的是（　） A． B． C． D． 26．已知，且满足两个等式，则的值为_________． 题型09.综合法分解因式 27．因式分解：______． 28．分解因式：________． 29．因式分解： ①______． ②______． ③_____． ④_____． 30．分解因式：____． 题型10.因式分解与有理数简算 31．简便运算：________． 32．若，，则计算的结果为___________． 33．已知，，则代数式的值是（　　） A．2 B． C．15 D． 题型11.十字相乘法 34．是多项式__________因式分解后的结果． 35．下列因式分解结果正确的是（　　） A． B． C． D． 36．将分解因式，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 37．已知，则_________． 题型12.分组分解法 38．分解因式：______． 39．因式分解______． 40．如果因式分解的结果为_________． 题型13.因式分解的应用 41．如图，把，，三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则．当，，，时，________V． 42．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、最值问题、比较大小等方面都有广泛的应用．当______时，代数式的最小值是_______． 43．已知，，则的值为___________． 44．一个正整数能写成（，均为正整数），则称为“美满数”，，为的一个美满分解，并规定：．如果一个两位正整数（十位数字大于个位数字，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数与原数是4752的一个美满分解，则的值为___________． 题型14.整体换元巧分解 45．因式分解： （1）______； （2）______． 46．若实数x，y满足，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 47．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 48．因式分解：________． 题型15.因式分解巧求值 49．如果是的一个因式，则的值为_______． 50．已知，则 ________． 51．如果，，那么的值是（　　） A． B． C．13 D．30 52．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 53．已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 题型16.新定义运算题 54．定义：若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”．例如，，所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（    ） A．12是智慧数 B．代数式（是正整数）是智慧数的条件是 C．所有大于1的奇数都是智慧数 D．将智慧数从小到大进行排列，第10个智慧数是16 55．定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”．若，则b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 56．利用“因式分解”可以设计密码．我们约定将多项式因式分解得到的每个因式代入数值进行运算，取其绝对值，将得到的数组合，从中选出最大的数，即为密码．如 ，当x取3，y取4时，各因式的绝对值分别为， 组合可得到1725， 1257， 7125， 7251， 2517， 2571， 其中最大的数7251，即为密码．对于多项式．，当x取12，y取14时，其密码为（   ） A．21226 B．12262 C．26212 D．62212 57．小明抄写在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了的指数，他只知道该指数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，则该整式分解因式的所有可能结果为（    ） A． B． C．或 D．或 解答题 58．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)（为正整数）． 59．分解因式： (1)； (2)． 60．因式分解： (1) (2) (3) (4) 61．求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3. (1)仿照例题，用配方法求代数式的最小值． (2)若，求，的值 62．阅读下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： …分组 …组内分解因式 …整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知a，b，c分别是的边长，若，，求的周长． 63．阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】 （3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $