专题01 数的性质与计算（5大真题考点+4大模拟题型）（河北专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题01 数的性质与计算 考点一、实数的性质 1．（2024·河北·中考真题）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（    ） A． B． C． D． 考点二、实数的运算及应用 2．（2025·河北·中考真题）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（2022·河北·中考真题）与相等的是（    ） A． B． C． D． 4．（2021·河北·中考真题）能与相加得0的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 考点三、无理数的估算 6．（2024·河北·中考真题）已知a，b，n均为正整数． （1）若，则 ； （2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少 个． 考点四、科学记数法的应用 7．（2022·河北·中考真题）某正方形广场的边长为，其面积用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·河北·中考真题）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．下列正确的是（    ） A． B． C．是一个12位数 D．是一个13位数 9．（2021·河北·中考真题）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进本甲种书和本乙种书，共付款元． （1）用含，的代数式表示； （2）若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示的值． 10．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 考点五、数轴背景下的综合问题 11．（2021·河北·中考真题）如图，将数轴上-6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为，，，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·河北·中考真题）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． (1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； (2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 专练一、有理数的性质和概念 13．（2025·河北邯郸·三模）若用+60千米表示向东行驶60千米，则－20千米表示行驶的方向是（    ） A．向东 B．向西 C．向南 D．向北 14．（2025·河北唐山·二模）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入1300元记作，则元表示（    ） A．收入1000元 B．收入100元 C．支出1000元 D．支出100元 15．（2025·河北邯郸·二模）与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．积为 16．（2025·河北沧州·模拟预测）将数轴上表示的点沿数轴向右平移2个单位长度后，该点表示的数是（      ） A． B．1 C． D．3 17．（2025·河北邯郸·二模）为了解某种盒装茶叶的质量（单位：）情况，质检员抽样监测了其中4盒茶叶．其中超标的记为正数，不足的记为负数．检验结果分别是，，，，其中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 18．（2025·河北邯郸·二模）如图，数轴上有三个点，，，其中是线段的中点，则原点的位置（    ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 19．（2025·河北唐山·二模）如图，数轴的单位长度为1，点表示的数为，点表示的数为，且，则与的积为（   ） A．0 B．4 C． D． 20．（2025·河北邢台·三模）如图，点A，C在不完整的数轴上，对应的数分别为a，c，原点与点A，C均不重合．若，则方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．两根之和为 21．（2025·河北石家庄·三模）有理数m，n在数轴上的位置如图所示，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 专练二、有理数的运算及应用 22．（2025·河北邯郸·三模）有一种纳米材料的分子的直径为，其中0.0000007用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 23．（2025·河北石家庄·三模）我国新研发的一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为，一张普通唱片的容量是一张蓝光唱片容量的倍，则用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 24．（2025·河北邯郸·二模）某厂2023年的产值是元，2024年经过一系列的改革创新，产值大幅上升．经统计，这两年产值的平均数是元，则2024年的产值用科学记数法表示为（单位：元）（   ） A． B． C． D． 25．（2025·河北石家庄·二模）骆驼最高适应温度为，最低适应温度为，则骆驼适应温度的最大温差是（   ） A． B． C． D． 