专题03 方程（组）与不等式（组）的应用（河北专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题03 方程（组）与不等式（组）的应用 考点一、一元一次方程的应用 1．（2022·河北·中考真题）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是（    ） A．依题意 B．依题意 C．该象的重量是5040斤 D．每块条形石的重量是260斤 2．（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．    3．（2023·河北·中考真题）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下： 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分（分） 3 1 在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．    (1)求珍珍第一局的得分； (2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值． 4．（2021·河北·中考真题）已知训练场球筐中有、两种品牌的乒乓球共101个，设品牌乒乓球有个． （1）淇淇说：“筐里品牌球是品牌球的两倍．”嘉嘉根据她的说法列出了方程：．请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确； （2）据工作人员透露：品牌球比品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明品牌球最多有几个． 5．（2024·河北·中考真题）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． (1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； (2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 6．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 考点二、一元二次方程的应用 7．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（    ） A．1 B． C． D．1或 考点三、分式方程的应用 9．（2023·河北·中考真题）根据下表中的数据，写出a的值为 ．b的值为 ． x结果代数式 2 n 7 b a 1 10．（2024·河北·中考真题）某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下： 当时，； 当时，． （其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线） 公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格． (1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若，求甲、乙的报告成绩； (2)丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值： (3)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表： 原始成绩（分） 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 人数 1 2 2 5 8 10 7 16 20 15 9 5 ①直接写出这100名员工原始成绩的中位数； ②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率． 考点四、不等式与不等式组的应用 11．（2024·河北·中考真题）下列数中，能使不等式成立的x的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（2021·河北·中考真题）已知，则一定有，“”中应填的符号是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·河北·中考真题）（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 14．（2022·河北·中考真题）整式的值为P． (1)当m＝2时，求P的值； (2)若P的取值范围如图所示，求m的负整数值． 专练一、一元一次方程的解法 15．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，小明将等式进行变形，最后得到一个错误的结论，则下列说法正确的是（    ） A．第一步错误 B．第二步错误 C．第三步错误 D．三步都正确，原等式错误 16．（2025·河北·一模）关于x的方程的解为，则a的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 17．（2025·河北邢台·模拟预测）某同学在解关于的一元一次方程时，误将看作，得到方程的解为，则原方程的解为（    ） A． B． C． D． 18．（2025·河北唐山·二模）在解关于的方程时，小亮在去分母的过程中，忘记给方程右边的m乘公分母，求出方程的解为． (1)求出m的值； (2)写出正确的求解过程． 19．（2025·河北衡水·模拟预测）综合实践课上，同学们玩“接力游戏”，由每组学生合作解一元一次方程．如图，老师将题目交给甲同学，他完成一步解答后交给乙同学，依次进行，最后由戊同学完成求解．规则是每人只能看到前一人传过来的式子． (1)写出这个“接力游戏”中过程出错的同学； (2)请你写出正确的求解过程． 专练二、一元一次方程的应用 20．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，将一张长方形纸片进行折叠，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 21．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为t，则列出方程正确的是（    ）    A． B． C． D． 22．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，数轴上两个相邻刻度的距离是一个单位长度，点、、、对应的位置如图所示，它们所表示的数分别是、、、，且，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 23．（2025·河北廊坊·一模）已知，若，则的值为（   ） A．101 B．199 C．399 D．401 24．（2025·河北邯郸·三模）明代珠算大师程大位在《直指算法统宗》中给出这样一道题：客人分银子，如果每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤（明代时，1斤两）．若用方程解答这道题，设共有个客人，则的值为 ． 25．（2025·河北邯郸·二模）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为，2，点P，Q从点A同时出发，沿数轴匀速向点B运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度． (1)计算点A，B表示的数之和； (2)设运动时间为，当点P是的中点时，求t的值． 26．（2025·河北沧州·模拟预测）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A 区就会自动加上2，同时B 区就会自动减去1，且均显示计算结果．已知A，B 两区初始显示的数分别是和7． (1)按键1次后，求A，B两区显示的结果的和； (2)若按键n 次后，A 区的结果比B区结果的2倍少5，求n的值． 27．（2025·河北石家庄·三模）老师在黑板上写了一个不完整的算式：．转动转盘，转盘停止后将指针所指区域的数填入“”并完成算式计算，若指针指在边界线上无效．如图是第1次转动转盘，转盘停止后指针所指区域的情况． (1)第1次转动转盘后，求算式的计算结果； (2)某次转动转盘后，算式的计算结果是，求指针所指区域的数； (3)多次转动（指针在每个区域至少停留一次）转盘并计算后发现，有一个计算结果最大．请直接写出这个最大的结果． 专练三、二元一次方程的应用 28．（2025·河北沧州·一模）已知，是关于x，y的二元一次方程组，则（   ） A． B． C． D． 29．（2025·河北邢台·三模）甲、乙两人进行一分钟跳绳练习，结束后，甲说：“我的跳绳个数加你的跳绳个数的刚好等于220个”；乙说：“我的跳绳个数加你的跳绳个数的刚好也等于220个”．设甲的跳绳个数为x个，乙的跳绳个数为y个，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 30．（2025·山西忻州·二模）《哪吒之魔童闹海》连续三个月获得全国月度票房冠军，某小组12名同学相约一起观看该电影，其中8人购买了电影票，4人购买了电影票，共花费560元．已知每张电影票的售价比电影票的售价多5元，求每张电影票、电影票的售价分别为多少元．设每张电影票的售价为元，每张电影票的售价为元，根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 31．（2025·河北邯郸·二模）《九章算术》中给出了方程组的表示及消元算法．如图1表示的是方程组消元算法：“以左行上禾遍乘右行而以直除”，即用左行上禾3乘右行每一个数，然后用运算结果中的每个数减去对应左行每个数，得图2，其中右行表示的方程是（   ） A． B． C． D． 32．（2025·河北·模拟预测）红星中学假期组织了“研学活动”，共有48名同学参加，______． 条件1：男生比女生多1人； 条件2：男生人数比女生人数的2倍少3人． 从上述两个条件中选取一个，添加到横线处，能确定男生和女生人数的是（   ） A．条件1 B．条件2 C．两个条件都可以 D．两个条件均不能确定 33．（2025·河北秦皇岛·一模）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名的数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？下列说法错误的是（   ） A．设鸡有x只，所列方程为 B．设鸡有x只，兔有y只，所列方程组为 C．假设每只动物抬起2只脚，则剩余脚数为只，此时鸡无脚站立，剩余均为兔脚，每只兔剩2只脚，故有12只兔． D．假设所有动物均为兔，则应有只脚，但实际有94只脚，少出46只脚；每只鸡少2只脚，所以有23只鸡． 34．（2025·河北·模拟预测）某公司科研部计划抽调100名工程师，组建三种型号的研发小组共8个．下表是三种型号需要的工程师人数： 型号 硬件工程师 软件工程师 型 12 4 B型 5 4 型 4 5 若每名工程师只能在一个小组进行研发，且每种型号的研发小组至少有2个． 给出下列结论： ①若100名工程师恰好全部编入研发小组，则型号的研发小组的个数为4个； ②若100名工程师中硬件工程师比软件工程师多2名，且要求型号研发小组的数量最多，则可组建型号的研发小组个数分别为2，2，4． 则下列正确的是（  ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②均错误 D．①②均正确 35．（2025·河北保定·一模）古书《四元玉鉴》中有记载：“酒分醇醨，醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗九，三十三客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？（一斗为十升）”，译文：“酒分为醇酒和醨酒（醇酒是浓酒，醨酒是淡酒），醇酒1升可以醉倒3位客人：醨酒3升可以醉倒1位客人．总共饮用了‘一斗九’的酒（即19升），醉倒了33位客人．问：饮用了多少醇酒和多少醨酒？（注：1斗10升）”．则下列说法错误的是（   ） A．设饮用了升醇酒，升醨酒．列出方程组为： B．设饮用了升醇酒，则饮用了升醨酒．列出方程为： C．饮用了10升醇酒 D．饮用了10升醨酒 36．（2025·河北邯郸·一模）已知，都是实数，观察表中的运算，则的值为（   ） 的运算 运算的结果 7 A．21 B． C．40 D． 37．（2025·河北邯郸·二模）如图，大小不同的两个圆按图中的方式摆放，两个圆阴影部分的面积分别为M，N，两个圆重合部分的面积为K． 计算若大圆半径为10，小圆半径为6，． （1）大圆面积与小圆面积之差为______； （2）______． 发现：设两个圆的面积分别为，，用，表示的值，并证明你的结论． 运用：设两个圆的半径分别为R，，且，，求这两个圆的面积之和． 专练四、一元二次方程根与系数的关系 38．（2025·河北邯郸·二模）已知一元二次方程的两个根分别为m，n，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．20 39．（2025·河北廊坊·二模）已知，是关于x的方程的两个根，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 40．（2025·河北邢台·三模）如图，点A，C在不完整的数轴上，对应的数分别为a，c，原点与点A，C均不重合．若，则方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．两根之和为 41．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知关于的一元二次方程，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．两根之和小于0 D．两根之积大于0 42．（2025·河北邢台·三模）已知关于的一元二次方程，其中一根是另一根的3倍，则的值为（    ） A．或1 B．或 C． D．1 43．（2025·河北·模拟预测）已知关于x的方程有两个异号的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 44．（2025·河北邯郸·二模）定义一种运算：，如：．若，则所有满足条件的实数的和为（    ） A． B．2 C． D． 45．（2025·河北唐山·二模）已知，是方程的两根，求代数式的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是（   ） 嘉嘉：解方程；将步骤中的解，代入到代数式中，解得代数式的值为． 淇淇：根据根与系数关系求出，的值；化简；将步骤中的，的值代入到步骤化简后的结果中，解得代数式的值为． A．嘉嘉，淇淇都对 B．嘉嘉对，淇淇不对 C．嘉嘉不对，淇淇对 D．嘉嘉，淇淇都不对 专练五、解一元二次方程 46．（2025·河北石家庄·三模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则t的值不可以是（   ） A．0 B． C．3 D． 47．（2025·河北·一模）方程的一个根是（　　） A． B． C．无实数根 D． 48．（2025·河北唐山·二模）若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 49．（2025·河北·模拟预测）张伟计划用家里现有的篱笆围建一个矩形羊圈．他计算了一下，如果把10米长的墙作为所围的矩形的一边，则这个矩形的面积是单纯利用篱笆围成的最大矩形面积的2倍．张伟家里现有的篱笆总共长度是（    ） A．20米 B．24米 C．28米 D．32米 50．（2025·河北邢台·三模）如图，甲、乙两个图形都由长方形或正方形拼成，边长数据如图所示． (1)若甲、乙两图的外轮廓周长相等，求x的值； (2)求甲图的面积（用含x的代数式表示）； (3)若甲图的面积比乙图的面积大1，求乙图的面积． 51．（2025·河北·一模）如图，每个表格内包含一个运算，选定一个数后按照相应顺序运算得出结果． 甲 乙 丙 丁 取倒数 平方 取相反数 加2 (1)若选取数字2，按照丙乙丁甲的运算顺序列算式算出结果； (2)如选取一个非负数后，按照丁乙丙的顺序运算后，结果为，求选取的数字． 52．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）习题课上，数学老师展示嘉嘉和淇淇解同一道题的错误解答过程： 嘉嘉：解方程 解：方程两边同时除以得     第一步 第二步     第三步 淇淇：解方程 解：移项：    第一步 分解因式    第二步 即或        第三步 所以        第四步 (1)分别写出嘉嘉和淇淇的解答过程从第几步开始出现错误的； (2)请给出这道题的正确解答过程． 专练六、解分式方程 53．（2025·河北石家庄·一模）将两把不同刻度的直尺和直尺，分别按图-1和图-2的方式紧贴在一起，根据图中数据，下列正确的是（   ） A． B． C． D．直尺中的刻度18正对直尺中的刻度22 54．（2025·河北唐山·二模）方程的解为 ． 55．（2025·河北邢台·三模）若，则 ． 56．（2025·河北保定·三模）对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 ． 57．（2025·河北张家口·模拟预测）习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算 解：原式  …………第一步    …………第二步          …………第三步 习题2：解方程 解：   …………第一步       …………第二步         …………第三步 检验：当时 是原方程的增根 原方程无解          …………第四步 (1)习题1的解答过程从第______步开始错误，习题2的解答过程从第______步开始错误； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 58．（2025·河北石家庄·二模）已知：分式． (1)计算； (2)利用（1）的结论，解分式方程． 59．（2025·河北沧州·模拟预测）数学老师写了一个运算过程并盖住了运算符号和一个代数式，如图1，小颖将问题转化为图2，※为运算符号，为一个代数式． (1)小颖猜测※为“”，求； (2)数学老师告诉小颖※为“”，用表示出，并求时的值． 60．（2025·河北唐山·二模）按照如图和图所示的程序，进行计算． (1)如果输入，求输出结果； (2)若在图基础上增加一个计算程序“”，如图，重新输入，第一次运算得到，求输出结果． 61．（2025·河北廊坊·一模）佳佳和琪琪分别解方程过程如下： 佳佳： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 原方程的解是 琪琪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 你认为佳佳和琪㙋的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 62．（2025·河北保定·一模）有四张卡片，正面分别写有．四张卡片除正面的代数式不同外，其余均相同（如图）． (1)将四张卡片洗匀并背面向上，从中随机抽取一张，恰好能抽到写有整式的卡片的概率是 ． (2)请将卡片上写的代数式化简； (3)用（2）中化简后的代数式减去卡片上写的代数式，若差为3，请求出此时的值． 专练七、不等式的性质及解不等式（组） 63．（2025·河北石家庄·一模）若，则下列不等式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 64．（2025·河北保定·一模）不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 65．（2025·河北秦皇岛·一模）下列各数满足不等式的是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 66．（2025·河北廊坊·二模）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 67．（2025·河北邢台·三模）不等式的解集如图所示，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．2 68．（2025·河北石家庄·三模）不等式的最小整数解为（   ） A． B． C．1 D．3 69．（24-25七年级下·上海·阶段练习）关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 70．（2025·河北唐山·二模）已知，．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 71．（2025·河北沧州·模拟预测）关于的不等式组的所有整数解的和为5，且关于的一元一次方程的解大于1，则满足条件的所有整数的和是（　　） A．12 B．11 C．10 D．5 72．（2025·河北廊坊·一模）写出一个满足不等式的正整数的值 ． 73．（2025·河北·一模）若关于x的不等式组有2个整数解，则实数m的取值范围是 ． 74．（2025·河北石家庄·二模）琪琪在解不等式组时，发现的系数被墨迹覆盖了，妈妈用纸片挡住了部分答案给她看，如图所示， (1)求被墨迹覆盖的系数； (2)答案的第四步应用的性质为________（填序号）； A．等式的性质 B．不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 C．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 D．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 (3)该不等式组的解集为________ 专练八、一元一次不等式（组）的应用 75．（2025·河北唐山·二模）如图，经了解，植物生长的温度为，而大多数植物在范围内生长良好，且在这个温度区间，植物随温度升高而长高，则以下适宜植物长高的最高温度x是（   ） A．15 B．20 C．24 D．25 76．（2025·河北保定·二模）电影《刘三姐》中有这样一个场景，罗秀才唱道：“把300条狗分成4群，每个群里狗的数量都是奇数．其中一个群狗的数量少，另外三个群狗的数量多且数量相同．问：“应该如何分？”刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出一种答案：“99条打猎去，99条看羊来，99条守门口，剩下3条给财主．”设数量少的狗群中有狗条，则正确的是（　　） A．数量多的狗群每个群有狗条 B．依题意 C．有最小值，但没有最大值 D．是正确解，但不是唯一解 77．（2025·河北邢台·三模）将克糖放入水中，得到克糖水，已知．再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，这是因为糖水中含糖的浓度变大了，请你用含x，y和的数量关系式表示“糖水中含糖的浓度变大”的事实： ． 78．（2025·河北张家口·模拟预测）如图，若整式的值落在数轴上的区间②内，则整数 ． 79．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，不完整的数轴上有两点，分别表示和，且点在点的右侧，则负整数的值为 ． 80．（2025·河北邯郸·三模）为了方便业主为新能源汽车充电，某小区要建设一批充电桩．已知新建2个地上充电桩和3个地下充电桩需要1.3万元，新建3个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.9万元． (1)求新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元； (2)若该小区计划用不超过13.3万元的资金新建50个充电桩，且地上充电桩的数量不超过20个，求共有哪几种建造方案． 81．（2025·河北邢台·三模）如图，利用计算机小程序做数学游戏： 第一步，点击“数字小助手”随机生成一个整数； 第二步，点击“运算百宝箱”依次弹出两张不同的运算卡片； 第三步，对第一步中生成的整数，按照第二步中弹出的卡片内容依次进行计算． 例如：第一步，点击“数字小助手”生成整数3； 第二步，点击“运算百宝箱”依次弹出卡片和； 第三步，计算． (1)若第一步中生成的整数为5，第二步中弹出的卡片依次为和，请完成第三步的计算； (2)若第一步中生成的整数为，第二步中弹出的卡片依次为和，第三步的计算结果是一个正数，求的最小整数值． 82．（2025·河北邢台·三模）已知，，（为常数）． (1)若， ①对整式进行因式分解； ②化简． (2)若，且的计算结果是非负数，求的取值范围． 83．（2025·河北张家口·模拟预测）有一个数学游戏，如图所示，一个实数从，，三个位置中任选一个出发，按照如图所标注的要求进行运算后到下一个位置，例如将按照（或）的顺序进行运算，是将经过“加”的运算得出结果． (1)4按照的顺序进行运算，列出算式并求出正确的结果； (2)将一个数经过的顺序进行运算后结果不大于2，求的负整数值． 试卷第2页，共57页 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 方程（组）与不等式（组）的应用 考点一、一元一次方程的应用 1．（2022·河北·中考真题）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是（    ） A．依题意 B．依题意 C．该象的重量是5040斤 D．