第一章 数列（知识清单）高二数学北师大版选择性必修第二册

该高中数学数列单元知识清单系统梳理了数列的核心内容，涵盖数列概念、等差数列、等比数列及求和方法，构建了从基础定义到性质应用再到综合解题的递进式学习支架。 清单通过“易错点辨析+重难点分级+典例解析”呈现知识体系，如标注“等比数列求和忽略公比讨论”等5类易错点，细化21个重难点并配例题，培养学生数学思维与应用意识。设计“性质对比表”和“解题步骤模板”，助力不同学生高效掌握，教师可直接用于教学重难点突破。

第一章 数列 知识点一、数列的概念与简单表示法 1．数列的定义 一般地，把按照 排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 提醒：数列是特殊的函数，其自变量为正整数集N*或{1，2，…，n}． 2．数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数 无穷数列 项数 项与项间 的大小关 系 递增数列 an＋1 an 其中n∈N* 递减数列 an＋1 an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3．数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是 、 和 ． 4．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 5．数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用 来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 6．数列的前n项和 (1)表示：在数列{an}中，Sn＝ 叫做数列{an}的前n项和． (2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ 若a1代入n≥2时an的表达式中也成立，则不需要分段． 注：在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则 知识点二、等差数列 1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列． 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时， 叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝ ． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝ ． (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝． 3．等差数列与函数的关系 (1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列{an}的第n项an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是一次函数f (x)＝dx＋a1－d当x＝n时的函数值，一次项系数为公差d．若公差d＞0，则{an}为递增数列；若公差d＜0，则{an}为递减数列． (2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋d＝n2＋n可以看成二次函数f (x)＝x2＋x当x＝n时的函数值，常数项为0． 4.等差数列的常用性质 (1)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则 (m，n，p，q∈N*)． (2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (3)等差数列{an}的前n项和Sn满足：数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，且公差为 ． (4)若{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的． (5)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S偶－S奇＝ ，＝． (6)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则 ①S2n＋1＝ ；②S奇－S偶＝an＋1，＝． (7)若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和分别为Sn，Tn，则 ． 知识点三、等比数列 1．等比数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比都等于 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母q表示，定义的表达式为 ＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么 叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab． 提醒：①“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．②在等比数列中，奇数项同号，偶数项同号． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝ ＝amqn－m． (2)前n项和公式： Sn＝ 提醒：求等比数列的前n和时，若公比q不明确，需分类讨论． 3．等比数列的性质 (1)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ ＝． (2)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则}，{an·bn}，仍是等比数列． (3)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，q＝－1且n为偶数时除外． 注；1．等比数列的单调性 当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是递增数列； 当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是递减数列； 当q＝1时，{an}是常数列． 2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，且q≠0)． 知识点四、数列求和 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式： Sn＝＝ ． (2)等比数列的前n项和公式： Sn＝ 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n项和． 常见的拆项类型 ①分式型：＝＝， ＝ 等； ②指数型：＝＝等； ③根式型：＝)等； ④对数型：logm＝logman＋1－logman，m>0且m≠1． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可用错位相减法求解． (4)倒序相加法：如果一个数列满足与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么这个数列的前n项和可用倒序相加法求解． (5)并项求和法：一个数列的前n项和中，各项可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf (n)的数列求和，可采用并项求和法求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050． 提醒：无论用哪一种方法求和，最后可以用S1，S2进行验证． 注： 【易错点】01 由求忽略的检验 辨析：由求的公式是分段形式，必须先单独算，再验证是否满足的表达式。若直接用求通项，会漏掉的特殊情况，导致结果错误。 【典例1】（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）已知数列的前项和为，且，，则_______________. 【典例2】（2026·江西赣州·二模）设数列满足，则的前2026项和为（   ） A． B． C． D． 【易错点】02 等比数列求和忽略公比的讨论 辨析：等比数列前项和公式分与两种情况： 时，； 时，。 题目未明确时，必须分类讨论，直接用的公式会漏解或计算错误。 【典例1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且，则的公比为（   ） A． B．2 C． D．3 【典例2】（2026·湖北黄石·一模）已知等比数列的首项为1，前项和为，若，则（    ） A．1或2 B．1或4 C．2或4 D．4 【易错点】03 等比中项与等差中项概念混淆 辨析：等差中项：若成等差，则，任意两数都有唯一等差中项； 等比中项：若成等比，则，只有时才有等比中项，且有两个（互为相反数）。 是成等比的必要不充分条件，不能直接由判定等比。 【典例1】（2026·云南曲靖·一模）等比数列中，与的等差中项为80，若，则（    ） A． B． C．2 D．8 【典例2】（25-26高三下·安徽·月考）已知，若成等比数列，则（   ） A． B．2 C． D． 【易错点】04 等差数列性质误用 辨析：等差数列性质，前提是下标和相等，不能直接认为。 例：，正确应为时等式成立，如。 【典例1】（四川雅安市2026届高三第二次诊断性考试数学试题）记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A．100 B．95 C．50 D．15 【典例2】（25-26高二下·辽宁鞍山·月考）若数列为等差数列，且，则等于（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【易错点】05 裂项相消法忽略消项规律与剩余项 辨析：裂项相消的核心是通项拆分为两项之差，求和时中间项抵消，但首尾会剩余固定项。 常见错误： 1.裂项时忘记乘系数（如，实际相等；，需乘）； 2.抵消后漏写剩余的首项、末项，导致求和结果错误。 【典例1】（25-26高二下·广东江门·月考）已知数列前n项和为，且， (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【典例2】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）记为数列的前项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若，，成等比数列，令，且的前项和为，求证：． 重难点01 由an与Sn的关系求通项公式 1．已知Sn求an的三个步骤 (1)利用a1＝S1求出a1． (2)当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1求出an的表达式． (3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写，否则应写成分段的形式，即an＝ 2．Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． 方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 提醒：注意an＝Sn－Sn－1成立的条件是n≥2，转化后往往能构造等差、等比数列，或用累加、累乘等方法求解． 【例1】（2026·山西太原·二模）已知数列的前项和，若为正整数，则（    ） A．4052 B．2026 C． D． 