第20章 勾股定理 基础达标检测卷-【锦上添花】2025-2026学年八年级下册数学直击考点与单元双测（人教版·新教材）

锦上涤義 19.解：由条件，可得v=16×√20×1.2=16×√24=16 ×2√6=32√6(km/h). 答：肇事汽车的车速是32√6km/h. 20.解：(1)长方形ABCD的周长为：2×（√27+√⑧）=2× (3√3+22)=(6√5+4V2)m. 答：长方形ABCD的周长是(63+4√2)m; (2)长方形ABCD的面积：√27×√⑧=35×22= 66(m2),大理石的面积为：2√3×√2=2√6(m2),壁 布的面积为：6√6-2√6=4√6(m2),整个电视墙的总 费用为：6×4√6+200×2√6=24√6+400W6=424√6 （元). 答：整个电视墙需要花费424√6元. 21.解：(1)由题意，得2-x≥0，.x≤2，.x-3<0, .√(x-3)2-2-x)2=3-x-(2-x)=3-x-2+ x=1; (2)√(2-a)2=a+3,又若a≥2，则√(2-a)2= a-2,∴.a-2=a+3,不成立，故a<2,.√(2-a) =2-a2-a=a+3,a=-7:a-b+1=a -b+1,a-b+1=1或0,6=2或-7b 1 ±4 2解：(1)5+2，号， (2)原式=，3×(0-) 3×(万-2) (√10+W7)(√10-√7)(7+2)（万-2） 66-(v而-7+7-2)而=而 -7+7-2-3而=-2： (3)3-2√2>5-2√6.理由如下：将原式变形可得： 令22=3+2w25-26=17 5+263+22<5+ 26,.3-2√2>5-26. 23.解：(1)m2+2n2,2mn; (2)a+4万=(m+√7)2=m2+7+27m,.a=m2 +7,2m=4,.m=2,a=22+7=11; (3).a-62=(m-n√2)2=m2+2n2-22mn,.a =m2+2n2,mn=3,:a,m,n均为正整数，∴.m=1, n=3或m=3,n=1.当m=1,n=3时，a=12+2×32 =19;当m=3,n=1时，a=32+2×12=11,.a的值 为11或19. 第二十章勾股定理基础达标检测卷 1.D2.B3.C4.A5.A6.B7.C8.A9.A 10.B【解析】当AC=AB=4时，过点A作AE⊥BC于点 E,如图，BC=6,∴BE=CE=3,根据勾股定理， AB=VAC-CE=7,sac=2×AE×BG=2x万 ×6=3万；当CA=CB=6时，AC不满足小于AD+CD, ∴.此种情况不存在.故选：B. 11.2012.能13.514.13 15.5+√3【解析】作AD⊥x轴4 A(3.3) 于点D,则∠ADB=90°，OD= 3,AD=3,0B=1,.BD=3-1 =2,.AB=√22+32=√13； -10B1,0)D衣 要使△ABC的周长最小，AB一定，则AC+BC最小，作 A关于y轴的对称点A',连接A'B交y轴于点C,点C 即为使AC+BC最小的，点，作BE⊥AA'于点E,由对称 的性质，得A4'=6,BE=3,∴A'E=6-2=4,根据勾股 定理，A'B=√BE2+A'B=√32+4=5，.△ABC的 周长的最小值为5+√13.故答案为：5+√13. 16.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,边BC上的 中线AD长为13，∴.BD=CD,在Rt△ADC中，根据勾股定 理，CD=√AD-AC=√132-122=5，.BC=2CD =10. 17.解：设木棒的长为x尺，则BC=（x-1)尺，在 Rt△ABC中，根据勾股定理，AB2+BC2=AC2,.102+ (x-1)2=x2,解得x=50.5. 答：木棒的长为50.5尺 18.解：(1)在Rt△ABC中，AB=9,BC=12,根据勾股定 理，AC=√AB2+BC=√92+122=15，.氢能源 环保电动步道AC的长是15； (2)证明：CD=8,AD=17,AC=15,.AD2=172=289, CD2+AC2=82+152=289,.AD2=CD2+AC2,∴.△ACD 是直角三角形，且∠ACD=90°，∴.AC⊥CD. 19.解：(1)16； (2)∠PAC=∠PCA,∴.AP=PC,设AP=PC=x,则 PB=16-x,在Rt△PBC中，根据勾股定理，PC2=BC2 +P8,(16-2+122=,解得x=空AP=究 Γ-2 20.解：(1)7 (2):W5=2+22,8=√22+22，√7= √12+4，.利用构图法画出△DEF如图所示： 5=2x4-7x1×2-分x1x4-7×2x2=3. 21.解：(1)设旗杆AB的长为xm,则旗绳AC的长为(x+ 1)m.ABLBC,.∠ABC=90°，.AB2+BC2=AC2, .x2+52=(x+1)2,解得x=12,.x+1=13,.AC= 13.即旗绳AC的长为13m; RJ·八数下 (2)由题意可知，AB=12m,AD=13 A m,DE=2m,如图，过点D作DF⊥ AB,垂足为点F,则DF=BE,FB=DE =2m,.AF=AB-FB=12-2= 10(m),.BE=DF=AD2 -AF2= B √132-102=√69(m). 答：标杆和旗杆的水平距离为√69m. 22.解：(1)正方形面积可表示为：c2,根据图2，正方形 面积还可以表示为：7b×4+(6-a)2,b× 4+(b-a)2=c2,即2ab+b2-2ab+a2=c2,.a2+ b2=c2; (2)在△BDC中，BC2+DC=152+202=225+400= 625=252=BD2,∴.△BCD是直角三角形，且∠C是直 角，在△ABD中，AB2+AD2=232+82=529+64=593, BD2=252=625,AB2+AD2≠BD2..△ABD不是 直角三角形，∠A不是直角.因此，这个零件不符合 要求 23.解：(1)如图，过点A作AH⊥ON于H,可知点A到射 线ON的最短距离为线段AH的长度.∴.AH的长度为 对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离。 :∠0=30,0A=160m,AH=201=80m 答：卡车对学校A的噪声影响最大时，卡车与学校之 间的距离为80m; (2)如图，在ON上取两点C,D,连接AC,AD,当AC= AD=100m时，则卡车在CD段对学校A有影响.AC =AD,AH⊥CD,.CH=DH.由(1)知AH=80m,在 Rt△ACH中，根据勾股定理，CH=√AC2-AH= √1002-802=60(m).∴CD=2CH=120m,:重型运 输卡车沿着道路ON方向行驶的速度为5米/秒，∴.影 响时间为：120÷5=24（秒）. 答：卡车沿道路ON方向行驶一次给学校带来噪声影 响的时间为24秒. 05 M 第二十章勾股定理能力提升评估卷 1.D2.D3.B4.A5.D6.B7.B8.C9.D 10.A【解析】设AE=xkm,则BE=（14-x)km DA⊥AB,CB⊥AB,∴.∠DAE=∠CBE=90°，在 Rt△ADE中，根据勾股定理，DE2=DA2+AE=62+x2, 在Rt△BCE中，根据勾股定理，CE2=CB2+BE2=82+ (14-x)2,DE=CE,.62+x2=82+(14-x)2,解得x =8.故选：A. 11.412.20213.4-1014.45° 15.2027【解析】设直角三角形的两条直角边为：a,b,斜 边为c,根据勾股定理，a2+b2=c2,:正方形的边长为 1,∴.a2+b2=1,由题意，可知，“生长”1次后，以直角 三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以 斜边为边长的正方形的面积，∴此时，所有正方形的 面积和为：2×1=2；“生长”2次后，所有正方形的面积 参考客案的 和为：3×1=3；…；∴在“生长”了2026次后形成的 图形中所有正方形的面积和为：2027×1=2027.故 答案为：2027. 16.解：(1)CD⊥AB,.∠CDB=∠CDA=90°，在Rt△CDB 中，BC=15,DB=9,∴.根据勾股定理，CD= √BC-BD2=12; (2)证明：在Rt△CDA中，根据勾股定理，AD= √AC2-CD=16,.AB=AD+BD=16+9=25,.AC2+ BC2=202+152=625=252=AB2,.△ABC是直角三 角形. 17.解：设折断后的竹子高度AC为x尺，则被折断的竹 子长度AB为(10-x)尺，根据勾股定理，AC2+BC2 =AB2,即x2+32=(10-x)2,解得x=4.55. 答：折断后竹子的高度为4.55尺. 18.解：连接AC,图略.在△ABC中，∠B=90°，AB=4, BC=3,.AC=√AB2+BC=√42+32=5，SAMc= 2AB·BC=7×4x3=6,在△ACD中，：AD=12, AC=5,CD=13,.AD2+AC2=122+52=169=132 =CD,△ACD是直角三角形，Sam=7AC·AD =7×5×2=30四边形ABCD的面积为S =SAABG +SAACD =6+30=36. 19.解：根据题意，得PQ=16×子-24（海里），PR=12× 2=18(海里)，QR=30海里，242+182=900=302， 3 .PQ+PR=QR2,.△PQR的直角三角形， ∠QPR=90°.由“远航号”沿东北方向航行可知， ∠QPS=45°，则∠SPR=45°，即“海天”号沿西北方向 航行. 20.解：(1)根据题意，在Rt△ACB中，AB=2.5m,BC= 0.7m,.AC=√AB-BC=√2.52-0.7=2.4(m). 答：这个梯子的顶端距地面有2.4m; (2)不同意.理由如下：BC=0.7m,BD=0.8m,∴.CD =BC+BD=0.7+0.8=1.5(m),在Rt△DCE中，根据勾股定 理，CE=√DE2-CD2=√2.52-1.52=2(m),.AE =AC-CE=2.4-2=0.4(m),∴.梯子的顶端A沿墙 垂直下滑了0.4m,∴.马小虎的说法错误 21.解：(1)过点B作BC⊥AD于点C,图略，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，BC=15米，AB=17米，根据勾股定理，AC =√AB2-BC=√17-15=8（米），则AD=AC+CD =AC+BE=8+1.6=9.6(米)； (2)风筝沿DA方向再上升12米后，风筝距牵线放风 筝的手所在水平面的高度为8+12=20（米），则此 时风筝线的长为√202+152=25（米），25-17= 8(米). 答：小明同学应该再放出8米线. 22.解：(1)证明：S小正方形=(b-a)2=a2-2ab+b,S小正方形 =c2-4x2a6=e2-2ab,即d2-2b+8=d-2ab, .a2+b2=c2;直击考点与单元双测 ●》数学·八年级下 弥 高升无碗 第二十章 勾股定理 做好题考高分 时间：100分钟满分：120分 83 基础达标检测卷 @ 封 题 号 二 三 总 分 得 分 、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项， 中只有一个是正确的) 1.下列各组数是勾股数的是 () A.1,2,3 B.3,4,7 C.2.5,4,4.5 D.5,12,13 2.如图，在直角三角形ABC中，∠B=90°，则以下式子成立的是 A.a2+b2=c2 B.a2+c2=b2 内 C.b2+c2=a2 D.(a+c)2=b2 E D 南 不 第2题图 第5题图 第6题图 3.在平面直角坐标系中有两点A(3,0)和B(0,4),则这两点之间 的距离是 ( A.3 B.4 C.5 D.7 4.小明想做一个直角三角形的木架，以下四组木棒中，哪一组的 国 三条刚好能够做成 () A.9厘米，12厘米，15厘米 B.7厘米，12厘米，13厘米 C.12厘米，15厘米，17厘米 D.3厘米，4厘米，7厘米 5.如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若 答 将它往水平方向向前推进3米（即DE=3米），且绳索保持拉 直的状态，则此时木马上升的高度为 ( A.1米 B.√2米 C.2米 D.3米 6.如图所示，一轮船以3海里/时的速度从港口A出发向东北方 向航行，另一轮船以4海里/时的速度同时从港口A出发向东 题 南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 () A.25海里 B.10海里 C.35海里 D.40海里 7.如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴 上，以原点0为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于 一点，则这个点表示的实数是 0 -2-1012345 A.√3 B.22 C.5 D.2.5 8.如图，某校举办元旦联欢会，准备在舞台侧长5m,高3m的 台阶上铺红地毯，已知台阶的宽为3m,则共需购买红地毯 ( A.21m2 B.45m2 C.24m2 D.12m2 5 m 第8题图 第9题图 第10题图 9.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方 形拼成的一个大正方形.如图，大正方形的面积是13，小正方 形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a,b(a<b),那 么(a+b)2的值是 A.25 B.20 C.16 D.12 10.四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形 形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时，△ABC的面 积为 A.332 B.37 C.37或332D.15 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.若直角三角形的两条直角边长分别为12和16，则它的斜边 长为 12.一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄 木板 (填“能”或“不能”)从门框内通过 1 m 第12题图 第13题图 13.如图，一根木棍长18cm,斜放在直径5cm的圆形水杯中 水杯的高AC为12cm,则露出水杯外的部分AD的长为 cm. 14.有一个正方形的池塘，边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘 的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向 岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为 尺.（1丈= 10尺) y A(3,3) -10B(1,0) _1 第14题图 第15题图 15.如图，在平面直角坐标系中，A(3,3),B(1,0),点C是y轴上 一点，连接AB,AC,BC,则△ABC周长的最小值为 三、解答题（本大题共8个小题，共75分）》 16.(9分)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,边BC上的中线AD 长为13，求边BC的长. B 17.(9分)《九章算术》记载：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣 齐.引木却行一尺，其木至地.问木长几何？其大意是：墙AB 高1丈(1丈=10尺)，一根木棒AC靠于墙壁，木棒上端与墙 头齐平.当木棒下端沿地面从点C向右滑动1尺到点D时， 木棒上端恰好沿墙壁从点A下滑到点B(如图所示).问木棒 长多少尺？ B CD 18.(9分)某运动会本着环保、舒适、温馨的出发点，对运动员休 息区进行了精心设计.如图，四边形ABCD为休闲区域，四周 是步道，AB LBC,中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿 插了氢能源环保电动步道AC.经测量AB=9,BC=12,CD= 8,AD=17. (1)求氢能源环保电动步道AC的长； (2)证明：AC⊥CD, 19.(9分)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=20,BC=12. (1)直接写出AB的长度； (2)设点P在AB上，若∠PAC=∠PCA,求AP的长， 20.(9分)在△ABC中，AB,BC,AC三边的长分别为√5，√10， √3，求这个三角形的面积.小华同学在解答这道题时，先画 一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），根据√5= √2+22，√10=√2+32，√13=√22+32，再在网格中画出 格点△ABC(即△ABC三个顶，点都在小正方形的顶，点处)，如 图1所示.这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能计算出 它的面积.这种方法叫作构图法， (1)△ABC的面积为： (2)若△DEF三边的长分别为√5，√⑧，√17，请在图2的正方 形网格中画出相应的△DEF,并利用构图法求△DEF的 面积 图1 图2 21.（10分)如图1，AB为直立在水平操场上的旗杆，旗绳自然下 垂，发现旗绳的长度比旗杆的高度多1m,现在要测量旗杆的 高度（不许将旗杆放倒）： (1)第一小组的方法是将旗绳的底端从点B滑动到点C,并 使旗绳AC笔直，如图2，此时测量得出BC=5m,请按此 方法求出旗绳AC的长度； (2)第二小组的方法是利用2高的标杆DE,将旗绳的底端 与标杆顶端D重合，并移动标杆至旗绳AD笔直，且标杆 DE垂直于地面，如图3，请利用(1)中的结论求出标杆和 旗杆的水平距离(BE的长度). 7717 B i 图1 图2 图3 22.（10分)勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各 有不同.在进行《勾股定理》一章时，李老师带领同学们进行 如下的探究活动：如图1，是用硬纸板剪成的四个全等的直角 三角形（两直角边长分别为a,b,斜边长为c)和一个边长为c 的正方形，请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形 A8D 23 2520 B 15 C 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，是李明拼成的示意图，请你利用图2验证勾股 定理； (2)一个零件的形状如图3，按规定这个零件中∠A和∠C都 应是直角.工人师傅测得这个零件各边尺寸（单位：cm)》 如图4所示，这个零件符合要求吗？ 23.(10分)如图，0M,0N是两条公路，∠0=30°，沿公路0M方 向离点0为160米的点A处有一所学校，当重型运输卡车沿 道路ON方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为圆心， 100m长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且 点P与点A的距离越近噪声影响越大.假设重型运输卡车沿 着道路OW方向行驶的速度为5米/秒 (1)求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离； (2)求卡车沿道路ON方向行驶一次给学校带来噪声影响的 时间. 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