每块条形石的重量是260斤 【答案】B 【详解】解：根据题意可得方程； 则A错误，B正确； 解上面的方程得：x=240, 故D错误； ∴大象的重量是20×240+3×120=5160（斤） 故C错误， 故选：B． 2．（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．    【答案】99 【详解】解：由题意可知：重叠部分为： ， 设重叠部分的长度为k，则，， 重叠后的总长度为：，即， 代入，得：， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：99． 3．（2023·河北·中考真题）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下： 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分（分） 3 1 在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．    (1)求珍珍第一局的得分； (2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值． 【答案】(1)珍珍第一局的得分为6分； (2)． 【详解】（1）解：由题意得(分)， 答：珍珍第一局的得分为6分； （2）解：由题意得， 解得：． 4．（2021·河北·中考真题）已知训练场球筐中有、两种品牌的乒乓球共101个，设品牌乒乓球有个． （1）淇淇说：“筐里品牌球是品牌球的两倍．”嘉嘉根据她的说法列出了方程：．请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确； （2）据工作人员透露：品牌球比品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明品牌球最多有几个． 【答案】（1）不正确；（2）36 【详解】解：（1），解得：，不是整数，因此不符合题意； 所以淇淇的说法不正确． （2）∵A 品牌球有个，B 品牌球比A品牌球至少多28个， ∴， 解得：， ∵x是整数， ∴x的最大值为36， ∴A 品牌球最多有36个． 5．（2024·河北·中考真题）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． (1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； (2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32， ∴，，， ∴； （2）解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐， ∴， ∴， 解得：； 6．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）解：， 答：该铜棒的伸长量． （2）解：， 解得：， 设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得：， 答：铁的线膨胀系数，该铁棒温度的增加． （3）解：设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得： ， 答：该铁棒温度的增加量为． 考点二、一元二次方程的应用 7．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 8．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】C 【详解】解：由题意得：， 解得：或（舍） 故选：C． 考点三、分式方程的应用 9．（2023·河北·中考真题）根据下表中的数据，写出a的值为 ．b的值为 ． x结果代数式 2 n 7 b a 1 【答案】 【详解】解：当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∴， 故答案为：； 10．（2024·河北·中考真题）某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下： 当时，； 当时，． （其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线） 公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格． (1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若，求甲、乙的报告成绩； (2)丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值： (3)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表： 原始成绩（分） 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 人数 1 2 2 5 8 10 7 16 20 15 9 5 ①直接写出这100名员工原始成绩的中位数； ②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率． 【答案】(1)甲、乙的报告成绩分别为76，92分 (2)125 (3)①130；② 【详解】（1）解：当时，甲的报告成绩为：分， 乙的报告成绩为：分； （2）解：设丙的原始成绩为分，则丁的原始成绩为分， ∵丙、丁的报告成绩分别为92分和64分， ∴丙的原始成绩合格，则丁的原始成绩不合格，即， ∴ 解得：，且符合题意， ∴的值为； （3）解：①共计100名员工，且成绩已经排列好， ∴中位数是第50，51名员工成绩的平均数， 由表格得第50，51名员工成绩都是130分， ∴中位数为130； ②∵①中的中位数换算成报告成绩为90分， ∴原始成绩分，报告成绩分合格， ∴，解得， ∴ 由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为， ∴合格率为：． 考点四、不等式与不等式组的应用 11．（2024·河北·中考真题）下列数中，能使不等式成立的x的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． ∴符合题意的是A 故选A． 12．（2021·河北·中考真题）已知，则一定有，“”中应填的符号是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将不等式两边同乘以-4，不等号的方向改变得， ∴“”中应填的符号是“”， 故选：B． 13．（2025·河北·中考真题）（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3） 【详解】解：（1） 不等式两边同时除以2得， 数轴表示如下所示： （2） 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （3） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 14．（2022·河北·中考真题）整式的值为P． (1)当m＝2时，求P的值； (2)若P的取值范围如图所示，求m的负整数值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵ 当时， ； （2），由数轴可知， 即， ， 解得， 的负整数值为． 专练一、一元一次方程的解法 15．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，小明将等式进行变形，最后得到一个错误的结论，则下列说法正确的是（    ） A．第一步错误 B．第二步错误 C．第三步错误 D．三步都正确，原等式错误 【答案】C 【详解】解：第一步等式两边同时加，第二步合并同类项，都是正确的， 第三步两边同时除以a是错误的，因为a可能等于零． 正确的做法是移项得，解得， 故选：C． 16．（2025·河北·一模）关于x的方程的解为，则a的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】解：关于的方程的解是， ， 解得：． 故选：A． 17．（2025·河北邢台·模拟预测）某同学在解关于的一元一次方程时，误将看作，得到方程的解为，则原方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，得，解得． 把代入一元一次方程， 得，解得． 故选：A． 18．（2025·河北唐山·二模）在解关于的方程时，小亮在去分母的过程中，忘记给方程右边的m乘公分母，求出方程的解为． (1)求出m的值； (2)写出正确的求解过程． 【答案】(1) (2)，见解析 【详解】（1）解：由题可知，，即， ∵， ∴； （2）由（1）可知，原方程为， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 19．（2025·河北衡水·模拟预测）综合实践课上，同学们玩“接力游戏”，由每组学生合作解一元一次方程．如图，老师将题目交给甲同学，他完成一步解答后交给乙同学，依次进行，最后由戊同学完成求解．规则是每人只能看到前一人传过来的式子． (1)写出这个“接力游戏”中过程出错的同学； (2)请你写出正确的求解过程． 【答案】(1)甲，乙，戊 (2)见解析 【详解】（1）解：甲同学在去分母时，右侧没有乘以6；乙同学去括号，括号内的符号没有变号；戊同学最后将未知数系数化为1时，方程右边没有除以，而是除以； 故这个“接力游戏”中计算错误的同学有：甲，乙，戊； （2）解：正确的解答过程如下： ， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 专练二、一元一次方程的应用 20．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，将一张长方形纸片进行折叠，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，， ∴， ∵，则， ∴， 解得，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， 故选：B ． 21．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为t，则列出方程正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：依题意得：． 故选：B． 22．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，数轴上两个相邻刻度的距离是一个单位长度，点、、、对应的位置如图所示，它们所表示的数分别是、、、，且，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设点对应的数是， 数轴上每相邻两点相距一个单位长度， 点表示数位：，点表示的数是：，点表示的数是：， 又点、、、所表示的数分别是、、、，且， ， 解得：， 故选：D． 23．（2025·河北廊坊·一模）已知，若，则的值为（   ） A．101 B．199 C．399 D．401 【答案】C 【详解】解：， 当时，，解得， 故选：C． 24．（2025·河北邯郸·三模）明代珠算大师程大位在《直指算法统宗》中给出这样一道题：客人分银子，如果每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤（明代时，1斤两）．若用方程解答这道题，设共有个客人，则的值为 ． 【答案】6 【详解】解：设共有个客人， 根据题意，得， 解得， 故答案为：6． 25．（2025·河北邯郸·二模）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为，2，点P，Q从点A同时出发，沿数轴匀速向点B运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度． (1)计算点A，B表示的数之和； (2)设运动时间为，当点P是的中点时，求t的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：． （2）解：， ． 当点P是的中点时，， ∴， 解得． 26．（2025·河北沧州·模拟预测）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A 区就会自动加上2，同时B 区就会自动减去1，且均显示计算结果．已知A，B 两区初始显示的数分别是和7． (1)按键1次后，求A，B两区显示的结果的和； (2)若按键n 次后，A 区的结果比B区结果的2倍少5，求n的值． 【答案】(1)按键1次后，A，B两区显示的结果的和为5 (2) 【详解】（1）解：按键1次后，A，B两区显示的结果的和为； （2）解：由题意得：， 解得． 27．（2025·河北石家庄·三模）老师在黑板上写了一个不完整的算式：．转动转盘，转盘停止后将指针所指区域的数填入“”并完成算式计算，若指针指在边界线上无效．如图是第1次转动转盘，转盘停止后指针所指区域的情况． (1)第1次转动转盘后，求算式的计算结果； (2)某次转动转盘后，算式的计算结果是，求指针所指区域的数； (3)多次转动（指针在每个区域至少停留一次）转盘并计算后发现，有一个计算结果最大．请直接写出这个最大的结果． 【答案】(1) (2)3 (3)5 【详解】（1）解：如图可知，第1次转动转盘，转盘停止后指针所指区域为， 所以． （2）解： 设指针所指区域为，则 解得：， 所以指针所指区域的数为． （3）当时，算式为： ； 当时，算式为： ； 当时，算式为： ； 当时，算式为： ； ， 所以最大的结果为． 专练三、二元一次方程的应用 28．（2025·河北沧州·一模）已知，是关于x，y的二元一次方程组，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 由， 可得， 解得，， ， 故选：A． 29．（2025·河北邢台·三模）甲、乙两人进行一分钟跳绳练习，结束后，甲说：“我的跳绳个数加你的跳绳个数的刚好等于220个”；乙说：“我的跳绳个数加你的跳绳个数的刚好也等于220个”．设甲的跳绳个数为x个，乙的跳绳个数为y个，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，可列方程组为． 得， 化简得， 解得， 故选：D． 30．（2025·山西忻州·二模）《哪吒之魔童闹海》连续三个月获得全国月度票房冠军，某小组12名同学相约一起观看该电影，其中8人购买了电影票，4人购买了电影票，共花费560元．已知每张电影票的售价比电影票的售价多5元，求每张电影票、电影票的售价分别为多少元．设每张电影票的售价为元，每张电影票的售价为元，根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设每张电影票的售价为元，每张电影票的售价为元， 根据题意，可列方程组为， 故选：B． 31．（2025·河北邯郸·二模）《九章算术》中给出了方程组的表示及消元算法．如图1表示的是方程组消元算法：“以左行上禾遍乘右行而以直除”，即用左行上禾3乘右行每一个数，然后用运算结果中的每个数减去对应左行每个数，得图2，其中右行表示的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据图2，右行上禾为，下禾为，实为5，即 ， ∴右行表示的方程是． 故选D． 32．（2025·河北·模拟预测）红星中学假期组织了“研学活动”，共有48名同学参加，______． 条件1：男生比女生多1人； 条件2：男生人数比女生人数的2倍少3人． 从上述两个条件中选取一个，添加到横线处，能确定男生和女生人数的是（   ） A．条件1 B．条件2 C．两个条件都可以 D．两个条件均不能确定 【答案】B 【详解】解：设女生x人，男生有y人， 若选择条件1： 由题意得方程组：， 解得，由于人数必须为整数，无解，故条件1无法确定具体人数． 若选择条件2： 由题意得方程组：， 解得，， 符合要求且均为整数，故条件2可以确定男生和女生人数． 故选：B． 33．（2025·河北秦皇岛·一模）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名的数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？下列说法错误的是（   ） A．设鸡有x只，所列方程为 B．设鸡有x只，兔有y只，所列方程组为 C．假设每只动物抬起2只脚，则剩余脚数为只，此时鸡无脚站立，剩余均为兔脚，每只兔剩2只脚，故有12只兔． D．假设所有动物均为兔，则应有只脚，但实际有94只脚，少出46只脚；每只鸡少2只脚，所以有23只鸡． 【答案】A 【详解】解：A．设鸡有x只，则兔有只， 则所列方程为，故该选项错误，符合题意； B．设鸡有x只，兔有y只，所列方程组为，故该选项正确，不符合题意； C．假设每只动物抬起2只脚，则剩余脚数为只，此时鸡无脚站立，剩余均为兔脚，每只兔剩2只脚，故有12只兔，故该选项正确，不符合题意； D．假设所有动物均为兔，则应有只脚，但实际有94只脚，少出只脚；每只鸡少2只脚，所以有23只鸡，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 34．（2025·河北·模拟预测）某公司科研部计划抽调100名工程师，组建三种型号的研发小组共8个．下表是三种型号需要的工程师人数： 型号 硬件工程师 软件工程师 型 12 4 B型 5 4 型 4 5 若每名工程师只能在一个小组进行研发，且每种型号的研发小组至少有2个． 给出下列结论： ①若100名工程师恰好全部编入研发小组，则型号的研发小组的个数为4个； ②若100名工程师中硬件工程师比软件工程师多2名，且要求型号研发小组的数量最多，则可组建型号的研发小组个数分别为2，2，4． 则下列正确的是（  ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②均错误 D．①②均正确 【答案】D 【详解】解：①每个小组的工程师需求： 型：人 型：人 型：人 设型小组数为，型为，型为． 根据条件：①；， ， ② 由①得：，代入②： 解得： ∴，且 ， ， 所以 ， 或 ， （不满足 ）等， 唯一解是 ， ． 因此，型小组数为个，结论①正确； ②设硬件工程师总数为，软件工程师为，依题意， ： 解得：， 设型小组数为，型为，型为． 当组建型号的研发小组个数分别为2，2，4时， 需要硬件工程师人数为：，故②正确 故选：D． 35．（2025·河北保定·一模）古书《四元玉鉴》中有记载：“酒分醇醨，醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗九，三十三客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？（一斗为十升）”，译文：“酒分为醇酒和醨酒（醇酒是浓酒，醨酒是淡酒），醇酒1升可以醉倒3位客人：醨酒3升可以醉倒1位客人．总共饮用了‘一斗九’的酒（即19升），醉倒了33位客人．问：饮用了多少醇酒和多少醨酒？（注：1斗10升）”．则下列说法错误的是（   ） A．设饮用了升醇酒，升醨酒．列出方程组为： B．设饮用了升醇酒，则饮用了升醨酒．列出方程为： C．饮用了10升醇酒 D．饮用了10升醨酒 【答案】D 【详解】解：设饮用了升醇酒，升醨酒． 根据题意列方程得， 故选项A正确，不符合题意； 设饮用了升醇酒，则饮用了升醨酒． 根据题意列方程得：， 解得：， 则， 饮用了升醇酒，饮用了升醨酒 故选项B、C正确，不符合题意；选项D错误符合题意； 故选：D． 36．（2025·河北邯郸·一模）已知，都是实数，观察表中的运算，则的值为（   ） 的运算 运算的结果 7 A．21 B． C．40 D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴，， ∴将，代入得， 故选：D． 37．（2025·河北邯郸·二模）如图，大小不同的两个圆按图中的方式摆放，两个圆阴影部分的面积分别为M，N，两个圆重合部分的面积为K． 计算若大圆半径为10，小圆半径为6，． （1）大圆面积与小圆面积之差为______； （2）______． 发现：设两个圆的面积分别为，，用，表示的值，并证明你的结论． 运用：设两个圆的半径分别为R，，且，，求这两个圆的面积之和． 【答案】（1）；（2）；发现：，见解析；运用： 【详解】解：（1）大圆面积与小圆面积之差为， 故答案为：； （2）， 故答案为：； 发现：．证明过程如下： 依题意， 则． 运用：由，得， 故， 化为． 又∵， ， 则， 得， 解得， 把代入，得， ∴． ∴这两个圆的面积之和为． 专练四、一元二次方程根与系数的关系 38．（2025·河北邯郸·二模）已知一元二次方程的两个根分别为m，n，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．20 【答案】C 【详解】解：已知方程 的两个根为 和 ， 由根与系数的关系可得：， ∵， ∴． 故选：C． 39．（2025·河北廊坊·二模）已知，是关于x的方程的两个根，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∵，是关于x的方程的两个根， ∴；故A正确，B错误； ∴， ∴异号或其中一个的值为0，的值不一定大于0；故C，D错误； 故选A． 40．（2025·河北邢台·三模）如图，点A，C在不完整的数轴上，对应的数分别为a，c，原点与点A，C均不重合．若，则方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．两根之和为 【答案】B 【详解】解：根据题意可知，， ，， 为负数，为正数， ，异号， ， ， 方程有两个不相等的实数根，两根之和为， 故选：B． 41．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知关于的一元二次方程，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．两根之和小于0 D．两根之积大于0 【答案】C 【详解】解：由数轴看出，，， ∵是关于x的一元二次方程， ∴，，， ∵，， ∴ ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． ∴A，B，D不符合题意，C符合题意 故选：C． 42．（2025·河北邢台·三模）已知关于的一元二次方程，其中一根是另一根的3倍，则的值为（    ） A．或1 B．或 C． D．1 【答案】D 【详解】解：设关于的一元二次方程的两个根， ∵其中一根是另一根的3倍， ∴设，， ， 解得：，， ∴， ， 故选：D． 43．（2025·河北·模拟预测）已知关于x的方程有两个异号的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，， 解得：． 由条件可知， 解得． 的取值范围为． 故选：A． 44．（2025·河北邯郸·二模）定义一种运算：，如：．若，则所有满足条件的实数的和为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴原方程有两个不相等的实数根， ∴． 故选：B． 45．（2025·河北唐山·二模）已知，是方程的两根，求代数式的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是（   ） 嘉嘉：解方程；将步骤中的解，代入到代数式中，解得代数式的值为． 淇淇：根据根与系数关系求出，的值；化简；将步骤中的，的值代入到步骤化简后的结果中，解得代数式的值为． A．嘉嘉，淇淇都对 B．嘉嘉对，淇淇不对 C．嘉嘉不对，淇淇对 D．嘉嘉，淇淇都不对 【答案】A 【详解】解：嘉嘉：， ∴，或，， ∴当，时， 原式 ； 当，时， 原式 ，故嘉嘉解法正确； 淇淇：∵， ∴，， ∴ ，故淇淇解法正确； 故选：． 专练五、解一元二次方程 46．（2025·河北石家庄·三模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则t的值不可以是（   ） A．0 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】解：由题意，， 解得． 而， 故选：C． 47．（2025·河北·一模）方程的一个根是（　　） A． B． C．无实数根 D． 【答案】C 【详解】解：， ，，， ， 因此方程无实数根． 故选：C． 48．（2025·河北唐山·二模）若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【详解】解：的一元二次方程有两个实数根， 且， 解得：且， 故选：B． 49．（2025·河北·模拟预测）张伟计划用家里现有的篱笆围建一个矩形羊圈．他计算了一下，如果把10米长的墙作为所围的矩形的一边，则这个矩形的面积是单纯利用篱笆围成的最大矩形面积的2倍．张伟家里现有的篱笆总共长度是（    ） A．20米 B．24米 C．28米 D．32米 【答案】A 【详解】解：设现有的篱笆总共长度是米， ∴把10米长的墙作为所围的矩形的一边，这个矩形的另一边长为，面积为； 设单纯利用篱笆围成的矩形一边长为米，则矩形的另一边长为，面积为， ∴当时，单纯利用篱笆围成的最大矩形面积为， ∴， 解得， 故选：A． 50．（2025·河北邢台·三模）如图，甲、乙两个图形都由长方形或正方形拼成，边长数据如图所示． (1)若甲、乙两图的外轮廓周长相等，求x的值； (2)求甲图的面积（用含x的代数式表示）； (3)若甲图的面积比乙图的面积大1，求乙图的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由题意，得， 解得； （2）解：； （3）解：由题意，得， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴． 51．（2025·河北·一模）如图，每个表格内包含一个运算，选定一个数后按照相应顺序运算得出结果． 甲 乙 丙 丁 取倒数 平方 取相反数 加2 (1)若选取数字2，按照丙乙丁甲的运算顺序列算式算出结果； (2)如选取一个非负数后，按照丁乙丙的顺序运算后，结果为，求选取的数字． 【答案】(1) (2)0 【详解】（1）解：若选取数字2，按照丙乙丁甲的顺序运算得： ， （2）解;设所选数字为x，根据运算程序所以列出方程： ， ∴， 解得，， ∵所选数为非负数， ∴所选数为0． 52．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）习题课上，数学老师展示嘉嘉和淇淇解同一道题的错误解答过程： 嘉嘉：解方程 解：方程两边同时除以得     第一步 第二步     第三步 淇淇：解方程 解：移项：    第一步 分解因式    第二步 即或        第三步 所以        第四步 (1)分别写出嘉嘉和淇淇的解答过程从第几步开始出现错误的； (2)请给出这道题的正确解答过程． 【答案】(1)嘉嘉是第一步；淇淇是第二步 (2)见解析． 【详解】（1）解：嘉嘉是第一步；淇淇是第二步； （2）解：移项：， 分解因式， 即或， 所以，． 专练六、解分式方程 53．（2025·河北石家庄·一模）将两把不同刻度的直尺和直尺，分别按图-1和图-2的方式紧贴在一起，根据图中数据，下列正确的是（   ） A． B． C． D．直尺中的刻度18正对直尺中的刻度22 【答案】B 【详解】解：根据图可知：， 即，故选项A错误，选项B正确； 解得：， 经检验，是原分式方程的解，故选项C错误； 同理：设直尺中的刻度18正对直尺中的刻度为y， 则，解得：， 经检验，是原分式方程的解，故选项D错误； 故选：B． 54．（2025·河北唐山·二模）方程的解为 ． 【答案】2 【详解】解： 方程两边同乘，去分母得， 移项，合并同类项，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的根， 故答案为：． 55．（2025·河北邢台·三模）若，则 ． 【答案】6 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：6． 56．（2025·河北保定·三模）对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 ． 【答案】或1 【详解】①若，即，则，即， 解得：或 负值舍去， 经检验：是原分式方程的解； ②若，即，则，即， 解得：， 经检验：是原分式方程的解； 综上，方程的解为或1． 故答案为：或1． 57．（2025·河北张家口·模拟预测）习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算 解：原式  …………第一步    …………第二步          …………第三步 习题2：解方程 解：   …………第一步       …………第二步         …………第三步 检验：当时 是原方程的增根 原方程无解          …………第四步 (1)习题1的解答过程从第______步开始错误，习题2的解答过程从第______步开始错误； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】(1)一，一 (2)习题1：；习题2： 【详解】（1）解：一、一； 故答案为：一，一； （2）习题1： 解：原式= ， 习题2：解方程 解： ， 检验：当时 是原方程的根． 58．（2025·河北石家庄·二模）已知：分式． (1)计算； (2)利用（1）的结论，解分式方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解：由（1）知， ∴， ∵， ， 方程两边同时乘以，得 ， 解得：， 经检验：是解分式方程的解， ∴． 59．（2025·河北沧州·模拟预测）数学老师写了一个运算过程并盖住了运算符号和一个代数式，如图1，小颖将问题转化为图2，※为运算符号，为一个代数式． (1)小颖猜测※为“”，求； (2)数学老师告诉小颖※为“”，用表示出，并求时的值． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：若※为“” ； 当时，即， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解． 60．（2025·河北唐山·二模）按照如图和图所示的程序，进行计算． (1)如果输入，求输出结果； (2)若在图基础上增加一个计算程序“”，如图，重新输入，第一次运算得到，求输出结果． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ∴， 经检验，是原分式方程的解， ∴ ． 61．（2025·河北廊坊·一模）佳佳和琪琪分别解方程过程如下： 佳佳： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 原方程的解是 琪琪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 你认为佳佳和琪㙋的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】两人解法都错误，，正确解答过程见解析 【详解】解：观察两人解分式方程的过程可知，两人解法都错误，正确解答如下： 解：去分母，得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 经检验，是方程的解， ∴原方程的解为． 62．（2025·河北保定·一模）有四张卡片，正面分别写有．四张卡片除正面的代数式不同外，其余均相同（如图）． (1)将四张卡片洗匀并背面向上，从中随机抽取一张，恰好能抽到写有整式的卡片的概率是 ． (2)请将卡片上写的代数式化简； (3)用（2）中化简后的代数式减去卡片上写的代数式，若差为3，请求出此时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：共4种等可能结果，其中符合题意的有2种， ∴将四张卡片洗匀并背面向上，从中随机抽取一张，恰好能抽到写有整式的卡片的概率是， 故答案为：； （2）解：； （3）解：由题意可知：， 去分母得：， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴． 专练七、不等式的性质及解不等式（组） 63．（2025·河北石家庄·一模）若，则下列不等式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、由得，则，故A正确，不符合题意； B、当，则，故B错误，符合题意； C、由可得，故C正确，不符合题意； D、由可得，故D正确，不符合题意； 故选：B． 64．（2025·河北保定·一模）不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：解不等式得． 故选：D． 65．（2025·河北秦皇岛·一模）下列各数满足不等式的是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴满足不等式的是3； 故选：C． 66．（2025·河北廊坊·二模）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， 将解集表示在数轴上如图所示： ， 故选：B． 67．（2025·河北邢台·三模）不等式的解集如图所示，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【详解】解：由题意，得解集为． ∵， 则， ， ， 故选B． 68．（2025·河北石家庄·三模）不等式的最小整数解为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】解：解不等式 解得：， 则不等式的最小整数解为． 故选B． 69．（24-25七年级下·上海·阶段练习）关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：∵， ， 由图像可知， ， 解得：， 故选：A． 70．（2025·河北唐山·二模）已知，．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：A． 71．（2025·河北沧州·模拟预测）关于的不等式组的所有整数解的和为5，且关于的一元一次方程的解大于1，则满足条件的所有整数的和是（　　） A．12 B．11 C．10 D．5 【答案】A 【详解】解：解不等式组得， 不等式组的所有整数解的和为5， 可取2或3，亦可取，0，1，2，3， 或， 或； 解一元一次方程得， 由题意，得， ， ， 且， 或且． 是整数， 可取4，5，6或， ， 满足条件的所有整数的和是12． 故选：A． 72．（2025·河北廊坊·一模）写出一个满足不等式的正整数的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：解得， 写出一个满足不等式的正整数的值，可取（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 73．（2025·河北·一模）若关于x的不等式组有2个整数解，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：解不等式组，得：， ∵关于x的不等式组有2个整数解， ∴， ∴， 故答案为：． 74．（2025·河北石家庄·二模）琪琪在解不等式组时，发现的系数被墨迹覆盖了，妈妈用纸片挡住了部分答案给她看，如图所示， (1)求被墨迹覆盖的系数； (2)答案的第四步应用的性质为________（填序号）； A．等式的性质 B．不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 C．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 D．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 (3)该不等式组的解集为________ 【答案】(1)6 (2)C (3) 【详解】（1）解：设被墨迹覆盖的系数是， ∴不等式可变形为， ∵不等式①的解集为， ∴， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴被墨迹覆盖的系数是6； （2）解：不等式得到，运用的是不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变， 故选：C； （3）解：， 解①得，， 解②得，， ∴不等式组的解集为：． 专练八、一元一次不等式（组）的应用 75．（2025·河北唐山·二模）如图，经了解，植物生长的温度为，而大多数植物在范围内生长良好，且在这个温度区间，植物随温度升高而长高，则以下适宜植物长高的最高温度x是（   ） A．15 B．20 C．24 D．25 【答案】C 【详解】解：∵大多数植物在范围内生长良好，且在这个温度区间，植物随温度升高而长高， ∴四个选项中适宜植物长高的最高温度x是24， 故选：C． 76．（2025·河北保定·二模）电影《刘三姐》中有这样一个场景，罗秀才唱道：“把300条狗分成4群，每个群里狗的数量都是奇数．其中一个群狗的数量少，另外三个群狗的数量多且数量相同．问：“应该如何分？”刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出一种答案：“99条打猎去，99条看羊来，99条守门口，剩下3条给财主．”设数量少的狗群中有狗条，则正确的是（　　） A．数量多的狗群每个群有狗条 B．依题意 C．有最小值，但没有最大值 D．是正确解，但不是唯一解 【答案】D 【详解】A、设数量少的狗群中有狗条，则狗群数量多的每个群为条，此选项错误； B、依题意应该是：，此选项错误； C、依题意得(x为奇数)，解得：(x为奇数)，故x的最小值为1，x的最大值为73．此选项错误； D、由C可知，(x为奇数)，故是正确解，但不是唯一解，符合题意，故此选项正确． 故选：D． 77．（2025·河北邢台·三模）将克糖放入水中，得到克糖水，已知．再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，这是因为糖水中含糖的浓度变大了，请你用含x，y和的数量关系式表示“糖水中含糖的浓度变大”的事实： ． 【答案】 【详解】解：由题知，原糖水的浓度为，加入克糖后糖水浓度为：， 糖水变甜了，即糖水的浓度变大了， ． 故答案为：． 78．（2025·河北张家口·模拟预测）如图，若整式的值落在数轴上的区间②内，则整数 ． 【答案】2 【详解】解：∵整式的值落在数轴上的区间②内， ∴，解得：， ∵是整数， ∴ 故答案为：2 ． 79．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，不完整的数轴上有两点，分别表示和，且点在点的右侧，则负整数的值为 ． 【答案】 【详解】解：由数轴可知，， ， 解得：， 则负整数的值为， 故答案为：． 80．（2025·河北邯郸·三模）为了方便业主为新能源汽车充电，某小区要建设一批充电桩．已知新建2个地上充电桩和3个地下充电桩需要1.3万元，新建3个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.9万元． (1)求新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元； (2)若该小区计划用不超过13.3万元的资金新建50个充电桩，且地上充电桩的数量不超过20个，求共有哪几种建造方案． 【答案】(1)新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要0.2万元和0.3万元 (2)一共有4种方案，分别为： 方案①：新建17个地上充电桩，33个地下充电桩； 方案②：新建18个地上充电桩，32个地下充电桩； 方案③：新建19个地上充电桩，31个地下充电桩； 方案④：新建20个地上充电桩，30个地下充电桩． 【详解】（1）解：设新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元， 依题意得 解得 答：新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要0.2万元和0.3万元； （2）解：设新建个地上充电桩，则新建地下充电桩个， 由题意得， 解得． 又， 整数的值可以为17，18，19，20， 一共有4种方案，分别为： 方案①：新建17个地上充电桩，33个地下充电桩； 方案②：新建18个地上充电桩，32个地下充电桩； 方案③：新建19个地上充电桩，31个地下充电桩； 方案④：新建20个地上充电桩，30个地下充电桩． 81．（2025·河北邢台·三模）如图，利用计算机小程序做数学游戏： 第一步，点击“数字小助手”随机生成一个整数； 第二步，点击“运算百宝箱”依次弹出两张不同的运算卡片； 第三步，对第一步中生成的整数，按照第二步中弹出的卡片内容依次进行计算． 例如：第一步，点击“数字小助手”生成整数3； 第二步，点击“运算百宝箱”依次弹出卡片和； 第三步，计算． (1)若第一步中生成的整数为5，第二步中弹出的卡片依次为和，请完成第三步的计算； (2)若第一步中生成的整数为，第二步中弹出的卡片依次为和，第三步的计算结果是一个正数，求的最小整数值． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：． （2）解：由题意，得， ， 的最小整数值为． 82．（2025·河北邢台·三模）已知，，（为常数）． (1)若， ①对整式进行因式分解； ②化简． (2)若，且的计算结果是非负数，求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 本题考查了因式分解，整式的加减运算，解一元一次不等式，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：①当时， ； ② ； （2）解：当时， ， 的结果是非负数， ， 解得． 83．（2025·河北张家口·模拟预测）有一个数学游戏，如图所示，一个实数从，，三个位置中任选一个出发，按照如图所标注的要求进行运算后到下一个位置，例如将按照（或）的顺序进行运算，是将经过“加”的运算得出结果． (1)4按照的顺序进行运算，列出算式并求出正确的结果； (2)将一个数经过的顺序进行运算后结果不大于2，求的负整数值． 【答案】(1)； (2)的负整数值为，． 【详解】（1）解：列式为： ． （2）解：由题意得 ． ， ， ， ∴的负整数值为，． 试卷第2页，共57页 1 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $$