专题01 数与式的10大常考题型（题型专练）（河北专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题01 数与式的常考题型 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 相反数与绝对值 题型02 用数轴表示数与数的比较大小 题型03 实数的混合运算 题型04 与幂有关的运算 题型05 整体代入 题型06 分式的化简求值 题型07 数式规律探究 题型08 自定义运算 题型09 循环规律探究 题型10 代数推理 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 相反数与绝对值 典例引领 【典例01】（2025·江苏盐城·中考真题）小明从小区楼出发，实数的绝对值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的绝对值，掌握“一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0”是解题的关键． 根据一个负数的绝对值是它的相反数即可得出答案． 【详解】解：实数的绝对值是， 故选：A． 【典例02】（2025·山东潍坊·中考真题）实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义作答即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数． 【详解】解：根据相反数的定义可得：实数的相反数是， 故选：． 方法透视 考向解读 近三年河北中考多以选择题考查相反数和绝对值概念，结合数轴判断点位置关系。通常以生活情境为背景，如气温变化、数轴上的点移动等，要求准确理解“只有符号不同的两个数”及绝对值非负性的核心定义。 方法技能  相反数：直接改变原数的符号，0的相反数是0。在数轴上互为相反数的两点关于原点对称。绝对值：遵循“正数不变、负数相反、0为0”的原则，即|a|=a（a≥0），|a|=-a（a≤0）。-注意绝对值的非负性是后续等式成立的条件依据。 变式演练 【变式01】（2026·安徽·二模）下列各实数中，与2026互为相反数的是（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：与2026互为相反数的是． 【变式02】（2025·山东临沂·二模）下列各数中，绝对值最大的是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，实数的大小比较，正确求出绝对值是解题的关键．先分别求每个数的绝对值，再比较实数的大小即可． 【详解】解：，，，， ， 绝对值最大的是， 故选：A． 【变式03】（2025·河南漯河·二模）在数轴上表示实数的相反数的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，相反数，先得的相反数是，结合数轴，即可作答． 【详解】解：的相反数是， 结合数轴得表示实数的相反数的点是点， 故选：C 题型02 用数轴表示数与数的比较大小 典例引领 【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，实数与数轴，先理解题意，得与是符号不相同，再由数轴得 ，则，得，故表示1的点可能是，即可作答． 【详解】解：依题意，，且与是符号不相同， 观察数轴，得， ∴， 则， ∴在和之间， ∴表示1的点可能是， 故选：C 【典例02】（2025·海南·中考真题）写出一个比大的实数：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握其估算方法是解题的关键．根据，可得，因此，即可写出比大的实数． 【详解】解：， ， ， 比大的实数可以是：， 故答案为：（答案不唯一）． 方法透视 考向解读  要求能用数轴上的点表示有理数，并比较大小。常以数轴标点、结合温度计等情境呈现，考查对数轴上点与实数一一对应关系的理解，以及左右位置决定数值大小的直观判断。 方法技能  数轴三要素：原点、正方向、单位长度。数轴上右边的点表示的数总大于左边的点。比较大小时可先标出各点的位置，利用“从左到右依次增大”的原则判断。注意正数大于0、0大于负数、正数大于负数。 变式演练 【变式01】（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴上两点间距离的定义，该点可能在点A的左侧或右侧，分别计算即可． 【详解】解：数轴上点A表示的数是，与点A相距2个单位长度的点可能在点A的左侧或右侧． 当该点在点A右侧时，表示的数为． 当该点在点A左侧时，表示的数为． 因此，符合条件的数为或 故选A． 【变式02】（2025·四川遂宁·中考真题）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则______0．（填“>”“=”或“<”） 【答案】< 【分析】本题考查了实数与数轴，先结合数轴的信息，得，且，故，即可作答． 【详解】解：观察数轴，得，且， ∴ 即， 故答案为：<． 【变式03】（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键．根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可． 【详解】解：根据数轴得， ∴， 故选：D． 题型03 实数的混合运算 典例引领 【典例01】（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 【答案】（1）原计算第一步开始出错；；（2） 【分析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）第一步计算分配律时符号出错； （2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除． 【详解】解：（1）原计算第一步开始出错； ； （2） 【典例02】（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，掌握算理是解决问题的关键．先计算特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：， ， ， ． 方法透视 考向解读 以解答题形式呈现，常结合绝对值、乘方、开方、零指数幂等综合运算，三步以内为主。强调运算顺序和符号判断的规范性，注重在运算过程中灵活运用运算律简化计算。 方法技能 遵循“先乘方开方→再乘除→后加减，有括号先算括号”的顺序。常用技巧：转化法（除化乘、乘方化乘法）、凑整法（和为零或分母相同组合）、分拆法（带分数拆分为整数与真分数）。建议分步书写，不跳步，防止符号遗漏。 变式演练 【变式01】（2025·四川广元·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算、特殊角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂等知识，先计算特殊角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂并化简绝对值，最后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 【变式02】（2024·陕西·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了零次幂，化简绝对值，有理数的乘法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先计算有理数的乘法，零次幂，化简绝对值，再计算加减，即可作答． 【详解】解： ． 【变式03】（2025·湖南长沙·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可． 【详解】解：原式 题型04 与幂有关的运算 典例引领 【典例01】（2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 故选：A． 【典例02】（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键；由题意易得，即可求解． 【详解】解：， ， 故选：A． 方法透视 考向解读  河北中考中属基础保障题，多以选择题出现，考查合并同类项、幂的乘方、积的乘方等单一技能。运算规则明确，计算量适中，强调对幂运算法则的准确掌握。 方法技能 幂的运算法则：aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ（同底数幂相乘指数相加），(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ（幂的乘方指数相乘）。合并同类项：系数相加减，字母及指数不变。注意符号的处理和运算顺序，避免跳步。 变式演练 【变式01】（2025·江苏淮安·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的运算，负整数指数幂，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断即可． 【详解】解：A、，正确，故本选项符合题意； B、，原选项错误，故本选项不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原选项错误，故本选项不符合题意； D、，原选项错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式02】（2025·海南·中考真题）下列运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方及合并同类项的运算，解题的关键是牢记法则并熟记计算．根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可得答案． 【详解】解：A、，符合题意； B、，此选项不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式03】（2025·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据同底数幂的乘除法，积的乘方，负整数指数幂逐项计算即可． 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 题型05 整体代入 典例引领 【典例01】（2025·河北唐山·二模）已知与互为相反数，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查相反数的定义，代数式求值及完全平方公式的应用，解题的关键是根据相反数得到．根据a，b互为相反数得到，再根据完全平方公式将代数式变形为，最后整体代入求解即可得到答案． 【详解】解：∵a，b互为相反数， ∴， ∴， ∴的值为， 故答案为：． 【典例02】（2025·山东潍坊·中考真题）（1）先化简，再求值：，其中，满足． （2）解方程组：． 【答案】（），；（）． 【分析】本题考查了整式的化简求值，解二元一次方程组，掌握运算法则和方程组解法是解题的关键． （）先由单项式乘以多项式，完全平方公式进行化简，然后合并同类项化成最简，再把代入求解即可； （）利用代入消元解方程组即可． 【详解】解：（）， 因为， 所以． （）解：， 由得， 将代入，得， 解得， 将代入，得， ∴该方程组的解为． 方法透视 考向解读  高频考点，考查不直接给出字母具体值，而是通过代数式变形后整体代入求值的能力。-强调观察已知与所求的结构关系，灵活运用提公因式、完全平方公式等变形技巧。 方法技能  三步法：观察已知与所求的结构关系→对代数式变形（提公因式、配方法、公式法）→将已知整体代入。-常见技巧包括降次、平方、配方等。注意分式整体代入时须检验字母取值是否使分母为零。 变式演练 【变式01】先化简，再求值：，其中a满足． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键． 根据整式的乘法运算和完全平方公式，展开原代数式，得到，由所给条件得到，整体代入，即可得到结果． 【详解】解： ， ， ， ∴原式． 【变式02】若，则______． 【答案】3 【分析】本题考查了分式的化简求值和完全平方公式，将原式根据完全平方公式变形，再将值代入计算即可得出答案． 【详解】解∶∵， ∴ ， 故答案为∶3． 【变式03】先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先对括号里面的通分，再利用平方差公式展开，最后约分，然后再代入x的值代入计算，并利用二次根式的性质化简． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型06 分式的化简求值 典例引领 【典例01】（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 由题意得，对进行通分化简即可． 【详解】解：∵的结果为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【典例02】（2026·河北沧州·一模）已知，则的值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】解： 当时，原式． 方法透视 考向解读  必考知识点，以选择题为主，占2—3分，考查通分、约分和因式分解的综合运用。题目灵活多变，如在选择题中补充不完整部分，强调运算结果的规范性。 方法技能 遵循“先括号内→再乘除→后加减”的顺序。化简前先尝试分解因式，再约分找最简公分母。注意符号处理和括号的运用，代入求值时须检验使原分式有意义的条件。 变式演练 【变式01】（2025·河北·中考真题）若，则（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简求值，将分式化简后代入求值，即可求解． 【详解】解： 当时，原式 故选：B． 【变式02】（2026·河北保定·模拟预测）分式计算的部分过程如图所示，按要求完成下列小题． 解： ……第一步 (1)第一步将原式中的变形为，是将分子与分母进行了_____（填字母）； A．整式乘法        B．因式分解 (2)请你在图中的虚框中完成该分式的计算． 【答案】(1)B (2) 【详解】（1）解：第一步将原式中的变形为，是将分子与分母进行了因式分解； （2）解： ． 