26．（2025·河北唐山·二模）若数轴上点A，B分别表示数为，2，则A，B两点之间的距离可表示为（   ） A． B． C． D． 27．（2025·河北石家庄·二模）将刻度尺与数轴如图所示放置，（数轴的单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的4和，那么刻度尺上的“”对应数轴上的数为（    ） A． B． C． D． 28．（2025·河北邯郸·二模）计算：（    ） A． B． C．6 D．1 29．（2025·河北张家口·二模）下列各式的计算结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 30．（2025·河北·模拟预测）按如图所示的程序输入进行计算，则输出结果为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 31．（2025·河北邢台·三模）已知四个数：． (1)直接用“”将这四个数连接起来； (2)从中任意选取两个数，设其中乘积最大的结果为，这四个数的和为，求的值． 32．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，每个台阶上都标着一个数，按照从下到上的顺序，每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大2，已知第1个台阶上的数是． (1)求第4个台阶上的数； (2)嘉嘉发现第7个台阶以上的数都是正数，请验证这个结论． 33．（2025·河北唐山·二模）利用运算律计算有时可以更简便． 例1：； 例2：． 请你参考示例，用运算律简便计算． (1)； (2)． 34．（2025·河北唐山·二模）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，如第1个台阶上的数是，按照从下到上的顺序，每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大2． (1)求第3个台阶上的数； (2)求第个台阶上的数（用含的式子表示）： (3)淇淇发现第7个台阶以上的数都是正数，请验证这个结论． 35．（2025·河北廊坊·二模）如图，在一个圆形转盘上，标有五个有理数． (1)求这已知的四个数的积； (2)若横排三个数的和与竖列三个数的和相等． ①求a的值： ②求，4，5，这四个数的平均数． 36．（2025·河北廊坊·二模）P，Q，K所表示的运算如下表．若给出一个数，根据甲，乙，丙的排列顺序不同，可以得到不同的算式并计算结果． P 例如：所给数字为“5”，按的顺序运算，列得算式： 计算：原式 Q K (1)所给数字为“”时， ①按的顺序列式并计算； ②按的顺序列式并计算． (2)若给出某个数，按的顺序运算的结果为14，求符合条件的数． 专练三、平方根与算术平方根 37．（2025·河北邯郸·二模）下列各数中，是负整数的是（    ） A． B． C． D． 38．（2025·河北保定·一模）下列算式中，运算结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 39．（2025·河北邯郸·模拟预测）（   ） A． B． C． D． 40．（2025·河北·一模）若表格中的四个数满足每列的两个数的和相等，则m的值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 41．（2025·河北廊坊·一模）若，则（   ） A． B．3 C． D．9 42．（2025七年级下·全国·专题练习）已知为实数，规定运算：，，，，，，按上述方法，当时，的值等于（   ） A． B． C． D． 43．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果等于（   ）    A．0 B． C． D． 44．（2025·河北·模拟预测）如图，在面积为12的矩形内有两个相邻的正方形，已知大正方形面积为8，则阴影部分的面积为 ． 45．（2025·河北石家庄·一模） ． 46．（2025·河北石家庄·二模）计算： ． 47．（2025·河北秦皇岛·一模）数学课上，张老师为了提高学生的数学兴趣，设计了一个掷骰子的小游戏，游戏规则如下：游戏开始时，老师先说出一个数字，然后投掷骰子，骰子朝上的点数1，2，3，4，5，6分别代表计算法则：“＋1”，“平方”，“立方”，“”，“＋5”，“”，根据投掷的点数按照相应的计算法则进行计算．例如：开始数字为10时，投掷两次骰子的点数依次为5和2，则计算结果为： ． (1)开始数字为，投掷三次骰子的点数依次为4，2，6，计算其结果； (2)开始数字为m，投掷两次骰子的点数依次为1和3，计算结果为，求m的值． 专练四、实数的有关性质及应用 48．（2025·陕西渭南·二模）下列各数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 49．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，正方形的顶点在数轴上，点表示的数为1，把正方形绕顶点逆时针旋转，使点落在数轴上的点（点在点的左侧），若正方形的面积为8，则点所表示的数为（　　） A． B． C． D． 50．（2025·河北邯郸·二模）如图，点，为数轴上的两个点，分别表示的数为和0.5，则数轴上在点，之间表示整数的点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 51．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，数轴上A，B，C三点所表示的数分别为a，b，1（）．对于代数式甲：，乙：．下列判断正确的是（    ） A．甲一定是负数 B．乙一定是正数 C．甲可能是正数 D．