2026年高考数学计算能力强化训练（极限卷）

2026年高考数学计算能力强化训练 极限卷 极限卷 1 参考答案与解析 11 多维细目表 19 提速技巧 20 极限卷总览口诀 21 注意事项： 1. 训练目标： 本卷旨在挑战计算能力较好学生的运算极限和复杂数据处理能力.题目数据以分数、根号、小数、字母参数为主，计算步骤控制在4-8步，易错点密集，要求学生具备极强的代数变形能力和计算稳定性. 2. 训练时间： 建议用时135分钟.本卷计算量较大，请沉着冷静，细致演算. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若函数 的最小正周期为 ，且 ， 的图象关于点 对称，则 (　　) A. 1 B. 0 C. .1 D. 2. 若随机变量 ，且 ，则 的最小值为(　　) A. B. C. 1 D. 2 3. 已知 ，则(　　) A. B. C. D. 4. 设椭圆 : ，点 和 均为椭圆 的顶点，点 在椭圆 上.若 ，则四边形 面积的最大值为(　　) A. B. 4 C. D. 2 5. 已知函数 ， ，若关于 的方程 有三个不同实数根，则实数 的取值范围是(　　) A. B. C. D. 6. 已知定义在 上的函数 满足当 时， ( )，且当 时， ，若方程 有无穷多个解，则 的取值范围是(　　) A. B. C. D. 7. 已知抛物线 的焦点为 ， 为 上的动点，点 ，则 取最小值时，直线 的斜率为(　　) A. B. C. D. 8. 已知双曲线 ( ， ) 的左,右焦点分别为 ， ，过点 且与 的一条渐近线平行的直线交 于点 ，若 ( 为坐标原点),则 的离心率为(　　) A. 3 B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆: 与双曲线: 有公共焦点 ，它们的离心率分别为 ， 是它们在第一象限的交点， 的内切圆圆心为 ， ， 为坐标原点，则下列结论正确的是(　　) A. 若 ，则 B. 若 ，则 的最小值为 C. 过 作直线 的垂线，垂足为 ，点 的轨迹是双曲线 D. 两个曲线在 点处的切线互相垂直 10. 如图(1)，在长方形 中， ， ， ， 分别为 ， 的中点，连接 ， ，分别交 于点 ， ，将 沿直线 折起到 的位置，如图(2)，则下列说法正确的是(　　) A. 在翻折的过程中，恒有 平面 B. 若 为直线 上一点，则点 到直线 的最短距离为 C. 当二面角 的大小为 时， D. 当平面 平面 时，三棱锥 外接球的表面积为 11. 伽利略说:大自然这本书是用数学语言写成的.人们在自然界中发现了斐波那契数列 ，其中 ， ，斐波那契数列在动植物生长、艺术设计和金融市场都有广泛应用.下列关于斐波那契数列 的结论中，正确的有(　　) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 篮球有不同的型号，比如男篮和女篮的比赛用球无论是质量还是大小均不相同，儿童一般用3号球，半径约9厘米.一款儿童篮球为标准球体，半径9厘米，球面上有三点 、 、 ，它们相互之间的直线距离均为9厘米，球面上有一动点 ，则点 到平面 的距离的最大值为______厘米. 13. 一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为______. 14. 已知 的内角 的对边分别为 ，已知 ，则 ______；若 ，则 面积的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （15分） 如图，直四棱柱 中，底面 为直角梯形，点 、 、 、 在底面的垂足分别为 、 、 、 ， ， ， ， ， ， 为 的中点， 在 上且 . （1） 求 与平面 所成角的正弦值； （2） 求平面 与平面 的夹角的余弦值； （3） 边 上是否存在点 ，使 、 、 、 四点共面，若存在，求出 的长度，若不存在，则说明理由. 16. （15分） 已知函数 ， . （1） 当 时，求函数 的图象在 处的切线方程； （2） 若 有2个极值点，求 的取值范围； （3） 若 有2个零点，求 的取值范围. 17. （15分） 已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 的焦点为 ， ， ， ， 为 上不同的三点. （1） 求 的标准方程； （2） 若直线 过点 ，且斜率 ，求 面积的最小值； （3） 若直线 ， 与 相切，求证：直线 也与 相切. 18. （17分） 某学校有 三个学生餐厅，高一新生王同学在开学第一天随机选择一个餐厅就餐，若前一天在 餐厅就餐，则当天还在 餐厅就餐的概率为 ，若前一天在 餐厅就餐，则当天在 餐厅就餐的概率为 ，若前一天在 餐厅就餐，则当天在 餐厅就餐的概率为 . （1） 求王同学第二天在 餐厅就餐的概率； （2） 求王同学第 天在 餐厅就餐的概率； （3） 以王同学在 餐厅就餐的概率估计高一新生在 餐厅就餐的概率，若餐厅当天就餐人数比前一天就餐人数增加的比例不超过 ，则称就餐人数趋于稳定，试判断 餐厅从第几天开始就餐人数趋于稳定. 19. （17分） 将所有正整数按照如下规律形成数阵： 第1行 1 2 3 7 8 9 第2行 10 11 12 97 98 99 第3行 100 101 102 997 998 999 第4行 1000 1001 1002 9997 9998 9999 … （1） 将数列 与数列 的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列 ，试确定 在该数阵中的位置； （2） 将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第 行中正整数的个数为 . （i） 求 ， ， ； （ii） 求 . 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案与解析 一、单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A B B B A B 1. 【解析】 .则最小正周期 . 由 ，得 . 由 关于点 对称，得 ，即 . 结合范围，取 ，得 . 则 . .故选：A. 2. 【解析】由正态分布对称性知， 意味着 和 关于均值 对称，所以 . 则 . 当且仅当 时取等号.故选：C. 3. 【解析】对于 和 ，由于函数 是增函数，且 ，所以 . 对于 和 ，同时取对数： ， . 构造函数 ，利用其单调性或直接计算，可得 . 对于 和 ，同理可比较得 . 所以 .故选：A. 4. 【解析】由 得椭圆方程为 .直线 的斜率为 ，方程为 . 由 ，设直线 的方程为 . 与椭圆方程联立，消去 得 . 由 得 . 弦长 ，点 到直线 的距离为 . 梯形 的面积 . 令 ，换元求最大值，得当 时，面积最大为4.故选：B. 5. 【解析】作出 的图像.令 ，则方程变为 . 原方程有三个不同实根，等价于关于 的方程在 有一个根，另一个根在 ；或一个根为0，另一个在(0,1)（经检验不成立）；或一个根为1，另一个根不符. 设 ，则需满足 . 即 ，解得 .故选：B. 6. 【解析】当 时，在区间 上， ，其值域为 . 且 满足周期性 . 方程 有无穷多个解，即直线 与 的图像在无穷多个区间上有交点. 分析图像可知，当 时，直线 会与每个周期内的函数图像有交点，从而有无穷多个解.故选：B. 7. 【解析】由题意 ，设 ，则 .由抛物线定义， . . 则 . 令 ，则需最大化 .代入 ，经过换元和基本不等式，当 时， 取最大值 ，此时 取最小值. 点 ， ，斜率 .故选：A. 8. 【解析】设半焦距为 .过 且与渐近线 平行的直线斜率为 . 由 ，得 为直角三角形，且 . 由于 与渐近线平行，可求 ，进而在 中， . 由双曲线定义， ，得 . 在 中，由勾股定理： ，即 . 所以 ，离心率 .故选：B. 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 ABD ABD ACD 9. 【解析】A项，由 得 ，由椭圆和双曲线定义表示边长，结合勾股定理得 ，正确. B项，利用余弦定理和基本不等式，可得 ，正确. C项，H的轨迹是以O为圆心， 为半径的圆，错误. D项，利用椭圆和双曲线在P点的切线方程，可证斜率之积为.1，正确. 故选：ABD. 10. 【解析】A项，由相似和勾股定理得 ，翻折后得 平面 ，正确. B项，MN为AM和PN的公垂线段，最小距离为 ，正确. C项，利用空间向量数量积求得 ，错误. D项，外接球球心为BD中点，半径 ，表面积 ，正确. 故选：ABD. 11. 【解析】A项，利用递推关系累加，得 ，正确. B项，取特殊值验证如 ，不成立，错误. C项，通过并项累加得 ，正确. D项，利用递推和累乘思想可得等式成立，正确. 故选：ACD. 三、填空题 题号 12 13 14 答案 82 2； 12. 【解析】由题意，球半径 . 是边长为9的等边三角形. 设球心 到平面 的距离为 ，由几何关系，正三角形 的外接圆半径 . 所以 . 球面上动点 到平面 的最大距离为球心距加半径，即 厘米. 13. 【解析】分三种情况讨论： （1） ①②③④四边同色，共有 种. （2） ①②③④只有三边同色，另一边不同色时，共有 种. （3） 当①②③④每两个同色时，共有 种. 综上，共有 种. 14. 【解析】第一空：由正弦定理和三角恒等变换， . 再由正弦定理， ，所以 . 第二空：由 ，设 .由余弦定理， . 面积 . 将 看作整体，当 时取最大值 ，故最大面积为 . 四、解答题 15. 【答案】（1） ；（2） ；（3） 存在， 【解析】 (1)【步骤分值：建系并求坐标3分，求法向量与方向向量2分，用公式求线面角2分，共7分】 以 为原点， 所在直线为 轴建系. 由题意得 ，平面 的法向量为 . . . (2)【步骤分值：求两个法向量4分，用公式求夹角2分，共6分】 平面 的法向量 ，平面 的法向量 .. (3)【步骤分值：利用共面条件列方程2分，解参数得长度2分，共4分】 设 ，若四点共面，则 ，其中 为平面 法向量.解得 ，即 . 16. 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【解析】 (1)【步骤分值：求导代值2分，写切线方程2分，共4分】 时， . . .切线方程为 ，化简得答案. (2)【步骤分值：求导并分离参数2分，研究新函数单调性极值3分，得范围2分，共7分】 .令 ，得 . 设 ， . 在 单减，在 单增. 极小值 .要使 与 有两个交点，需 . (3)【步骤分值：参变分离构造函数2分，求导分析单调极值4分，结合图像得范围2分，共8分】 .令 ，求导得 . 分析出极大值 ，极小值 ，且 时值域包含 . 结合图像，当 或 时， 与 有两个交点.故范围是 . 17. 【答案】（1） ；（2） ；（3） 证明见解析 【解析】 (1)【步骤分值：求焦点2分，解p 2分，共4分】 . ，解得 .故 方程为 . (2)【步骤分值：设直线联立得弦长3分，求点到直线距离2分，表示面积并求最值4分，共9分】 设 ，代入 得 . 弦长 . 到 距离 . .令 ，求导知其在 单增，故 时取最小值 . (3)【步骤分值：设切点得切线方程3分，利用切线与C2相切得关系3分，证直线BC与C2相切4分，共10分】 设 .则 方程为 .代入 ，由相切得 ，即 .同理， . 这表明 均在直线 上，即直线 的方程.将其代入 ，得 （因为 ）.所以 也与 相切. 18. 【答案】（1） ；（2） ；（3） 第5天 【解析】 (1)【步骤分值：设出事件并全概率公式3分，计算2分，共5分】 设第 天去 餐厅的概率分别为 . 则 . (2)【步骤分值：建立递推关系4分，构造等比数列3分，求出通项3分，共10分】 由全概率公式得 ，结合 ，化简得 . 构造等比数列， . 又 .所以 . (3)【步骤分值：写出稳定条件2分，代入计算验证3分，得出结论2分，共7分】 方法一：依次计算概率得 . 计算相邻两天比例： ，而 .故从第5天开始稳定. 方法二：解不等式 ，代入通项化简得 ，解得 . 19. 【答案】（1） 第4行，第3097个数；(2)（i） ；（ii） 【解析】 (1)【步骤分值：求公共项通项3分，计算 并定位3分，共6分】 设公共项为 ，利用二项式定理知当 为偶数时， 可取正整数. 故 的通项为 .则 . 观察数阵结构，4096是4位数，且位于第4行.该行前3个数是1000,1001,1002，故4096是第 个数. (2)(i)【步骤分值：直接计数3分，共3分】 ：第1行为1到9，不含12，故 . ：第2行为10到99，共90个数，去掉含“12”的一个（12），故 . ：第3行为100到999，共900个，去掉含12的数：百十位12有10个，十个位12有10个（其中122重复1次），故共去掉19个. . (ii)【步骤分值：建立递推关系3分，利用特征根法求通项5分，共8分】 当 时， .特征方程 ，两根为 . 由初值 ，代入通项公式 ，解得 ，即得结果. 多维细目表 题型 题号 分值 必备知识 易错类型 单选题 1 5 三角函数周期与对称性 周期与对称点条件转化错误 单选题 2 5 正态分布与基本不等式 等号成立条件遗漏 单选题 3 5 指数与幂函数比较大小 函数单调性综合运用不当 单选题 4 5 椭圆中的四边形面积最值 换元法、最值求解 单选题 5 5 复合函数零点与根的分布 换元后根的分布讨论不全 单选题 6 5 分段周期函数与方程解 周期性与图象分析 单选题 7 5 抛物线定义与距离最值 距离比的处理与换元求最值 单选题 8 5 双曲线离心率与渐近线 几何性质挖掘不充分 多选题 9 6 椭圆与双曲线综合 切线方程证明及公式运用 多选题 10 6 立体几何翻折与二面角 动态几何中的不变量与计算 多选题 11 6 数列递推与性质 递推关系变形与累加 填空题 12 5 球面距离与立体几何最值 球心到面距离公式 填空题 13 5 染色问题与计数原理 分类讨论不重不漏 填空题 14 5 解三角形与面积最值 正余弦定理与函数最值结合 解答题 15 15 立体几何（线面角、面面角） 建系坐标计算与法向量 解答题 16 15 导数（极值点、零点） 含参讨论与函数图像分析 解答题 17 15 解析几何（切线与面积最值） 切点弦方程与复杂代数运算 解答题 18 17 概率统计（马尔可夫链） 全概率公式与递推数列构造 解答题 19 17 数列新定义与特征根 递推关系建立与特征根法 提速技巧 一、单选题提速技巧 题号 典型题类型 易错点/计算难点 提速技巧 1 三角函数周期对称求值 对称点条件转化（中心对称）；周期范围限制 关于 对称，则 且对称中心在零点.结合周期范围确定参数唯一值. 2 正态分布对称性 对称性得 a+b=4；基本不等式等号条件 正态分布中 且 a,b 在均值两侧时，. 3 指数幂函数比大小 底数指数均不同，需构造中间量或取对数 比较 与 ，可同时取对数，转化为比较 与 .或利用函数 的单调性. 4 椭圆四边形面积最值 换元法（三角换元）；面积表达式复杂 面积最值问题，先表示为目标函数，通过换元（三角或代数）转化为二次函数或均值不等式求最值. 5 复合函数零点分布 换元后一元二次方程根的分布；参数范围讨论 型，令 ，先研究 t 的方程根的分布，再结合 g（x） 图像确定 x 解的个数. 6 分段周期函数与方程解 周期性分析；区间值域；无穷多解条件 无穷多解意味着直线与每个周期段都有交点.分析一段上的值域和交点条件，推广到所有周期. 7 抛物线距离比最值 距离比的处理（平方或换元）；定义转化 抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离.将距离比转化为单变量函数，用换元或导数求最值. 8 双曲线离心率 几何性质挖掘（渐近线平行、直角三角形） 渐近线斜率为 .直角三角形中边长关系用勾股定理.最终构建 a,c 齐次方程求离心率. 二、多选题提速技巧 题号 典型题类型 易错点/计算难点 提速技巧 9 椭圆双曲线综合 焦半径、定义、切线方程综合运用；复杂公式推导 共焦点问题，注意 a,b,c 与 m,n,c 的关系.切线方程可用替换法则（ 代 ）. 10 立体几何翻折 折叠前后不变量（垂直关系）；空间向量求长度 翻折问题中，折痕上的垂直关系不变.求空间距离和夹角，建系用向量法最稳妥. 11 斐波那契数列 递推关系变形与累加、累乘 斐波那契数列常用技巧：累加法求和、递推变形.记一些常见恒等式可加快判断. 三、填空题提速技巧 题号 典型题类型 易错点/计算难点 提速技巧 12 球面距离 球心到面距离公式；等边三角形外接圆半径 球心到截面距离 ，其中 r 为截面圆半径.最大距离为 . 13 染色计数 分类讨论不重不漏；分步乘法原理 复杂染色问题，按颜色使用种类或对称性分类，每类用分步乘法计数，最后相加. 14 解三角形面积最值 边角互化；正余弦定理与函数最值结合 已知角的关系和边比，可求边，再表示面积.用余弦定理和面积公式转化为单变量函数求最值. 四、解答题提速技巧 题号 典型题类型 计算难点 提速技巧 15 立体几何：线面角、面面角、共面 坐标计算量大；法向量多次求解；四点共面条件 建系要充分利用垂直关系.四点共面等价于向量混合积为 0 或存在平面法向量与连线垂直. 16 导数：极值点、零点含参讨论 含参讨论分类标准；参变分离后函数图像分析 讨论极值点个数即讨论导函数变号零点个数.参变分离后，将问题转化为水平直线与函数图像交点个数. 17 解析几何：切线与面积 切点弦方程推导；面积最值函数构造 过曲线外一点作切线，切点弦所在直线方程可用替换法则.面积最值通常用导数或基本不等式. 18 概率：马尔可夫链 全概率公式建立递推关系；数列通项求解 第 n 天状态概率用第 n.1 天全概率表示.得到递推式后，用特征根法或构造等比数列求通项. 19 数列新定义：特征根法 递推关系建立；特征根法求通项；复杂代数式化简 新定义数列问题，关键是理解规则写出递推.二阶线性递推 ，用特征方程 求通项. 极限卷总览口诀 对称周期定参数，正态对称和定值. 比大取对构函数，面积最值换元时. 复合零点先换元，无穷解看周期段. 距离之比定义化，双曲离心找几何. 共焦问题用定义，翻折不变量建系. 斐波那契累加和，球面距离截圆求. 染色分类不重漏，面积最值函数求. 立几坐标要精准，导数讨论分界点. 切点弦用替换写，马尔可夫全概率. 新定义数列特征根，递推通项代数稳. $