专题02 方程（组）与不等式（组）的7大常考题型（题型专练）（河北专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题02 方程（组）与不等式（组）的常考题型 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 一元一次方程的应用 题型02 二元一次方程组解法 题型03 二元一次方程组的实际应用 题型04 一元二次根的判别式的应用 题型05 一元二次方程根与系数的关系 题型06 解一元一次不等式（组） 题型07 解一元一次不等式的应用 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 一元一次方程的应用 典例引领 【典例01】（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则______．    【答案】99 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为： ，设重叠部分的长度为k，则，，根据重叠后的总长度为81为等量关系列出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：重叠部分为： ， 设重叠部分的长度为k，则，， 重叠后的总长度为：，即， 代入，得：， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：99． 【典例02】（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了科学记数法，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键； （1）根据，代入数据进行计算即可求解； （2）根据定义求得铁的线膨胀系数，进而设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 答：该铜棒的伸长量． （2）解：， 解得：， 设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得：， 答：铁的线膨胀系数，该铁棒温度的增加． （3）解：设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得： ， 答：该铁棒温度的增加量为． 方法透视 考向解读 近三年河北中考常以选择题形式考查一元一次方程的基本解法，如2024年第1题考查不等式的解，但一元一次方程解法本身属基础题。强调去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1五个步骤的规范，不涉及复杂变形，重在运算准确性和过程规范。 方法技能 遵循“五步法”：去分母（两边同乘最小公倍数，勿漏常数项）、去括号（括号前为负号时括号内各项变号）、移项（移项要变号）、合并同类项（化ax=-b形式）、系数化为1（两边同除以系数a）。结果化为最简分数，勿保留假分数或带分数。 变式演练 【变式01】（24-25七年级上·山东济宁·期末）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能是（   ） A．105 B．77 C．98 D．56 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设这个数中最小的数为，则这个数的和为，分别代入各选项中的数，解之可得出的值，结合为整数，即可得出结论． 【详解】解：设这个数中最小的数为，则另外个数分别为，，，，，， 这个数的和为． A．根据题意得：， 解得：， ∵在第2列，符合题意，选项A不符合题意； 这个数的和可以是 B．根据题意得：， 解得：， ∵2在第五列， 这个数的和可以是，选项B不符合题意； C．根据题意得：， 解得：， ∵在第1列， 这个数的和可以是，选项C不符合题意；； D．根据题意得：， 解得：，不符合题意， 这个数的和不可以是，选项符合题意； 故选：D． 【变式02】（2025·河北石家庄·二模）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托5尺）译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”下列说法不正确的是（    ） A．设绳长为尺，所列方程为 B．设竿长为尺，所列方程为 C．绳子的长度为20尺 D．竿的长度为15尺 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程组的应用，设竿长为尺，或设绳长为尺，分别列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设竿长为尺，所列方程为 解得：， 则绳子的长度为 设绳长为尺，则竿长为尺，所列方程为 解得：，则竿长为 故选：A． 【变式03】（2026·河北石家庄·一模）如图，每个台阶上都标着一个数，按照从下到上的顺序，每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大，已知第个台阶上的数是． (1)求第个台阶上的数； (2)求第几个台阶上的数是． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大，列式计算即可； （2）先得出第个台阶上的数是，根据台阶上的数是，列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：∵每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大，第个台阶上的数是， ∴第个台阶上的数是． （2）解：第个台阶上的数是， 第个台阶上的数是， 第个台阶上的数是， ……， ∴第个台阶上的数是， 当台阶上的数是时，， 解得：， ∴第个台阶上的数是． 题型02 二元一次方程组解法 典例引领 【典例01】（2025·河北邯郸·一模）已知，都是实数，观察表中的运算，则的值为（   ） 的运算 运算的结果 7 A．21 B． C．40 D． 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组，已知字母的值求代数式的值．根据题意先得出，，后将代入中即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴将，代入得， 故选：D． 【典例02】（2025·河北沧州·一模）已知，是关于x，y的二元一次方程组，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是用整体法，把两式相加直接得出结论． 把方程组的两个方程相加得到，进而即可求得． 【详解】解：， 由， 可得， 解得，， ， 故选：A． 方法透视 考向解读 河北中考中二元一次方程组的解法主要考查消元思想，包括代入消元法和加减消元法。试题不单独出现，往往融入数字问题或代数式变形，如与有理数运算结合，要求学生根据方程特点灵活选用消元方法，快速求解。 方法技能 观察系数特征选择方法：某未知数系数为1或-1时用代入法，系数成倍数关系时用加减法。若两方程同未知数系数相等或相反，直接加减消元；否则先将系数化为相同或相反再加减。注意计算过程中的符号处理，避免粗心错误。 变式演练 【变式01】（2025·河北沧州·模拟预测）若，则用含有y的代数式表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代入消元法，先根据，得，整理得，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式02】（2025·河北邯郸·三模）若是关于x，y的二元一次方程，且，，则的值是（　　） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，不等式的性质，含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．根据二元一次方程的定义得到，求出，，然后由，得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， 得：， 解得：，， ∵， ∴，或，， ∵， 当，时，，符合题意； 当，时，，不符合题意； ∴，， ∴． 故选：B． 【变式03】（2025·河北秦皇岛·一模）定义新运算： ①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向或负方向．平移个单位长度，再沿着轴正方向或负方向平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作． ②加法运算法则：，其中，，，为实数． 若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查直角坐标系中点的平移，二元一次方程组，熟练理解题意并根据题意列式是解题的关键．根据题意列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：∵， 根据加法运算法则，得， 解得：， 则， 故答案为：． 题型03 二元一次方程组的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·河北邢台·三模）甲、乙两人进行一分钟跳绳练习，结束后，甲说：“我的跳绳个数加你的跳绳个数的刚好等于220个”；乙说：“我的跳绳个数加你的跳绳个数的刚好也等于220个”．设甲的跳绳个数为x个，乙的跳绳个数为y个，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的相关应用，根据题意列出方程组，整理和解方程组即可得到答案． 【详解】解：由题意，可列方程组为． 得， 化简得， 解得， 故选：D． 【典例02】（2025·河北秦皇岛·一模）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名的数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？下列说法错误的是（   ） A．设鸡有x只，所列方程为 B．设鸡有x只，兔有y只，所列方程组为 C．假设每只动物抬起2只脚，则剩余脚数为只，此时鸡无脚站立，剩余均为兔脚，每只兔剩2只脚，故有12只兔． D．假设所有动物均为兔，则应有只脚，但实际有94只脚，少出46只脚；每只鸡少2只脚，所以有23只鸡． 【答案】A 【分析】该题考查了一元一次方程和二元一次方程的应用，根据题意解答即可． 【详解】解：A．设鸡有x只，则兔有只， 则所列方程为，故该选项错误，符合题意； B．设鸡有x只，兔有y只，所列方程组为，故该选项正确，不符合题意； C．假设每只动物抬起2只脚，则剩余脚数为只，此时鸡无脚站立，剩余均为兔脚，每只兔剩2只脚，故有12只兔，故该选项正确，不符合题意； D．假设所有动物均为兔，则应有只脚，但实际有94只脚，少出只脚；每只鸡少2只脚，所以有23只鸡，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 方法透视 考向解读 河北中考通过列二元一次方程组解决数字问题、应用性问题、函数或几何问题，体现方程的工具性和方程思想的重要性。常以利润问题（售价、折扣、利润率）、行程问题（相遇、追及）、工程问题（工作效率）为载体。 方法技能  解题六步：审（分清已知未知）、设（设未知数，注明单位）、找（找等量关系）、列（列方程）、解（求解方程）、验（检验解是否符合实际）。利润问题用“售价-进价=利润”，行程问题用“路程=速度×时间”，工程问题用“工作总量=效率×时间”。 变式演练 【变式01】（2025·河北唐山·一模）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．”其可译为：“有5只麻雀、6只燕子，分别在衡上称量之，麻雀在一起重，燕子在一起轻．将1只麻雀、1只燕子交换，衡恰好平衡．麻雀与燕子合起来共重1斤（1斤等于16两）．”设雀、燕每只各重x、y两，则下列说法错误的是（   ） A．依题意 B．依题意 C．依题意 D．一只燕的重量是两 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．根据将一只雀一只燕交换位置而放，天平恰好平衡，5只雀、6只燕重量共16两，列出方程组即可，求解即可． 【详解】解：设1只雀重x两，一只燕重y两， 由题意，得：，，． 解得，， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 【变式02】（23-24九年级上·湖南怀化·期末）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余尺，可得，根据将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺可得，据此列出方程组即可． 【详解】解：可设木头长为x尺，绳子长为y尺， 由题意得，， 故选：A． 【变式03】（2026·河北石家庄·一模）已知整点（横纵坐标都是整数）在平面直角坐标系内做“跳马运动”（即中国象棋“日”字形跳跃）．例如在图1中，从点做一次“跳马运动”，可以到点也可以到达点．如图2，点沿轴正方向向右上方做跳马运动，若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置．称为做一次“正竖跳马”．当点连续做了次“正横跳马”和次“正竖跳马”后，到达点，求的值为（   ）． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】由题意可得，做一次“正横跳马”横坐标增加2，纵坐标增加1，做一次“正竖跳马”横坐标增加1，纵坐标增加2，据此列方程组进行求解即可． 【详解】解：由题意，当点先连续做了次“正横跳马”，再连续做次“正竖跳马”后，到达点，则： ， ①②，得：， ， 题型04 一元二次根的判别式的应用 典例引领 【典例01】（2025·河北保定·一模）问题“解方程”，嘉嘉说“不管为何值时，方程均有两个实数根”，琪琪说“方程有两个实数根，而且一定是两个正数根”，珍珍说“此方程无实数根”．则下列结论正确的是（   ） A．嘉嘉说得对 B．琪琪说得对 C．珍珍说得对 D．三名同学说法都不对 【答案】A 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况和根与系数关系，解题关键是熟练掌握根的判别式及根据根据判别式判断一元二次方程根的情况． 由题意得出系数后，根据根的判别式判断方程有两个不相等的实数根，再由两根之积为负数得出两根异号即可求解． 【详解】解：方程中，，，， ， ∴不管为何值时，方程均有两个不相等的实数根， 方程的两根之积为，故方程的两个实数根，而且方程的两个实数根一定异号， 综上所述：嘉嘉说法正确，琪琪、珍珍说法错误． 故选：A． 【典例02】（2025·河北秦皇岛·一模）已知关于x的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，错误的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．两根互为相反数 C．两根异号 D．实数根的个数与实数b的取值无关 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，先通过根的判别式可得实数根的个数与实数b的取值无关，再利用根与系数的关系可得，则两根异号，熟练运用相关公式是解题的关键． 【详解】解：， 该方程有两个不相等的实数根，实数根的个数与实数b的取值无关，故A,D正确不符合题意； ， 两根异号，两根不一定互为相反数，故B错误，符合题意，C正确不符合题意， 故选：B． 方法透视 考向解读 根的判别式是河北中考高频考点，常在选择题或填空题中单独考查。题目要求根据Δ=b²-4ac判断方程根的情况（两不等实根、两相等实根、无实根），或已知根的情况求参数取值范围，强调判别式的准确计算和符号判断。 方法技能  先将方程化为标准形式ax²+bx+c=0（a≠0），计算Δ=b²-4ac。Δ＞0⇔两不等实根，Δ=0⇔两相等实根，Δ＜0⇔无实根。已知根的情况求参数时，列相应不等式求解，注意二次项系数不为0的前提。 变式演练 【变式01】（2025·河北秦皇岛·一模）关于x的一元二次方程，下列说法正确的是（   ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．两根之和为0 D．两根之积为5 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式“对于一元二次方程，它的根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根”，一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，则，”，熟练掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系求解即可得． 【详解】解：关于的一元二次方程根的判别式为， ∵， ∴， ∴这个方程有两个不相等的实数根； 由一元二次方程的根与系数的关系得：两根之和，两根之积为， 综上所述，选项B正确， 故选：B． 【变式02】（2025·河北邢台·一模）小明在解关于的一元二次方程时，把一次项的符号抄成“+”，得到其中一个根是，则方程根的情况是（　　） A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个实数根 D．有一个根是 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的解和根的判别式．先求出，再根据判别式得到，即可得到结论． 【详解】解：由题意可得， 解得，， 对于方程， ∵， ∵， ∴方程根的情况是有两个实数根， 故选：C 【变式03】（2025·河北邯郸·三模）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列关于的值判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，表示出这个根，求出所求即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，且， 故选：C 题型05 一元二次方程根与系数的关系 典例引领 【典例01】（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 【典例02】（2026·河北张家口·一模）嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】C 【分析】先根据写错的方程的根得到a与b的关系，再进行验证甲、乙说法的正确性，分别用到一元二次方程根的定义和根的判别式的性质． 【详解】解：由题意可知，写错一次项系数后的方程为， ∵该方程一个根为， ∴将代入得， 解得， 甲：∵原方程为， ∴将代入原方程得， 解得， ∴是原方程的根，甲说法正确； 乙：由题意得，， 代入得， ， 当时，，即， ∴原方程有两个不相等的实数根，乙说法正确． ∴甲、乙都对． 方法透视 考向解读 2022年版课标将韦达定理调整为考查内容，2025年河北中考样卷已新增此知识点。考查形式包括已知方程求两根代数式的值（如x₁²+x₂²、），或将代数式变形后应用韦达定理求解。 方法技能  将方程化为ax²+bx+c=0，Δ≥0时适用。。求对称式如x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂，x₁³+x₂³=(x₁+x₂)³-3x₁x₂(x₁+x₂)。 变式演练 【变式01】（2025·河北石家庄·二模）关于的一元二次方程中，，则该方程根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为 D．两根之和为1 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据题意可得，则原方程有两个不相等的实数根，再由根与系数的关系得到两根之积为，两根之和为，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根， ∴两根之积为，两根之和为， ∴方程的两个实数根为一正一负， ∵， ∴， ∴四个选项中只有C选项说法正确，符合题意； 故选：C． 【变式02】（2025·河北邯郸·二模）若是一元二次方程（为常数）的一个根，则这个方程的另一个根为（    ） A． B．6 C．1 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解． 此题也可先将代入方程中，求出k的值，再将k代入原方程，求方程的另一根，即可解答． 【详解】解：将是一元二次方程得 ， 解得， ∴原方程可化为， 解得 则另一个根为． 故选：A． 【变式03】（2026·河北张家口·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)当时，嘉嘉用配方法解一元二次方程的过程如下： 当时，．…………………………………第一步 移项，得，………………………………………第二步 配方，得，即，…………第三步 由此可得，，……………………………………第四步 ∴，．……………………………第五步 请指出嘉嘉在第 步出现了错误，并写出正确的解答过程； (2)若方程的两个实数根分别是和，且，求的值． 【答案】(1)二，见解析 (2) 【分析】（1）根据配方法计算即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系解题即可． 【详解】（1）解：在第二步出现了错误；正确的解答过程如下： 当时，， 移项，得， 配方，得，即， 由此可得，， ∴，； （2）解：由题意知，， ∵，， ∴， 解得， 代入判别式成立， ∴． 题型06 解一元一次不等式（组） 典例引领 【典例01】（2025·河北·中考真题）（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的解集，熟知解不等式和解不等式组的方法是解题的关键． （1）把不等式两边同时除以2求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） 不等式两边同时除以2得， 数轴表示如下所示： （2） 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （3） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 【典例02】（2025·河北唐山·三模）下列数中，能使的值为负数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据题意得，解不等式，即可求解． 【详解】解：， 解得：， 故选：A． 方法透视 考向解读 近三年河北中考常以选择题形式考查不等式（组）的解法及在数轴上表示解集。如2024年河北真题考查解一元一次不等式及判断不等式的解，强调不等式的三个基本性质（加、乘、除）的正确应用。不等式的实际应用常与方程结合，考查方案选择、最值问题，如根据“不少于”“不超过”“至少”等关键词列出不等式，确定取值范围后讨论整数解方案。强调从实际问题中提取不等关系，建立数学模型的能力。 方法技能  解不等式组：分别解每个不等式，口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”。数轴表示：实心点表示包含该数（≥、≤），空心点表示不包含（＞、＜）。注意不等式两边同乘（或除以）负数时，不等号方向要改变-。设未知数，根据“不少于”“不超过”“至少”等关键词列不等式，常与方程结合——先列方程求基本量，再列不等式确定范围。涉及方案选择时，在范围内枚举整数解，逐一计算比较，选出最优方案。注意结果要符合实际意义（人数为正整数、时间为正数等）。 变式演练 【变式01】（2026·河北石家庄·一模）下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是（   ） 不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向 不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质可得在系数化为的过程中，前面的系数为负数，且不等号为大于等于号，由此即可得到答案． 【详解】解：∵不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向， ∴在系数化为的过程中，不等式改变了方向， ∵不等式的解集为， ∴在系数化为的过程中，前面的系数为负数，且不等号为大于等于号， ∴四个选项中，只有选项符合题意． 【变式02】（2026·河北张家口·一模）能使不等式成立的负整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解： ， ， ， ， ∴ 满足条件的负整数只有，共个． 【变式03】（2025·河北邯郸·一模）如下是佳佳作业中的两个问题的解答过程，老师的批改结果是“两个问题都有错误”： 第一题：解不等式． 解：去分母，得，……① 去括号，得，……② 移项，得，……③ 合并同类项，得，……④ 系数化为1，得．……⑤ 第二题：分解因式：． 解：原式……① ……② ……③ ．……④ (1)指出两个问题的解题过程中的所有错误；（写步骤序号） (2)任选一个题目，写出正确的解题过程． 【答案】(1)第一题的错误是步骤②和⑤，第二题的错误是步骤④ (2)见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式、因式分解，熟练掌握一元一次不等式的解法步骤以及因式分解是解答的关键． （1）根据去括号法则和不等式的性质，以及因式分解的结果要求逐步检查即可； （2）若选第一题，根据一元一次不等式的解法步骤正确求解即可；若选第二题，根据因式分解的方法步骤正确求解即可． 【详解】（1）解：∵第一题中由①到②去括号时忘记乘以3了，④到⑤没有变号导致错误， ∴第一题的错误是步骤②和⑤， ∵第二题中到③时已经分解因式完成，再进行④就是又一轮乘法公式了， ∴第二题的错误是步骤④； （2）解：第一题：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； 第二题：， 解：原式 ． 题型07 解一元一次不等式的应用 典例引领 【典例01】（2025·河北张家口·二模）如图所示的等式： (1)若，，求的值； (2)若，，求的最小整数值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式求值，解不等式，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）把，代入求值即可； （2）由题意得，所以，结合，求出，从而可得的最小整数值． 【详解】（1）解：若，， 则． （2）解：当时，， 即． ∵， ∴， 解得：， ∴的最小整数值为． 【典例02】（2025·河北·中考真题）平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，不等式组的整数解，根据题意得出，进而写出一个整数解即可求解． 【详解】解：依题意， ∴， ∵为整数， ∴可以是，，，， 故答案为：（答案不唯一）． 方法透视 考向解读 不等式的实际应用常与方程结合，考查方案选择、最值问题，如根据“不少于”“不超过”“至少”等关键词列出不等式，确定取值范围后讨论整数解方案。强调从实际问题中提取不等关系，建立数学模型的能力。 方法技能  设未知数，根据“不少于”“不超过”“至少”等关键词列不等式，常与方程结合——先列方程求基本量，再列不等式确定范围。涉及方案选择时，在范围内枚举整数解，逐一计算比较，选出最优方案。注意结果要符合实际意义（人数为正整数、时间为正数等）。 变式演练 【变式01】（2026·河北张家口·一模）数轴上有A，B两点，点A表示的数是，点B表示的数是． (1)当时，求线段的长； (2)若点A在点B的右侧，求符合要求的的最小整数值． 【答案】(1)3 (2)0 【分析】（1）将代入计算即可； （2）根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时，点表示的数是，点表示的数是， ∴； （2）解：由题意知， 解得， ∴的最小整数值为． 【变式02】（2025·河北保定·一模）李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数． (1)若被手遮挡的数是，求这个算式的值； (2)若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值． 【答案】(1)这个算式的值为 (2)被遮挡的数的最小值为 【分析】本题主要考查了有理数的加减乘除运算，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题关键． （1）将直接代入算式即可求解； （2）设被遮挡的数为，根据题意得，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：若被手遮挡的数是，则， 这个算式的值为． （2）解：设被遮挡的数为， 由题意得：， 解得：， 被遮挡的数的最小值为． 【变式03】（2025·河北邯郸·二模）数学活动课上，课代表嘉嘉同学设计了一款游戏，如图，用，，三张卡片分别表示一种运算： (1)淇淇同学将数字4经过的顺序运算，请你列出算式并求出计算结果； (2)若实数经过的顺序运算后，计算结果小于7，求的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、解一元一次不等式，熟练掌握有理数运算的法则是解题的关键． （1）仿照示例，即可得到运算结果； （2）仿照示例，得到，解答即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意，得 ； （2）解：由题得， ， ， ． 题●型●训●练 36．（2026·河北石家庄·一模）已知，是关于的一元二次方程的两个根且，则的值是（   ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用关系得到两根和与两根积，代入已知等式即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根． ∴，． 又∵． ∴代入，得． 解得． 验证得判别式，方程有两个实根，符合题意． 37．在关于的一元一次方程中，是正整数．对下面两个说法判断正确的是（    ） 甲：当时，方程的解为； 乙：若方程有正整数解，则 A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的求解及正整数解的确定，关键是先将方程变形为用含的代数式表示，再分别对甲、乙的说法进行分析验证． （1）对于甲的说法，将代入的表达式计算，或代入原方程验证解的正确性； （2）对于乙的说法，根据为正整数且为正整数，确定的取值范围，再逐一代入验证，判断是否存在其他值使为正整数． 【详解】解：解方程，得． 验证甲的说法：当时，， 代入左边，右边， 左边=右边，故甲的说法正确； 验证乙的说法：∵方程有正整数解， ∴是正整数，且为正整数， ∴，解得， ∴的可能取值为1，2，3． 当时，，不是正整数； 当时，，是正整数； 当时，，不是正整数； 当时，，不是正整数； ∴只有时方程有正整数解，故乙的说法正确． 综上，甲、乙都正确， 故选：A． 38．（2025·河北保定·一模）点在数轴上的位置如图所示，设点对应的数为，若，则符合条件的的整数值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的解集，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 利用的取值范围推出的取值范围，从而推出的取值范围即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴符合条件的整数值为：； 故答案为：． 39．（2025·河北保定·二模）已知关于的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则的值为___________． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由根于系数的关系得，即可求解；掌握、是一元二次方程的两个根，则有是解题的关键． 【详解】解：设其中一个根为，另一个根为， ， 解得：， 故答案为：4． 40．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 【答案】(1)A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元 (2)4种 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购进A款哪吒玩偶的数量比用元购进B款哪吒玩偶少个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B款哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出A款哪吒玩偶的单价； （2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，根据“购进B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出共有4种进货方案． 【详解】（1）解：设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元； （2）解：设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为，，，， ∴共有4种进货方案． 答：该超市共有4种进货方案． 41．（2025·河北保定·一模）如图，在一个圆形转盘上，标有五个有理数． (1)求这已知的四个数的和； (2)若横排三个数的和与竖列三个数的和相等． ①求的值； ②求这四个数的平均数． 【答案】(1)5 (2)①3 ②1 【分析】本题主要考查了有理数的加法，求平均数，解一元一次方程： （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）①根据题意列出关于a的一元一次方程，求解即可；②由①知，根据平均数的计算公式求解即可． 【详解】（1）已知的四个数的和为； （2）①由题意可知， ； ②由①知， 这四个数的平均数为 42．（2025·河北石家庄·三模）如图，小明设计了一个计算程序．输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如：输入，得到，． (1)若输入，则________，________； (2)若得到，求输入的x值及相应n的值； (3)若得到的m值比n值大，那么输入的x值需要满足什么条件？ 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，理解程序图是解题的关键． （1）根据程序图输入，即可求解； （2）根据程序图可得，从而得到，即可求解； （3）根据得到的m值比n值大，可得到关于x的不等式，即可求解． 【详解】（1）解：输入，得到，； 故答案为：2；1； （2）解：由题意得： ， 解得：， ∴； （3）解：由计算程序，可知，． ∵m值比n值大， ∴， 解得：． 43．（2025·河北邢台·三模）如图，甲、乙两个图形都由长方形或正方形拼成，边长数据如图所示． (1)若甲、乙两图的外轮廓周长相等，求x的值； (2)求甲图的面积（用含x的代数式表示）； (3)若甲图的面积比乙图的面积大1，求乙图的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求长方形的周长和面积、整式的乘法运算、解一元二次方程．核心素养表现为抽象能力和运算能力． （1）根据长方形的周长公式列式计算即可求解； （2）利用长方形的面积公式列式即可； （3）根据，得到，解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得； （2）解：； （3）解：由题意，得， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴． 44．（2026·河北邯郸·一模）在“趣味数学”社团活动上，小星设计了如图所示的卡片游戏，在卡片上写上式子，将相邻两张卡片上的式子的和告诉参与者． (1)小芳参与了游戏，小星在卡片上写了三个根式，让小芳判断哪张卡片上的根式最大，小芳将小星告诉她的相邻两张卡片上的根式的和简记如下：，，，则卡片__________（填字母）上的根式最大； (2)小冀也参与了游戏，小星在卡片上写了三个整式．小冀将小星告诉他的相邻两张卡片上的整式的和简记如下：，，小星还告诉小冀C卡片上写的整式为． ①请你帮小冀求卡片A，B上写的整式； ②若卡片A，B上写的整式的和等于4，求x的值． 【答案】(1)C (2)①；；② 【分析】（1）根据题意列出三元一次方程组，求解，再比较大小即可； （2）①根据题意列出三元一次方程组，求解即可； ②根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得方程组：， 三式相加得， 则， ，得， ，得， ，得， ∵， 因此卡片C上的根式最大； （2）解：①由题意可知， 解得， ②由题意， 解得． 45．（25-26七年级上·河北保定·期末）【阅读理解】 定义：如图，线段上一点将线段分成两条线段，，若或，则称点为线段的“好点”． （1）如图是线段的“好点”，且，则_____． 【迁移运用】 （2）如图2，点，点是数轴上两点，表示的数分别为，3，一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒． ①点，之间的距离是_____个单位长度； ②当点是线段的“好点”时，求的值； ③若在点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．请直接写出点三点中，其中一点是另外两个点确定的线段的“好点”时的值． 【答案】（1）2；（2）①9；②或；③或 【分析】本题主要考查了新定义下的线段关系，线段的和差，实数和数轴，两点之间的距离，解一元一次方程，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）根据新定义求出相关线段的长度，然后利用线段的和差进行求解即可； （2）①根据两点之间的距离公式进行求解即可； ②根据“好点”定义分两种情况进行讨论即可； ③求出秒后点和点表示的数，表示出和的长度，然后分两种情况进行求解即可． 【详解】解：（1）根据“好点”定义得， ，， ∴， 故答案为：2； （2）①点，之间的距离为， 故答案为：9； ②当时， ； 当时， ； 综上，或； （3）秒后点表示的数为，点表示的数为， ，， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上，或． 试卷第2页，共32页 公司12 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程（组）与不等式（组）的常考题型 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 一元一次方程的应用 题型02 二元一次方程组解法 题型03 二元一次方程组的实际应用 题型04 一元二次根的判别式的应用 题型05 一元二次方程根与系数的关系 题型06 解一元一次不等式（组） 题型07 解一元一次不等式的应用 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 一元一次方程的应用 典例引领 【典例01】（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则______．    【典例02】（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 方法透视 考向解读 近三年河北中考常以选择题形式考查一元一次方程的基本解法，如2024年第1题考查不等式的解，但一元一次方程解法本身属基础题。强调去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1五个步骤的规范，不涉及复杂变形，重在运算准确性和过程规范。 方法技能 遵循“五步法”：去分母（两边同乘最小公倍数，勿漏常数项）、去括号（括号前为负号时括号内各项变号）、移项（移项要变号）、合并同类项（化ax=-b形式）、系数化为1（两边同除以系数a）。结果化为最简分数，勿保留假分数或带分数。 变式演练 【变式01】（24-25七年级上·山东济宁·期末）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能是（   ） A．105 B．77 C．98 D．56 【变式02】（2025·河北石家庄·二模）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托5尺）译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”下列说法不正确的是（    ） A．设绳长为尺，所列方程为 B．设竿长为尺，所列方程为 C．绳子的长度为20尺 D．竿的长度为15尺 【变式03】（2026·河北石家庄·一模）如图，每个台阶上都标着一个数，按照从下到上的顺序，每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大，已知第个台阶上的数是． (1)求第个台阶上的数； (2)求第几个台阶上的数是． 题型02 二元一次方程组解法 典例引领 【典例01】（2025·河北邯郸·一模）已知，都是实数，观察表中的运算，则的值为（   ） 的运算 运算的结果 7 A．21 B． C．40 D． 【典例02】（2025·河北沧州·一模）已知，是关于x，y的二元一次方程组，则（   ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 河北中考中二元一次方程组的解法主要考查消元思想，包括代入消元法和加减消元法。试题不单独出现，往往融入数字问题或代数式变形，如与有理数运算结合，要求学生根据方程特点灵活选用消元方法，快速求解。 方法技能 观察系数特征选择方法：某未知数系数为1或-1时用代入法，系数成倍数关系时用加减法。若两方程同未知数系数相等或相反，直接加减消元；否则先将系数化为相同或相反再加减。注意计算过程中的符号处理，避免粗心错误。 变式演练 【变式01】（2025·河北沧州·模拟预测）若，则用含有y的代数式表示应为（   ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·河北邯郸·三模）若是关于x，y的二元一次方程，且，，则的值是（　　） A． B．2 C．4 D． 【变式03】（2025·河北秦皇岛·一模）定义新运算： ①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向或负方向．平移个单位长度，再沿着轴正方向或负方向平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作． ②加法运算法则：，其中，，，为实数． 若，则_____． 题型03 二元一次方程组的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·河北邢台·三模）甲、乙两人进行一分钟跳绳练习，结束后，甲说：“我的跳绳个数加你的跳绳个数的刚好等于220个”；乙说：“我的跳绳个数加你的跳绳个数的刚好也等于220个”．设甲的跳绳个数为x个，乙的跳绳个数为y个，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·河北秦皇岛·一模）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名的数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？下列说法错误的是（   ） A．设鸡有x只，所列方程为 B．设鸡有x只，兔有y只，所列方程组为 C．假设每只动物抬起2只脚，则剩余脚数为只，此时鸡无脚站立，剩余均为兔脚，每只兔剩2只脚，故有12只兔． D．假设所有动物均为兔，则应有只脚，但实际有94只脚，少出46只脚；每只鸡少2只脚，所以有23只鸡． 方法透视 考向解读 河北中考通过列二元一次方程组解决数字问题、应用性问题、函数或几何问题，体现方程的工具性和方程思想的重要性。常以利润问题（售价、折扣、利润率）、行程问题（相遇、追及）、工程问题（工作效率）为载体。 方法技能  解题六步：审（分清已知未知）、设（设未知数，注明单位）、找（找等量关系）、列（列方程）、解（求解方程）、验（检验解是否符合实际）。利润问题用“售价-进价=利润”，行程问题用“路程=速度×时间”，工程问题用“工作总量=效率×时间”。 变式演练 【变式01】（2025·河北唐山·一模）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．”其可译为：“有5只麻雀、6只燕子，分别在衡上称量之，麻雀在一起重，燕子在一起轻．将1只麻雀、1只燕子交换，衡恰好平衡．麻雀与燕子合起来共重1斤（1斤等于16两）．”设雀、燕每只各重x、y两，则下列说法错误的是（   ） A．依题意 B．依题意 C．依题意 D．一只燕的重量是两 【变式02】（23-24九年级上·湖南怀化·期末）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式03】（2026·河北石家庄·一模）已知整点（横纵坐标都是整数）在平面直角坐标系内做“跳马运动”（即中国象棋“日”字形跳跃）．例如在图1中，从点做一次“跳马运动”，可以到点也可以到达点．如图2，点沿轴正方向向右上方做跳马运动，若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置．称为做一次“正竖跳马”．当点连续做了次“正横跳马”和次“正竖跳马”后，到达点，求的值为（   ）． A．5 B．6 C．7 D．8 题型04 一元二次根的判别式的应用 典例引领 【典例01】（2025·河北保定·一模）问题“解方程”，嘉嘉说“不管为何值时，方程均有两个实数根”，琪琪说“方程有两个实数根，而且一定是两个正数根”，珍珍说“此方程无实数根”．则下列结论正确的是（   ） A．嘉嘉说得对 B．琪琪说得对 C．珍珍说得对 D．三名同学说法都不对 【典例02】（2025·河北秦皇岛·一模）已知关于x的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，错误的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．两根互为相反数 C．两根异号 D．实数根的个数与实数b的取值无关 方法透视 考向解读 根的判别式是河北中考高频考点，常在选择题或填空题中单独考查。题目要求根据Δ=b²-4ac判断方程根的情况（两不等实根、两相等实根、无实根），或已知根的情况求参数取值范围，强调判别式的准确计算和符号判断。 方法技能  先将方程化为标准形式ax²+bx+c=0（a≠0），计算Δ=b²-4ac。Δ＞0⇔两不等实根，Δ=0⇔两相等实根，Δ＜0⇔无实根。已知根的情况求参数时，列相应不等式求解，注意二次项系数不为0的前提。 变式演练 【变式01】（2025·河北秦皇岛·一模）关于x的一元二次方程，下列说法正确的是（   ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．两根之和为0 D．两根之积为5 【变式02】（2025·河北邢台·一模）小明在解关于的一元二次方程时，把一次项的符号抄成“+”，得到其中一个根是，则方程根的情况是（　　） A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个实数根 D．有一个根是 【变式03】（2025·河北邯郸·三模）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列关于的值判断正确的是（    ） A． B． C． D． 题型05 一元二次方程根与系数的关系 典例引领 【典例01】（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例02】（2026·河北张家口·一模）嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 方法透视 考向解读 2022年版课标将韦达定理调整为考查内容，2025年河北中考样卷已新增此知识点。考查形式包括已知方程求两根代数式的值（如x₁²+x₂²、），或将代数式变形后应用韦达定理求解。 方法技能  将方程化为ax²+bx+c=0，Δ≥0时适用。。求对称式如x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂，x₁³+x₂³=(x₁+x₂)³-3x₁x₂(x₁+x₂)。 变式演练 【变式01】（2025·河北石家庄·二模）关于的一元二次方程中，，则该方程根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为 D．两根之和为1 【变式02】（2025·河北邯郸·二模）若是一元二次方程（为常数）的一个根，则这个方程的另一个根为（    ） A． B．6 C．1 D．4 【变式03】（2026·河北张家口·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)当时，嘉嘉用配方法解一元二次方程的过程如下： 当时，．…………………………………第一步 移项，得，………………………………………第二步 配方，得，即，…………第三步 由此可得，，……………………………………第四步 ∴，．……………………………第五步 请指出嘉嘉在第 步出现了错误，并写出正确的解答过程； (2)若方程的两个实数根分别是和，且，求的值． 题型06 解一元一次不等式（组） 典例引领 【典例01】（2025·河北·中考真题）（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 【典例02】（2025·河北唐山·三模）下列数中，能使的值为负数的为（   ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 近三年河北中考常以选择题形式考查不等式（组）的解法及在数轴上表示解集。如2024年河北真题考查解一元一次不等式及判断不等式的解，强调不等式的三个基本性质（加、乘、除）的正确应用。不等式的实际应用常与方程结合，考查方案选择、最值问题，如根据“不少于”“不超过”“至少”等关键词列出不等式，确定取值范围后讨论整数解方案。强调从实际问题中提取不等关系，建立数学模型的能力。 方法技能  解不等式组：分别解每个不等式，口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”。数轴表示：实心点表示包含该数（≥、≤），空心点表示不包含（＞、＜）。注意不等式两边同乘（或除以）负数时，不等号方向要改变-。设未知数，根据“不少于”“不超过”“至少”等关键词列不等式，常与方程结合——先列方程求基本量，再列不等式确定范围。涉及方案选择时，在范围内枚举整数解，逐一计算比较，选出最优方案。注意结果要符合实际意义（人数为正整数、时间为正数等）。 变式演练 【变式01】（2026·河北石家庄·一模）下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是（   ） 不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向 不等式的解集为 A． B． C． D． 【变式02】（2026·河北张家口·一模）能使不等式成立的负整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式03】（2025·河北邯郸·一模）如下是佳佳作业中的两个问题的解答过程，老师的批改结果是“两个问题都有错误”： 第一题：解不等式． 解：去分母，得，……① 去括号，得，……② 移项，得，……③ 合并同类项，得，……④ 系数化为1，得．……⑤ 第二题：分解因式：． 解：原式……① ……② ……③ ．……④ (1)指出两个问题的解题过程中的所有错误；（写步骤序号） (2)任选一个题目，写出正确的解题过程． 题型07 解一元一次不等式的应用 典例引领 【典例01】（2025·河北张家口·二模）如图所示的等式： (1)若，，求的值； (2)若，，求的最小整数值． 【典例02】（2025·河北·中考真题）平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为______．（写出一个即可） 方法透视 考向解读 不等式的实际应用常与方程结合，考查方案选择、最值问题，如根据“不少于”“不超过”“至少”等关键词列出不等式，确定取值范围后讨论整数解方案。强调从实际问题中提取不等关系，建立数学模型的能力。 方法技能  设未知数，根据“不少于”“不超过”“至少”等关键词列不等式，常与方程结合——先列方程求基本量，再列不等式确定范围。涉及方案选择时，在范围内枚举整数解，逐一计算比较，选出最优方案。注意结果要符合实际意义（人数为正整数、时间为正数等）。 变式演练 【变式01】（2026·河北张家口·一模）数轴上有A，B两点，点A表示的数是，点B表示的数是． (1)当时，求线段的长； (2)若点A在点B的右侧，求符合要求的的最小整数值． 【变式02】（2025·河北保定·一模）李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数． (1)若被手遮挡的数是，求这个算式的值； (2)若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值． 【变式03】（2025·河北邯郸·二模）数学活动课上，课代表嘉嘉同学设计了一款游戏，如图，用，，三张卡片分别表示一种运算： (1)淇淇同学将数字4经过的顺序运算，请你列出算式并求出计算结果； (2)若实数经过的顺序运算后，计算结果小于7，求的取值范围． 题●型●训●练 36．（2026·河北石家庄·一模）已知，是关于的一元二次方程的两个根且，则的值是（   ） A． B． C．2 D．8 37．在关于的一元一次方程中，是正整数．对下面两个说法判断正确的是（    ） 甲：当时，方程的解为； 乙：若方程有正整数解，则 A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 38．（2025·河北保定·一模）点在数轴上的位置如图所示，设点对应的数为，若，则符合条件的的整数值为___________． 39．（2025·河北保定·二模）已知关于的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则的值为___________． 40．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 41．（2025·河北保定·一模）如图，在一个圆形转盘上，标有五个有理数． (1)求这已知的四个数的和； (2)若横排三个数的和与竖列三个数的和相等． ①求的值； ②求这四个数的平均数． 42．（2025·河北石家庄·三模）如图，小明设计了一个计算程序．输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如：输入，得到，． (1)若输入，则________，________； (2)若得到，求输入的x值及相应n的值； (3)若得到的m值比n值大，那么输入的x值需要满足什么条件？ 43．（2025·河北邢台·三模）如图，甲、乙两个图形都由长方形或正方形拼成，边长数据如图所示． (1)若甲、乙两图的外轮廓周长相等，求x的值； (2)求甲图的面积（用含x的代数式表示）； (3)若甲图的面积比乙图的面积大1，求乙图的面积． 44．（2026·河北邯郸·一模）在“趣味数学”社团活动上，小星设计了如图所示的卡片游戏，在卡片上写上式子，将相邻两张卡片上的式子的和告诉参与者． (1)小芳参与了游戏，小星在卡片上写了三个根式，让小芳判断哪张卡片上的根式最大，小芳将小星告诉她的相邻两张卡片上的根式的和简记如下：，，，则卡片__________（填字母）上的根式最大； (2)小冀也参与了游戏，小星在卡片上写了三个整式．小冀将小星告诉他的相邻两张卡片上的整式的和简记如下：，，小星还告诉小冀C卡片上写的整式为． ①请你帮小冀求卡片A，B上写的整式； ②若卡片A，B上写的整式的和等于4，求x的值． 45．（25-26七年级上·河北保定·期末）【阅读理解】 定义：如图，线段上一点将线段分成两条线段，，若或，则称点为线段的“好点”． （1）如图是线段的“好点”，且，则_____． 【迁移运用】 （2）如图2，点，点是数轴上两点，表示的数分别为，3，一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒． ①点，之间的距离是_____个单位长度； ②当点是线段的“好点”时，求的值； ③若在点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．请直接写出点三点中，其中一点是另外两个点确定的线段的“好点”时的值． 试卷第2页，共32页 公司12 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $