专题05因式分解压轴题型专项训练(14大题型+压轴题型精析)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 14类高频压轴题型全覆盖，母题精讲+梯度专练，通过思路分析与步骤详解构建从基础方法到综合应用的因式分解解题体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础综合方法|7类（提公因式与公式法等）|综合法、多步分解法、分组公式法|从单一方法到混合应用，构建因式分解基本逻辑链| |代数应用|2类（整体代入、简便运算）|整体思想、公式变形技巧|链接代数求值与运算优化，体现模型意识| |几何与证明|2类（三角形形状、整除证明）|因式分解几何转化、数论推理|建立代数与几何、数论的关联，发展推理能力| |拓展探究|3类（规律探究、新定义、配方法）|归纳法、新运算转化、配方法应用|从具体到抽象，培养创新意识与数学表达能力|

专题05因式分解压轴题型专项训练 【温馨提示】14大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 题型01.提公因式与公式法综合 题型02.多步连续彻底因式分解 题型03.完全平方式参数求解 题型04.平方差公式单独变形分解 题型05.平方差完全平方公式混合分解 题型06.基础四项分组因式分解 题型07.分组后结合公式因式分解 题型08.因式分解整体代入求值 题型09.因式分解简便运算 题型10.因式分解判定三角形形状 题型11.因式分解证明整除问题 题型12.因式分解式子规律探究 题型13.新定义运算 题型14.因式分解中配方法应用 题型01.提公因式与公式法综合 1．分解因式：____． 【答案】 【分析】先用十字相乘法对进行因式分解，用提公因式法对因式分解，再将分解为，最后将整体利用十字相乘法因式分解，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ． 【点睛】掌握因式分解十字相乘法对于型的式子如果能分解为两个数，的积，且有时(即与和是一次项的系数)，那么,这种分解因式的方法叫做十字相乘法． 2．若多项式可因式分解成，其中，，，均为整数，则的值是（   ） A．5 B．6 C．25 D．30 【答案】A 【分析】本题利用分组分解法对多项式进行因式分解，得到符合形式的因式后，代入计算所求式子的值即可. 【详解】先整理原多项式，再用分组分解法因式分解：整理原式得： ， ， 得，乘以的情况不改变绝对值结果， 计算得：，， 3．因式分解：． 【答案】 【分析】利用换元法简化原式，设，再依次通过合并同类项、提取公因式、十字相乘法、平方差公式逐步分解，最后回代得到最终结果． 【详解】解：设，则，， 原式 ， 再将代入得， 原式 ． 题型02.多步连续彻底因式分解 4．因式分解：___________． 【答案】 【分析】本题考查运用公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解题关键． 原式符合平方差的结构形式，先利用平方差公式分解，再对可分解的多项式继续分解即可． 【详解】解： 5．分解因式：________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式两次分解因式即可得到结果． 【详解】 ． 6．分解因式：___________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：原式 ． 题型03.完全平方式参数求解 7．已知，若M可以转换成某数平方的形式，则n的取值为_______． 【答案】5，14， 【分析】因为M是平方数，根据完全平方公式，分情况讨论哪一项是中间项． 【详解】解：完全平方公式，分情况讨论哪一项是中间项； 情况1：是中间项，此时两个平方项为和， ∴，即，得． 验证：，符合要求． 情况2：是中间项， 此时两个平方项为和， ∴ ，即，解得． 验证：，符合要求． 情况3：是中间项，此时两个平方项为和， ∴ ，即，解得， 验证：，符合要求． 综上，的取值为或或． 8．若是完全平方式，则实数的值为（   ） A． B．或 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用知识点，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 本题根据完全平方公式，分析多项式的结构，得出“中间项系数需满足与首项、末项的关系”的结论，进而通过解方程求出的值，即可解决根据完全平方式的结构特征求字母参数的问题． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∵， ∴， 即：， 当时，； 当时，， 综上：或． 故选 ：B． 9．若多项式能用完全平方公式分解因式，则整数______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟悉完全平方公式的结构特征，即，并据此建立关于的等式求解． 根据完全平方公式的结构，将多项式与对应，确定，，从而得到，进而求出整数的值． 【详解】解： 多项式能用完全平方公式分解因式， ． ， ． ． 故答案为：． 题型04.平方差公式单独变形分解 10．因式分解：______ 【答案】 【详解】解：． 11．分解因式：________． 【答案】 【分析】利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 12．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，5就是一个“智慧数”．下列各数不是“智慧数”的是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【分析】根据“智慧数”的定义，若正整数是智慧数，则存在正整数，使得．利用平方差公式分解得 ，因此可以通过验证每个选项能否写成两个正整数的平方差来判断． 【详解】解：A、，符合智慧数定义，不符合题意； B、，符合智慧数定义，不符合题意； C、，符合智慧数定义，不符合题意； D、假设，其中为正整数，则与的奇偶性必须相同，18的正因数对有，这三对数均为一奇一偶，不满足同奇同偶的要求，故18不是智慧数，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用与正整数的因数分解，解题关键是利用平方差公式将“智慧数”转化为两个因数的乘积，通过分析因数的奇偶性和整数解来判断是否为智慧数． 题型05.平方差完全平方公式混合分解 13．若，，是一组勾股数，且，，，则______． 【答案】4051 【分析】本题考查勾股数的应用，勾股定理，平方差公式，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． 先推导出当，，是一组勾股数时，a为直角三角形的斜边，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意，得 ，， ∵， ∴， ∵， ∴当，，是一组勾股数时，a为直角三角形的斜边， ∴ 故答案为：4051． 