【变式03】（2026·河北沧州·模拟预测）下面的分式化简题呈现了小高的正确解答过程，但部分算式被遮挡． 解： (1)请求出被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)小颖认为“原算式的值不可能为9”，请你回答下面的两个问题并说明理由： ①你知道小颖为什么这样判断吗？ ②小颖的说法全面吗？ 【答案】(1) (2)①见解析；②小颖的说法不全面 【分析】（1）由减法的意义列式进行计算即可． （2）①②结合分式的意义进行判断即可． 【详解】（1）解： ， ． 即被遮挡部分的代数式为． （2）解：①， ， ， ∴小颖认为“原算式的值不可能为9”． ②小颖的说法不全面 理由如下：且， 且， ∴原式的值不可能为9，10， ∴小颖的说法不全面． 题型07 数式规律探究 典例引领 【典例01】（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（    ） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键． 设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，故可判断C、D选项． 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： 则由题意得： ， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ， ∴A、“20”左边的数是，故本选项不符合题意； B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意； ∴上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， ∴D选项符合题意， 当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意， 故选：D． 【典例02】（2026·河北石家庄·一模）【观察发现】例如： 以上举例的两位数乘两位数，其十位数字相同，个位数字相加得，其计算规律总结为：两个数的个位数字相乘的积作十位和个位（积不足的十位用填充），十位数字与比十位数字大1的数字的积作百位（或者是千位和百位）． (1)【规律运用】用总结的规律计算： ①； ②； ③； (2)【规律证明】设这两个两位数的十位数字都是，个位数字分别是和（），用，，表示上面的规律，并给予证明． 【答案】(1)①；②；③ (2)，证明见解析 【分析】（1）按照规律计算即可； （2）利用代数式表示两个乘数，根据总结的规律列出等式，再根据整式的运算进行证明即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； （2）解：设这两个两位数的十位数字都是，个位数字分别是和（）， 这两个两位数分别为，， 观察发现规律为：， 证明： ， ， ． 方法透视 考向解读 通过观察数字或代数式的排列，找出每个数字与对应序数的关系，写出第n项的表达式。考查从特殊到一般的归纳能力，常以填空题形式出现。 方法技能 先计算n=1,2,3时的结果，寻找前后数字之间的差或比的关系。观察每个数字与序数n的对应关系，常见规律有等差（an+b）、等比、平方（n²）、2ⁿ等。写出通项公式后代入n=1,2验证。 变式演练 【变式01】（2025·河北唐山·三模）如图，直线对应的函数表达式为，在直线上，顺次取点，，，，，，构成的形如“”的图形的阴影部分面积分别为，，；则______．（用含的式子表示，要化简）． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及用代数式表示图象的变化规律问题，根据、、、的表达式的规律，相加后进行化简计算即可，根据点的坐标变化找出阴影部分面积的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵； ； ； ； ； ∴ ， 故答案为：． 【变式02】（2026·河北石家庄·一模）如图，每个台阶上都标着一个数，按照从下到上的顺序，每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大，已知第个台阶上的数是． (1)求第个台阶上的数； (2)求第几个台阶上的数是． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大，列式计算即可； （2）先得出第个台阶上的数是，根据台阶上的数是，列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：∵每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大，第个台阶上的数是， ∴第个台阶上的数是． （2）解：第个台阶上的数是， 第个台阶上的数是， 第个台阶上的数是， ……， ∴第个台阶上的数是， 当台阶上的数是时，， 解得：， ∴第个台阶上的数是． 【变式03】（2025·河北石家庄·三模）把1，3，5，7，9…这一组数按如下规律排放在表格中，任意选定如图所示方框中4个数，进行交叉相乘再相减的运算，即，例如：．完成下列各题： (1)计算：________； (2)猜想：________； (3)验证：请你利用整式的运算对以上的规律加以证明； 【答案】(1)20 (2)20 (3)见解析 【分析】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算，数式规律问题，理解题意并总结出规律是解题的关键． （1）先算乘法，再算减法即可； （2）根据表格中的数据及（1）中求得的结果总结规律即可； （3）由图表可得，，，然后列得算式并计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：20； （2）猜想：， 故答案为：20； （3）解：由图表可得，，， 则 ， ∴，正确． 题型08 自定义运算 典例引领 【典例01】（2026·河北保定·模拟预测）定义：使成立的一对有理数、称为“相伴有理数对”，记作．例如：因为，所以是“相伴有理数对”． (1)判断数对是否为“相伴有理数对”．并通过计算说明理由； (2)若是“相伴有理数对”．求的值； (3)若是“相伴有理数对”，求的值． 【答案】(1) 不是，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了对新定义的理解与应用、一元二次方程的求解以及代数式的化简求值，解题的关键是准确理解“相伴有理数对”的定义，将其转化为等式进行计算． （1）根据定义，分别计算与的值，比较是否相等； （2）将代入定义式，得到关于的方程，求解方程； （3）由是“相伴有理数对”得到，再将所求代数式展开，代入该等式化简求值． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 不是“相伴有理数对”． （2）解：是“相伴有理数对”， ， 即， 整理得， 即， 解得． （3）解：是“相伴有理数对”， ， ． 【典例02】（25-26九年级上·河北沧州·期中）对于实数，，定义新运算“”：． 例如：，因为，所以． (1)求的值； (2)若，是一元二次方程的两个根，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了新定义运算，有理数的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握新定义的运算规则是解题的关键． （1）根据新定义的运算符号“”：代入进行计算即可； （2）先解一元二次方程得出方程的解，再分两种情况，结合新定义的运算符号，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解： 故或， 所以或． 当，时， ∵， ∴； 当，时， ∵， ∴， ∴的值为或． 方法透视 考向解读  创新题型，以初中数学核心知识为依托，引入新符号或新规则，考查阅读理解能力和知识迁移能力。-要求将新定义转化为常规运算，考查灵活运用知识的能力。 方法技能 核心原则是“给什么，用什么”——严格按定义规则进行计算。-先将新符号转化为常规运算，注意运算顺序和括号优先级。可采用“原型对照法”，找到类似已学运算，进行迁移。 变式演练 【变式01】（2026·河北沧州·一模）在实数范围内，对于任意实数规定一种新运算：，例如：． (1)计算：； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是新运算，有理数的混合运算，解一元一次方程，解一元二次方程； （1）根据新运算的定义代入计算即可求解； （2）根据新运算的定义，列出关于的关系式，即可求得的值， （3）根据列出一元二次方程解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵， ∴ 解得：； （3）解：∵ ∴ ∴ ∴或， 解得：或 【变式02】（25-26七年级上·四川成都·期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数m和n，规定．如：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算及一元一次方程，正确理解题意是解题关键． （1）根据新定义直接计算即可； （2）根据新定义列出方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 即， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得：． 题型09 循环规律探究 典例引领 【典例01】（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，把周长为个单位长度的圆放到数轴（单位长度为）上，三点将圆三等将点与数轴上表示的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，则对应点可能为（　　） A． B． C． D．以上答案均错误 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上动点的运动，理解图示，找出规律是关键． 根据题意得到点对应的数字为（的整数），点对应的数字为（的整数），点对应的数字为（的整数），由此即可求解． 【详解】解：∵圆的周长为个单位长度，数轴的单位长度为，为圆的三等分点， ∴滚动次后回到点，即每次一循环， ∵起点在的位置， ∴点滚动第一圈是，滚动第二圈是，滚动第三圈是，......，则点对应的数字为（的整数）， 点滚动第一圈是，滚动第二圈是，滚动第三圈是，......，则点对应的数字为（的整数）， 点滚动第一圈是，滚动第二圈是，滚动第三圈是，......，则点对应的数字为（的整数）， ∴，则，不符合题意； ，则，不符合题意； ，则，符合题意； ∴对应点可能为点， 故选：C ． 【典例02】（25-26九年级上·广东茂名·期末）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角的弧多次复制并首尾连接而成．现有一点从（为坐标原点）出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2026秒时点的纵坐标为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】求出弧的长，进而得到每经过2秒，点运动到横轴上，再求出第2026秒时点的位置，即可. 【详解】解：， （秒），，故在第2026秒时点的纵坐标为0. 方法透视 考向解读  数字或符号按固定周期重复出现，如尾数循环、符号交替等。需找出循环周期，用总次数除以周期判断第n项的值。常与图形规律、数阵问题结合。 方法技能 先观察前几个值，找出重复出现的最小单元，确定循环周期T。第n项的值由n除以T的余数决定：余数为r时对应周期中第r个值，余数为0时对应最后一个值。 变式演练 【变式01】（2025·河北沧州·二模）天干地支纪年法是指中国传统纪年历法，是自上古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法对应的规律如表， 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 … 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 … 干支纪年 甲子年 乙丑年 丙寅年 丁卯年 戊辰年 己巳年 庚午年 辛未年 壬申年 癸酉年 甲戌年 乙亥年 丙子年 … 已知今年是乙巳年，则下列历史事件与时间对应错误的是（   ） A．庚子赔款——1900年 B．辛酉政变——1861年 C．丁巳京察——1617年 D．壬寅宫变——1543年 【答案】D 【分析】本题考查数字类规律探究，根据天干以10年为一个周期，地支以12年为一个周期，进行求解即可． 【详解】解：由表格可知：天干以10年为一个周期，地支以12年为一个周期， ∵年是乙巳年，且，， ∴天干的确定方法为年份减去3后再除以10取余，地支的确定方法为：年份减去3后再除以12取余； ∴，， ∴1900年为庚子年，故A正确；不符合题意； ∴，， ∴1861年为辛酉年，故B正确；不符合题意； ∴，， ∴1617年为丁巳年，故C正确；不符合题意； ∴，， ∴1543年为癸卯年，故D错误；符合题意； 故选：D． 【变式02】（2025七年级下·全国·专题练习）已知为实数，规定运算：，，，，，，按上述方法，当时，的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字规律题，求一个数的立方根，当时，则，，，，，则有以三个数为一组，不断循环，从而有，然后代入求出立方根即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当时， ∴， ， ， ， ， ∴以三个数为一组循环， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式03】（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知且，我们定义，记为；，记为，……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……．则的值为_____． 【答案】 【分析】要先根据题意找到规律，多算几组，发现每三次变换为一个循环，进而可得到结果． 【详解】解：由题意可知，，即，，即，，即， 则数组为，即； ，即，，即，，即， 则数组为，即； 同理可得，，，，即； ，，，即； ，，，即； ，，，即；； ∴可以发现，周期为3，且每个周期的和为， ∵， ∴ ． 题型10 代数推理 典例引领 【典例01】（2025·河北石家庄·一模）规定：若两个数的平方差能被8整除，则称这个算式是“如意式”．例如：． 验证：是“如意式”； 证明：任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，这些算式都是“如意式”． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，利用平方差公式解答即可． 【详解】解：验证：∵． ∴能被8整除， ∴是； 证明：设任意两个连续奇数为和（是整数）， 是整数， 是8的倍数． 任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，这些算式都是“如意式”． 【典例02】（2024·河北保定·一模）观察下列式子，定义一种新运算：；；． (1)这种新运算是：_______（用含x，y的代数式表示）； (2)若，求m的最小整数值； (3)若a，b均为整数，试判断是否能被3整除，并说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)能，理由见解析 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、解一元一次不等式，找到定义中数的关系式，代入得到一元一次不等式求解是解题的关键．判断能不能被3整除，把式子化简成几个整数因式乘积的形式，里面有是3的倍数的数，即可证明能被3整除． （1）根据定义新运算的形式代入即可； （2）根据定义新运算的形式，代入即可列式出关于m的一元一次不等式，解不等式可得答案； （3）根据定义新运算的形式，列出式子化简后，即可判断． 【详解】（1）解∶根据题意，得， 故答案为∶ ； （2）解：根据题意，得， 解得， ∴最小整数m为2； （3）解： ， ∵a，b为整数， ∴能被3整除， ∴能被3整除． 方法透视 考向解读  结合整式恒等变形，考查证明代数式能被某数整除或判断代数式值的奇偶性。强调将代数式转化为乘积形式，利用整除定义进行推理。 方法技能 先将代数式展开或因式分解，化为乘积形式（如k·某整式）。若结果可写成某数的整数倍形式，即能被该数整除。常用技巧：完全平方公式、平方差公式、提公因式。注意分类讨论奇偶性等特殊情况。 变式演练 【变式01】（2024·河北邯郸·二模）同学们在学习整式运算时，嘉嘉发现了一个结论：差为2的两个正整数的积与1的和等于这两个正整数的平均数的平方． (1)请通过计算验证：____________；若设差为2的两个正整数中较小的数为a，请验证嘉嘉发现的结论． (2)琪琪说：差为12的两个正整数的积与一个数x的和等于这两个正整数的平均数的平方．这样的数x是否存在？如果存在，请求出x的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)12；证明见解析； (2)存在， 【分析】本题考查的是完全平方式的应用，把所求代数式合并成完全平方式的形式是解答此题的关键． （1）根据题意直接计算即可得出结果；设较小的正整数为a,则另一个正整数为，根据题意列出代数式化简即可； （2）设较小的正整数为k，则另一个正整数为，它们的积与x的和为，然后利用完全平方式化简即可得出结果． 【详解】（1）解：， 故答案为：12； 设较小的正整数为a,则另一个正整数为， 这两个数的积与1的和为 ∴ , ∵， ∴原式为这两个正整数的平均数的平方． （2）存在，理由如下： 设较小的正整数为k，则另一个正整数为， 它们的积与x的和为 ∴ ∴． 48．（2026·河北石家庄·一模）定义：若一个三位数的百位数字与个位数字的和恰好等于十位数字的倍，则这个三位数叫做“和倍数”．例如，三位数，因为，所以它是“和倍数”． 【理解定义】 (1)三位数是“和倍数”吗？ ．（填写“是”或者“不是”） 【建模推理】 (2)设一个“和倍数”的百位、十位、个位数字分别为，，，则，，满足的关系式为 ； (3)任意一个“和倍数”都能被整除吗？请说明理由． 【答案】(1)不是 (2) (3)任意一个“和倍数”都能被整除，见解析 【分析】（1）计算是否为的倍即可判断； （2）根据“和倍数”的定义即可得出结果； （3）由，可得，符合的倍数的特征，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， 故三位数不是“和倍数”． （2）解：根据“和倍数”的定义， 即三位数的百位数字与个位数字的和恰好等于十位数字的倍， 可得． （3）解：令为“和倍数”设一个“和倍数”的百位、十位、个位数字分别为，，， ∴， ∵，符合的倍数的特征， 故任意一个“和倍数”都能被整除． 49．（25-26七年级下·河北张家口·月考）【发现】“两个相邻整数的平均数的平方”与“它们的平方数的平均数”的差是定值； 【验证】 (1)设两个相邻的整数为，则它们平均数的平方为_________；它们平方数的平均数为_________；“，的平均数的平方”与“它们平方数的平均数”的差为_________． 【探究】 (2)设两个相邻整数分别为，求出【发现】中的定值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】根据分别计算“两个相邻整数的平均数的平方”与“它们的平方数的平均数”，再求它们的差即可． 【详解】（1）解：由题意得：，，； （2）解：由题意得： 题●型●训●练 50．（2026·河北邯郸·一模）我国的北斗卫星导航系统已进入稳定运行和持续优化的阶段，其“中圆地球轨道卫星”运行在约21500公里高度的圆形轨道上．数据21500用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法要求将数表示为的形式，其中，为整数，根据规则确定和即可得到结果． 【详解】． 51．（2026·河北邢台·一模）将化简为最简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 52．（2026·河北石家庄·一模）随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生．多种AI软件崭露头角，某班级为更好地了解AI软件，计划举办手抄报展览，据统计，“豆包”AI在某功能测试中，每秒可处理数据条，若持续运行秒，则这段时间内共处理的数据条数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“总数据条数每秒处理数据条数运行时间”列式，计算后整理为标准科学记数法形式即可． 【详解】解：． 53．（2026·河北保定·模拟预测）任取一个非零整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数．就将该数除以2，这叫把该数进行1次运算．在平面直角坐标系中，将点(其中x与y均为非零整数）中的分别按上述运算得到新点的横、纵坐标．例如：点经过1次运算得到点，经过2次运算得到点；以此类推．若点（其中均为非零整数）经过10次运算后得到点，则点不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据给定运算规则，先验证得所有选项横坐标都符合要求，只需计算各选项纵坐标经过10次运算的结果，利用周期规律简化推导即可得到答案． 【详解】四个选项横坐标均为，为偶数，每次运算都除以2，经过10次运算后得，符合要求，只需验证纵坐标： A． 纵坐标 ∵是奇数，第1次运算得，第2次运算得，运算周期为2， ∴10次（偶数）运算后结果仍为，符合要求． B． 纵坐标 ∵第1次运算得，第2次运算得，运算周期为2，偶数次运算结果为. ∴10次运算后结果为，不符合要求． C． 纵坐标 ∵是偶数，连续10次除以2得. ∴10次运算后结果为，符合要求． D． 纵坐标 ∵前8次连续除以2得，剩余2次运算，由A的推导可知经过2次运算结果为. ∴10次运算后结果为，符合要求． 综上，点不可能是B选项． 故选：B. 54．（2026·河北邯郸·一模）的相反数是__________． 【答案】 1 【分析】先计算出的值，再根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：， 的相反数是， ∴的相反数是1． 55．（2026·河北邯郸·一模）已知x，y满足，则______． 【答案】7 【分析】根据，得出，再把代入求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 56．（2026·河北邯郸·一模）计算与化简： (1) (2) 【答案】(1)7 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 57．（2026·河北石家庄·一模）根据如图所示的运算程序，回答下列问题． (1)若输入，计算输出的值； (2)若输出的，求输入的最大整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入程序框图求解； （2）根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时， ∴输出的值为； （2）解：根据题意得， 解得 ∴输入的最大整数的值为． 58．（2026·河北石家庄·一模）计算：．芳芳在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．（■代表被污染的数字） (1)如果被污染的数字是，请计算：； (2)如果计算结果大于6，求被污染的数字的最小整数值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）代入计算即可；（2）设被污染的数字为x，列不等式求解即可； 【详解】（1） ； （2）设被污染的数字为x， 则， ， ， ， ， ∴被污染的数字的最小整数值是3． 59．在一次单元测验中，嘉嘉在计算一道整式乘法式子时，由于抄错了第一个多项式中常数项的符号，实际计算了，得到的计算结果是． 根据以上信息，解决下面的问题． (1)求出整式乘法式子中b的值． (2)计算出这道整式乘法式子的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的值，再根据计算结果是作答即可； （2）写出正确的式子，计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵计算结果是， ∴， 解得：； （2）解： ． 试卷第2页，共31页 公司1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数与式的常考题型 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 相反数与绝对值 题型02 用数轴表示数与数的比较大小 题型03 实数的混合运算 题型04 与幂有关的运算 题型05 整体代入 题型06 分式的化简求值 题型07 数式规律探究 题型08 自定义运算 题型09 循环规律探究 题型10 代数推理 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 相反数与绝对值 典例引领 【典例01】（2025·江苏盐城·中考真题）小明从小区楼出发，实数的绝对值是（    ） A．2 B． C． D． 【典例02】（2025·山东潍坊·中考真题）实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 近三年河北中考多以选择题考查相反数和绝对值概念，结合数轴判断点位置关系。通常以生活情境为背景，如气温变化、数轴上的点移动等，要求准确理解“只有符号不同的两个数”及绝对值非负性的核心定义。 方法技能  相反数：直接改变原数的符号，0的相反数是0。在数轴上互为相反数的两点关于原点对称。绝对值：遵循“正数不变、负数相反、0为0”的原则，即|a|=a（a≥0），|a|=-a（a≤0）。-注意绝对值的非负性是后续等式成立的条件依据。 变式演练 【变式01】（2026·安徽·二模）下列各实数中，与2026互为相反数的是（    ） A．2026 B． C． D． 【变式02】（2025·山东临沂·二模）下列各数中，绝对值最大的是（   ） A． B． C．2 D． 【变式03】（2025·河南漯河·二模）在数轴上表示实数的相反数的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型02 用数轴表示数与数的比较大小 典例引领 【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·海南·中考真题）写出一个比大的实数：_______． 方法透视 考向解读  要求能用数轴上的点表示有理数，并比较大小。常以数轴标点、结合温度计等情境呈现，考查对数轴上点与实数一一对应关系的理解，以及左右位置决定数值大小的直观判断。 方法技能  数轴三要素：原点、正方向、单位长度。数轴上右边的点表示的数总大于左边的点。比较大小时可先标出各点的位置，利用“从左到右依次增大”的原则判断。注意正数大于0、0大于负数、正数大于负数。 变式演练 【变式01】（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 【变式02】（2025·四川遂宁·中考真题）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则______0．（填“>”“=”或“<”） 【变式03】（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型03 实数的混合运算 典例引领 【典例01】（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 【典例02】（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 方法透视 考向解读 以解答题形式呈现，常结合绝对值、乘方、开方、零指数幂等综合运算，三步以内为主。强调运算顺序和符号判断的规范性，注重在运算过程中灵活运用运算律简化计算。 方法技能 遵循“先乘方开方→再乘除→后加减，有括号先算括号”的顺序。常用技巧：转化法（除化乘、乘方化乘法）、凑整法（和为零或分母相同组合）、分拆法（带分数拆分为整数与真分数）。建议分步书写，不跳步，防止符号遗漏。 变式演练 【变式01】（2025·四川广元·中考真题）计算：． 【变式02】（2024·陕西·中考真题）计算：． 【变式03】（2025·湖南长沙·中考真题）计算：． 题型04 与幂有关的运算 典例引领 【典例01】（2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读  河北中考中属基础保障题，多以选择题出现，考查合并同类项、幂的乘方、积的乘方等单一技能。运算规则明确，计算量适中，强调对幂运算法则的准确掌握。 方法技能 幂的运算法则：aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ（同底数幂相乘指数相加），(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ（幂的乘方指数相乘）。合并同类项：系数相加减，字母及指数不变。注意符号的处理和运算顺序，避免跳步。 变式演练 【变式01】（2025·江苏淮安·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·海南·中考真题）下列运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型05 整体代入 典例引领 【典例01】（2025·河北唐山·二模）已知与互为相反数，则代数式的值为______． 【典例02】（2025·山东潍坊·中考真题）（1）先化简，再求值：，其中，满足． （2）解方程组：． 方法透视 考向解读  高频考点，考查不直接给出字母具体值，而是通过代数式变形后整体代入求值的能力。-强调观察已知与所求的结构关系，灵活运用提公因式、完全平方公式等变形技巧。 方法技能  三步法：观察已知与所求的结构关系→对代数式变形（提公因式、配方法、公式法）→将已知整体代入。-常见技巧包括降次、平方、配方等。注意分式整体代入时须检验字母取值是否使分母为零。 变式演练 【变式01】先化简，再求值：，其中a满足． 【变式02】若，则______． 【变式03】先化简再求值：，其中． 题型06 分式的化简求值 典例引领 【典例01】（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 【典例02】（2026·河北沧州·一模）已知，则的值为（   ） A．2 B．4 C． D． 方法透视 考向解读  必考知识点，以选择题为主，占2—3分，考查通分、约分和因式分解的综合运用。题目灵活多变，如在选择题中补充不完整部分，强调运算结果的规范性。 方法技能 遵循“先括号内→再乘除→后加减”的顺序。化简前先尝试分解因式，再约分找最简公分母。注意符号处理和括号的运用，代入求值时须检验使原分式有意义的条件。 变式演练 【变式01】（2025·河北·中考真题）若，则（    ） A． B． C．3 D．6 【变式02】（2026·河北保定·模拟预测）分式计算的部分过程如图所示，按要求完成下列小题． 解： ……第一步 (1)第一步将原式中的变形为，是将分子与分母进行了_____（填字母）； A．整式乘法        B．因式分解 (2)请你在图中的虚框中完成该分式的计算． 【变式03】（2026·河北沧州·模拟预测）下面的分式化简题呈现了小高的正确解答过程，但部分算式被遮挡． 解： (1)请求出被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)小颖认为“原算式的值不可能为9”，请你回答下面的两个问题并说明理由： ①你知道小颖为什么这样判断吗？ ②小颖的说法全面吗？ 题型07 数式规律探究 典例引领 【典例01】（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（    ） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 【典例02】（2026·河北石家庄·一模）【观察发现】例如： 以上举例的两位数乘两位数，其十位数字相同，个位数字相加得，其计算规律总结为：两个数的个位数字相乘的积作十位和个位（积不足的十位用填充），十位数字与比十位数字大1的数字的积作百位（或者是千位和百位）． (1)【规律运用】用总结的规律计算： ①； ②； ③； (2)【规律证明】设这两个两位数的十位数字都是，个位数字分别是和（），用，，表示上面的规律，并给予证明． 方法透视 考向解读 通过观察数字或代数式的排列，找出每个数字与对应序数的关系，写出第n项的表达式。考查从特殊到一般的归纳能力，常以填空题形式出现。 方法技能 先计算n=1,2,3时的结果，寻找前后数字之间的差或比的关系。观察每个数字与序数n的对应关系，常见规律有等差（an+b）、等比、平方（n²）、2ⁿ等。写出通项公式后代入n=1,2验证。 变式演练 【变式01】（2025·河北唐山·三模）如图，直线对应的函数表达式为，在直线上，顺次取点，，，，，，构成的形如“”的图形的阴影部分面积分别为，，；则______．（用含的式子表示，要化简）． 【变式02】（2026·河北石家庄·一模）如图，每个台阶上都标着一个数，按照从下到上的顺序，每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大，已知第个台阶上的数是． (1)求第个台阶上的数； (2)求第几个台阶上的数是． 【变式03】（2025·河北石家庄·三模）把1，3，5，7，9…这一组数按如下规律排放在表格中，任意选定如图所示方框中4个数，进行交叉相乘再相减的运算，即，例如：．完成下列各题： (1)计算：________； (2)猜想：________； (3)验证：请你利用整式的运算对以上的规律加以证明； 题型08 自定义运算 典例引领 【典例01】（2026·河北保定·模拟预测）定义：使成立的一对有理数、称为“相伴有理数对”，记作．例如：因为，所以是“相伴有理数对”． (1)判断数对是否为“相伴有理数对”．并通过计算说明理由； (2)若是“相伴有理数对”．求的值； (3)若是“相伴有理数对”，求的值． 【典例02】（25-26九年级上·河北沧州·期中）对于实数，，定义新运算“”：． 例如：，因为，所以． (1)求的值； (2)若，是一元二次方程的两个根，求的值． 方法透视 考向解读  创新题型，以初中数学核心知识为依托，引入新符号或新规则，考查阅读理解能力和知识迁移能力。-要求将新定义转化为常规运算，考查灵活运用知识的能力。 方法技能 核心原则是“给什么，用什么”——严格按定义规则进行计算。-先将新符号转化为常规运算，注意运算顺序和括号优先级。可采用“原型对照法”，找到类似已学运算，进行迁移。 变式演练 【变式01】（2026·河北沧州·一模）在实数范围内，对于任意实数规定一种新运算：，例如：． (1)计算：； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【变式02】（25-26七年级上·四川成都·期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数m和n，规定．如：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 题型09 循环规律探究 典例引领 【典例01】（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，把周长为个单位长度的圆放到数轴（单位长度为）上，三点将圆三等将点与数轴上表示的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，则对应点可能为（　　） A． B． C． D．以上答案均错误 【典例02】（25-26九年级上·广东茂名·期末）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角的弧多次复制并首尾连接而成．现有一点从（为坐标原点）出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2026秒时点的纵坐标为（    ） A． B． C．0 D．1 方法透视 考向解读  数字或符号按固定周期重复出现，如尾数循环、符号交替等。需找出循环周期，用总次数除以周期判断第n项的值。常与图形规律、数阵问题结合。 方法技能 先观察前几个值，找出重复出现的最小单元，确定循环周期T。第n项的值由n除以T的余数决定：余数为r时对应周期中第r个值，余数为0时对应最后一个值。 变式演练 【变式01】（2025·河北沧州·二模）天干地支纪年法是指中国传统纪年历法，是自上古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法对应的规律如表， 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 … 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 … 干支纪年 甲子年 乙丑年 丙寅年 丁卯年 戊辰年 己巳年 庚午年 辛未年 壬申年 癸酉年 甲戌年 乙亥年 丙子年 … 已知今年是乙巳年，则下列历史事件与时间对应错误的是（   ） A．庚子赔款——1900年 B．辛酉政变——1861年 C．丁巳京察——1617年 D．壬寅宫变——1543年 【变式02】（2025七年级下·全国·专题练习）已知为实数，规定运算：，，，，，，按上述方法，当时，的值等于（   ） A． B． C． D． 【变式03】（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知且，我们定义，记为；，记为，……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……．则的值为_____． 题型10 代数推理 典例引领 【典例01】（2025·河北石家庄·一模）规定：若两个数的平方差能被8整除，则称这个算式是“如意式”．例如：． 验证：是“如意式”； 证明：任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，这些算式都是“如意式”． 【典例02】（2024·河北保定·一模）观察下列式子，定义一种新运算：；；． (1)这种新运算是：_______（用含x，y的代数式表示）； (2)若，求m的最小整数值； (3)若a，b均为整数，试判断是否能被3整除，并说明理由． 方法透视 考向解读  结合整式恒等变形，考查证明代数式能被某数整除或判断代数式值的奇偶性。强调将代数式转化为乘积形式，利用整除定义进行推理。 方法技能 先将代数式展开或因式分解，化为乘积形式（如k·某整式）。若结果可写成某数的整数倍形式，即能被该数整除。常用技巧：完全平方公式、平方差公式、提公因式。注意分类讨论奇偶性等特殊情况。 变式演练 【变式01】（2024·河北邯郸·二模）同学们在学习整式运算时，嘉嘉发现了一个结论：差为2的两个正整数的积与1的和等于这两个正整数的平均数的平方． (1)请通过计算验证：____________；若设差为2的两个正整数中较小的数为a，请验证嘉嘉发现的结论． (2)琪琪说：差为12的两个正整数的积与一个数x的和等于这两个正整数的平均数的平方．这样的数x是否存在？如果存在，请求出x的值；如果不存在，请说明理由． 48．（2026·河北石家庄·一模）定义：若一个三位数的百位数字与个位数字的和恰好等于十位数字的倍，则这个三位数叫做“和倍数”．例如，三位数，因为，所以它是“和倍数”． 【理解定义】 (1)三位数是“和倍数”吗？ ．（填写“是”或者“不是”） 【建模推理】 (2)设一个“和倍数”的百位、十位、个位数字分别为，，，则，，满足的关系式为 ； (3)任意一个“和倍数”都能被整除吗？请说明理由． 49．（25-26七年级下·河北张家口·月考）【发现】“两个相邻整数的平均数的平方”与“它们的平方数的平均数”的差是定值； 【验证】 (1)设两个相邻的整数为，则它们平均数的平方为_________；它们平方数的平均数为_________；“，的平均数的平方”与“它们平方数的平均数”的差为_________． 【探究】 (2)设两个相邻整数分别为，求出【发现】中的定值． 题●型●训●练 50．（2026·河北邯郸·一模）我国的北斗卫星导航系统已进入稳定运行和持续优化的阶段，其“中圆地球轨道卫星”运行在约21500公里高度的圆形轨道上．数据21500用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 51．（2026·河北邢台·一模）将化简为最简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 52．（2026·河北石家庄·一模）随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生．多种AI软件崭露头角，某班级为更好地了解AI软件，计划举办手抄报展览，据统计，“豆包”AI在某功能测试中，每秒可处理数据条，若持续运行秒，则这段时间内共处理的数据条数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 53．（2026·河北保定·模拟预测）任取一个非零整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数．就将该数除以2，这叫把该数进行1次运算．在平面直角坐标系中，将点(其中x与y均为非零整数）中的分别按上述运算得到新点的横、纵坐标．例如：点经过1次运算得到点，经过2次运算得到点；以此类推．若点（其中均为非零整数）经过10次运算后得到点，则点不可能是（    ） A． B． C． D． 54．（2026·河北邯郸·一模）的相反数是__________． 55．（2026·河北邯郸·一模）已知x，y满足，则______． 56．（2026·河北邯郸·一模）计算与化简： (1) (2) 57．（2026·河北石家庄·一模）根据如图所示的运算程序，回答下列问题． (1)若输入，计算输出的值； (2)若输出的，求输入的最大整数的值． 58．（2026·河北石家庄·一模）计算：．芳芳在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．（■代表被污染的数字） (1)如果被污染的数字是，请计算：； (2)如果计算结果大于6，求被污染的数字的最小整数值． 59．在一次单元测验中，嘉嘉在计算一道整式乘法式子时，由于抄错了第一个多项式中常数项的符号，实际计算了，得到的计算结果是． 根据以上信息，解决下面的问题． (1)求出整式乘法式子中b的值． (2)计算出这道整式乘法式子的正确结果． 试卷第2页，共31页 公司1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $