二 冰淇淋盒有多大 圆柱和圆锥 第5周-【拔尖特训】2025-2026学年六年级下册数学（青岛版）

第5周 综合拓展题 与比相关的圆柱、圆锥的综合问题 ⊙典例精析 知圆柱与圆锥的体积比是9：1，圆柱的 一个圆锥和一个圆柱底面积相等，体积 高是5.4厘米，求圆锥的高。 比是1：6。如果圆锥的高是4.2厘米，那么 圆柱的高是多少厘米？如果圆柱的高是 4.2厘米，那么圆锥的高是多少厘米？ [解析]前一问要求圆柱的高，而题中圆柱 的体积未知，圆柱的底面积也未知，所以可 以根据题意用假设法来探究圆柱的高和圆 锥的高之间的关系。 2.小枫用橡皮泥捏了一个圆柱和一个圆锥， 假设圆柱的底面积和圆锥的底面积都是S, 通过测量、计算，发现圆柱与圆锥体积的 圆柱的高是H,圆锥的高是h。因为圆锥和 比是8：9，底面半径的比是2：3。你知 圆柱的体积比是1：6，所以圆锥的体积× 道圆柱和圆锥的高的比是多少吗？ 6=圆柱的体积。根据圆柱和圆锥的体积计 算公式，可以得到一个关系式：写XSXh× 6=SXH,所以hX2=H。因此圆柱的高 是圆锥高的2倍，或者说圆锥的高是圆柱高 的一半。由此可根据圆锥的高求圆柱的高 或根据圆柱的高求圆锥的高。 [答案]圆锥的高：圆柱的高=1：2 3.甲、乙两个圆柱形水杯，底面半径的比是 4.2X2=8.4(厘米) 2:3,高的比是2：1。将甲水杯装满水 4.2÷2=2.1(厘米) 后全部倒入乙水杯，乙水杯中水面距杯口 答：如果圆锥的高是4.2厘米，那么圆柱的 1.6厘米。甲水杯和乙水杯的高各是多 高是8.4厘米；如果圆柱的高是4.2厘米， 少厘米？（水的损耗忽略不计） 那么圆锥的高是2.1厘米。 点评：此类题用假设法求出圆柱和圆锥的高之间 的关系，可以把底面积和高都假设成字母来解决 问题，也可以根据条件假设成一个具体的数来解 决问题。 举一反三 1.一个圆柱和一个圆锥的底面积相等。已 9 思维创新题 放入水中的圆柱体积问题 。典例精析 举一反三 在一个圆柱形储水桶里，把一段底面半 1.下面是小筱做的一道题，老师打了“X”, 径为5厘米的圆柱形钢材浸没在水中（水未 请你帮她分析一下错误的原因，并给出正 溢出)，这时水面上升9厘米。把这段钢材 确的解答 竖着拉出水面8厘米，水面下降4厘米。求 一个装满水的圆柱形容器，底面积是 这段钢材的体积。（水的损耗忽略不计） 80平方厘米，高是2厘米。把两根底面 解析]方法一：由“把这段钢材竖着拉出水 直径都是2厘米、高都是4厘米的圆柱形 面8厘米，水面下降4厘米”可知，4厘米高 小棒竖立着放入容器中，求从容器中溢出 的水的体积=8厘米高的钢材的体积；由 的水的体积。（容器壁的厚度忽略不计） “把一段底面半径为5厘米的圆柱形钢材浸 3.14×22×4×2=100.48(立方厘米) 没在水中（水未溢出），这时水面上升9厘 答：从容器中溢出的水的体积是100.48 米”可知，这段钢材的体积=9厘米高的水 立方厘米。 的体积。因此，只要求出4厘米高的水的体 错误的原因：( 积，即8厘米高的钢材的体积，再用归一法 ）。 或倍比法就可求出9厘米高的水的体积，也 正确的解答： 就是这段钢材的体积。 方法二：要求钢材的体积，已知钢材的底面 半径，关键是要求出钢材的高。由“把这段 钢材竖着拉出水面8厘米，水面下降4厘 2.一个密封的长方体容器中装了一些水，当 米”可知，这段钢材竖着放入水中2厘米，水 横着放入一个圆柱形铁棒时，铁棒浸没在 面就上升1厘米，结合“钢材浸没在水中（水 水中，水深2cm(如图①)。把这个容器 未溢出)，这时水面上升9厘米”可知，钢材 按如图②所示的方式放置时，圆柱形铁棒 的高为2×9=18（厘米）。 [答案]方法一：3.14×52×8÷4×9= 的露出水面，水深5.7cm。求这个圆柱 1413(立方厘米) 形铁棒的体积。（容器壁的厚度忽略不计） 方法二：4：8=1：2 3.14×5×(2×9)=1413(立方厘米) 答：这段钢材的体积是1413立方厘米。 点评：当题目中的条件比较复杂时，要通过组合 12cm cm 条件，思考可以先求什么，再求什么。像这类把 (① 物体浸没在水中的问题往往需要运用等积变形， 把物体的体积转化成等体积水的体积，再通过数 量之间的内在联系来解决问题。 102.3.14×62×[2×(3-1)]=452.16(平方分米) 3.25.12÷2=12.56(平方厘米)》 12.56÷3.14=4(平方厘米) 2×2=43.14×2×2×(60×2)=1507.2(平方厘米) 思维创新题与圆柱有关的组合图形的表面积 1.3.14×6×6十20×20×6=2513.04（平方厘米） 解析：由题图可知，圆柱的上底面与正方体上面重 叠部分的面积相等，所以这个立体图形的表面积是 圆柱的侧面积与正方体表面积的和。 2.20×30+15×30×2+15×20×2=2100(平方 厘米)3.14×30×20÷2+3.14×(30÷2)2= 1648.5(平方厘米)2100十1648.5=3748.5（平方 厘米)解析：这个立体图形的表面积等于圆柱表 面积的一半加上长方体的5个面的面积的和。 3.20×9+2×3.14×3×20÷2=368.4(m) 解析：观察题图可知，U型池的池面由一个长是 20m、宽是9m的长方形和一个底面半径是3m、 高20m的圆柱的侧面的一半组成。 第4周 教材思考题立体图形体积的比较 1.18.84÷3.14÷2=3(cm)3.14×32×9.42= 266.2092(cm3)9.42÷3.14÷2=1.5(cm) 3.14×1.52×18.84=133.1046(cm3) 266.2092>133.1046围成的圆柱形纸筒的体积 最大是266.2092cm3解析：共有两种围法，第 一种：可以围成一个底面周长是18.84cm、高是 9.42cm的圆柱形纸筒；第二种：可以围成一个底 面周长是9.42cm、高是18.84cm的圆柱形纸筒。 2.圆柱的体积最大解析：长方体的底面周长是 (100十57)×2=314（厘米），正方体的底面周长是 78.5×4=314(厘米)，圆柱的底面周长是3.14× 100=314(厘米)。长方体、正方体和圆柱的底面周 长都相等，高也相等，圆柱的体积最大。 综合拓展题利用长方体与圆柱之间的关系 解决问题 1.6×6×6-3.14×22×6=140.64(cm) 2.625=25×25圆柱的底面直径是25厘米 3.14×25×25=1962.5(平方厘米)625×6= 3750(平方厘米)3.14×(25÷2)2×2=981.25（平 方厘米)3750-981.25+1962.5=4731.25（平方 厘米)解析：由题意可知，正方体的棱长是25厘 米，所以圆柱的底面直径是25厘米，由此算出圆柱 的侧面积、两个底面的面积和正方体的表面积，正 方体的表面积一圆柱两个底面的面积十圆柱的侧 面积=剩下的立体图形的表面积。 3.表面积：3.14×6×2×10+3.14×6×2-4× 2×2=586.88(平方厘米)4×10×2+2×10× 2=120(平方厘米)586.88+120=706.88（平方 厘米)体积：3.14×62×10-4×2×10=1050.4（立 方厘米)解析：这个物体的表面积等于圆柱的表 面积减去长方体的2个底面的面积加上长方体的 侧面积。这个物体的体积等于圆柱的体积减去挖 掉的长方体的体积。 第5周 综合拓展题与比相关的圆柱、圆锥的综合问题 1.圆柱的高：圆锥的高=3：15.4÷3=1.8（厘米） 2.假设圆柱的体积是8，底面半径是2，则圆锥的 体积是9，底面半径是3。 圆柱的高：8÷(x×22)=2 圆锥的高：9×3÷（π×32）= 2:3=2:3解析：根据题意，可以假设圆柱的 元元 体积是8，底面半径是2，则圆锥的体积是9，底面 半径是3，分别求出它们的高，再得到它们高的比。 3.甲水杯与乙水杯的底面积之比：22：32=4：9 甲水杯与乙水杯的体积之比：(4×2)：(9×1)= 8:9乙水杯的高：1.6÷(9-8)×9=14.4（厘米） 甲水杯的高：14.4×2=28.8（厘米） 思维创新题放入水中的圆柱体积问题 1.将底面直径当作底面半径计算，未考虑到小棒 的高大于容器的高3.14×(2÷2)2×2×2= 12.56(立方厘米)解析：放入水中的小棒的高度 最多与容器的高度相等，在利用体积、容积知识解 决实际问题时，要考虑实际情况。 2.12×5×2=120(cm3)5×4×5.7=114(cm3) 120-140÷-24cm) 解析：水的体积和圆柱形铁棒的体积都是不变的， 所以两者的和也是不变的。题图①两者的体积之 和是12×5×2=120(cm3),题图②两者的体积之 1 和=5cm×4cm×5.7cm十 圆柱形铁棒的体积， 据此即可求解。 三啤酒生产中的数学一比例 第6周 教材思考题根据等式写比例 1.答案不唯一，如(1)4：5=320：400 (2)16：32=9：18 2答装不唯-如专：吕-号：品 3.(1)35a=56b答案不唯一，如35：56=b:a 5 (2)5x=154×7 答案不唯一，如5：154= 思维创新题抓不变量解决复杂的比例问题 1.解：设当小林到达终点时，小军距离终点x米。 10-6):100-10)=100:100)Z2 解析：由于三人的速度不变，所以在相同的时间内， 三人跑的路程比不变，设当小林到达终点时，小军 距离终点x米。根据题意可知，当小刚到达终点 时，小林和小军跑的路程比是(100一6)：(100一 10):当小林到达终点时，小林和小军跑的路程比是 100:(100一x),据此列出比例并解答。 2.解：设A、B两地相距x千米。x：(x 10)=}:号=30解析：由于两入同时出发 且速度不变，所以在相同的时间内，两人行驶的路 程比不变，据此列出比例并解答。 3.解：设师傅再生产x个零件，就可以比徒弟多生 产10个。200：(80-20)=x:(20+10)x= 100解析：由于两人生产零件的速度不变，所以在 相同的时间内，师傅生产零件的个数与师傅比徒弟 多生产零件的个数之比不变，设师傅再生产x个 零件，就可以比徒弟多生产10个。根据题意可知， 当师傅生产了200个零件时，他比徒弟多生产 (80一20)个；当师傅再生产x个零件时，他比徒弟 多生产(20十10)个，据此列出比例并解答。 第7周 综合拓展题利用两种量的关系解决较复杂的 比例问题 1.解：设原来购进书泡x个，则购进文具盒x个。 -20:(-10)-4：5x=28 5 文件盒：28×号=20（个） 2.解：设甲袋面粉原来重x千克，则乙袋面粉原来 重(110-x)千克。(x-x):[110-x)× (1-2)】=8:5x=60乙：110-60=50（千克） 3.解：设小刚原来有书x本，则小东原来有书x本。 (x+240:(侍x-6)=21x=60 思维创新题用比例解决与中点有关的 行程问题 112X2÷-163(千米)解析：因为两辆汽 车同时出发，相遇时两辆汽车行驶的时间一定，所 以行驶的路程与速度成正比例关系，甲、乙两车的 速度比是1：子-4：3，即相通时甲，乙两辆汽车 行驶的路程比为4：3，然后由“两车在离A、B两 地中点12千米处相遇”可知，相遇时甲车比乙车多 行12×2=24（千米）。所以24千米占全程的 景由此可箱到AB两地相距多少千米。