14．因式分解：________． 【答案】 【分析】先运用完全平方公式，再运用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 15．因式分解：． 【答案】 【分析】使用分组分解法进行因式分解，先将原式拆项凑完全平方，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：原式 ． 题型06.基础四项分组因式分解 16．因式分解：． 【答案】 【分析】使用分组分解法求解，先将原式拆分重组，然后用十字相乘法和提公因式法分别分解后，再提取整体公因式即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 17．因式分解：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 18．因式分解：． 【答案】 【分析】使用分组分解法进行因式分解，先将原式拆项分组，提取公因式得到两个二次因式的乘积，再对其中可分解的二次因式继续分解即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 题型07.分组后结合公式因式分解 19．因式分解：___________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．运用分组分解法，先将多项式合理分组，再依次利用提取公因式法、平方差公式进行因式分解，直至分解为几个整式的积的形式． 【详解】解： 故答案为：． 20．分解因式：___________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先分组得到，再利用完全平方公式分解因式，进一步利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 21．因式分解：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，掌握提取公因式法和公式法是解题的关键． 先利用计算公式，将变形为，结合因式分解的公式，得到，对 部分先提取公因式y，再利用十字相乘法进行因式分解，得到，再整体提取公因式，对余下部分利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 题型08.因式分解整体代入求值 22．已知，，则代数式________． 【答案】 【分析】先对所求代数式进行因式分解，再将已知，代入计算即可． 【详解】解： 将，代入得，原式 ． 23．已知，，那么______． 【答案】100 【分析】先对所求多项式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算即可． 【详解】解： ， 将，代入得：． 24．若多项式的值为0，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用．根据平方差公式与完全平方公式因式分解，将原多项式化简为，再根据其值为0，得到 【详解】解： ， 由题意得， 解得． 故答案为：． 题型09.因式分解简便运算 25．利用因式分解计算：_____． 【答案】36 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用因式分解可以简化计算，正确计算是解题的关键． 观察表达式，发现其符合完全平方公式的形式，通过完全平方公式进行因式分解简化计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 26． 的值最接近（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解的应用，利用立方和与立方差公式化简计算，即可得出答案． 【详解】解：由立方和、立方差公式可得， ， ， ∴， ∴ 故选：B． 27．利用因式分解计算：． 【答案】 【分析】本题考查利用因式分解进行简算，利用平方差公式进行因式分解后，进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型10.因式分解判定三角形形状 28．已知为的三边，且满足，则的形状是______三角形． 【答案】等腰 【分析】将已知等式因式分解后，结合三角形三边关系得到三角形边的等量关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：， ， 移项得， 提取公因式得， 为的三边， 根据三角形三边关系可知，即， ，即， 是等腰三角形． 29．已知的三边的边长分别是a，b，c，且满足，判断此三角形的形状为_____． 【答案】等边三角形/正三角形 【分析】本题考查完全平方公式的应用，将原式变形为，根据平方的非负性可得，，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边三角形． 30．分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边，，满足，判断的形状． 【答案】(1) (2)等腰三角形 【分析】（）应用分组分解法，把分解因式即可． （）首先应用分组分解法，把分解因式，然后根据三角形的分类方法，判断出的形状即可． 【详解】（1）解： ； （2）， ， ， 或， 或， 是等腰三角形． 题型11.因式分解证明整除问题 31．若关于的二次三项式能被整除，则的值为_____． 【答案】3 【分析】本题考查了整式的除法，根据题意设出多项式分解因式的结果是解题的关键． 根据题意设出多项式分解因式的结果，利用多项式乘多项式法则及多项式相等的条件即可求出的值． 【详解】解：根据题意可设， 解得 则的值为． 故答案为：． 32．已知均为正整数，且满足：，则________． 【答案】2031 【分析】本题考查利用因式分解解方程，将方程通过因式分解转化为乘积形式，找到正整数解的可能组合，进而求解． 将原方程转为为，然后结合条件得出和为正整数，进而根据质数的因数只有1和它本身，得出和的值，只能分别为1和2027，分类讨论求出的值，求出． 【详解】解： 2027是质数，均为正整数， 即， 当时，，此时， 故， 当时，，此时， 故， 综上，． 故答案为：2031． 33．若正整数满足整除．请写出符合条件的的一组数：____________________ ． 【答案】1，1，1，1，1，1，1，2，2 【分析】本题主要考查了数的整除，熟练掌握整除的意义是解题的关键．通过构造以1为主的特殊正整数组合，结合整除的定义验证是否满足条件． 【详解】解：设7个正整数为1，2个正整数为2， ∴， ∴， 因为，即15能整除120，满足题设中“正整数的平方和整除和的平方减1”的条件， 故答案为：1，1，1，1，1，1，1，2，2． 题型12.因式分解式子规律探究 34．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图所示，它给出了（为非负整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如： 请利用以上规律求出的展开式，则的值是 ________ ． 【答案】192 【分析】读懂题意并根据所给的式子寻找规律,将展开，即可求解． 【详解】解：观察发现，， ， ∴， ， ∴． 35．观察规律：， ， ， 若（为正整数），则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差公式的规律类运算，理解规律和掌握平方差公式是解题关键.根据题目中式子的特点，利用平方差公式分解因式，然后约分即可求得答案. 【详解】解：∵， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 36．我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，若，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查数的规律探索，关键是根据规律推导得出的表达式，再通过代数运算建立方程求解． 【详解】解：观察图2中虚线标记的一列数：可知： ，，，， ； 则， 当时， 整理化简得， 为正整数， ， 解得； 故答案为：． 题型13.新定义运算 37．定义：若一个正整数能表示成两个相邻偶数，的平方差，即，且的算术平方根是一个正整数，则称正整数是“双方数”．例如：，，36就是一个“双方数”．若将“双方数”从小到大排列，第100个“双方数”为_____． 【答案】158404 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，因式分解的应用等内容，解题的关键是找出规律． 根据新定义表示出“双方数”，然后进行因式分解，找出“双方数”的规律进行计算即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∵的算术平方根是一个正整数， 是一个完全平方数， 是奇数， 只能是奇数的平方，从小到大依次是， 那么 “双方数”从小到大依次为， 第100个“双方数”为158404， 故答案为：158404． 38．我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为7，则称A为“积减数”，并把A分解成的过程称为“积减分解”．例如：因为，15与12的十位数字相同，个位数字5与2的和为7，所以45是“积减数”．按照这个规定，最小的“积减数”是______，把一个“积减数”A进行“积减分解”，即，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B与m的差除以17的余数为15，则满足条件的所有正整数A的和为_______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，整式的运算，设m的十位数字为a，个位数字为b，可得，然后求出“积减数”最小时，，；表示，即可得到余数为且，然后对a，b取不同的整数解计算得到A的值求和即可． 【详解】解：， 设m的十位数字为a，个位数字为b，则，， ∴， ∵“积减数”最小，又是正整数， ∴，， ∴最小的“积减数”是； ∵， ∴， ∴，且， 当时，余数为， 即，则； 当时，余数为， 即，则； 当时，余数为，无解； 当时，余数为， 即，则； 满足条件的所有正整数A的和为， 故答案为：，． 39．定义：对于任意四个有理数，，，，定义一种新运算：． (1)求的值； (2)若，则______； (3)若有理数，满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点，，，分别在边，，，上，连接，交于点，且，将长方形分割成四个小长方形．若，，，，在①的条件下，请直接写出由线段，，，围成的图形的面积． 【答案】(1) (2) (3)①2；② 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解以及因式分解的应用，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可； （3）①根据得出，再结合即可求出； ②根据图象可得由线段，，，围成的图形的面积为，化简后代入，即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解： ； ∵， ∴ ∴； （3）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知：，，，围成的图形的面积 ， 将，代入可得，． 题型14.因式分解中配方法应用 40．将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：， ，，当时，多项式有最小值． 已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，多项式乘以多项式，根据题意得出，，进而根据，可得，然后得出，根据配方法，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴当时，的最大值为， 故答案为：3． 41．我们知道，和这样的式子可以运用完全平方公式进行因式分解．有些多项式不是完全平方式，我们可以用配方法将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：①分解因式：； 解：原式 ； ②求代数式的最小值． 解：原式， ∵，∴， ∴当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)当x为何值时，有最小值？最小值为多少？ (3)求证：无论x，y取任何实数，代数式的值恒为正数． 【答案】(1) (2)当时，代数式取最小值 (3)见解析 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵ ∴ 当时，代数式取最小值； （3）解： ∵， ∴ ∴无论x，y取任何实数，代数式的值恒为正数． 42．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值． 解：． ，， 当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：________； (2)已知，求的值． (3)已知，，试比较，的大小． (4)若为有理数且满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4)3 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的应用． （1）找到常数项为一次项系数一半的平方，然后整理成完全平方公式，再运用公式法进行分解因式，即可作答； （2）根据完全平方公式因式分解，再根据非负数的性质，求得的值，代入代数式，即可求解； （3）根据因式分解求得，根据例2的方法，即可求解； （4）根据因式分解可得，同例2的方法，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：． （2）， ， ， 又，，， ，，， ，， ． （3），， ，， ． （4）解：， ， ， 当时，有最小值，最小值为3，此时满足， 故答案为：3． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05因式分解压轴题型专项训练 【温馨提示】14大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 题型01.提公因式与公式法综合 题型02.多步连续彻底因式分解 题型03.完全平方式参数求解 题型04.平方差公式单独变形分解 题型05.平方差完全平方公式混合分解 题型06.基础四项分组因式分解 题型07.分组后结合公式因式分解 题型08.因式分解整体代入求值 题型09.因式分解简便运算 题型10.因式分解判定三角形形状 题型11.因式分解证明整除问题 题型12.因式分解式子规律探究 题型13.新定义运算 题型14.因式分解中配方法应用 题型01.提公因式与公式法综合 1．分解因式：____． 2．若多项式可因式分解成，其中，，，均为整数，则的值是（   ） A．5 B．6 C．25 D．30 3．因式分解：． 题型02.多步连续彻底因式分解 4．因式分解：___________． 5．分解因式：________． 6．分解因式：___________． 题型03.完全平方式参数求解 7．已知，若M可以转换成某数平方的形式，则n的取值为_______． 8．若是完全平方式，则实数的值为（   ） A． B．或 C．5 D．4 9．若多项式能用完全平方公式分解因式，则整数______． 题型04.平方差公式单独变形分解 10．因式分解：______ 11．分解因式：________． 12．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，5就是一个“智慧数”．下列各数不是“智慧数”的是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 题型05.平方差完全平方公式混合分解 13．若，，是一组勾股数，且，，，则______． 14．因式分解：________． 15．因式分解：． 题型06.基础四项分组因式分解 16．因式分解：． 17．因式分解：． 18．因式分解：． 题型07.分组后结合公式因式分解 19．因式分解：___________． 20．分解因式：___________． 21．因式分解：________． 题型08.因式分解整体代入求值 22．已知，，则代数式________． 23．已知，，那么______． 24．若多项式的值为0，则的值为________． 题型09.因式分解简便运算 25．利用因式分解计算：_____． 26． 的值最接近（    ） A． B． C． D． 27．利用因式分解计算：． 题型10.因式分解判定三角形形状 28．已知为的三边，且满足，则的形状是______三角形． 29．已知的三边的边长分别是a，b，c，且满足，判断此三角形的形状为_____． 30．分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边，，满足，判断的形状． 题型11.因式分解证明整除问题 31．若关于的二次三项式能被整除，则的值为_____． 32．已知均为正整数，且满足：，则________． 33．若正整数满足整除．请写出符合条件的的一组数：____________________ ． 题型12.因式分解式子规律探究 34．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图所示，它给出了（为非负整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如： 请利用以上规律求出的展开式，则的值是 ________ ． 35．观察规律：， ， ， 若（为正整数），则的值为______． 36．我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，若，则的值是__________． 题型13.新定义运算 37．定义：若一个正整数能表示成两个相邻偶数，的平方差，即，且的算术平方根是一个正整数，则称正整数是“双方数”．例如：，，36就是一个“双方数”．若将“双方数”从小到大排列，第100个“双方数”为_____． 38．我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为7，则称A为“积减数”，并把A分解成的过程称为“积减分解”．例如：因为，15与12的十位数字相同，个位数字5与2的和为7，所以45是“积减数”．按照这个规定，最小的“积减数”是______，把一个“积减数”A进行“积减分解”，即，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B与m的差除以17的余数为15，则满足条件的所有正整数A的和为_______． 39．定义：对于任意四个有理数，，，，定义一种新运算：． (1)求的值； (2)若，则______； (3)若有理数，满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点，，，分别在边，，，上，连接，交于点，且，将长方形分割成四个小长方形．若，，，，在①的条件下，请直接写出由线段，，，围成的图形的面积． 题型14.因式分解中配方法应用 40．将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：， ，，当时，多项式有最小值． 已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为______． 41．我们知道，和这样的式子可以运用完全平方公式进行因式分解．有些多项式不是完全平方式，我们可以用配方法将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：①分解因式：； 解：原式 ； ②求代数式的最小值． 解：原式， ∵，∴， ∴当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)当x为何值时，有最小值？最小值为多少？ (3)求证：无论x，y取任何实数，代数式的值恒为正数． 42．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值． 解：． ，， 当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：________； (2)已知，求的值． (3)已知，，试比较，的大小． (4)若为有理数且满足，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $