第20章 勾股定理 能力提升评估卷-【锦上添花】2025-2026学年八年级下册数学直击考点与单元双测（人教版·新教材）

直击考点与单元双测 ●》数学·八年级下 高升无碗 第二十章 勾股定理 做好题考高分 时间：100分钟满分：120分 833 能力提升评估卷 ⊙ 封 题 号 二 三 总 分 n 得 分 、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其 中只有一个是正确的》 1.已知在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=3,AB=4,则BC的长 为 A.7 B.3 C.5或7 D.5 2.△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,由下列条件 不能判定△ABC为直角三角形的是 () A.∠A=∠B-∠C B.∠A:∠B:∠C=1:2:3 C.a2=c2-b2 D.a:b:c=4:5:6 3.桐桐早晨从家出发去上学，先向正南方向走了1.5km,接着 向正东方向走了2km到达学校，则桐桐家到学校的直线距 离为 ( 不 A.2 km B.2.5 km C.3 km D.3.5 km 4.如图，若正方形A,B的面积分别为25和16，则正方形C的边 长为 A.3 B.6 C.9 D.12 第4题图 第8题图 第10题图 5.我国是最早了解勾股定理的国家之一.据《周髀算经》记载，勾 股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商 高定理”，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是 6.如图，根据尺规作图痕迹，判断点M在数轴上表示的数是（） M -5-4-3-2-1012345 A.10 B.√5 C.5+1 D.√13 7.若三角形的三边长分别为a,b,c,且满足(a-3)2+|b-4|+ √c-5=0,则这个三角形的形状是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 8.如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点P处沿着表面爬到顶点Q 处，电子蚂蚁的爬行路线在平面展开图（部分）中如实线所示， 其中路线最短的是 A.B.G. D. 9.如图1，位于重庆云阳龙缸景区的“亚洲第一悬崖秋千”，建在 距离河面将近700米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达 百米，提升高度可至80米.将其抽象成数学图形，如图2，即： OA=OB,BD⊥OA,BD=100米，AD=80米，秋千的绳索始终保 持拉直，则绳索OA的长度为 A.80米 B.100米 C.100.5米 A D.102.5米 图1 图2 10.如图所示，高速公路上有A,B两点相距14km,C,D为两村 庄，已知DA=6km,CB=8km,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点 B,现要在AB上建造一个服务站点E,使得C,D两村庄到E 站的距离相等，则AE的长是 A.8 km B.7 km C.7.2 km D.8.5 km 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.Rt△ABC的三边长为a,b,斜边c=2,则a2+b2= 12.数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距 离，在A的同岸选取点C,测得AC=20米，∠A=45°，∠C= 90°，如图，据此可求得A,B之间的距离为 米 D C 第12题图 第13题图 13.如图，在边长为1的正方形网格中，点A,B,D均在格点（网格 线的交点)上，以点A为圆心，AB的长为半径作弧，交线段AD 于点C,则CD的长为 14.如图，在3×3的网格上标出了∠1和∠2，则∠1+∠2= 第14题图 第15题图 15.有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右 肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直 角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图的样子，如果继 续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2026 次后形成的图形中所有正方形的面积和是 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(9分)如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D,AC=20,BC= 15,DB=9. (1)求DC的长； (2)求证：△ABC是直角三角形. 17.(9分)“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算 术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高 几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其 竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部三尺远，则折断后的竹子高 度为多少尺？(1丈=10尺) 【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角 形ABC,其中一直角边BC长3尺，其余两边长度之和为 10尺.求折断后的竹子高度， 18.（9分)如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4,BC=3, CD=13,AD=12,求四边形ABCD的面积. 19.(9分)如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上.“远航” 号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行， “远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海 里，它们离开港口了小时后相距30海里.如果知道“远航”号 沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 远航 海天 20.(9分)如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC 上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为0.7m. (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)马小虎说“如果梯子的底部B在水平方向滑动了0.8m 至D,那么梯子的顶端A也沿墙垂直下滑了0.8m”,你同 意吗？请说明理由. 21.（(10分)综合与实践：小明同学在活动课上进行了项目式学习 实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度AD 模型抽象 ①测得水平距离ED的长为15米. 测绘数据 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线AB的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离BE为1.6米 说明 点A,B,E,D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题. (1)求线段AD的长； (2)若想要风筝沿DA方向再上升12米，则在ED长度不变的 前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 22.(10分)用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的大正方 形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三 角形的直角边长分别为a,b(a<b),斜边长为c. (1)请利用图1证明：a2+b2=c2; (2)如图2，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接 在一起，得到图形ABCDEFGH,若该图形的周长为80， OB=5,求该图形的面积， 图1 图2 23.（10分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,BC=6,若点 P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线A→C→B→A 运动，设运动时间为t秒(t>0). (1)AC的长 (2)当点P在线段AC,CB上运动时，用含t的代数式表示CP 的长度； (3)当点P恰好在∠BAC的角平分线上（点A除外），求t 的值； (4)点P运动的过程中，当△BPC为等腰三角形时，请直接写 出t的值RJ·八数下 (2)由题意可知，AB=12m,AD=13 A m,DE=2m,如图，过点D作DF⊥ AB,垂足为点F,则DF=BE,FB=DE =2m,.AF=AB-FB=12-2= 10(m),.BE=DF=AD2 -AF2= B √132-102=√69(m). 答：标杆和旗杆的水平距离为√69m. 22.解：(1)正方形面积可表示为：c2,根据图2，正方形 面积还可以表示为：7b×4+(6-a)2,b× 4+(b-a)2=c2,即2ab+b2-2ab+a2=c2,.a2+ b2=c2; (2)在△BDC中，BC2+DC=152+202=225+400= 625=252=BD2,∴.△BCD是直角三角形，且∠C是直 角，在△ABD中，AB2+AD2=232+82=529+64=593, BD2=252=625,AB2+AD2≠BD2..△ABD不是 直角三角形，∠A不是直角.因此，这个零件不符合 要求 23.解：(1)如图，过点A作AH⊥ON于H,可知点A到射 线ON的最短距离为线段AH的长度.∴.AH的长度为 对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离。 :∠0=30,0A=160m,AH=201=80m 答：卡车对学校A的噪声影响最大时，卡车与学校之 间的距离为80m; (2)如图，在ON上取两点C,D,连接AC,AD,当AC= AD=100m时，则卡车在CD段对学校A有影响.AC =AD,AH⊥CD,.CH=DH.由(1)知AH=80m,在 Rt△ACH中，根据勾股定理，CH=√AC2-AH= √1002-802=60(m).∴CD=2CH=120m,:重型运 输卡车沿着道路ON方向行驶的速度为5米/秒，∴.影 响时间为：120÷5=24（秒）. 答：卡车沿道路ON方向行驶一次给学校带来噪声影 响的时间为24秒. 05 M 第二十章勾股定理能力提升评估卷 1.D2.D3.B4.A5.D6.B7.B8.C9.D 10.A【解析】设AE=xkm,则BE=（14-x)km DA⊥AB,CB⊥AB,∴.∠DAE=∠CBE=90°，在 Rt△ADE中，根据勾股定理，DE2=DA2+AE=62+x2, 在Rt△BCE中，根据勾股定理，CE2=CB2+BE2=82+ (14-x)2,DE=CE,.62+x2=82+(14-x)2,解得x =8.故选：A. 11.412.20213.4-1014.45° 15.2027【解析】设直角三角形的两条直角边为：a,b,斜 边为c,根据勾股定理，a2+b2=c2,:正方形的边长为 1,∴.a2+b2=1,由题意，可知，“生长”1次后，以直角 三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以 斜边为边长的正方形的面积，∴此时，所有正方形的 面积和为：2×1=2；“生长”2次后，所有正方形的面积 参考客案的 和为：3×1=3；…；∴在“生长”了2026次后形成的 图形中所有正方形的面积和为：2027×1=2027.故 答案为：2027. 16.解：(1)CD⊥AB,.∠CDB=∠CDA=90°，在Rt△CDB 中，BC=15,DB=9,∴.根据勾股定理，CD= √BC-BD2=12; (2)证明：在Rt△CDA中，根据勾股定理，AD= √AC2-CD=16,.AB=AD+BD=16+9=25,.AC2+ BC2=202+152=625=252=AB2,.△ABC是直角三 角形. 17.解：设折断后的竹子高度AC为x尺，则被折断的竹 子长度AB为(10-x)尺，根据勾股定理，AC2+BC2 =AB2,即x2+32=(10-x)2,解得x=4.55. 答：折断后竹子的高度为4.55尺. 18.解：连接AC,图略.在△ABC中，∠B=90°，AB=4, BC=3,.AC=√AB2+BC=√42+32=5，SAMc= 2AB·BC=7×4x3=6,在△ACD中，：AD=12, AC=5,CD=13,.AD2+AC2=122+52=169=132 =CD,△ACD是直角三角形，Sam=7AC·AD =7×5×2=30四边形ABCD的面积为S =SAABG +SAACD =6+30=36. 19.解：根据题意，得PQ=16×子-24（海里），PR=12× 2=18(海里)，QR=30海里，242+182=900=302， 3 .PQ+PR=QR2,.△PQR的直角三角形， ∠QPR=90°.由“远航号”沿东北方向航行可知， ∠QPS=45°，则∠SPR=45°，即“海天”号沿西北方向 航行. 20.解：(1)根据题意，在Rt△ACB中，AB=2.5m,BC= 0.7m,.AC=√AB-BC=√2.52-0.7=2.4(m). 答：这个梯子的顶端距地面有2.4m; (2)不同意.理由如下：BC=0.7m,BD=0.8m,∴.CD =BC+BD=0.7+0.8=1.5(m),在Rt△DCE中，根据勾股定 理，CE=√DE2-CD2=√2.52-1.52=2(m),.AE =AC-CE=2.4-2=0.4(m),∴.梯子的顶端A沿墙 垂直下滑了0.4m,∴.马小虎的说法错误 21.解：(1)过点B作BC⊥AD于点C,图略，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，BC=15米，AB=17米，根据勾股定理，AC =√AB2-BC=√17-15=8（米），则AD=AC+CD =AC+BE=8+1.6=9.6(米)； (2)风筝沿DA方向再上升12米后，风筝距牵线放风 筝的手所在水平面的高度为8+12=20（米），则此 时风筝线的长为√202+152=25（米），25-17= 8(米). 答：小明同学应该再放出8米线. 22.解：(1)证明：S小正方形=(b-a)2=a2-2ab+b,S小正方形 =c2-4x2a6=e2-2ab,即d2-2b+8=d-2ab, .a2+b2=c2; 锦上涤花 (2):AB+BC=80÷4=20,设AH=BC=x,则AB=20- x,OH=OB=5,在Rt△AOB中，根据勾股定理，OB2+OA2 =AB2,即52+(5+x)2=(20-x)2,解得x=7,.0A=5 +=12,S=7×0Bx0A×4=7×5×12x4=120, 23.解：(1)8； (2)当点P在AC上运动时，CP=AC-AP=8-t;当点 P在CB上运动时，CP=t-AC=t-8; (3)当点P在∠BAC的角平分线上时，过点P作PE⊥ AB于点E,如图1.∠ACB=90°，.PC=PE,在 Rt△ACP和Rt△AEP中，AP=AP,PC=PE, .Rt△ACP≌Rt△AEP(H),.AC=AE=8,.BP=8 +6-t=14-t,PE=PC=t-8,BE=AB-AE=10-8 =2,在Rt△BEP中，根据勾股定理，PE2+BE2=BP2, 4-8y2+2-(14-4-: (4):=2秒或19秒或20秒或9秒.【解析】①当P 在AC上时，AP=t,△BCP为等腰三角形，PC=BC, 即8-t=6,∴t=2;②当P在AB上时，△BCP为等腰 三角形.I.当CP=PB时，点P在BC的垂直平分线 上，过P作PE⊥BC于E,如图2.∴.∠B=∠PCB,BE =7BC=3,∠PGB+LPCA=LACB=90,∠B +∠A=90°，∠PCA=LA,∴.PA=PC,∴.PB= 24B,即1-6-8=5,4=19；.当PB=BC=6时， 即t-6-8=6,∴t=20;Ⅲ.当PC=BC时，过C作CF 1AB于F,如图3，BP=2BP,∠ACB=90, 5ac-=24C:Bc=74B.cf,7×6x8=× 10xCF,CF=2在R△BFC中，根据勾殷定理， w--c-6-P8-2m- 9=(8+6+》1=95当1=2秒或19秒 或20秒成96秒时，△BCP为等接三角形 D B F 图1 图2 图3 月度小复习（一） 1.D2.A3.D4.B5.D6.D7.A8.C9.B 10.C【解析】连接AD,AM,AB= B AC,点D是BC边的中点，∴.AD D ⊥BC,EF是线段AC的垂直平 A 分线，∴.AM=CM,当点M在AD 上时，DM+CM最小，最小值为AD,.△CDM的周长 最短=(CM+MD)+CD=AD+分BC=AD+2×8 =11,.AD=7,.AB=√AD2+BD2=√7+4= √65.故选：C. 11.512.2313.-2-√214.21-65 15或空【解析】如国1，过A作4C1BM,则4C=-6, 在Rt△ABC中，BC=√AB2-AC=√102-62=8，当 点P在点C右侧时，即∠APB=2∠ABP,如图2.在BP 上截取BQ=AQ,此时∠ABP=∠BAQ,.∠AQP= 2∠ABP=∠APB,.AQ=AP,∴.CQ=CP,设CQ=QP =x,则BQ=AQ=8-x,在Rt△ACQ中，AC2+CQ2= A0,6+2=(8-,解得x=子BP=BC+CP -8+子-翠：当点P在点C左侧，如国3，即LAPM 2∠ABP,在Rt△ACP中，此时点P与上述情况的点Q 重合，AC2+CP2=AP2,.36+x2=(8-x)2,解得x= 子B即=BC-CP=8-子=芹综上所选，B即的长 为翌数空故答案为望停 41 C P M B Q CP M B PC M 图1 图2 图3 16.解：(1)原式=26-√6+3=√6+3； 2)原式=4+-25-9+2-12-9 3 4 31 17.解：(1)△ABC不是直角三角形.理由如下：根据勾股 定理，BC2=32+42=25,AC2=2+62=40,AB2=22+ 32=13,:AC2≠BC2+AB,.△ABC不是直角三 角形； (2)Sm=4x6-7x2×3-7×4x3-7×2x6 =9. 18.解：(1)把x=√7+√5，y=√7-V5代入3xy-5=3× (7+5)(W7-√5)-5=3×(7-5)-5=6-5=1； (2)原式=(x-y)2-13=(万+√5-√7+√5)2-13 =(2√5)2-13=20-13=7. 2x90=√18= 9.解：四把=90m代人4三√2生=√10 3√2，∴.小球从90m高空自由下落，需要3√2s到达 地面： (2)不认同小明的想法.理由如下：把h=180m代入 便=√-：6-632a 3√5 ≠2，即小球从180m高空自由下落需要的时间是从 90m高空下落所需时间的2倍，不是2倍，∴.不认同 小明的想法 20.解：(1)AB⊥BC.理由如下：由题意，可知AB=160m, AC=200m,点C在点B的正东方120m处，即BC= 120m,AB2+BC2=1602+1202=2002=AC2, ∴.△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，∴.AB⊥BC; (2)由题意，可知BC⊥CD,CD=50m.在Rt△BCD 中，根据勾股定理，BD=√BC2+CD2=√1202+50