乙可能是负数 52．（2025·河北邯郸·三模）对于实数，，定义的含义：当时，；当时，．例如：．已知，，且和为两个连续整数，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 53．（2025·河北·模拟预测）在数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分只研究小数部分，因而引入高斯记号．若为任意数，取不大于的最大整数记为，取与的差记为．例：．若，则的值可以为（  ） A． B． C． D． 54．（2025·河北邢台·三模）【规定】一列数中任意相邻的三个数满足，则这个数列为“漂亮数列”． 如下结论：①若是“漂亮数列”，则； ②若不论取何值，数列都是“漂亮数列”，则； ③若数列…，…是“漂亮数列”，则． 其中正确的是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 55．（2025·河北张家口·二模）若（为正整数），则 ． 56．（2025·河北保定·三模）对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 ． 57．（2025·河北·模拟预测）对于任意一个三位正整数，我们可以记为，即（a，b，c均为正整数）．若规定：对进行F运算，得到整数．例如，． (1)计算：； (2)若，求这个三位数． 58．（2025·河北唐山·三模）已知实数，，． (1)当时，计算最大数与最小数的差； (2)当时，试判断这三个数的大小关系． 59．（2025·河北石家庄·模拟预测）已知． (1)若，，，求的值． (2)在（1）的基础上，若，请你比较，的大小，并直接写出结果． 60．（2025·河北邢台·一模）如图，妈妈和小娜做一个数学游戏，妈妈任意给出一个实数，小娜从圆桶里随机摸出小球，并按摸出小球的先后顺序，把实数利用小球上标识的运算逐一进行计算． (1)若，小娜从圆桶里随机摸出小球的顺序是、、，请列出算式并计算结果； (2)若，小娜从圆桶里随机摸出小球的顺序是，运算结果总是非正数，请说明理由． 61．（2025·河北石家庄·一模）数学活动课上，刘老师让同学们做一个数学游戏，规则如下：每次游戏都涉及三种运算，分别代表下面的运算．每一种运算都是在上一步运算结束后进行的一步运算．运算过程中自动添加必要的括号．如对数1按的顺序计算，列式为：． (1)求对按的顺序运算后的结果； (2)对数按的顺序运算后，结果大于．请从下面的问题①和②中选择其中一个进行解答： ①直接写出的正整数值； ②求的取值范围． 试卷第32页，共34页 10 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数的性质与计算 考点一、实数的性质 1．（2024·河北·中考真题）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键． 由五日气温为得到，，，则气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降． 【详解】解：由五日气温为得到，， ∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降． 故选：A． 考点二、实数的运算及应用 2．（2025·河北·中考真题）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据题意计算得出，找到显示为的即可求解． 【详解】解： 故选：B． 3．（2022·河北·中考真题）与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，分别求出各选项的值，作出选择即可． 【详解】A、，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解答本题的关键． 4．（2021·河北·中考真题）能与相加得0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用加法与减法互为逆运算，将0减去即可得到对应答案，也可以利用相反数的性质，直接得到能与 相加得0的是它的相反数即可． 【详解】解：方法一：； 方法二：的相反数为； 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的运算和相反数的性质，解决本题的关键是理解相关概念，并能灵活运用它们解决问题，本题侧重学生对数学符号的理解，计算过程中学生应注意符号的改变． 5．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 【答案】（1）原计算第一步开始出错；；（2） 【分析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）第一步计算分配律时符号出错； （2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除． 【详解】解：（1）原计算第一步开始出错； ； （2） 考点三、无理数的估算 6．（2024·河北·中考真题）已知a，b，n均为正整数． （1）若，则 ； （2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少 个． 【答案】 【分析】本题考查的是无理数的估算以及规律探究问题，掌握探究的方法是解本题的关键； （1）由即可得到答案； （2）由，，为连续的三个自然数，，可得，，再利用完全平方数之间的数据个数的特点探究规律即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，而， ∴； 故答案为：； （2）∵a，b，n均为正整数． ∴，，为连续的三个自然数，而， ∴，， 观察，，，，，，，，，，， 而，，，，， ∴与之间的整数有个， 与之间的整数有个， ∴满足条件的a的个数总比b的个数少（个）， 故答案为：． 考点四、科学记数法的应用 7．（2022·河北·中考真题）某正方形广场的边长为，其面积用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先算出面积，然后利用科学记数法表示出来即可． 【详解】解：面积为：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键． 8．（2023·河北·中考真题）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．下列正确的是（    ） A． B． C．是一个12位数 D．是一个13位数 【答案】D 【分析】根据科学记数法、同底数幂乘法和除法逐项分析即可解答． 【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意； B. ，故该选项错误，不符合题意； C. 是一个13位数，故该选项错误，不符合题意； D. 是一个13位数,正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查了科学记数法、同底数幂乘法和除法等知识点，理解相关定义和运算法则是解答本题的关键． 9．（2021·河北·中考真题）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进本甲种书和本乙种书，共付款元． （1）用含，的代数式表示； （2）若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示的值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）进本甲种书和本乙种书共付款为2种书的总价，用单价乘以数量即可； （2）将书的数量代入（1）中结论，求解，最后用科学记数法表示． 【详解】（1） （2） 所以． 【点睛】本题考查了列代数式，科学记数法，幂的计算，正确的理解题意根据实际问题列出代数式，正确的用科学记数法表示出结果是解题的关键． 10．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了科学记数法，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键； （1）根据，代入数据进行计算即可求解； （2）根据定义求得铁的线膨胀系数，进而设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 答：该铜棒的伸长量． （2）解：， 解得：， 设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得：， 答：铁的线膨胀系数，该铁棒温度的增加． （3）解：设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得： ， 答：该铁棒温度的增加量为． 考点五、数轴背景下的综合问题 11．（2021·河北·中考真题）如图，将数轴上-6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为，，，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目中的条件，可以把，，，，分别求出来，即可判断． 【详解】解：根据题意可求出： A，，故选项错误，不符合题意； B，，故选项错误，不符合题意； C，，故选项正确，符合题意； D，，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了等分点和实数与数轴上的点一一对应，解题的关键是：根据题意直接求出，，，，的值即可判断． 12．（2024·河北·中考真题）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． (1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； (2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键； （1）直接列式求解三个数的和即可，再分别计算，从而可得答案； （2）由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32， ∴，，， ∴； （2）解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐， ∴， ∴， 解得：； 专练一、有理数的性质和概念 13．（2025·河北邯郸·三模）若用+60千米表示向东行驶60千米，则－20千米表示行驶的方向是（    ） A．向东 B．向西 C．向南 D．向北 【答案】B 【详解】解：规定“千米”表示向东行驶千米，因此正数代表东向。根据相反意义的量，负数应表示相反方向，即西向。 ∴千米表示向西行驶千米． 故选：B． 14．（2025·河北唐山·二模）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入1300元记作，则元表示（    ） A．收入1000元 B．收入100元 C．支出1000元 D．支出100元 【答案】C 【详解】解：若收入1300元记作，则元表示支出1000元， 故选：C． 15．（2025·河北邯郸·二模）与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．积为 【答案】A 【详解】解：， ∴与的关系是相等． 故选：A． 16．（2025·河北沧州·模拟预测）将数轴上表示的点沿数轴向右平移2个单位长度后，该点表示的数是（      ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【详解】解：将数轴上表示的点沿数轴向右平移2个单位长度， 即． 