专题08 一元二次方程及其应用（题型专练）（辽宁专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题08 一元二次方程及其应用 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 一元二次方程的定义与一般形式 题型02 配方法（含直接开平方法）解一元二次方程 题型03 公式法解一元二次方程 题型04 因式分解法解一元二次方程 题型05 根的判别式的应用 题型06 根与系数的关系 题型07 一元二次方程的实际应用（增长率、面积、销售） 题型08 一元二次方程与函数的综合应用 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 一元二次方程的定义与一般形式 典例引领 【典例01】（2025·辽宁抚顺·一模）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 一元二次方程考点近年以考查一元二次方程的实际应用题为主，为每年必考点，考查形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题，常以增长率、销售利润、面积、动点等实际问题为背景，要会根据具体问题提取关键等量关系列出方程，并灵活利用配方法、公式法、因式分解法进行求解，并判断根的合理性。同时不可忽视根的判别式与根与系数的关系考点，通常以选择或填空题形式考查，难度不大，注意掌握结论与计算的准确性。 方法技能 1.一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 （1）整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。 2.一元二次方程的一般形式 （为常数，），其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项。 变式演练 【变式01】（2026·辽宁鞍山·一模）一元二次方程化成一般式后的值为（    ） A．3，－10，－4 B．3，－12，－2 C．8，－10，－2 D．8，－12，4 题型02 配方法（含直接开平方法）解一元二次方程 典例引领 【典例01】（2025·辽宁沈阳·一模）用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 一元二次方程考点近年以考查一元二次方程的实际应用题为主，为每年必考点，考查形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题，常以增长率、销售利润、面积、动点等实际问题为背景，要会根据具体问题提取关键等量关系列出方程，并灵活利用配方法、公式法、因式分解法进行求解，并判断根的合理性。同时不可忽视根的判别式与根与系数的关系考点，通常以选择或填空题形式考查，难度不大，注意掌握结论与计算的准确性。 方法技能 （1）直接开平方法 利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法。 方程的根的情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有无实数根 ①变形：将方程整理为； ②开方：等式两边同时开平方，得； ③求解：移项计算，得到方程的两个根； ④若n<0，方程无实数根。 （2）配方法 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。 ①移项：把常数项移到等号右边，得 ； ②化1：若二次项系数，方程两边同时除以，使二次项系数为1 ； ③配方：在方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④变形：将左边化为完全平方形式，得 ； ⑤开方求解：按照直接开平方法的步骤计算，得到方程的解。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁抚顺·一模）解方程 (1)（配方法）； (2)（公式法） 题型03 公式法解一元二次方程 典例引领 【典例01】（2025·辽宁抚顺·一模）关于的一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（   ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 方法透视 考向解读 一元二次方程考点近年以考查一元二次方程的实际应用题为主，为每年必考点，考查形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题，常以增长率、销售利润、面积、动点等实际问题为背景，要会根据具体问题提取关键等量关系列出方程，并灵活利用配方法、公式法、因式分解法进行求解，并判断根的合理性。同时不可忽视根的判别式与根与系数的关系考点，通常以选择或填空题形式考查，难度不大，注意掌握结论与计算的准确性。 方法技能 （3）公式法 求根公式 是一元二次方程（且）的求根公式. ①化一般式：将方程整理为的形式； ②算判别式：计算的值； ③判断根的情况 若：方程有两个不相等的实数根； 若：方程有两个相等的实数根； 若：方程无实数根。 ④代入公式：当时，代入求根公式 ； ⑤化简结果：计算并整理，得到方程的两个根。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁·模拟预测）解方程 (1)（配方法） (2)（公式法） 题型04 因式分解法解一元二次方程 典例引领 【典例01】（2025·辽宁抚顺·二模）（1）解方程：； （2）解方程：． 方法透视 考向解读 一元二次方程考点近年以考查一元二次方程的实际应用题为主，为每年必考点，考查形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题，常以增长率、销售利润、面积、动点等实际问题为背景，要会根据具体问题提取关键等量关系列出方程，并灵活利用配方法、公式法、因式分解法进行求解，并判断根的合理性。同时不可忽视根的判别式与根与系数的关系考点，通常以选择或填空题形式考查，难度不大，注意掌握结论与计算的准确性。 方法技能 1 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式 2 基本步骤 （1）移项，使方程右边为 0 （2）左边进行因式分解（提公因式、公式法、十字相乘），写成：(ax+b)(cx+d)=0 （3）根据 “乘积为 0，则至少一个因子为 0”，得：ax+b=0或cx+d=0 （4）分别解两个一元一次方程 变式演练 【变式01】（2025·辽宁丹东·一模）解下列方程： (1)； (2)． 