三 啤酒生产中的数学 比例-【拔尖特训】2025-2026学年六年级下册数学（青岛版）

啤酒生产中的数学 第1课时 习基础进阶 1.填一填。 (1)0.2:0.5的比值是( ),:的比 值是( );因为比值( ),所以这两个比 能组成比例：( )。 (2)从24的因数中任选四个数组成的比例 可以是( )。 (3)用10以内的两个质数和两个合数组成 一个比例可以是( 2.下表中相对应的两种量的比能否组成比例？ 如果能，那么把组成的比例写在横线上；如果 不能，那么在横线上画“X”。 (1) 数量（支） 8 总价（元） 12.5 20 (2) 已读的页数 10 20 未读的页数 50 40 3.下面每组中的两个比能否组成比例？如果 能，那么把组成的比例写出来。 是：日和0：5 3:2和3：0.5 0.5:0.3和0.2： 3 比例 比例的意义 ①能力攀升 4.(数形结合)用图中的4个数据可以组成多少 个不同的比例？请列举出来。（单位：cm) 5.看图回答问题。 r=3 (1)大圆与小圆直径的比和大圆与小圆周长 的比，是否能组成比例？ (2)大圆与小圆半径的比和大圆与小圆面积 的比，是否能组成比例？ 6.*(思维过程)在一个比例中，两个比的比值 都是1.5，这个比例的两个外项分别是12和 45,那么这个比例有几种可能？请写出来。 29 拔尖特训数学（青岛版）六年级下 第2课时 比例的基本性质 习基础进阶 团能力攀升 1.填一填。 4.下面每组中的四个数能不能组成比例？如果 (1)在一个比例中，两个外项分别是4和12， 能，那么把组成的比例写出来。 一个内项是8，另一个内项是( )。 (1)3、7、9和21 (2)3、4、5和6 (2)在一个比例中，两个外项的积是最小的合 数，一个内项是0.5，另一个内项是()。 (8)如果aX号=bX知，h均不为0)，那么 a:b=( ):()。 5.(说理表达)小丽说得对吗？为什么？用比例 2.选一选。 的基本性质判断。 (1)根据比例的基本性质判断，下面能组成 我40秒踢 照这样计算，你1分 比例的两个比是( ）。 毽80下。 钟能踢毽100下。 A6:2和20：5 小强 小丽 “27 5 7 C.6:9和18：30 D.6:5和g:7 (2)比例5：3=15：9的内项3增加6，要使 比例成立，外项9应该增加( )。 A.6 B.12 C.18 D.28 6.一款猫粮标准配方中，鱼与全麦粉的质量比 (3)(数形结合)如图，平行四边形的边a上 是3：5。有一袋猫粮重44千克，说明书中 的高是b,边c上的高是d。下面的比例中， 标注“鱼配量16.5千克、全麦粉配量27.5千 不成立的是( 克”，这袋猫粮符合标准配方吗？请你用比例 的基本性质加以说明。 A6 B.a:c=d:b D.a:c=b:d 7.★（思维过程）在比例0.5：9=2：36中，如果 3.根据比例的基本性质，在括号里填上合适 将0.5加上2.5，并只改变其他三项中的一 的数。 项，这个比例就成为新的比例。请写出所有 0.5:2=15:()():8=32:4 新的比例。 1.6：5=( ):158:6=4.8:( 30:7.5=( 30 第3课时 习基础进阶 1.填一填。 1)如果a与b互为倒数，且生=名，那么x 的值为( )。 (2)已知m: 4=n:8(m、n均不为0)，当 m=2时，n的值是( );当n=2时，m的 值是( )。 2.解比例。 5:5 48=24:x 1.25: 4=x:16 =257 75 =04： 5 3.根据下面的条件写出比例，并解比例。 (1)0.2与4的比值和x与20的比值相等。 (2)比例的两个外项是2与x,两个内项是 与8 4.(科技成就)“福建舰”是我国完全自主设计建 造的首艘弹射型航空母舰，长约320米。妈 妈给航航买了一个“福建舰”模型，它的总长 拔尖特训数学（青岛版）六年级下 第4课时 团能力攀升 1.选一选。 (1)若比例的两个内项的积是最小的质数， 其中一个外项是0.4，则另一个外项是()。 A.2 C.5 (2)若a÷9=6×宁ab均不为0.则a:6 等于()。 A.9:4B.4:9C.36:1D.1:36 (3)(几何直观)如图，若长方形的周长与正 五边形的周长相等，则a:b等于()。 b入b 2a b A.2:5B.6:5C.5:6D.5:3 2.解比例。 器-6 3.张阿姨8小时加工零件的数量与刘阿姨 10小时加工零件的数量相同。 (1)刘阿姨与张阿姨的工作效率之比是 多少？ (2)张阿姨每小时加工60个零件，刘阿姨每 小时加工多少个零件？ 3 练习课 思维拓展 4.(探索规律)将任意一个长方形分成四个小长 方形，面积分别用a、b、c、d表示，这些面积 之间存在着某种规律。请观察下面三幅图 (单位：cm),解答问题 a=15 b=30 a= a=8b=6 10 b=15 c=36d=? =45 d=90 20 d=30 (1)用比例表示a、b、c、d之间的关系为 ( )。 (2)第三幅图中右下角的小长方形的面积d 是( )cm2。 5.(知识科普)用食盐水浸泡可以使菠萝的口感 变甜，还可以降低菠萝中的草酸含量，减少对 身体的危害。配制306克食盐水，需要多少 克食盐？ 食盐与水的质量比 是1：50。 6.(思维过程)A、B两种商品的价格之比为5： 3,如果它们的价格分别上涨40元，那么价格 之比变为3：2。A、B两种商品的原价分别 是多少元？ 2 第5课时 》基础进阶 1.我国发射的“嫦娥二号”卫星在距月球表面约 100千米的轨道上绕月球飞行的时间和路程 如下表。 时间（秒） 1 2 3 4 5 6 路程（千米）1530 45 6075 90… (1)上表中，( )和( )是两种相关联 的量，( )随着( )的变化而变化 (2)“嫦娥二号”卫星绕月球飞行的速度是 ()千米/秒。因为绕月球飞行的路程和 时间的( )总是一定的，所以( )和 ()成正比例关系。 2.选一选。 (1)表示x与y(x、y都不为0)成正比例关 系的式子为( )。 A.3x=y B.x-y=4 C.2x=1÷y D.6.x+5=y (2)下面成正比例关系的两种量是( )。 A.当xy=8时，x和y B.购买物品的单价和数量 C.正方形的周长和它的边长 D.圆锥的体积一定，高和底面积 3.桌上有4个圆柱形杯子，其中3个完全相同。 依次给杯中倒入一些水，再量出水面高度。 4个杯子中倒入的水量与水面高度如下表。 序号 ① ② ③ ④ 倒入的水量(g) 50 200 120 300 水面高度(cm) 8 12 你认为哪些是完全相同的杯子？这样的杯子 中倒入的水量与水面高度有什么关系？ 三啤酒生产中的数学—比例 正比例的意义 d能力攀升 4.x和y是成正比例关系的量，请把下面的表 格补充完整。 1.2 18 3.2 b 6 F 5 5.明明锯木头的次数和所用的时间成正比例关 系，请把下面的表格补充完整 段数 3 5 9 时间（分） 6 18 30 6.(生话应用)小明骑车去奶奶家，下表是他记 录的已行的路程和剩余的路程的情况。 己行的路程(km) 2 4 6 8 10 剩余的路程(km㎡) 18 16 14 12 10 已行的路程和剩余的路程成正比例关系吗？ 为什么？ 7.(说理表达)如图，蜡烛每分钟燃烧的长度一 定。请根据上述条件先写出一个正比例关系 并说明理由，再求出蜡烛最初的长度。 ?厘米 12厘米 7厘米 蜡烛 燃烧 燃烧 最初的长度8分钟后18分钟后 33 拔尖特训 数学（青岛版）六年级下 第6课时 利用正比例的图像解决问题 习基础进阶 团能力攀升 1.科学课上，同学们在同一地点、同一时间进行 3.(生话应用)用弹簧秤称物品时，所称物品的 实验，测得竹竿高与竿影长如下表。 质量与弹簧长度的变化情况如下图所示。 竹竿高(m) 1.5 2 2.5 3 4 ↑弹簧长度（厘米） 竿影长(m) 3.64.86.07.29.6 20 (1)根据上表中的数据，在下图中描出竹竿 10 高和竿影长所对应的点，并把这些点依次连 起来。 2 34 5物品的质量（千克） ↑竿影长(m) 9. (1)称质量为4千克的物品时，弹簧的长度 8.4 7.2 是( )厘米。 6.0 4.8 (2)弹簧伸长6厘米时，所称物品的质量是 3.6 2.4 ( )千克。 1.2 (3)所称物品的质量与( )成正比 0 4竹竿高(m) 例关系。 (2)竹竿高与竿影长( )正比例关系。 4.(数形结合)下面的图像表示猎豹和鸵鸟奔跑 (填“成”或“不成”) 时的路程与时间的关系。 (3)当竹竿高3.5m时，竿影长( )m;当 ↑路程（千米）一 猎豹---鸵鸟 竿影长1.2m时，竹竿高( )mo 30 2.小丽的爸爸开车回上海，汽车行驶的路程和 24 18 耗油量的关系如图所示。 12 ↑耗油量（升） 6 0 51015202530时间（分） 9.6 7.2 (1)根据图像判断，这两种动物奔跑时的路 程与时间都成( )比例关系 4.8 (2)从图像上看，( )的速度更快。 2.4 (3)请你算一算，猎豹30分钟可以奔跑多少 0 20406080路程（千米） 千米？ (1)汽车行驶的路程和耗油量成( )比例 关系。 (2)汽车行驶20千米时，耗油量是( 升；耗油量是6升时，汽车行驶()千米。 (3)离目的地还有300千米时，汽车油箱里 还剩30升汽油，这些汽油( )这辆汽车开 到目的地。（填“够”或“不够”） 34 第7课时 基础进阶 1.填一填。 (1)(生活应用)工厂生产一批吉祥物玩具 每天产量和生产天数情况如下表 每天产量（个） 150 200 300 400 生产天数 40 30 20 15 表中( )和( )是两种相关联的 量，( )随着( )的变化而变化；每 天产量与生产天数的积都是( ),这个积 实际上是( );因为每天产量和生产 天数的积一定，所以每天产量和生产天数成 ( )比例关系。 (2)平行四边形的面积一定，它的底和高成 )比例关系；平行四边形的底一定，它的 面积和高成( )比例关系；平行四边形的 高一定，它的面积和底成( )比例关系。 (3)x和y两种量成反比例关系，如果x 2时y=5那么y=号时=( )。 2.下面每题中的两种量成什么比例关系？请写 在括号里 (1)三角形的面积一定，底和高。( (2)分数值一定，分子和分母。 ( (3)A=7.5B(A、B均不为0)，A和B。 ( (4)当xy一6=12时，x和y。 3.下表中的两种量成反比例关系吗？为什么？ 底面积(cm2) 80 60 40 30 20 高(cm) 3 6 8 12 三啤酒生产中的数学—比例 反比例的意义 d能力攀升 4.下表中a和b两种量成反比例关系，请把表 格填写完整。 2 0.8 b 6.4 8 16 5.一篇文章，编辑设计了以下几种排版方案。 每页字数 150 250 400 排版页数 80 48 30 每页字数与排版页数成什么比例关系？如果 每页排500个字，那么要排多少页？ 6.(说理表达)下面的图形都是用48厘米长的 绳子围成的，先把表格补充完整，再回答 问题。 围成的正方形的个数 1 2 每个正方形的边长（厘米）12 围成的正方形的个数与每个正方形的边长是 否成反比例关系？为什么？ 7.(思维过程)如果3a=4=5(a、b、c都不为 0),那么a和b成什么比例关系？a和c成 什么比例关系？b和c成什么比例关系？ 35 拔尖特训数学（青岛版）六年级下 第8课时 团能力攀升 1.观察下面的表格并填空。 (1)一辆自行车行驶的路程和车轮转的圈数 如下表。 圈数 10 20 30 40 50 行驶的路程(m) 15.731.447.162.878.5 表中行驶的路程随( )的变化而变化， )和( )两种量成( 比例关系。 (2)不同的自行车行驶同一段路程，自行车 车轮的直径和车轮转的圈数如下表。 车轮直径(m) 0.2 0.4 0.50.8 圈数 500 250 200 125 100 表中( )随着( )的变化而变化， ( )和( )两种量成( )比例 关系。 2.(生话应用)某服装厂接到一笔订单，每小时 制作的上衣数量与所需的时间如下表。 每小时制作的上衣数量（件） 9 12 18 24 所需的时间（时） 80 60 40 30 (1)这笔订单一共有多少件上衣？ (2)如果用a表示每小时制作的上衣数量， t表示所需的时间，k表示订单总量，那么a 和t成什么比例关系？请写出关系式。 练习课 (3)如果每小时制作36件上衣，那么完成这 笔订单一共需要多少小时？ ☒思维拓展 3.已知x和y成正比例关系，y和之成反比例 关系。请把表格填写完整。 120 180 240 y 2 5 8 4.(学科融合)同学们在探究“杠杆原理”背后隐 藏的数学原理时，做了如下实验：左边在刻度 4上挂3个砝码并保持不变，右边刻度及挂 砝码数如图所示，此时两边保持平衡。 43211234 43211234 自 自 思考：右边分别在其余刻度上挂几个砝码才 能保持平衡呢？请你把表格补充完整。 右刻度数 1 2 3 4 所挂砝码数 6 3 乘积 从表中你能发现右刻度数和所挂砝码数成什 么比例关系？为什么？ 6 第9课时 基础进阶 1.某水果店售出冬枣84箱，收入2184元。照 这样计算，如果售出420箱这样的冬枣，那么 一共能收入多少元？ (1)收入的总钱数与售出的箱数成()比 例关系。 (2)如果设一共能收入x元，那么列出比例 式为()：()=()：()。 2.*如图所示为王老师在电脑上下载一份文件 的进度，下载这份文件已经用了16分钟。照 这样的速度，王老师下载完这份文件需要多 少分钟？ 已完成64% 3.身高为1.8m的李叔叔在公园里观赏一尊雕 像时，想知道雕像的高度。他灵机一动，立即 站到雕像旁边拍了一张照片，量得照片上的 他高3cm,雕像高8cm。据此他很快算出了 雕像的高度。你知道雕像的实际高度是多少 米吗？ 4.李老师将手机相机照片长与宽的比设置为 16：9,如果一张照片打印出来后宽为 40.5厘米，那么照片的长为多少厘米？ 三啤酒生产中的数学—比例 正比例的应用 d能力攀升 5.(科技成就)2025年4月24日17时17分，搭 载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十 运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射。飞 船绕地球飞行3圈约4.5小时，一天大约能 绕地球飞行几圈？ 6.小马骑自行车从家到书店，前5分钟骑行了 800米。照这样的速度，他继续骑行15分钟 才到达书店。他家和书店相距多少米？ 7.(思维过程)沐春路两旁均匀地安装了一些 路灯。 我从第1盏路灯 照这样计算，王老师从第 走到第4盏路灯 4盏路灯走到第16盏路灯 共走了180步。 一共要走多少步？ 王老师 晨晨 37 拔尖特训数学（青岛版）六年级下 第10课时 习基础进阶 1.选一选。 (1)某助学基金会要用一笔钱为学校购买体 育用品。如果只买足球，那么可以买30个， 如果只买篮球，那么可以买x个。下面列式 正确的是( 40元 80元 A.30x=80+40 B.40x=80 C.40x=80X30 D.40×30=80x (2)正方体的表面积和其中一个面的面积 ()关系。 A.成正比例 B.成反比例 C.不成比例 2.学校组织同学们去参观科技博物馆，如果租 用限乘客35人的车，那么正好需要12辆；如 果租用限乘客28人的车，那么需要多少辆？ 3.(自然科善)世界上最粗的树是“百骑大栗 树”。据悉，它的树干大约需要40名身高 1.35米的小学生伸开双臂手牵手才能围住。 若换成身高1.8米的成年人，则大约需要多 少人伸开双臂手牵手才能围住？（人伸开双 臂的长度约等于人的身高) 反比例的应用 团能力攀升 4.(社会生话)为了解决东篱村通信信号差的问 题，当地电信局决定改造通信线路。计划每 天架设140米线缆，15天完成，结果提前 3天完成，实际每天架设多少米？ 5.装修一间客厅，用边长为8分米的方砖铺地， 需要75块。如果改用边长为5分米的方砖 辅地，那么需要多少块方砖？ 6.星星校服厂生产一批校服，原计划每天生产 150套，30天可以完工，由于要加快进度，实 际每天比原计划多生产20%。实际可提前 多少天完工？ 7.(思维过程)诺诺用一根长102厘米的铁丝做 了一个平行四边形，经测量，这个平行四边形 的两条高分别为14厘米和20厘米。这个平 行四边形的面积是多少？ 388.300×[16÷(16+4)]=240(cm3) 240cm3=240mL解析：题目左图中空余部分的 体积相当于题目右图中高为4cm的圆柱的体积， 所以瓶中饮料的体积占饮料瓶容积的16÷(16+ 4)=手，再根据分数乘法的意义，用乘法列式解答。 9.12÷2=6(cm) 3.14×12×20+3.14×62×2=979.68(cm2) 20×12+979.68÷2=729.84(cm) 解析：图形表面积等于圆柱表面积的一半与一个长 20cm、宽12cm的长方形面积之和。 易错分析> 对表面积意义认识不清而出错 解题时常会认为半圆柱表面积等于圆柱 表面积的一半，忽略半圆柱表面积还包括以圆 柱的高为长（或宽），底面直径为宽（或长）的长 方形的面积。 1 10.(1)3.14X3×3+3×3.14×32×(6-3)= 113.04(立方厘米) (2)3.14×32×6- 3X3.14X32X(6-3)= 141.3(立方厘米) 解析：以AB边所在的直线为轴旋转一周，得到的 立体图形如图①所示，该立体图形的体积等于底面 半径是3厘米、高是6一3=3（厘米）的圆锥的体积 加上底面半径是3厘米、高是3厘米的圆柱的体 积。以CD边所在的直线为轴旋转一周，得到的立 体图形如图②所示，该立体图形的体积等于底面半 径是3厘米、高是6厘米的圆柱的体积减去底面半 径是3厘米、高是6一3=3（厘米）的圆锥的体积。 B (② 11.解：设圆柱的高是xcm. 15X15×(15-x)=15X15×5-15X×15×5×5 x=1115X15X5×11=495(cm2) 解析：根据题意可知，容器正放、倒放时空余部分的 体积相等。正放时，容器空余部分的体积=正方体 的底面积×(15cm一圆柱的高)；倒放时，容器空余 部分的体积=正方体的底面积×5cm一圆柱的底 面积X5cm,列方程解答即可求出圆柱的高，进而 求出圆柱的体积。 三 啤酒生产中的数学一比例 第1课时 比例的意义 1.(1)0.40.4相等 比例不唯-如0,2：05-}：号 (2)答案不唯一，如1：2=6：12 (3)答案不唯一，如2：3=4：6 2.(1)答案不唯一，如12.5：5=20：8(2)X ,3:1=90:15(比例不唯一） 3.能，48 不能 11 能，9：6=6：g(比例不唯-) 不能 4.8个2：4=1.5：32：1.5=4：3 3:4=1.5:23:1.5=4:24:2=3:1.5 4:3=2：1.51.5:2=3:41.5:3=2:4 5.(1)能组成比例解析：大圆直径：小圆直 径=(3×2)：(1×2)=3：1；大圆周长：小圆周 长=(2×π×3)：(2×π×1)=3：1，则大圆直 径：小圆直径的比值为3，大圆周长：小圆周长的 比值也为3，比值相等，所以大圆与小圆直径的比 和大圆与小圆周长的比，能组成比例 (2)不能组成比例解析：根据题图可知，大圆半 径：小圆半径=3：1；大圆面积：小圆面积= (π×32)：（π×12）=9：1，则大圆半径：小圆半 径的比值为3，大圆面积：小圆面积的比值为9，比 值不相等，所以大圆与小圆半径的比和大圆与小圆 面积的比，不能组成比例。 6.2种12：8=67.5：4545：30=18：12 解析：假设第一个外项是12，第二个外项是45。先 根据“比的后项=前项÷比值”求出第一个内项是 12÷1.5=8;再根据“比的前项=后项×比值”求出 第二个内项是45×1.5=67.5；然后根据题意写出 比例。同理写出另一个比例。 知识归纳》 比的各部分之间的关系 前项÷后项=比值，后项=前项÷比值， 前项=后项X比值。 第2课时比例的基本性质 1.(1)6(2)8 (3)109解析：逆用比例的基本性质把a、b分 别看作比例的外项和内项，写出比例a:b= 2: 3,化简得a:b=10:9。 2.(1)B(2)C (3)D解析：同一个平行四边形，用两种方法计算 其面积，结果相等，即ab=cd。再根据比例的基本 性质把各选项中的比例式转化为乘积式，比较后得 出正确答案。 3.60641203.655 4.(1)能答案不唯一，如3：9=7：21 (2)不能 5.不对因为1分=60秒，80：40=2,100：60= 号2和号不相等，所以80：40和10：60不能组 成比例，所以小丽说得不对 6.3:5=16.5:27.53×27.5=16.5×5=82.5 符合标准配方 解析：先写出比例，根据比例的基本性质，内项之积 等于外项之积，比例成立，这袋猫粮符合标准配方。 7.0.5+2.5=33:54=2:36 3:9=12：363：9=2:6 解析：0.5+2.5=3，如果改变第一个内项，那么有 3:()=2:36,根据比例的基本性质，可知 ()里的数是54；如果改变第二个内项，那么有 3:9=( ):36,()里的数是12：如果改变 第二个外项，那么有3：9=2：()，()里 的数是6。 方法归纳》 用分类讨论法解决问题 解决本题时，先求出变化的项，再分别考 虑其他变化的项，然后根据比例的基本性质， 求出其他变化的项，最后写出比例。 第3课时解比例 1.(1)0.25(2)6416 2.x=12x=80x=0.4x= 3 3.(1)0.2:4=x:20x=1 (2)比例不唯-，如2：20=8：xx=5 4.320米=32000厘米解：设这个模型的总长约 为x厘米。x:32000=1:800x=40 5.x:12=12:18x=8 12：18=18:yy=27 (比例不唯一)》 6.解：设亮亮原来有x本故事书。 (x-6):(15+6)=6:7x=24 解析：可以设亮亮原来有x本故事书，给明明6本 后，还有(x一6)本，这时明明有(15十6)本故事书。 再根据亮亮与明明有的故事书本数的比是6：7列 出比例(x-6)：(15+6)=6:7解答。 7.解：设乙的面积是xm2.60:=3: 54 1=5解析：根据惠高，可知乙的面积×号-甲 的面积×宁，甲的面积：乙的面积=号：宁，据此 列比例解答。 第4课时练习课 1.(1)C(2)A(3)C 2.x=1.2x=28 11 3.(1)08 =4：5 (2)解：设刘阿姨每小时加工x个零件。 x:60=4:5x=48 4.(1)答案不唯一，如a:b=c:d解析：根据 第一、二幅图中四个小长方形的面积可知，15： 30=45:90,10:15=20:30,所以a:b=c:d。 (2)27 5.解：设需要x克食盐。x:306=1：(1+50) x=6解析：因为食盐水的质量是306克，所以需 要将“食盐与水的质量比是1：50”转化为食盐与 食盐水的质量比是1：(1十50)，再列出比例解答。 6.解：设A商品的原价是5.x元，则B商品的原价 是3x元。(5x+40):(3.x+40)=3:2x=40 A商品：5×40=200（元）B商品：3×40=120（元） 解析：根据题意，可设A商品的原价是5x元，B商 品的原价是3.x元，则两种商品的价格分别上涨 40元后，价格分别是(5x十40)元、(3.x十40)元，再 与分别上涨40元后的价格之比3：2组成含有未 知数的比例(5.x十40)：(3x十40)=3：2，解比例， 进而求出A、B两种商品的原价。 第5课时正比例的意义 1.(1)路程时间路程时间 (2)15比值路程时间 2.(1)A(2)C 3.①50：2=25②200：8=25③120：6=20 ④300：12=25①②④号是完全相同的杯子 这样的杯子中倒入的水量与水面高度的比值相同， 杯子中倒人的水量与水面高度成正比例关系 1.2 18 1.6 3.2 9 25 90 8 16 3 5. 段 数 3 5 9 11 时间（分） 6 12 18 24 30 解析：锯的次数比锯成的段数少1。 6.不成正比例关系 因为已行的路程和剩余的路程的比值不一定 7.蜡烛燃烧的长度与燃烧的时间成正比例关系 理由：因为蜡烛每分钟燃烧的长度一定，所以蜡烛 燃烧的长度与燃烧的时间成正比例关系。 解：设蜡烛最初的长度是x厘米。 (x-12):8=(12-7):(18-8)x=16 第6课时利用正比例的图像 解决问题 1.(1) ↑竿影长(m) 9.6 8.4 7.2 6.0 4.8 3.6 2.4 1.2 0 2 3 4竹竿高(m） (2)成(3)8.40.5 2.(1)正(2)2.450(3)不够 3.(1)18(2)3 (3)弹簧伸长的长度解析：观察题图可知，弹簧 的初始长度是10厘米，当所称物品的质量分别是 1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时，弹簧伸长 的长度分别是2厘米、4厘米、6厘米、8厘米、10厘 米。因为2：1=4：2=6：3=8：4=10：5=2， 比值一定，所以所称物品的质量与弹簧伸长的长度 成正比例关系。 4 4.(1)正(2)猎豹 (3)36÷20=1.8(千米/分)1.8×30=54（千米） 第7课时反比例的意义 1.(1)每天产量生产天数生产天数 每天产量6000总产量反 (2)反正正(3)15 2.(1)反比例(2)正比例(3)正比例 (4)反比例 3.成反比例关系 因为底面积×高=体积（一定） 4. 4 3.2 2 1.6 0.8 b 6.4 8 12.8 16 32 解析：根据ab=4×6.4=25.6,算出其他的数。 5.成反比例关系 150×80÷500=24(页) 6 围成的正方形的个数 12 34 每个正方形的边长（厘米）12643 围成的正方形的个数与每个正方形的边长成反比 例关系因为围成的正方形的个数×每个正方形 的边长=12厘米（一定）解析：先分别求出每个 正方形的边长，再观察表格中的数据，发现围成的 正方形的个数与每个正方形的边长的乘积一定，都 等于12厘米，从而判断它们成反比例关系。 7.a和b成正比例关系，a和c成反比例关系，b和 c成反比例关系解析：由30=40=。，可以推出 名一青比值-定：ac=号乘积一定c= ,乘积 一定。因此a和b成正比例关系，a和c成反比例 关系，b和c成反比例关系。 第8课时练习课 1.(1)圈数圈数行驶的路程正 (2)圈数车轮直径圈数车轮直径反 2.(1)9×80=720(件) (2)成反比例关系k=at (3)720÷36=20(时) 3 120 180 240 300 360 y 2 3 4 5 6 12 8 6 4.8 4 解析：已知x和y成正比例关系，求得x:y= 120:2=60,从而得出x=180时，y=3;再由y和 之成反比例关系，求得y之=3×8=24；最后根据所 得比值或乘积把表格填写完整。 4. 右刻度数 1 2 3 4 所挂砝码数 12 6 4 3 乘积 12 12 12 12 成反比例关系因为右刻度数和所挂砝码数的乘 积一定，都是12，所以两者成反比例关系 解析：由题图可知，左边在刻度4上挂3个砝码，右 边在刻度2上挂6个砝码，或者右边在刻度3上挂 4个砝码，此时两边保持平衡；3×4=6×2=4× 3=12,即当两边的乘积都是12时，会保持平衡，由 此求解。 第9课时 正比例的应用 1.(1)正 (2)答案不唯一，如218484x420 2.解：设王老师下载完这份文件需要x分钟。 x:100%=16:64%x=25 知识归纳》 用正、反比例解决问题的一般步骤 先判断相关联的两种量是成正比例关系 还是反比例关系，再根据相关联的量之间的比 例关系，列出比例或方程，最后解比例或方程。 3.解：设雕像的实际高度是xm。 1.8:3=x:8x=4.8 4.解：设照片的长为x厘米。 x:40.5=16:9x=72 5.解：设一天大约能绕地球飞行x圈。 3：4.5=x:24x=16 6.解：设他家和书店相距x米。 x:(15+5)=800:5x=3200 7.解：设王老师从第4盏路灯走到第16盏路灯一 共要走x步。 180 4-1-16-4x=720 解析：根据走的总步数与路灯间的间隔个数的比等 于相邻两盏路灯之间走的步数，列出比例并解答。 第10课时反比例的应用 1.(1)D(2)A 2.解：设需要x辆。28x=35×12x=15 3.解：设大约需要x人伸开双臂手牵手才能围住 1.8.x=1.35X40x=30 4.解：设实际每天架设x米。 (15-3).x=140×15x=175 5.解：设需要x块方砖。52×x=82×75 x=192解析：先求出每块方砖的面积，每块方砖 的面积×需要的块数=客厅地面面积（一定），所以 每块方砖的面积和需要的块数成反比例关系。设 需要x块方砖，列方程解答。 6.解：设实际x天完工 150×(1+20%)=180(套) 180.x=150×30x=25 30-25=5(天) 解析：根据题意可知，每天生产的套数和生产的天 数的乘积一定，即每天生产的套数和生产的天数成 反比例关系。 7.102÷2=51(厘米) 解：设平行四边形14厘米的高对应的底为x厘 米，则20厘米的高对应的底为(51一x)厘米。 14x=20×(51-x)x=30 30×14=420(平方厘米) 解析：当遇到较复杂的图形问题时，可以利用画图 帮助理解和思考（如图）。平行四边形的周长是 102厘米，则平行四边形相邻两条边的和就是 102÷2=51(厘米)。设平行四边形14厘米的高对 应的底为x厘米，则20厘米的高对应的底为 (51一x)厘米。因为平行四边形的面积一定，可列 出方程14x=20×(51-x),解得x=30。所以平 行四边形的面积就是30×14=420（平方厘米）。 迎到 米 (51-x)厘米 x厘米 第11课时 我学会了吗 1.(1)85(2)反正 2.(1)B(2)B 3.x=0.3x=45 4.解：设B市到C市的铁路大约长x千米。 晚上10时到第二天凌晨1时共3小时，凌晨1时 到早晨7时共6小时 x:6=420:3x=840 解析：先求出A市到B市、B市到C市实际需要的 时间，再根据比例关系求解。 5.解：设飞机去时用了x小时，则返回时用了(6一 2小时。1500x=1200(6-2)x=令 150×号=400（千米） 解析：根据去时与返回时的路程相同及时间与速度 成反比例关系，列方程解答。 6.(1)解：设小齿轮每分钟转x周。12x=40× 150x=500解析：两个互相啮合的齿轮，它们 在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总齿 数相同，由此列方程解决问题。 (2)解：设小齿轮每分钟要转动y周。2分米= 20厘米2×3.14×20×200=2×3.14×8×y y=500解析：两个互相啮合的齿轮，即转动的长 度相等，所以每个齿轮转动的周数和周长成反比例 关系，由此列方程解决问题。 提分真题集训 1.(1)C(2)B 2.解：设1台智能机器人12小时能处理x笔订 6 单。30分=0.5时40：0.5=x:12x=960 3.解：设原来9天的用电量现在可以用x天。 (200-80)x=200×9x=15 4.(1)解：设光屏上像的高度是xcm。 x=7.5 (2)9>7.5需要将光屏远离木板 解：设光屏到木板的距离是ycm。 9=义 3=8 y=2424-20=4(cm) 第三单元整合提升 1.(1)不正确专=y,所以号=3（一定）x和y 成正比例关系 (2)正确a:3=3:b,所以ab=1(一定)，a和 b成反比例关系 (3)不正确ab-4.5=14.5,所以ab=19(一 定)，a和b成反比例关系 2.成正比例关系解析：a一b=子b,所以a:6= 专（一定），所以口与6成正比例关系。 3.成反比例关系理由：平均速度×所用的时 间=家到学校的路程（一定）。 4.成正比例关系理由：因为梯形的面积×2÷梯 形上、下底的和=梯形的高，且梯形的高一定，所以 梯形的面积与上、下底的和成正比例关系。 5.(1)正 (2)解：设它的影长是xm。 1：0.6=3.5：xx=2.1 (3)解：设树高是ym。 1:0.6=y:5.4y=9 6.解：设实际生产的时间为x天。 (150+50).x=150×20x=15 7.解：设张师傅一共加工x个零件。 x:(5+3)=1500:5x=2400 8.解：设需要方砖x块。 5×5×x=2.5×2.5×600x=150 9.解：设这样可以提前x天完成任务，原来张师傅 每天加工零件的数量为1。 1×(1+20%)X(24-x)=1×24x=4 解析：本题中工作效率虽然发生了变化，但工作总 量不变，即工作效率与工作时间的乘积一定，所以 工作效率与工作时间成反比例关系。由于原来每 天加工零件的数量未知，因此可以设为1，根据题 意列出含有未知数的比例解答即可。 10.解：设刘老师原来可以买x个足球，原来足球 的单价为1.1×x=1×90%×(.x十10) x=90解析：由题意可知，总价一定，所以足球的 单价和数量成反比例关系。由于原来足球的单价 未知，所以可以设为1，再根据“单价×数量=总 价”列出比例并解答。 11.连接AC 三角形ACD的面积是14×2=28(cm2) 三角形ABC的面积是30-14=16(cm) 上底AB与下底CD的长度比是16：28=4：7 解析：如图，连接AC,因为E是AD的中点，则三 角形ACE的面积与三角形CDE的面积相等，都 是14cm2,所以三角形ACD的面积是14×2= 28(cm),三角形ABC的面积是30-14= 16(cm)。由于三角形ABC和三角形ACD的高 相等，所以上底AB与下底CD的比等于三角形 ABC与三角形ACD的面积比，进而求出上底AB 与下底CD的长度比。 四 快乐足球—比例尺 第1课时比例尺的意义 1.(1)1:300000(2)1000(3)1:3000000 (4)50:1 2.(1)C(2)C