故选：B． 17．（2025·河北邯郸·二模）为了解某种盒装茶叶的质量（单位：）情况，质检员抽样监测了其中4盒茶叶．其中超标的记为正数，不足的记为负数．检验结果分别是，，，，其中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ∴最接近标准质量的是． 故选：C． 18．（2025·河北邯郸·二模）如图，数轴上有三个点，，，其中是线段的中点，则原点的位置（    ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 【答案】D 【详解】是线段的中点， 点表示的数是， 原点位于线段上，且靠近点． 故选：D． 19．（2025·河北唐山·二模）如图，数轴的单位长度为1，点表示的数为，点表示的数为，且，则与的积为（   ） A．0 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点表示的数为，点表示的数为，且， 根据图可知， 解得， ∴， 故选：C． 20．（2025·河北邢台·三模）如图，点A，C在不完整的数轴上，对应的数分别为a，c，原点与点A，C均不重合．若，则方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．两根之和为 【答案】B 【详解】解：根据题意可知，， ，， 为负数，为正数， ，异号， ， ， 方程有两个不相等的实数根，两根之和为， 故选：B． 21．（2025·河北石家庄·三模）有理数m，n在数轴上的位置如图所示，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，，A错误； ，B错误； ，D错误； ，C正确； 故选C． 专练二、有理数的运算及应用 22．（2025·河北邯郸·三模）有一种纳米材料的分子的直径为，其中0.0000007用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 故选：B。 23．（2025·河北石家庄·三模）我国新研发的一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为，一张普通唱片的容量是一张蓝光唱片容量的倍，则用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题知， ． 故选：C． 24．（2025·河北邯郸·二模）某厂2023年的产值是元，2024年经过一系列的改革创新，产值大幅上升．经统计，这两年产值的平均数是元，则2024年的产值用科学记数法表示为（单位：元）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴ 故选A． 25．（2025·河北石家庄·二模）骆驼最高适应温度为，最低适应温度为，则骆驼适应温度的最大温差是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：骆驼最高适应温度为，最低适应温度为， 骆驼适应温度的最大温差：． 故选：D． 26．（2025·河北唐山·二模）若数轴上点A，B分别表示数为，2，则A，B两点之间的距离可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵数轴上点A，B分别表示数为，2， ∴A，B两点之间的距离可表示为， 故选：C． 27．（2025·河北石家庄·二模）将刻度尺与数轴如图所示放置，（数轴的单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的4和，那么刻度尺上的“”对应数轴上的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴和刻度尺对应的数据可得：数轴上的数加上刻度尺对应的数得到的和为4， ∴刻度尺上的“”对应数轴上的数为， 故选：D． 28．（2025·河北邯郸·二模）计算：（    ） A． B． C．6 D．1 【答案】B 【详解】解：， 选项中，B为，符合计算结果， 故选：B 29．（2025·河北张家口·二模）下列各式的计算结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意可得：，，，． 故选：D． 30．（2025·河北·模拟预测）按如图所示的程序输入进行计算，则输出结果为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：当输入时， 第一次： ，不输出； 第二次： ，输出； ∴输出结果为， 故选：． 31．（2025·河北邢台·三模）已知四个数：． (1)直接用“”将这四个数连接起来； (2)从中任意选取两个数，设其中乘积最大的结果为，这四个数的和为，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意可得：． （2）解：根据（1）可知， ， ． 32．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，每个台阶上都标着一个数，按照从下到上的顺序，每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大2，已知第1个台阶上的数是． (1)求第4个台阶上的数； (2)嘉嘉发现第7个台阶以上的数都是正数，请验证这个结论． 【答案】(1)第4个台阶上的数为 (2)第7个台阶以上的数都是正数，验证结论见解析 【详解】（1）解：根据题意，得， 答：第4个台阶上的数为， （2）解：设第m个台阶上的数是正数，根据题意， 得， 解得， 所以第7个台阶以上的数都是正数。 33．（2025·河北唐山·二模）利用运算律计算有时可以更简便． 例1：； 例2：． 请你参考示例，用运算律简便计算． (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)2 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 34．（2025·河北唐山·二模）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，如第1个台阶上的数是，按照从下到上的顺序，每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大2． (1)求第3个台阶上的数； (2)求第个台阶上的数（用含的式子表示）： (3)淇淇发现第7个台阶以上的数都是正数，请验证这个结论． 【答案】(1)第3个台阶上的数为 (2) (3)见解析 【详解】（1）解：， 答：第3个台阶上的数为； （2）解：由题意得，第个台阶上的数为： ； （3）证明：当时， ∵第个台阶上的数为 ∴第7个台阶以上的数都是正数． 35．（2025·河北廊坊·二模）如图，在一个圆形转盘上，标有五个有理数． (1)求这已知的四个数的积； (2)若横排三个数的和与竖列三个数的和相等． ①求a的值： ②求，4，5，这四个数的平均数． 【答案】(1)60 (2)①；②四个数的平均数为 【详解】（1）解：， 即这已知的四个数的积为60； （2）解：①∵横排三个数的和与竖列三个数的和相等， ∴， 解得：； ② 即这四个数的平均数为． 36．（2025·河北廊坊·二模）P，Q，K所表示的运算如下表．若给出一个数，根据甲，乙，丙的排列顺序不同，可以得到不同的算式并计算结果． P 例如：所给数字为“5”，按的顺序运算，列得算式： 计算：原式 Q K (1)所给数字为“”时， ①按的顺序列式并计算； ②按的顺序列式并计算． (2)若给出某个数，按的顺序运算的结果为14，求符合条件的数． 【答案】(1)①9；②6 (2) 【详解】（1）解：①按的顺序，所给数字为“”时， ； ②按的顺序，所给数字为“”时， ； （2）解：设这个数为x， 由题意得， ， ， 解得， 即符合条件的数为． 专练三、平方根与算术平方根 37．（2025·河北邯郸·二模）下列各数中，是负整数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A. 是正分数，不符合题意；     B. ，是正整数，不符合题意；     C. ，是负整数，符合题意；     D. ，是正整数，不符合题意；     故选：C． 38．（2025·河北保定·一模）下列算式中，运算结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，它是负数； B、，它是正数； C、，它是正数； D、，它是正数． 故选：A 39．（2025·河北邯郸·模拟预测）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 故选： ． 40．（2025·河北·一模）若表格中的四个数满足每列的两个数的和相等，则m的值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】C 【详解】解：由题意得， 整理得， 解得， 故选：C． 41．（2025·河北廊坊·一模）若，则（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【详解】解：由得；由得， ， 故选：B． 42．（2025七年级下·全国·专题练习）已知为实数，规定运算：，，，，，，按上述方法，当时，的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时， ∴， ， ， ， ， ∴以三个数为一组循环， ∴， ∴， ∴， 故选：． 43．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果等于（   ）    A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据数轴可以得到：， ，， 原式 ． 故选：D． 44．（2025·河北·模拟预测）如图，在面积为12的矩形内有两个相邻的正方形，已知大正方形面积为8，则阴影部分的面积为 ． 【答案】2 【详解】解：因为大正方形面积为8， 所以，大正方形的边长为， 设小正方形边长为b，根据题意得： 解得 小正方形的面积为2 阴影部分面积为， 故答案为：2． 45．（2025·河北石家庄·一模） ． 【答案】2 【详解】解：； 故答案为：2． 46．（2025·河北石家庄·二模）计算： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为： ． 47．（2025·河北秦皇岛·一模）数学课上，张老师为了提高学生的数学兴趣，设计了一个掷骰子的小游戏，游戏规则如下：游戏开始时，老师先说出一个数字，然后投掷骰子，骰子朝上的点数1，2，3，4，5，6分别代表计算法则：“＋1”，“平方”，“立方”，“”，“＋5”，“”，根据投掷的点数按照相应的计算法则进行计算．例如：开始数字为10时，投掷两次骰子的点数依次为5和2，则计算结果为： ． (1)开始数字为，投掷三次骰子的点数依次为4，2，6，计算其结果； (2)开始数字为m，投掷两次骰子的点数依次为1和3，计算结果为，求m的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）由题意，得：， ∴， ∴． 专练四、实数的有关性质及应用 48．（2025·陕西渭南·二模）下列各数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是整数，属于有理数，故不符合题意； B、是分数，属于有理数，故不符合题意； C、，属于无理数，符合题意； D、是无限循环小数，属于有理数，故不符合题意； 故选：C． 49．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，正方形的顶点在数轴上，点表示的数为1，把正方形绕顶点逆时针旋转，使点落在数轴上的点（点在点的左侧），若正方形的面积为8，则点所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：正方形的面积为， ． 正方形绕顶点逆时针旋转，点与点重合， ． 点表示的数为1， 点表示的数为， 故选B． 50．（2025·河北邯郸·二模）如图，点，为数轴上的两个点，分别表示的数为和0.5，则数轴上在点，之间表示整数的点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【详解】解：， ∴在和0.5之间共有，，0共3个整数， 故选：B． 51．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，数轴上A，B，C三点所表示的数分别为a，b，1（）．对于代数式甲：，乙：．下列判断正确的是（    ） A．甲一定是负数 B．乙一定是正数 C．甲可能是正数 D．乙可能是负数 【答案】B 【详解】解：由数轴可知：， ∴，即：甲一定是正数； ∵， ∴， ∴ ∴，即：乙一定是正数； 故选B． 52．（2025·河北邯郸·三模）对于实数，，定义的含义：当时，；当时，．例如：．已知，，且和为两个连续整数，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【详解】解：， ． ， 为小于或等于3的整数． ， ． ， 为大于或等于4的整数． 和为连续整数，且，， 唯一满足条件的连续整数为，． ， 故选：A． 53．（2025·河北·模拟预测）在数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分只研究小数部分，因而引入高斯记号．若为任意数，取不大于的最大整数记为，取与的差记为．例：．若，则的值可以为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∵ ∴ 故选：C． 54．（2025·河北邢台·三模）【规定】一列数中任意相邻的三个数满足，则这个数列为“漂亮数列”． 如下结论：①若是“漂亮数列”，则； ②若不论取何值，数列都是“漂亮数列”，则； ③若数列…，…是“漂亮数列”，则． 其中正确的是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：①由题意得：； ②数列是“漂亮数列”， ， 不论取何值，数列都是“漂亮数列”， ，解得：， ； ③数列是“漂亮数列”， ， ∴， ， 解得：或−2． ∴正确的是①②， 故选：B． 55．（2025·河北张家口·二模）若（为正整数），则 ． 【答案】2 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 56．（2025·河北保定·三模）对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 ． 【答案】或1 【详解】①若，即，则，即， 解得：或 负值舍去， 经检验：是原分式方程的解； ②若，即，则，即， 解得：， 经检验：是原分式方程的解； 综上，方程的解为或1． 故答案为：或1． 57．（2025·河北·模拟预测）对于任意一个三位正整数，我们可以记为，即（a，b，c均为正整数）．若规定：对进行F运算，得到整数．例如，． (1)计算：； (2)若，求这个三位数． 【答案】(1)148； (2)274． 【分析】本题考查了实数的新定义运算，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据定义计算即可； （2）根据定义求出，分别讨论求出，，从而可得结论． 【详解】（1）解：； （2）解： a，b均为正整数 若，则，a不为整数，此种情况不成立 若，则此时， 综上这个三位数为274 58．（2025·河北唐山·三模）已知实数，，． (1)当时，计算最大数与最小数的差； (2)当时，试判断这三个数的大小关系． 【答案】(1)8 (2) 【详解】（1）解：当时， ∵， ∴最大数是3，最小数是，它们的差是：； （2）解：当时，，，， ∵， ∴． 59．（2025·河北石家庄·模拟预测）已知． (1)若，，，求的值． (2)在（1）的基础上，若，请你比较，的大小，并直接写出结果． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，，， ． （2）解：∵，， ∴． 60．（2025·河北邢台·一模）如图，妈妈和小娜做一个数学游戏，妈妈任意给出一个实数，小娜从圆桶里随机摸出小球，并按摸出小球的先后顺序，把实数利用小球上标识的运算逐一进行计算． (1)若，小娜从圆桶里随机摸出小球的顺序是、、，请列出算式并计算结果； (2)若，小娜从圆桶里随机摸出小球的顺序是，运算结果总是非正数，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解： （2）理由如下：由题意得， 61．（2025·河北石家庄·一模）数学活动课上，刘老师让同学们做一个数学游戏，规则如下：每次游戏都涉及三种运算，分别代表下面的运算．每一种运算都是在上一步运算结束后进行的一步运算．运算过程中自动添加必要的括号．如对数1按的顺序计算，列式为：． (1)求对按的顺序运算后的结果； (2)对数按的顺序运算后，结果大于．请从下面的问题①和②中选择其中一个进行解答： ①直接写出的正整数值； ②求的取值范围． 【答案】(1) (2)①1，2；② 【详解】（1）解：由题意得： （2）解：由题意得： ，解得：． ∴①正整数为：1，2． ∴②． 试卷第32页，共34页 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$