题型05 根的判别式的应用 典例引领 【典例01】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）下列方程有两个不相等的实数根是（   ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 一元二次方程考点近年以考查一元二次方程的实际应用题为主，为每年必考点，考查形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题，常以增长率、销售利润、面积、动点等实际问题为背景，要会根据具体问题提取关键等量关系列出方程，并灵活利用配方法、公式法、因式分解法进行求解，并判断根的合理性。同时不可忽视根的判别式与根与系数的关系考点，通常以选择或填空题形式考查，难度不大，注意掌握结论与计算的准确性。 方法技能 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程（）根的情况由来确定。我们把叫做一元二次方程（）根的判别式，通常用符号“”来表示，即。 2.一元二次方程根的情况 （）有两个不相等的实数根 （）有两个相等的实数根 （）无实数根 （）有实数根 变式演练 【变式01】（2025·辽宁本溪·模拟预测）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 题型06 根与系数的关系 典例引领 【典例01】（2023·辽宁营口·中考真题）若关于x的方程的一个根是3，则此方程的另一个根是 ． 方法透视 考向解读 一元二次方程考点近年以考查一元二次方程的实际应用题为主，为每年必考点，考查形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题，常以增长率、销售利润、面积、动点等实际问题为背景，要会根据具体问题提取关键等量关系列出方程，并灵活利用配方法、公式法、因式分解法进行求解，并判断根的合理性。同时不可忽视根的判别式与根与系数的关系考点，通常以选择或填空题形式考查，难度不大，注意掌握结论与计算的准确性。 方法技能 1.一元二次方程的根与系数的关系 若（）的两个根为，，则 ，以上称为韦达定理。 当一元二次方程的二次项系数为1时，它的一般形式为 . 设它的两根为， ， 这时有 ， 。 当常数项时，方程为，两根为，满足， 2.与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形 变式演练 【变式01】（2025·辽宁丹东·模拟预测）若a，b是方程的两个实数根，则的值为 ． 题型07 一元二次方程的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·辽宁·模拟预测）新能源汽车是指采用非常规车用燃料（如电能、氢能等）作为动力来源，或使用新型车载动力装置的汽车，其核心特点是通过先进技术实现节能减排，推动汽车行业的绿色转型．某品牌新能源汽车年的销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，年的销售量比年增加了万辆．若设从年到年该品牌新能源汽车销售量的年平均增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 一元二次方程考点近年以考查一元二次方程的实际应用题为主，为每年必考点，考查形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题，常以增长率、销售利润、面积、动点等实际问题为背景，要会根据具体问题提取关键等量关系列出方程，并灵活利用配方法、公式法、因式分解法进行求解，并判断根的合理性。同时不可忽视根的判别式与根与系数的关系考点，通常以选择或填空题形式考查，难度不大，注意掌握结论与计算的准确性。 方法技能 解题步骤： 1.审：仔细审题，明确题目中的已知量、未知量，找出关键的等量关系。 2.设：设未知数，有两种设元方式。 ①直接设元：问什么设什么； ②间接设元：当直接设元列方程复杂时，设与所求量相关的量为未知数。 3.列：根据等量关系列出一元二次方程，注意统一单位。 4.解：选择合适的方法(因式分解法、公式法等)解一元二次方程。 5.验：双重检验。 ①检验方程的根是否满足方程； ②检验根是否符合实际意义(如长度、人数、增长率不能为负，销量为正整数等)。 6.答：写出答案，带单位。 变式演练 【变式01】（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 题型08 一元二次方程与函数的综合应用 典例引领 【典例01】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价元 61 60 59 58 57 日销售量个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为_____． 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 方法透视 考向解读 一元二次方程考点近年以考查一元二次方程的实际应用题为主，为每年必考点，考查形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题，常以增长率、销售利润、面积、动点等实际问题为背景，要会根据具体问题提取关键等量关系列出方程，并灵活利用配方法、公式法、因式分解法进行求解，并判断根的合理性。同时不可忽视根的判别式与根与系数的关系考点，通常以选择或填空题形式考查，难度不大，注意掌握结论与计算的准确性。 方法技能 一元二次方程与函数综合题型，常常借助方程与函数思想，待定系数法等基本思想方法，根据题干中的数量关系，列出一元二次方程、函数解析式是解题的关键。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁辽阳·模拟预测）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） (1)设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 题●型●训●练 1．（2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 2．（2025·甘肃·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江·中考真题）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川绵阳·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为 ． 6．（2025·山东东营·中考真题）若关于的方程无实根，则的取值范围是 ． 7．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ． 8．（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 9．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 10．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 11．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 12．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 一元二次方程及其应用 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 一元二次方程的定义与一般形式 题型02 配方法（含直接开平方法）解一元二次方程 题型03 公式法解一元二次方程 题型04 因式分解法解一元二次方程 题型05 根的判别式的应用 题型06 根与系数的关系 题型07 一元二次方程的实际应用（增长率、面积、销售） 题型08 一元二次方程与函数的综合应用 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 一元二次方程的定义与一般形式 典例引领 【典例01】（2025·辽宁抚顺·一模）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，据此分析各选项． 【详解】解：A、，展开得，是一元二次方程； B、化简得，不是一元二次方程； C、 ，若，则方程不是二次方程，因此不一定是一元二次方程； D、不是整式方程，故不是一元二次方程． 故选：A． 方法透视 考向解读 一元二次方程考点近年以考查一元二次方程的实际应用题为主，为每年必考点，考查形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题，常以增长率、销售利润、面积、动点等实际问题为背景，要会根据具体问题提取关键等量关系列出方程，并灵活利用配方法、公式法、因式分解法进行求解，并判断根的合理性。同时不可忽视根的判别式与根与系数的关系考点，通常以选择或填空题形式考查，难度不大，注意掌握结论与计算的准确性。 方法技能 1.一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 （1）整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。 2.一元二次方程的一般形式 （为常数，），其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项。 变式演练 【变式01】（2026·辽宁鞍山·一模）一元二次方程化成一般式后的值为（    ） A．3，－10，－4 B．3，－12，－2 C．8，－10，－2 D．8，－12，4 【答案】A 【分析】通过去括号、移项合并同类项将方程化为一般形式即可得． 【详解】解：， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 则化成一般式后的值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法、一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的概念是解题关键． 题型02 配方法（含直接开平方法）解一元二次方程 典例引领 【典例01】（2025·辽宁沈阳·一模）用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：由原方程移项，得， 等式的两边同时加上，得， 配方，得． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 方法透视 考向解读 一元二次方程考点近年以考查一元二次方程的实际应用题为主，为每年必考点，考查形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题，常以增长率、销售利润、面积、动点等实际问题为背景，要会根据具体问题提取关键等量关系列出方程，并灵活利用配方法、公式法、因式分解法进行求解，并判断根的合理性。同时不可忽视根的判别式与根与系数的关系考点，通常以选择或填空题形式考查，难度不大，注意掌握结论与计算的准确性。 方法技能 （1）直接开平方法 利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法。 方程的根的情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有无实数根 ①变形：将方程整理为； ②开方：等式两边同时开平方，得； ③求解：移项计算，得到方程的两个根； ④若n<0，方程无实数根。 （2）配方法 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。 ①移项：把常数项移到等号右边，得 ； ②化1：若二次项系数，方程两边同时除以，使二次项系数为1 ； ③配方：在方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④变形：将左边化为完全平方形式，得 ； ⑤开方求解：按照直接开平方法的步骤计算，得到方程的解。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁抚顺·一模）解方程 (1)（配方法）； (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将常数项移至等号的右边，然后配方解方程即可； （2）一元二次方程的求根公式为，代入计算即可． 【详解】（1）解： ， （2）解： ，，， ， ，． 题型03 公式法解一元二次方程 典例引领 【典例01】（2025·辽宁抚顺·一模）关于的一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（   ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 通过计算判别式 的值，即可判断一元二次方程的根的情况． 【详解】解：∵ 方程 ， ∴， 又 ∵ ， ∴ ， 即， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 方法透视 考向解读 一元二次方程考点近年以考查一元二次方程的实际应用题为主，为每年必考点，考查形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题，常以增长率、销售利润、面积、动点等实际问题为背景，要会根据具体问题提取关键等量关系列出方程，并灵活利用配方法、公式法、因式分解法进行求解，并判断根的合理性。同时不可忽视根的判别式与根与系数的关系考点，通常以选择或填空题形式考查，难度不大，注意掌握结论与计算的准确性。 方法技能 （3）公式法 求根公式 是一元二次方程（且）的求根公式. ①化一般式：将方程整理为的形式； ②算判别式：计算的值； ③判断根的情况 若：方程有两个不相等的实数根； 若：方程有两个相等的实数根； 若：方程无实数根。 ④代入公式：当时，代入求根公式 ； ⑤化简结果：计算并整理，得到方程的两个根。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁·模拟预测）解方程 (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）解：，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 题型04 因式分解法解一元二次方程 典例引领 【典例01】（2025·辽宁抚顺·二模）（1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用配方法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：配方，得 由此可得， 解得：； （2）解： 因式分解，得 于是，得，或 解得：． 方法透视 考向解读 一元二次方程考点近年以考查一元二次方程的实际应用题为主，为每年必考点，考查形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题，常以增长率、销售利润、面积、动点等实际问题为背景，要会根据具体问题提取关键等量关系列出方程，并灵活利用配方法、公式法、因式分解法进行求解，并判断根的合理性。同时不可忽视根的判别式与根与系数的关系考点，通常以选择或填空题形式考查，难度不大，注意掌握结论与计算的准确性。 方法技能 1 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式 2 基本步骤 （1）移项，使方程右边为 0 （2）左边进行因式分解（提公因式、公式法、十字相乘），写成：(ax+b)(cx+d)=0 （3）根据 “乘积为 0，则至少一个因子为 0”，得：ax+b=0或cx+d=0 （4）分别解两个一元一次方程 变式演练 【变式01】（2025·辽宁丹东·一模）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握用求根公式和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）用求根公式直接计算即可； （2）用因式分解法整理方程，再进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：因式分解得， 整理得， ，． 题型05 根的判别式的应用 典例引领 【典例01】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）下列方程有两个不相等的实数根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，分别计算四个方程的根的判别式，再根据判别式的符号判断根的情况即可． 【详解】解：A.， 方程有两个不相等的实数根，符合题意； B. ， 方程有两个相等的实数根，不符合题意； C. ， 方程没有实数根，不符合题意； D. ， 方程有两个相等的实数根，不符合题意， 故选：A． 方法透视 考向解读 一元二次方程考点近年以考查一元二次方程的实际应用题为主，为每年必考点，考查形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题，常以增长率、销售利润、面积、动点等实际问题为背景，要会根据具体问题提取关键等量关系列出方程，并灵活利用配方法、公式法、因式分解法进行求解，并判断根的合理性。同时不可忽视根的判别式与根与系数的关系考点，通常以选择或填空题形式考查，难度不大，注意掌握结论与计算的准确性。 方法技能 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程（）根的情况由来确定。我们把叫做一元二次方程（）根的判别式，通常用符号“”来表示，即。 2.一元二次方程根的情况 （）有两个不相等的实数根 （）有两个相等的实数根 （）无实数根 （）有实数根 变式演练 【变式01】（2025·辽宁本溪·模拟预测）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 化为一般式为：， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 题型06 根与系数的关系 典例引领 【典例01】（2023·辽宁营口·中考真题）若关于x的方程的一个根是3，则此方程的另一个根是 ． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根． 【详解】设另一个根为， 根据题意：， 解得，， 即另一个根为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，在利用根与系数、来计算时，要弄清楚、、的意义． 方法透视 考向解读 一元二次方程考点近年以考查一元二次方程的实际应用题为主，为每年必考点，考查形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题，常以增长率、销售利润、面积、动点等实际问题为背景，要会根据具体问题提取关键等量关系列出方程，并灵活利用配方法、公式法、因式分解法进行求解，并判断根的合理性。同时不可忽视根的判别式与根与系数的关系考点，通常以选择或填空题形式考查，难度不大，注意掌握结论与计算的准确性。 方法技能 1.一元二次方程的根与系数的关系 若（）的两个根为，，则 ，以上称为韦达定理。 当一元二次方程的二次项系数为1时，它的一般形式为 . 设它的两根为， ， 这时有 ， 。 当常数项时，方程为，两根为，满足， 2.与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形 变式演练 【变式01】（2025·辽宁丹东·模拟预测）若a，b是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，求代数式的值，熟练掌握的两根满足是解题的关键． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 题型07 一元二次方程的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·辽宁·模拟预测）新能源汽车是指采用非常规车用燃料（如电能、氢能等）作为动力来源，或使用新型车载动力装置的汽车，其核心特点是通过先进技术实现节能减排，推动汽车行业的绿色转型．某品牌新能源汽车年的销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，年的销售量比年增加了万辆．若设从年到年该品牌新能源汽车销售量的年平均增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设从年到年该品牌新能源汽车销售量的年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设从年到年该品牌新能源汽车销售量的年平均增长率为， 由题意得，， 故选：． 方法透视 考向解读 一元二次方程考点近年以考查一元二次方程的实际应用题为主，为每年必考点，考查形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题，常以增长率、销售利润、面积、动点等实际问题为背景，要会根据具体问题提取关键等量关系列出方程，并灵活利用配方法、公式法、因式分解法进行求解，并判断根的合理性。同时不可忽视根的判别式与根与系数的关系考点，通常以选择或填空题形式考查，难度不大，注意掌握结论与计算的准确性。 方法技能 解题步骤： 1.审：仔细审题，明确题目中的已知量、未知量，找出关键的等量关系。 2.设：设未知数，有两种设元方式。 ①直接设元：问什么设什么； ②间接设元：当直接设元列方程复杂时，设与所求量相关的量为未知数。 3.列：根据等量关系列出一元二次方程，注意统一单位。 4.解：选择合适的方法(因式分解法、公式法等)解一元二次方程。 5.验：双重检验。 ①检验方程的根是否满足方程； ②检验根是否符合实际意义(如长度、人数、增长率不能为负，销量为正整数等)。 6.答：写出答案，带单位。 变式演练 【变式01】（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)该商品日销售额不能达到元，理由见解析。 【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 将，代入得 ， 解得， 与之间的函数表达式为； （2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下： 依题意得， 整理得， ∴， ∴该商品日销售额不能达到元． 题型08 一元二次方程与函数的综合应用 典例引领 【典例01】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价元 61 60 59 58 57 日销售量个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为_____． 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1） （2） 【分析】（1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系，故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而得出该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）根据“每日利润（销售单价进价）日销售量房租、水电费、人工费等运营成本”可得，解得，，进而可得当销售单价为65元时日销售量为20个，销售单价为50元时日销售量为50个，由于，再结合“为了尽快减少库存”，即可得出答案． 【详解】解：（1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系， 故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 将，代入，得： ， 解得：， 该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 故答案为：； （2）根据题意，得： ， 解得：，， 当销售单价为65元时，日销售量为20个， 当销售单价为50元时，日销售量为50个， ，且为了尽快减少库存， ， 答：该益智玩具的销售单价应定为50元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用（其他问题），一元二次方程的应用（营销问题），用表格表示变量间的关系，求一次函数解析式，解二元一次方程组，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式并根据题中的数量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． 方法透视 考向解读 一元二次方程考点近年以考查一元二次方程的实际应用题为主，为每年必考点，考查形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题，常以增长率、销售利润、面积、动点等实际问题为背景，要会根据具体问题提取关键等量关系列出方程，并灵活利用配方法、公式法、因式分解法进行求解，并判断根的合理性。同时不可忽视根的判别式与根与系数的关系考点，通常以选择或填空题形式考查，难度不大，注意掌握结论与计算的准确性。 方法技能 一元二次方程与函数综合题型，常常借助方程与函数思想，待定系数法等基本思想方法，根据题干中的数量关系，列出一元二次方程、函数解析式是解题的关键。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁辽阳·模拟预测）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） (1)设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 【答案】(1)， (2)自行车车棚的长为，宽为 (3)自行车车棚面积最大可达到，计算见解析 【分析】本题主要考查了用代数式表示式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，理解题意、找到等量关系、列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据已知条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可解答； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽．另外，一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过8米； （3）根据（1）得到的函数解析式，然后再根据函数解析式求得车棚的最大值即可解答． 【详解】（1）解：∵车棚宽度为， ∴， ∴． 由，解得：． ∴S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ． 答：自行车车棚的长为57m，宽为5m． （3）解：自行车车棚面积最大可达到，计算如下： ， ，， 当时，有最大值为：， 自行车车棚面积最大可达到． 题●型●训●练 1．（2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 2．（2025·甘肃·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据方程根的情况求参，根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据方程有两个实数根得到，然后解关于的不等式即可． 【详解】解：对于方程， 其根的判别式为：， ∵方程有两个实数根， ∴， 即， 解得， 故选：B． 3．（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，解题的关键是根据花卉带宽度相同的条件，正确表示出中间草坪的长和宽，再结合草坪面积与总面积的关系列出方程． 确定矩形总面积：矩形地面长、宽总面积为分析草坪的长和宽：花卉带宽度为且在四周，因此草坪的长需减去左右两侧花卉带宽度（共即草坪的宽需减去上下两侧花卉带宽度（共即列面积关系方程：草坪面积为且等于总面积的，由此确定方程形式． 【详解】解：根据题意，矩形地面的总面积为，草坪面积为总面积的，即草坪面积为． ∵花卉带宽度为，且分布在矩形四周， ∴中间草坪的长应等于原矩形的长减去左右两侧花卉带的总宽度（每侧宽即 草坪的宽应等于原矩形的宽减去上下两侧花卉带的总宽度（每侧宽即． 因此，草坪的面积可表示为结合面积关系可列方程： 故选：D． 4．（2025·黑龙江·中考真题）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的倍，故三月份销量为，据此列方程即可． 【详解】设每月增长率为x，则二月份销量为，三月份销量为二月份的倍，即． 根据题意，三月份销量为辆，可得方程为：． 故选B． 5．（2025·四川绵阳·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解的含义是解题关键． 将方程的根代入原方程中，得到关于a的方程，解这个关于a的方程即可． 【详解】解：将 代入方程 ，得 ，即 ， 解得 ． 故答案为：5． 6．（2025·山东东营·中考真题）若关于的方程无实根，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，分类讨论是解题关键． 分两种情况讨论：当时，方程为一元一次方程； 当时，方程是一元二次方程，分别求出的取值范围即可． 【详解】解：当且时，即时，原方程化为，这是一元一次方程，有实数根； 当且时，即时，原方程化为，此等式不成立，方程无解，但这种情况不属于一元二次方程的无实根情况； 当，即时，原方程是一元二次方程， 因为方程无实根，所以，即， 解得：； 综上，的取值范围是， 故答案为：． 7．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个根， ， ， 故答案为：． 8．（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先根据题意得到，，则将变形为，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：10． 9．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】(1)15米； (2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 10．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 11．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)3元 (3)售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； （2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. （3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 12．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为 (2)最少购进甲种商品40件 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； （2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $