七 包装盒 长方体和正方体 第13周-【拔尖特训】2025-2026学年五年级下册数学（青岛版）

第13周 教材思考题 灵活求解不规则物体的体积 ⊙典例精析 举一反三 (教材母题)生产如图所示的零件需要 1.如图所示为一个由铝合金制成的零件。 多少克钢材？（每立方厘米钢重7.8g) 这个零件一共重多少克？（每立方厘米铝 合金重2.7g) 4cm4cm 5cm 4 cm -15cm cm [解析]已知每立方厘米钢重7.8g,求生产 6 cm 这个零件需要多少克钢材，要先求出这个零 14cm 件的体积。这个零件是个不规则物体，可以 2.下面是一个由铝合金制成的零件，这个零 把它看作一个长方体，这样就多了中间空白 件有多重？（每立方厘米铝合金重2.7g) 部分的小长方体，所以零件的体积等于大长 方体的体积减去小长方体的体积。也可以 8cm 8cm 6cm 把零件分割成上、下两部分，下面是一个长 10cm 12cm 15cm、宽6cm、高(8一4)cm的长方体，上面 15cm 24cm 是两个相同的小长方体，可以通过平移合成 一个长(15-5)cm、宽6cm、高4cm的长方 体，零件的体积等于上、下两部分的体积 之和。 [答案]方法一： 3.下面是一个金属构件，这个构件重 15×6×8-5×6×4=600(cm3) 11128.32g,它是由哪种材料制成的？ 600×7.8=4680(g) 3cm 方法二： 15×6×(8-4)=360(cm3) 6cm 6cm (15-5)×6×4=240(cm3) 18cm (360+240)×7.8=4680(g) 材料 铂 金 银 铁 答：生产这个零件需要4680g钢材。 质量(gcm3) 21.4519.3210.49 7.86 点评：求不规则物体的体积时，我们可以利用添 补法将所求的不规则物体补成一个规则物体，再 减去添补部分的体积；也可以利用分割法将所求 的不规则物体分成几个规则的物体，再求它们的 体积之和。 25 思维创新题 抓不变量解决问题 。典例精析 。典例精析 例1用一根铁丝可以正好围成一个棱长是 例2把一块棱长是0.8米的正方体钢材锻 6厘米的正方体。用这根铁丝还可以正好 造成一块横截面的面积是0.16平方米的长 围成一个高是4厘米、底面是正方形的长方 方体钢材。锻造成的这块长方体钢材长多 体。长方体的长、宽各是多少？（接头处忽 少米？（不计损耗） 略不计) 解析]把正方体钢材锻造成长方体钢材， [解析]画图分析如下： 在这个变化过程中，体积是不变的。可以先 棱长总和 4厘米 根据正方体钢材的棱长是0.8米，求出正方 不变 体钢材的体积是0.8×0.8×0.8=0.512（立 6厘米 方米)，也就是长方体钢材的体积，再根据 因为底面是正方形，所以长方体的长和宽相 “长方体的体积=横截面的面积X长”，用长 等。因为铁丝的长度不变，所以先求出正方 方体钢材的体积除以横截面的面积求出长 体的棱长总和，再减去长方体的4条高，即 方体钢材的长。 可得到长方体剩下的(12一4)条棱的长度。 [答案]0.8×0.8×0.8=0.512（立方米） 因为这8条棱的长度相等，所以求出1条棱 0.512÷0.16=3.2(米) 的长度即可求出长方体的长和宽。 答：锻造成的这块长方体钢材长3.2米。 [答案](6×12-4×4)÷(12-4)=7（厘米） 点评：将一种形状的物体锻造成另一种形状的物 答：长方体的长、宽各是7厘米。 体（不计损耗）时，体积是不变量。 点评：解答这类题的关键是明确长方体和正方体 举一反三 的棱的特征，抓住关键句“用这根铁丝还可以正 2.爷爷有两个鱼缸（如图），现在想把A鱼 好围成一个高是4厘米、底面是正方形的长方 缸的一部分水倒入空的B鱼缸中，使两个 体”，可知长方体和正方体的棱长总和相等，在变 鱼缸的水深一样。倒完后两个鱼缸的水 化中抓不变量，从而使问题得到解决。 深应该是多少厘米？ d举一反三 1.用一根铁丝正好围成一个长9厘米、宽 cm 7厘米、高5厘米的长方体。如果用这根 50 cm 铁丝正好围成一个正方体，那么这个正方 24cm 50cm 20 cm 40 cm 体的棱长是多少厘米？（接头处忽略 B 不计) 262.(15-1)×2=28(个)448÷28=16（平方厘米） 16=4×4每个小正方体的棱长是4厘米 解析：长方体的底面是正方形，截成15个小正方 体，需要切(15一1)次，增加了[(15-1)×2]个正方 形的面的面积。先算出1个面的面积，再看是哪两 个相同的数的积，由此推断每个小正方体的棱长。 思维创新题正方体展开图的对应问题 1.甲 2.山解析：观察题图①，可得出“我”与“山”相 对，“爱”与“乡”相对，“家”与“茶”相对。小正方体 从题图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第 3格：翻到第1格时，“家”在下面，由于“家”与“茶” 相对，此时朝上面的字是“茶”；翻到第2格时，“爱” 在下面，由于“爱”与“乡”相对，此时朝上面的字是 “乡”；翻到第3格时，“我”在下面，由于“我”与“山” 相对，此时朝上面的字是“山”。所以，这时小正方 体朝上面的字是“山”。 3.丁解析：通过观察题图发现展开图属于正方 体展开图的“1一4一1”结构，折成正方体后两个有 圆的面相对，两个有涂色三角形的面相邻，有未涂 色圆的面与两个涂色三角形中有公共点的两直角 边所在的面相邻，有涂色圆的面与两个有涂色三角 形的面的空白部分相邻，只有丁符合这一特征。 第13周 教材思考题灵活求解不规则物体的体积 1.14×6×(8一4)+4×6×4×2=528(cm3) 2.7×528=1425.6(g) 解析：已知每立方厘米铝合金重2.7g,要求这个零 件的质量，要先求出这个零件的体积。这个零件是 个不规则物体，可以把它分割成上、下两部分，零件 的体积等于上、下两部分的体积之和。 2.24×15×(10+8)-8×15×8-12×15×6= 4440(cm3)2.7×4440=11988(g) 解析：已知每立方厘米铝合金重2.7g,要求这个零 件的质量，要先求出这个零件的体积。这个零件是 个不规则物体，可以把这个零件看作一个长方体， 这样就多了左上角空白部分的一个小长方体和右 边中间空白部分的小长方体，所以零件体积等于大 长方体的体积减去这两个小长方体的体积。 3.18X6×7-6×6×5=576(cm3) 576×21.45=12355.2(g) 576×19.32=11128.32(g) 576×10.49=6042.24(g) 576×7.86=4527.36(g)是由金制成的 解析：先求出这个构件的体积，再看相同体积的质 量与哪种材料的质量相符。 思维创新题抓不变量解决问题 1.(9+7+5)×4÷12=7(厘米) 解析：先根据长方体的棱长总和计算公式算出长方 体的棱长总和，也就是铁丝的长度，即正方体的棱 长总和，根据“正方体的棱长=棱长总和÷12”即可 算出正方体的棱长。 2.20×50×24=24000(cm3) 24000÷(20×50+40×50)=8(cm) 解析：先求出A鱼缸中水的体积，再用A鱼缸中水 的体积除以两个鱼缸的底面积之和即可求解。 第14周 教材思考题组合图形的表面积和体积 1.表面积：7×5×4十7×7×2=238（平方厘米） 体积：7×7×5-1×1×1×4=241（立方厘米） 2.6×2+5×4=32(个)1×1×32=32（平方厘米） 3.1×1×1=1(cm3)21×1=21(cm3) 1×1=1(cm)1×9×2+1×7×2+1×2+1× 11×2=56(cm)4×4×6-56=40(cm2) 增加，增加40cm 思维创新题长方体挖孔问题 1.3×3×3-1×1×1×6=21(立方厘米) 8