【变式1-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）设数列的前n项和为，且对任意正整数n，点都在直线上，则的值是（   ） A． B．16 C． D．32 【变式1-2】（25-26高二下·浙江·开学考试）已知数列满足，若数列是递增数列，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二下·浙江·开学考试）已知数列的前n项和为，，，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 重难点02 由数列的递推关系求通项公式 由递推关系求数列的通项公式的常用方法 【例2】（25-26高三下·江西景德镇·月考）已知数列满足，则＝（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2027高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则数列的通项公式（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·山西运城·期末）已知数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 重难点03 数列的周期性 解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求解． 【例3】（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．3 【变式3-1】（25-26高二下·河南·月考）已知数列满足，则（   ） A．1 B．5 C． D． 【变式3-2】（25-26高二下·江西宜春·月考）在数列中，，，则（    ） A． B． C．0 D．2 【变式3-3】（25-26高二下·安徽阜阳·月考）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 重难点04 数列的单调性 判断数列单调性的两种方法 (1)作差(商)法． (2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去． 【例4】（2026高三·湖北·专题练习）已知数列的首项，且满足，则数列（ ） A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减 【变式4-1】（25-26高三下·江苏南通·月考）已知是等比数列，则“数列是递增数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-2】（25-26高二下·河南南阳·月考）在等比数列中，首项为，公比为q，命题A：数列为递减数列；命题B：数列首项，公比；则命题A是命题B的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知各项均为正数的数列满足，且.若，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A．是递减数列 B．是常数列 C． D． 重难点05 数列的最值 求数列中最大(小)项的两种方法 (1)根据数列的单调性求解． (2)利用不等式组求出n的值，进而求得an的最值． 【例5】（25-26高二下·辽宁鞍山·月考）已知数列满足：，，若，则数列的最大项为第（   ）项. A．5 B．6 C．7 D．8 【变式5-1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知数列满足，当时，，则数列的最大项为（    ） A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项 【变式5-2】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列满足，则数列的最小项是第（   ）项 A．5 B．6 C．7 D．8 【变式5-3】（25-26高二下·河南许昌·月考）已知数列的通项公式为，前n项和为，当取得最小值时，（   ） A．1 B．2 C．6 D．7 重难点06 等差数列基本量的运算 解决等差数列运算问题的思想方法 (1)方程思想：等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可通过列方程组达到“知三求二”． (2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解． 【例6】（25-26高二下·海南省直辖县级单位·月考）已知等差数列中，则（   ） A．15 B．14 C．16 D．12 【变式6-1】（2026·辽宁朝阳·一模）已知等差数列满足，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式6-2】（25-26高三下·重庆渝中·月考）若等差数列满足且，则数列的前12项和为（   ） A．48 B．64 C．80 D．112 【变式6-3】（25-26高三上·宁夏银川·月考）记等差数列的前n项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 重难点07 等差数列的判定与证明 判断数列{an}是等差数列的常用方法 (1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一个常数． (2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1． (3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)． (4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 【例7】（2026·广东梅州·模拟预测）已知数列的前项积为，且． (1)证明：是等差数列； (2)设，记数列的前项和为，求证． 【变式7-1】（2026·安徽池州·二模）已知是单调递增数列，记为数列的前n项和，且． (1)证明：是等差数列； (2)令，求． 【变式7-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）在数列中，． (1)求证：数列是等差数列； (2)令，数列的前n项和为，证明：． 【变式7-3】（20-21高二上·吉林·期中）已知数列的前n项和，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 重难点08 等差数列性质的应用 利用等差数列的性质解题的三个关注点 (1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般考虑应用项的性质，如利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分． (2)在Sn＝中，Sn与a1＋an可相互转化． (3)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m． 【例8】（25-26高二下·河南南阳·月考）已知为等差数列，，，则______． 【变式8-1】（25-26高二上·山西晋中·月考）等差数列中，为其前项的和．若，，则_______． 【变式8-2】（25-26高三下·陕西西安·开学考试）记等差数列的前项和为，则___________． 【变式8-3】（25-26高二下·陕西渭南·月考）设等差数列的前项和分别是，若，则___________． 重难点09 等差数列的前n项和及其最值 处理等差数列前n项和Sn的最值的两类观点 (1)函数观点：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象，利用求二次函数的最值的方法求解．特别提醒，n∈N*． (2)邻项变号观点： ①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值Sm； ②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值Sm． 【例9】（25-26高二上·湖北随州·期末）已知数列为等差数列，为其前项和，，，则________时，最小. 【变式9-1】（2026·天津河西·一模）已知等差数列的前n项和为，且．当取得最大值时n的值为k，使得成立的最大正整数n的值为m．则的值为（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 【变式9-2】（25-26高二上·浙江杭州·期末）设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式9-3】（2026·湖北恩施·二模）等差数列的前项和为，满足，则（    ） A． B． C． D．均为的最大值 重难点10 等比数列基本量的运算 等比数列基本量的运算的解题策略 (1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以通过列方程(组)达到“知三求二”． (2)解方程组时常常利用“作商”消元法． 提醒：运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意公比q的讨论(q＝1或q≠1)，否则会造成漏解或增解． 【例10】（25-26高二下·吉林长春·期中）已知等比数列中，，，则（   ） A．9 B．12 C． D． 【变式10-1】（25-26高二下·广东东莞·月考）已知在等比数列中，，则公比为（   ） A．3 B． C．4 D．-3 【变式10-2】（25-26高二下·广东佛山·月考）记为等比数列的前项和．若，则（ ） A．7 B． C． D． 【变式10-3】（2026·河北石家庄·一模）已知数列是等比数列，公比，前项和为，满足，且，则（    ） A． B．4 C． D．2 重难点11 等比数列的判定与证明 判定一个数列为等比数列的常见方法 【例11】（2026·湖北黄石·一模）已知数列满足. (1)设，证明是等比数列，并求的通项公式； (2)判断数列的单调性. 【变式11-1】（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）已知数列中，，，. (1)证明数列为等比数列，并求数列的前n项和； (2)记，数列的前n项和为，求证：. 【变式11-2】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在数列中，已知，. (1)求证数列是等比数列； (2)设，，记数列的前项和为，若对于恒成立，求的取值范围. 【变式11-3】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列的前项和为，且． (1)求证：数列为等比数列； (2)若对一切，不等式均成立，求实数的取值范围． 重难点12 等比数列性质的应用 应用等比数列性质的两个关注点 【例12】（25-26高二下·江西宜春·月考）已知递增的等比数列满足，，则的公比（    ） A．5 B．3 C． D． 【变式12-1】（25-26高二下·四川南充·月考）已知数列为正项等比数列，，则值为（    ） A．10 B．11 C．15 D．16 【变式12-2】（2026·广东湛江·二模）已知等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式12-3】（25-26高二下·山西太原·月考）设等比数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 重难点13 分组求和与并项求和 分组求和与并项求和的常见类型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和． (2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． (3)如果cn＝(－1)n·an，求{cn}的前n项和时，可采用并项求和法求解．对n分奇数、偶数讨论，建议先求n是偶数时Sn的值，当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋cn． 【例13】（25-26高二下·安徽·月考）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求数列的前项和． 【变式13-1】（25-26高二下·江苏南京·月考）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的值. 【变式13-2】（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）数列为等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为，已知. (1)求数列和的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 【变式13-3】（25-26高二下·广东佛山·月考）已知数列为等比数列，首项，且，数列通项公式是． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 重难点14 裂项相消法求和 裂项相消法求和的基本步骤 【例14】（2026·湖南·二模）已知为数列的前n项和，且． (1)求该数列的通项； (2)若，求数列的前n项和． 【变式14-1】（25-26高三下·河北衡水·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，求证：对于任意，都有． 【变式14-2】（25-26高二下·黑龙江辽宁·期中）已知等差数列中，，. (1)求数列的通项公式. (2)记数列的前项和为，证明. 【变式14-3】（25-26高二下·重庆·月考）递减等比数列满足，：等差数列的前项和为，且满足，． (1)求数列，的通项公式； (2)若，且数列为递增数列，求实数的取值范围； (3)若，求数列的前项和. 重难点15 错位相减法求和 错位相减法求和的具体步骤 【例15】（25-26高二下·重庆·月考）已知数列是等差数列，数列是公比不为1的等比数列，其中，且满足． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有． 【变式15-1】（25-26高二下·安徽·月考）已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． (3)若对任意，不等式恒成立，且，为常数．已知，求的最小值． 【变式15-2】（25-26高二下·湖南郴州·月考）记为等差数列的前n项和，且．记为数列的前n项和，且． (1)求数列和的通项公式； (2)数列的前n项和为，若对任意正整数n，都有恒成立，求实数的取值范围． 【变式15-3】（25-26高二下·江苏盐城·月考）已知数列的前项和为，且关于的方程，有两个相等的实数根． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和为； (3)在（2）的条件下，若对任意的恒成立，求实数的最大值． 重难点16 数列模型的应用 数列实际应用中的常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定且不为零的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第n项an与第n＋1项an＋1有递推关系，还是前n项和Sn与前n＋1项和Sn＋1之间有递推关系． 一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增加或依次减少要用等差数列，有的问题需通过转化得到等差或等比数列． 【例16】（25-26高二下·全国·课后作业）某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选种菜的学生，下星期一会有改选种菜；而选种菜的学生，下星期一会有改选种菜．用，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，则与的关系可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式16-1】（25-26高二下·全国·课后作业）某工厂购买一台机器价格为a万元，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一月，共付12次，若按月利率，每月复利一次，则满足（   ） A． B． C． D． 【变式16-2】（25-26高二下·全国·课堂例题）（变条件）在例中，若该企业还有两种技术改造的方案，丙方案：一次性贷款万元，第一年获利是贷款额的，以后每年比上一年增加的利润，丁方案：一次性贷款万元，第一年获利是贷款额的，以后每年都比上一年增加利润万元．两种方案使用期限都是年，到期一次性还本付息，两种方案的年利率均为，按复利计息．试比较两种方案，哪种方案净获利更多？（参考数据：） 【变式16-3】（2026·湖北·二模）“东数西算”是一项国家战略工程，旨在通过构建全国一体化算力网络体系，将东部算力需求有序引导到西部的资源优化配置策略．某人工智能公司有两种方式租赁算力方案可供选择，一种是仅根据单位算力支付费用，另一种是租用专用超级计算机，然后再根据单位算力支付费用，下表列出了该公司调查A、B、C三个公司租赁方案的整体费用最少的租赁方案，当他有算力需求时，最优方案所需费用为（   ） 公司 算力 租赁最少费用 A公司 120万元 B公司 180万元 C公司 220万元 A．240万元 B．260万元 C．280万元 D．300万元 重难点17 数列中的不等式证明 与数列有关的不等式证明问题的求解常用两种方法：一是放缩法；二是借助函数的单调性证明． (1)对于“和式”数列不等式，若能够直接求和，则考虑先求和，再放缩证明不等式；若不能求和，则可考虑先放缩后求和证明不等式．放缩时要研究通项，放缩是为了能化简． (2)常见的放缩技巧： ①＜＝； ②＜＜； ③2()＜＜2()； ④＜＜＜． 【例17】（2026·山西运城·一模）设正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式; (2)若，记数列的前n项和为，证明：． 【变式17-1】（吉林省G35 联合体2026届高三下学期二模数学试题）已知正项等比数列满足，且，，成等差数列，正项数列的前项和为，． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【变式17-2】（25-26高三下·重庆·月考）已知数列 满足 . (1)数列 能否是常数列，若能，求出其通项公式；若不能，请说明理由； (2)证明: . 【变式17-3】（2026·甘肃兰州·一模）已知数列中，，当时，为的展开式第3项的二项式系数. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，数列的前项和为，求证：. 重难点18 数列中的不等式恒成立 数列与不等式的恒成立的问题可借助数列的单调性或转化为函数的最值问题解答． 【例18】（25-26高三下·河北雄安·开学考试）已知数列的前项和，数列的前项和为，若对任意的恒成立，则整数的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式18-1】（2026·贵州安顺·一模）已知数列满足，．若对于任意，都有成立，则实数c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式18-2】（25-26高二上·安徽·期末）已知数列的前项和为，其中，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式18-3】（25-26高三上·湖南长沙·期末）已知数列的前项和为，且满足，，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重难点19 数列奇偶项问题 该递推数列属于数列奇偶项的问题，主要考查综合知识与探究问题能力，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差或公比等，特别注意分类讨论等思想在解题中的灵活运用． 【例19】（25-26高二下·四川自贡·月考）已知数列满足：，若，则的所有可能取值的和为（ ） A．62 B．169 C．170 D．190 【变式19-1】（25-26高二下·江西景德镇·月考）若正项数列满足，则称数列是的平方差数列.已知数列是的平方差数列，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若求数列的前项和. 【变式19-2】（25-26高二下·湖北·月考）已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，求． 【变式19-3】（25-26高二上·湖北武汉·期末）设是等差数列，其前项和，是正项等比数列，且. (1)求与的通项公式； (2)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，求数列的前项和. 重难点20 数列增减项问题 1．解决数列中增减项问题的关键是通过阅读理解题意，要弄清楚增加了(减少了)多少项，增加(减少)的项有什么特征． 2．两个等差(比)数列的公共项是等差(比)数列，且公差(比)是两等差(比)数列公差(比)的最小公倍数，一个等差与一个等比数列的公共项，则要通过其项数之间的关系来确定． 【例20】（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)在数列的任意相邻两项与（）之间，插入k个相同的数，组成一个新的数列，记数列的前n项和为，求． 【变式20-1】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列的首项，，．设，在与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前n项和，则________． 【变式20-2】（23-24高二上·福建福州·期末）已知正项数列的前项和为，且． (1)求； (2)若，从中删去中的项，按照原来的顺序构成新的数列，求的前100项和． 【变式20-3】（21-22高二下·广东肇庆·期中）已知数列的前项和为，且，数列为等差数列，，. (1)求数列，的通项公式； (2)数列是由数列的项删去数列的项后按从小到大的顺序排列构成的新数列，求数列的前30项和. 重难点21 数列新情境、新定义问题 对于新信息情境下的数列问题，在读懂题意的前提下，依据题目提供的信息，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决． 【例21】（25-26高二下·重庆·月考）定义为n个正数的“均倒数”．若数列的前n项的“均倒数”为，又，则＝（   ） A． B． C． D． 【变式21-1】（25-26高二下·湖北·月考）对于实数x，表示不小于x的最小整数，如．定义函数，当时，函数的值域为，记集合中的元素个数为，数列的前n项和为，则（   ） A． B． C． D． 【变式21-2】（25-26高三上·贵州安顺·期末）定义：数列的“间隔和”数列为．若则（   ） A．22 B．30 C．34 D．36 【变式21-3】（2026·广东·模拟预测）定义，我们称为维向量，其模长，维向量可构成维空间.在维空间中放置一个维球，记其半径为，体积为，则.记维向量，已知维球的直径，其体积为. (1)求； (2)证明：； (3)记为数列的前项和，证明：. 12 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数列 知识点一、数列的概念与简单表示法 1．数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 提醒：数列是特殊的函数，其自变量为正整数集N*或{1，2，…，n}． 2．数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间 的大小关 系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N* 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3．数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和函数解析式法． 4．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 5．数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 6．数列的前n项和 (1)表示：在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列{an}的前n项和． (2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ 提醒：若a1代入n≥2时an的表达式中也成立，则不需要分段． 注：在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则 知识点二、等差数列 1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列． 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d． (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝． 3．等差数列与函数的关系 (1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列{an}的第n项an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是一次函数f (x)＝dx＋a1－d当x＝n时的函数值，一次项系数为公差d．若公差d＞0，则{an}为递增数列；若公差d＜0，则{an}为递减数列． (2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋d＝n2＋n可以看成二次函数f (x)＝x2＋x当x＝n时的函数值，常数项为0． 4.等差数列的常用性质 (1)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (3)等差数列{an}的前n项和Sn满足：数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，且公差为m2d． (4)若{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的． (5)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S偶－S奇＝nd，＝． (6)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则 ①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②S奇－S偶＝an＋1，＝． (7)若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和分别为Sn，Tn，则＝． 知识点三、等比数列 1．等比数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab． 提醒：①“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．②在等比数列中，奇数项同号，偶数项同号． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn-1＝amqn－m． (2)前n项和公式： Sn＝ 提醒：求等比数列的前n项和时，若公比q不明确，需分类讨论． 3．等比数列的性质 (1)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝． (2)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则}，{an·bn}，仍是等比数列． (3)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，q＝－1且n为偶数时除外． 注；1．等比数列的单调性 当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是递增数列； 当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是递减数列； 当q＝1时，{an}是常数列． 2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，且q≠0)． 知识点四、数列求和 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式： Sn＝＝na1＋d． (2)等比数列的前n项和公式： Sn＝ 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n项和． 常见的拆项类型 ①分式型：＝＝， ＝ 等； ②指数型：＝＝等； ③根式型：＝)等； ④对数型：logm＝logman＋1－logman，m>0且m≠1． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可用错位相减法求解． (4)倒序相加法：如果一个数列满足与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么这个数列的前n项和可用倒序相加法求解． (5)并项求和法：一个数列的前n项和中，各项可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf (n)的数列求和，可采用并项求和法求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050． 提醒：无论用哪一种方法求和，最后可以用S1，S2进行验证． 注： 【易错点】01 由求忽略的检验 辨析：由求的公式是分段形式，必须先单独算，再验证是否满足的表达式。若直接用求通项，会漏掉的特殊情况，导致结果错误。 【典例1】（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）已知数列的前项和为，且，，则_______________. 【答案】 【分析】由条件易判断出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出其通项公式，再利用，即可求出的通项公式. 【详解】由题意知，由，可得， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，所以. 当且时，，又不满足该式， 所以. 【典例2】（2026·江西赣州·二模）设数列满足，则的前2026项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的通项公式，再求前项和为，最后代入计算即可. 【详解】当时，； 当时，；， 所以，即， 当时，不满足； 所以 所以的前项和为. 所以 【易错点】02 等比数列求和忽略公比的讨论 辨析：等比数列前项和公式分与两种情况： 时，； 时，。 题目未明确时，必须分类讨论，直接用的公式会漏解或计算错误。 【典例1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且，则的公比为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】设的公比为，若，则，. 又，所以，所以， 所以，所以，解得. 【典例2】（2026·湖北黄石·一模）已知等比数列的首项为1，前项和为，若，则（    ） A．1或2 B．1或4 C．2或4 D．4 【答案】B 【分析】根据等比数列的前n项和公式，分和两种情况计算可得. 【详解】设等比数列的公比为, 当公比时 等比数列前项和，因此，满足. 此时； 当公比时 等比数列前项和公式为，代入得： , 整理得，令，则,解得（对应舍去）或， 因此. 综上所述，或. 【易错点】03 等比中项与等差中项概念混淆 辨析：等差中项：若成等差，则，任意两数都有唯一等差中项； 等比中项：若成等比，则，只有时才有等比中项，且有两个（互为相反数）。 是成等比的必要不充分条件，不能直接由判定等比。 【典例1】（2026·云南曲靖·一模）等比数列中，与的等差中项为80，若，则（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】D 【详解】与的等差中项为80，则有，又，解得， 等比数列中，，所以. 【典例2】（25-26高三下·安徽·月考）已知，若成等比数列，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，， 则，即，得. 【易错点】04 等差数列性质误用 辨析：等差数列性质，前提是下标和相等，不能直接认为。 例：，正确应为时等式成立，如。 【典例1】（四川雅安市2026届高三第二次诊断性考试数学试题）记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A．100 B．95 C．50 D．15 【答案】A 【详解】在等差数列中，，解得，而，则， 因此数列的公差，首项， 所以. 【典例2】（25-26高二下·辽宁鞍山·月考）若数列为等差数列，且，则等于（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【详解】数列为等差数列，根据等差数列的性质(当时，)， 因为， 则，所以. 【易错点】05 裂项相消法忽略消项规律与剩余项 辨析：裂项相消的核心是通项拆分为两项之差，求和时中间项抵消，但首尾会剩余固定项。 常见错误： 1.裂项时忘记乘系数（如，实际相等；，需乘）； 2.抵消后漏写剩余的首项、末项，导致求和结果错误。 【典例1】（25-26高二下·广东江门·月考）已知数列前n项和为，且， (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以当时，， 两式作差得， 又符合上式，故的通项公式为. （2）由（1）知，， 则. 【典例2】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）记为数列的前项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若，，成等比数列，令，且的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用前项和与通项的关系化简，即可证明； （2）利用等比中项可求出首项，再通过裂项相消法可求和，问题即可得证. 【详解】（1）记为数列的前项和，已知， 则， 当时，， 两式相减可得， 化简可得， 由于，故，即为常数， 因此数列为等差数列； （2）由（1）知数列为等差数列，且公差为， 又，，成等比数列，根据等比中项和等差数列的通项公式可得： ，解得， 故， 故， 故 ， 因为， 所以，即. 重难点01 由an与Sn的关系求通项公式 1．已知Sn求an的三个步骤 (1)利用a1＝S1求出a1． (2)当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1求出an的表达式． (3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写，否则应写成分段的形式，即an＝ 2．Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． 方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 提醒：注意an＝Sn－Sn－1成立的条件是n≥2，转化后往往能构造等差、等比数列，或用累加、累乘等方法求解． 【例1】（2026·山西太原·二模）已知数列的前项和，若为正整数，则（    ） A．4052 B．2026 C． D． 【答案】A 【分析】先根据条件求解出的通项公式，然后表示出并结合即可求解出结果. 【详解】因为数列的前项和， 当时，， 当时，，符合的情况，所以， . 【变式1-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）设数列的前n项和为，且对任意正整数n，点都在直线上，则的值是（   ） A． B．16 C． D．32 【答案】C 【详解】解法1：因为点都在直线上， 所以①， 当时，②， ①-②得，，即，又， 所以． 解法2：因为点都在直线上， 所以①， 当时，②， ①-②得，，即， 当时，，即， 所以是一个首项和公比都为的等比数列． 所以． 【变式1-2】（25-26高二下·浙江·开学考试）已知数列满足，若数列是递增数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件形式设，则原式为其前项和，利用，即可求得的通项公式，验证首项后根据是递增数列，即可求得公差，即. 【详解】由， 等式两边同时除以可得， 不妨设，则其前项和， 则， 则， 所以， 当时，，适合上式，故， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 又因为数列是递增数列，所以，解得. 【变式1-3】（25-26高二下·浙江·开学考试）已知数列的前n项和为，，，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据整理得，令，进而证明数列为等比数列，再结合等比数列通项公式得，最后代入公式求解即可. 【详解】因为，， 所以，即， 等式两边同时除以得：，即， 令，则，， 所以，即数列为等比数列，公比为，首项为， 所以，即， 所以，即， 所以. 重难点02 由数列的递推关系求通项公式 由递推关系求数列的通项公式的常用方法 【例2】（25-26高三下·江西景德镇·月考）已知数列满足，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用累加法求通项公式，再利用裂项相消法求和. 【详解】， ，，，……，，， 这个式子相加得，， 得，，当时，，成立， 所以，， . 【变式2-1】（25-26高二上·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用累乘法求出数列的通项公式，再根据进行裂项相消法求和即得. 【详解】因，则 ，当时，符合题意，故， 则， 故. 故选：D. 【变式2-2】（2027高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则数列的通项公式（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将递推式两边同除以构造新数列，通过待定系数法转化为等比数列，求出新数列通项后得到原数列通项． 【详解】在递推公式的两边同时除以，得． 令，则，所以． 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，则，即， 所以． 故选：D． 【变式2-3】（25-26高二上·山西运城·期末）已知数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两边同时减去，再同时取倒数得到，从而得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出的通项公式，代入计算可得. 【详解】因为，，所以， 所以，即 又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以， 所以. 故选：B 重难点03 数列的周期性 解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求解． 【例3】（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】由题可知数列为周期数列，再根据周期性求即可． 【详解】，， ， 则数列为周期数列，周期为， 又， ． 【变式3-1】（25-26高二下·河南·月考）已知数列满足，则（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，推出数列的周期为3，由此求解即可. 【详解】因为， 所以，， ，， …… 所以数列为周期数列，周期为3， 又因为， 所以. 【变式3-2】（25-26高二下·江西宜春·月考）在数列中，，，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】根据递推关系，代数求解，可得数列的周期，即可得答案. 【详解】因为，，所以，， ，， 所以数列的周期为3，则. 【变式3-3】（25-26高二下·安徽阜阳·月考）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，可得，解得， 由，得，，，…， 所以数列是周期为4的周期数列， 所以，，所以. 重难点04 数列的单调性 判断数列单调性的两种方法 (1)作差(商)法． (2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去． 【例4】（2026高三·湖北·专题练习）已知数列的首项，且满足，则数列（ ） A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减 【答案】B 【分析】根据题意，得到，构造等比数列，求出，得出数列的通项公式，结合指数函数的性质，即可求解. 【详解】由，可得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即，可得， 根据指数函数单调性知，可得数列是单调递减数列. 【变式4-1】（25-26高三下·江苏南通·月考）已知是等比数列，则“数列是递增数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】因为是等比数列，所以可令，公比为，则，，，由，得， 解得或，当，时，总有，即， 当，，总有，即，因此，等比数列是递增数列， 若数列是递增数列，则必有，故“数列是递增数列”是“”的充分必要条件. 【变式4-2】（25-26高二下·河南南阳·月考）在等比数列中，首项为，公比为q，命题A：数列为递减数列；命题B：数列首项，公比；则命题A是命题B的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及等比数列的性质求解. 【详解】当，时，，所以， 即，所以数列为递减数列； 若数列为递减数列，不妨取，此时数列为：，是递减数列，但是不满足，公比. 综上可知，不能推出，,所以命题A是命题B的必要不充分条件. 【变式4-3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知各项均为正数的数列满足，且.若，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A．是递减数列 B．是常数列 C． D． 【答案】B 【详解】由题意，由，得， 解得或（舍去）， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，则， 因为，，所以是递增数列，故A错误； 因为，所以， 所以是常数列，故B正确； 而，即，显然不成立，故C错误； 因为，，所以， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 又，故D错误. 重难点05 数列的最值 求数列中最大(小)项的两种方法 (1)根据数列的单调性求解． (2)利用不等式组求出n的值，进而求得an的最值． 【例5】（25-26高二下·辽宁鞍山·月考）已知数列满足：，，若，则数列的最大项为第（   ）项. A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】将题目所给递推式变形为，利用累加法和裂项相消法求出，进而求出，最后利用不等式组法求出数列的最大项. 【详解】由可得， 当时， ， 当时，，，也满足，所以，， ， 由， 即， 解得， 又因为，所以，则数列的最大项为第8项. 【变式5-1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知数列满足，当时，，则数列的最大项为（    ） A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项 【答案】C 【分析】通过递推公式计算前几项，当时借助函数的单调性即可得最大项. 【详解】当时，由题意得，又，故； 当时，由题意得，又，故； 当时，， 因为函数在上是减函数， 故时，达到最大，故第4项为最大项． 【变式5-2】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列满足，则数列的最小项是第（   ）项 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】分析数列的单调性，确定数列中最小的项. 【详解】由； 由. 所以数列中，当时；当时， 所以数列中，最小. 即数列的最小项是第8项. 【变式5-3】（25-26高二下·河南许昌·月考）已知数列的通项公式为，前n项和为，当取得最小值时，（   ） A．1 B．2 C．6 D．7 【答案】C 【详解】依题意，， 当时，，数列单调递减，且， 当时，，数列单调递减， 因此，， 所以当取得最小值时，. 重难点06 等差数列基本量的运算 解决等差数列运算问题的思想方法 (1)方程思想：等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可通过列方程组达到“知三求二”． (2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解． 【例6】（25-26高二下·海南省直辖县级单位·月考）已知等差数列中，则（   ） A．15 B．14 C．16 D．12 【答案】B 【详解】因为数列为等差数列，设公差为d， 由题得，即，则. 【变式6-1】（2026·辽宁朝阳·一模）已知等差数列满足，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】记的公差为，由得. 故， 于是. 【变式6-2】（25-26高三下·重庆渝中·月考）若等差数列满足且，则数列的前12项和为（   ） A．48 B．64 C．80 D．112 【答案】C 【详解】设数列的公差为，则，得， 则， 当时；当时， 因为等差数列的前项和为， 前项和为， 则数列的前12项和为. 【变式6-3】（25-26高三上·宁夏银川·月考）记等差数列的前n项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由等差数列前项和性质可得，​， 因为，所以， 再根据等差数列中项性质：， 代入得，即， 又已知，设公差为，则，解得， 即等差数列的通项公式， 所以. 重难点07 等差数列的判定与证明 判断数列{an}是等差数列的常用方法 (1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一个常数． (2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1． (3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)． (4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 【例7】（2026·广东梅州·模拟预测）已知数列的前项积为，且． (1)证明：是等差数列； (2)设，记数列的前项和为，求证． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据前n项的积与通项公式的关系，结合题意证明即可. （2）根据（1）得到，再根据裂项相消法求，最后利用函数的单调性证明. 【详解】（1）由数列的前项积为，得， 故有，从而， 且，则，所以. 从而是首项为3，公差为2的等差数列. （2）由（1）知，， . 所以 ． 观察可知函数在上单调递增， 所以为递增数列，所以． 【变式7-1】（2026·安徽池州·二模）已知是单调递增数列，记为数列的前n项和，且． (1)证明：是等差数列； (2)令，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用与的关系，结合递增数列的特点，根据等差数列的定义可证； （2）分别求出数列的通项公式，利用错位相减求和法求得的结果. 【详解】（1）令，得，所以； 由题意得， 所以当时， ，即， 所以或 所以或. 因为数列是单调递增数列，所以当时，， 所以， 所以，，即是首项为，公差为的等差数列. （2）由（1）知，所以. 令 则① 两边同乘以2，得② ②-①，得 所以. 【变式7-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）在数列中，． (1)求证：数列是等差数列； (2)令，数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由递推公式得到，利用等差数列的定义进行证明； （2）根据（1）求出，，利用错位相减法求出，进行证明. 【详解】（1）由，可得，又因为，所以，所以是首项为1，公差为3的等差数列． （2）由（1）知，，所以， ，① ，② ①-②得， ，所以， 又，即． 【变式7-3】（20-21高二上·吉林·期中）已知数列的前n项和，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）当时，可得，当时，，即可推出，可得，即可求证数列是等差数列，求出的通项公式，进而可得数列的通项公式； （2）由（1）知，求出，利用错位相减法和分组求和法即可求解. 【详解】（1）由，得（）， 当时，（）， ∴，化为， ∵，∴， 即当时，， 令，可得，即． 又， ∴数列是首项和公差均为1的等差数列． 于是，∴． （2）由（1）知，∴， 故. 令， ∴， ∴， ∴，∴. 重难点08 等差数列性质的应用 利用等差数列的性质解题的三个关注点 (1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般考虑应用项的性质，如利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分． (2)在Sn＝中，Sn与a1＋an可相互转化． (3)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m． 【例8】（25-26高二下·河南南阳·月考）已知为等差数列，，，则______． 【答案】 【详解】在等差数列中，由，得，解得 由，得，解得，公差， 所以. 【变式8-1】（25-26高二上·山西晋中·月考）等差数列中，为其前项的和．若，，则_______． 【答案】 【分析】利用等差数列的性质也成等差数列即可求得. 【详解】由等差数列的性质可知，数列成等差数列， 且公差， ∴，即， 则，则. 故答案为：72. 【变式8-2】（25-26高三下·陕西西安·开学考试）记等差数列的前项和为，则___________． 【答案】 【分析】借助等差数列定义及求和公式可得也为等差数列，求出公差即可得解. 【详解】记等差数列的公差为，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得， 故. 【变式8-3】（25-26高二下·陕西渭南·月考）设等差数列的前项和分别是，若，则___________． 【答案】/ 【分析】利用等差数列前项和公式、等差数列下标性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 重难点09 等差数列的前n项和及其最值 处理等差数列前n项和Sn的最值的两类观点 (1)函数观点：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象，利用求二次函数的最值的方法求解．特别提醒，n∈N*． (2)邻项变号观点： ①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值Sm； ②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值Sm． 【例9】（25-26高二上·湖北随州·期末）已知数列为等差数列，为其前项和，，，则________时，最小. 【答案】8或9 【分析】由题设条件列方程组求出等差数列的首项和公差，然后写出其前项和，由二次函数的对称轴可求得最小值时的。 【详解】设等差数列的公差为，首项为， 由题知，，解得， 故，为单调递增的等差数列， ，的对称轴为， 但，由二次函数的性质，或时，最小. 故答案为：8或9 【变式9-1】（2026·天津河西·一模）已知等差数列的前n项和为，且．当取得最大值时n的值为k，使得成立的最大正整数n的值为m．则的值为（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【分析】由可知，结合等差数列的通项公式及前n项和公式确定，即可得. 【详解】因为，所以， 令数列公差为，所以， 所以是单调递减数列，且，则， 所以，则取得最大值时对应，即， 因为，， 且，在开口向下的抛物线上， 所以成立的最大，即，故. 【变式9-2】（25-26高二上·浙江杭州·期末）设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【详解】由，则，，则， 因为是等差数列，则，即是递减数列， 又，， 则满足的正整数的值为14. 【变式9-3】（2026·湖北恩施·二模）等差数列的前项和为，满足，则（    ） A． B． C． D．均为的最大值 【答案】C 【分析】根据条件可得，，根据等差数列的求和公式，分析即可得答案. 【详解】由题意， 所以．故C正确． 无法判断的正负，故A、B、D错误. 重难点10 等比数列基本量的运算 等比数列基本量的运算的解题策略 (1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以通过列方程(组)达到“知三求二”． (2)解方程组时常常利用“作商”消元法． 提醒：运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意公比q的讨论(q＝1或q≠1)，否则会造成漏解或增解． 【例10】（25-26高二下·吉林长春·期中）已知等比数列中，，，则（   ） A．9 B．12 C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列性质即可求解. 【详解】因为数列为等比数列，所以是与的等比中项， 那么，解得. 【变式10-1】（25-26高二下·广东东莞·月考）已知在等比数列中，，则公比为（   ） A．3 B． C．4 D．-3 【答案】A 【详解】因为在等比数列中，， 则，所以，解得： 【变式10-2】（25-26高二下·广东佛山·月考）记为等比数列的前项和．若，则（ ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求出的值，从而可得，再代入，即可得答案. 【详解】设等比数列的公比为， 由，可得：， 解得， 所以， 因此， 所以. 【变式10-3】（2026·河北石家庄·一模）已知数列是等比数列，公比，前项和为，满足，且，则（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】由前项和的定义及等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为，， 所以， 即， 解得或， 又因为，所以. 重难点11 等比数列的判定与证明 判定一个数列为等比数列的常见方法 【例11】（2026·湖北黄石·一模）已知数列满足. (1)设，证明是等比数列，并求的通项公式； (2)判断数列的单调性. 【答案】(1)证明见解析， (2)递增数列 【分析】（1）先得的表达式，即可得求解，根据等比数列的通项求解， （2）代入的通项，进而利用作差法，即可判断单调性. 【详解】（1）由，得： ， 故，即， 又， 故是以为首项，为公比的等比数列，且. （2）由，解得 ， 即，故数列为递增数列. 【变式11-1】（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）已知数列中，，，. (1)证明数列为等比数列，并求数列的前n项和； (2)记，数列的前n项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析，； (2)证明见解析. 【分析】（1）对等号两边同时取倒数，再变形即可证明为等比数列，再求出通项公式结合错位相减法即可得； （2）通过通项公式得的通项公式，进而可得的通项公式，求和得到表达式后通过放缩，将其转化为一个等比数列的前n项和，即可证明. 【详解】（1）因为数列中， ，， 两边同时取倒数，可得，， 两边同时减去，可得，即， 因为，所以，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列； 所以，所以， ① 所以② 两式相减可得 . 所以. （2）因为，所以， 所以，所以， 因此， 所以， 令， 当时，； 当时，；随着的增大，逐渐变小，逐渐增大， 因为，所以，即，所以，所以. 【变式11-2】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在数列中，已知，. (1)求证数列是等比数列； (2)设，，记数列的前项和为，若对于恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）可得 故 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）可知， 由单调递增，可知， 故，解得， 即的取值范围为. 【变式11-3】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列的前项和为，且． (1)求证：数列为等比数列； (2)若对一切，不等式均成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据与的关系，结合作差法得到，变形可得，根据等比数列的概念证明即可. （2）结合（1）对不等式进行变形得到，求的最大值即可求解. 【详解】（1）已知，当时，. 则， 所以，即. 当时，， 则，，满足. 因此，数列是以3为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）得， 故不等式可化为，即. 设，，故只需即可. ， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，，所以，即. 因此，在时取得最大值为， 故实数的取值范围为. 重难点12 等比数列性质的应用 应用等比数列性质的两个关注点 【例12】（25-26高二下·江西宜春·月考）已知递增的等比数列满足，，则的公比（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质，可得，根据条件，求出的值，计算求解，即可得答案. 【详解】因为为等比数列，所以， 又，联立解得或， 又单调递增，则，所以， 则，解得. 【变式12-1】（25-26高二下·四川南充·月考）已知数列为正项等比数列，，则值为（    ） A．10 B．11 C．15 D．16 【答案】B 【详解】数列为正项等比数列，由等比数列性质得 ， 已知，故，又，得. . 【变式12-2】（2026·广东湛江·二模）已知等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由等比数列的性质得. 由于的各项均为正数，所以. 【变式12-3】（25-26高二下·山西太原·月考）设等比数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：结合已知条件利用等比数列前n项和的基本量运算求解即可； 解法二：利用等比数列前n项和的性质求解即可. 【详解】解法一：因为等比数列的前n项和为，， 则公比，否则，，，不符题意； 所以，解得， 所以． 所以． 解法二：由，不妨设，，而，，也成等比数列， 则，即， 求得，故，所以． 重难点13 分组求和与并项求和 分组求和与并项求和的常见类型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和． (2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． (3)如果cn＝(－1)n·an，求{cn}的前n项和时，可采用并项求和法求解．对n分奇数、偶数讨论，建议先求n是偶数时Sn的值，当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋cn． 【例13】（25-26高二下·安徽·月考）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设等差数列的公差为，进而根据已知条件列方程求解即可； （2）结合（1）得，进而根据裂项求和法求解即可； （3）结合（1）得，进而根据每项的符号进行讨论求解即可． 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，， 所以，化简得，解得， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）知，得， 所以 ． 所以的前n项和． （3）由（1）知，得 令，解得 ①当时，，故， 此时是首项为9，公差为的等差数列， 得到， ②当时，，故， 先求前五项和， 从第6项起，是首项，公差为2的等差数列，项数为， ， 综上所述，的前n项和． 【变式13-1】（25-26高二下·江苏南京·月考）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式和求和公式计算即可得解； （2）结合并项求和法分奇偶讨论，再分奇偶计算即可得. 【详解】（1）设数列的公差为，则，即， 由，则，解得，则， 故； （2），则， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 由，则当为奇数时，有，解得， 当为偶数时，有，解得， 综上可得，或. 【变式13-2】（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）数列为等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为，已知. (1)求数列和的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 【答案】(1) ，或. (2) 【分析】（1）分别设出的公差、公比，再根据通项公式求解即可. （2）根据（1）问的结果以及等比、等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为. 则，得. 又，则，得， 代入，得，因此. 设等比数列的首项为，公比为. 由，，所以， 两式相减得，联立得，解得或. 若，代入得， 因此. 若，则，因此. 综上，，或. （2）因为，所以. 由的定义，前项中包含个奇数项和个偶数项，分组求和： 奇数项和（），该数列是首项为，公差为的等差数列， 末项为，所以和为. 偶数项和（），该数列是首项为，公比为的等比数列，共项， 所以和为. 因此，整理得. 【变式13-3】（25-26高二下·广东佛山·月考）已知数列为等比数列，首项，且，数列通项公式是． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列性质可求得公比为2，即可求得其通项公式； （2）求出的表达式，再利用裂项相消以及等比数列前n项和公式计算可得结果. 【详解】（1）利用等比数列性质由可得，解得； 所以数列的公比为，可得， 因此数列的通项公式为 （2）由可得； 所以 重难点14 裂项相消法求和 裂项相消法求和的基本步骤 【例14】（2026·湖南·二模）已知为数列的前n项和，且． (1)求该数列的通项； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用前n项和与通项关系即可求解； （2）先利用对数运算性质化简，然后利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）当时， ，； 当时,,所以， 整理可得， 又,解得，满足， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故． （2）因为，所以， 所以 ． 【变式14-1】（25-26高三下·河北衡水·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，求证：对于任意，都有． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用得到，进而可知是以为首项，为公比的等比数列，求出从而求出答案； （2）利用分组求和法求出，从而得到，利用放缩法即可证明. 【详解】（1）当时，由得， 所以，即， 当时，，所以，所以，故， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. （2） ， 所以， 当时，，不等式成立， 当时， ， 综上. 【变式14-2】（25-26高二下·黑龙江辽宁·期中）已知等差数列中，，. (1)求数列的通项公式. (2)记数列的前项和为，证明. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求得数列的通项公式； （2）求出，可求得，利用裂项求和法可证得结论成立. 【详解】（1）（1）解：设等差数列的公差为， 由可得，解得， . （2）（2）解：由（1）可得， 所以，， 因此，. 【变式14-3】（25-26高二下·重庆·月考）递减等比数列满足，：等差数列的前项和为，且满足，． (1)求数列，的通项公式； (2)若，且数列为递增数列，求实数的取值范围； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据等差和等比数列通项与求和公式直接构造方程公比和公差，进而求得结果； （2）根据数列单调性定义将问题转化为恒成立问题，采用分离变量法可求得结果； （3）由，采用裂项相消法可求得结果. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 为递减数列，，； 由得：，解得：（舍）或， ； 设等差数列的公差为，则，解得：， . （2）由（1）得：，， 为递增数列，恒成立， 即，， ，当时，取得最小值，， 即实数的取值范围为. （3）由（1）得：， . 重难点15 错位相减法求和 错位相减法求和的具体步骤 【例15】（25-26高二下·重庆·月考）已知数列是等差数列，数列是公比不为1的等比数列，其中，且满足． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】（1）利用等差数列，等比数列的通项公式可得到结果； （2）利用错位相减法可解； （3）数列的前项和可利用裂项相消，然后用放缩可证. 【详解】（1）解：设的公差为，的公比为，则，. 又，， ，解得或（舍去）， 所以，； （2）解：由（1）知， ， ， ， ； （3）证明：， ， ， 因为，易知随着的增大而增大， 所以，， 所以. 【变式15-1】（25-26高二下·安徽·月考）已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． (3)若对任意，不等式恒成立，且，为常数．已知，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据与的关系易得，需要检验首项是否符合； （2）利用错位相减法求和即得； （3）将代入并化简不等式，利用求解即可． 【详解】（1）当时，， 当时，， 显然也满足， 所以； （2）由（1）知， ①， ②， ①②得， ， 故． （3）把代入， 所以等价于，即， 对任意恒成立，所以， 设，显然递减， 当时，取最大值， 所以，的最小值． 【变式15-2】（25-26高二下·湖南郴州·月考）记为等差数列的前n项和，且．记为数列的前n项和，且． (1)求数列和的通项公式； (2)数列的前n项和为，若对任意正整数n，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）设等差数列的公差为d，根据已知解出基本量，进而得，利用即可求； （2）利用错位相减法求出，进而分离参数求解取值范围即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由，得，整理得， 由，得，即，即， 解得，，则， 当时，由，得， 当时，由，得，， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以； （2）由（1）知，， 而，① 且，② ①②得， ，则， 因为，，所以， 因为对任意正整数，都有恒成立，所以， 所以实数的取值范围为． 【变式15-3】（25-26高二下·江苏盐城·月考）已知数列的前项和为，且关于的方程，有两个相等的实数根． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和为； (3)在（2）的条件下，若对任意的恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）方程有两个相等实根，即，可得，利用与的关系式即可求解； （2）由（1）知，得，利用错位相减法计算即可得； （3）由对任意的恒成立，得对任意的恒成立，即，求出最小值即可求解. 【详解】（1）方程有两个相等的实数根， 则，即， 当时，， 当时，，符合，； （2）由（1）知，， ①， ②， ①②得， 即， 整理得：； （3）对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 故， 又单调递增，单调递增， 单调递增， 故， 则，所以实数的最大值为. 重难点16 数列模型的应用 数列实际应用中的常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定且不为零的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第n项an与第n＋1项an＋1有递推关系，还是前n项和Sn与前n＋1项和Sn＋1之间有递推关系． 一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增加或依次减少要用等差数列，有的问题需通过转化得到等差或等比数列． 【例16】（25-26高二下·全国·课后作业）某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选种菜的学生，下星期一会有改选种菜；而选种菜的学生，下星期一会有改选种菜．用，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，则与的关系可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，消去，得. 【变式16-1】（25-26高二下·全国·课后作业）某工厂购买一台机器价格为a万元，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一月，共付12次，若按月利率，每月复利一次，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等比数列及前项和的实际意义进行求解． 【详解】， ． ． 又显然，即． 故选：D 【变式16-2】（25-26高二下·全国·课堂例题）（变条件）在例中，若该企业还有两种技术改造的方案，丙方案：一次性贷款万元，第一年获利是贷款额的，以后每年比上一年增加的利润，丁方案：一次性贷款万元，第一年获利是贷款额的，以后每年都比上一年增加利润万元．两种方案使用期限都是年，到期一次性还本付息，两种方案的年利率均为，按复利计息．试比较两种方案，哪种方案净获利更多？（参考数据：） 【答案】丙方案净获利更多 【分析】结合等差数列和等比数列的前项和公式，即可求出收入，进而判断得出结论即可. 【详解】丙方案，由题意知，每年的利润成等比数列，， 公比， 收入（万元）， 净获利（万元）． 丁方案，由题意，每年的利润成等差数列，，公差为， 收入（万元）， 净获利（万元）． 所以丙方案净获利更多． 【变式16-3】（2026·湖北·二模）“东数西算”是一项国家战略工程，旨在通过构建全国一体化算力网络体系，将东部算力需求有序引导到西部的资源优化配置策略．某人工智能公司有两种方式租赁算力方案可供选择，一种是仅根据单位算力支付费用，另一种是租用专用超级计算机，然后再根据单位算力支付费用，下表列出了该公司调查A、B、C三个公司租赁方案的整体费用最少的租赁方案，当他有算力需求时，最优方案所需费用为（   ） 公司 算力 租赁最少费用 A公司 120万元 B公司 180万元 C公司 220万元 A．240万元 B．260万元 C．280万元 D．300万元 【答案】B 【分析】设相关参数，根据题意分析整体费用最少的租赁方案的可能组合，可得，，，运算求解即可. 【详解】设方案一，单位算力费用为万元，方案二，单位算力费用为万元，租用一台超级计算机费用t万元 运算量付费 租赁方式付费 租赁最少费用 A公司 120万元 B公司 180万元 C公司 220万元 由于A、B、C三个公司租赁方案的整体费用最少， 根据数据计算量支付费用分别为，，成等差数列，与租赁最少费用120万元，180万元，220万元矛盾， 租用超级计算机分别为，，也成等差数列，与租赁最少费用120万元，180万元，220万元矛盾， 则必有某公司是根据数据计算量支付费用的． 若根据数据计算量支付费用的是B公司则， 则与A公司租赁最少费用120万元矛盾； 若根据数据计算量支付费用的是C公司则， 则与A公司租赁最少费用120万元矛盾； 故根据数据计算量支付费用的是A公司，租用超级计算机的是B公司和C公司， 则，，， 解得：，，， 若某公司有算力需求时，最优方案需费用为万， 故选：B． 重难点17 数列中的不等式证明 与数列有关的不等式证明问题的求解常用两种方法：一是放缩法；二是借助函数的单调性证明． (1)对于“和式”数列不等式，若能够直接求和，则考虑先求和，再放缩证明不等式；若不能求和，则可考虑先放缩后求和证明不等式．放缩时要研究通项，放缩是为了能化简． (2)常见的放缩技巧： ①＜＝； ②＜＜； ③2()＜＜2()； ④＜＜＜． 【例17】（2026·山西运城·一模）设正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式; (2)若，记数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果； （2）根据（1）中所求，应用放缩及等比数列的前n项和公式求得，即可证明. 【详解】（1）依题意，当时，，，则； 当时，，，两式相减， 整理可得，又为正项数列，故， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. （2）证明：由（1）可知，所以，显然， 当，则，即， 此时， 综上，成立. 【变式17-1】（吉林省G35 联合体2026届高三下学期二模数学试题）已知正项等比数列满足，且，，成等差数列，正项数列的前项和为，． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由等差中项的性质结合等比数列的通项公式即可求解； （2）利用结合条件与数列放缩化简可得. 【详解】（1）设数列的公比为（）. 因为，，成等差数列，所以， 即，解得或（舍去）. 所以. （2）由，得， 两式相减，得，所以， 则. 【变式17-2】（25-26高三下·重庆·月考）已知数列 满足 . (1)数列 能否是常数列，若能，求出其通项公式；若不能，请说明理由； (2)证明: . 【答案】(1)当时，此时为常数列且. (2)证明见解析 【分析】（1）根据可求的值，从而得到相应的常数列及对应的通项； （2）根据题设中的递推关系和分子有理化可证题设中的不等式. 【详解】（1）若为常数列，则，其中， 故，故（舍）或， 而当时，，此时为常数列且. （2）因为，所以， 又因为，故，而，故， 所以，所以， 又，所以. 【变式17-3】（2026·甘肃兰州·一模）已知数列中，，当时，为的展开式第3项的二项式系数. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由二项式定理写出数列的通项公式； （2）应用裂项相消法求，结合单调性证明结论. 【详解】（1）由题意，时为的展开式第3项的二项式系数， 所以，且，故； （2）由（1）， 当时，， 因为满足上式，所以对恒成立， 易知在上单调递增， ，，所以. 重难点18 数列中的不等式恒成立 数列与不等式的恒成立的问题可借助数列的单调性或转化为函数的最值问题解答． 【例18】（25-26高三下·河北雄安·开学考试）已知数列的前项和，数列的前项和为，若对任意的恒成立，则整数的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由与的关系，求得通项公式，再通过放缩，裂项求和即可求解. 【详解】因为， 当时，， 当时，， 所以， 因为满足上式， 所以， 所以， 所以，又， 所以， 所以.又， 故当对任意的恒成立时，可得， 所以整数的最小值为4. 【变式18-1】（2026·贵州安顺·一模）已知数列满足，．若对于任意，都有成立，则实数c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因，，且对于任意，都有成立， 则，可得， 由可得，即得，即. 又由及可得，则， 易知为递增数列，则，且， 因函数在上为增函数，则， 由题意可知数列单调递增且有上界2，故极限存在，设，则. 对取极限得，即. 函数在上单调递增，故，解得， 故实数c的取值范围是. 【变式18-2】（25-26高二上·安徽·期末）已知数列的前项和为，其中，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列的递推公式求出，进而得到，再分析的取值范围来确定的范围. 【详解】由可得：，即， 因为，所以， 所以数列是以2为首项，公比为2的等比数列， 则，所以， 又因为，将代入可得： ， 当为偶数时，， 所以时，取得最大值， 当为奇数时，， 所以有最大值，即， 所以的取值范围为. 故选：B. 【变式18-3】（25-26高三上·湖南长沙·期末）已知数列的前项和为，且满足，，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据即可得到，从而得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出，再由作差法说明的单调性，即可求出，从而得解. 【详解】已知数列的前项和为，且满足，， 则当时，，整理得， 所以，又当时，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以， 当时，，则， 当时，，所以， 综上可得：， 若对任意恒成立，则，故实数的取值范围是. 故选：A 重难点19 数列奇偶项问题 该递推数列属于数列奇偶项的问题，主要考查综合知识与探究问题能力，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差或公比等，特别注意分类讨论等思想在解题中的灵活运用． 【例19】（25-26高二下·四川自贡·月考）已知数列满足：，若，则的所有可能取值的和为（ ） A．62 B．169 C．170 D．190 【答案】D 【分析】利用递推公式，依次令即可求出答案. 【详解】因为， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得或； 当时，，解得或； 当时，，解得或或； 当时，，解得或或或； 当时，，解得或或或或或； 所以的所有可能取值为， 它们的和为. 【变式19-1】（25-26高二下·江西景德镇·月考）若正项数列满足，则称数列是的平方差数列.已知数列是的平方差数列，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若求数列的前项和. 【答案】(1), (2) (3) 【分析】（1）将变形后可得，据此可求的通项，再结合累加法可求的通项； （2）利用分组求和法可求； （3）利用错位相减法可求. 【详解】（1）因为，故， 故，所以为常数列， 而，故，故即. 故，所以， 由累加法可得，而， 故，而，故. （2）, 当为偶数时，. 当为奇数时，. 故. （3）当为奇数时，，当为偶数时，， 而， 令， 则， 故， 故 ， 故. 而，则， 故， 故， 故. 【变式19-2】（25-26高二下·湖北·月考）已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用计算求解； （2）应用分组求和及等差数列、等比数列求和公式计算求解. 【详解】（1）当时，； 当时，，则． 经检验，当时也满足该式．综上， （2）由题意知， 数列的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列，分组求和可得 ． 【变式19-3】（25-26高二上·湖北武汉·期末）设是等差数列，其前项和，是正项等比数列，且. (1)求与的通项公式； (2)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式列式求解即可； （2）由（1）得恒成立即，即求的最大值，换元令，利用对勾函数的性质求最大值即可； （3）按为奇数和偶数分组求和，当为奇数时利用错位相减，当为偶数时利用裂项相消即可. 【详解】（1）由题意设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由可得，又，所以，解得， 由可得，又，所以，解得， 所以，即. （2）由与恒成立， 可得恒成立， 整理得恒成立，即求的最大值， 设，令， 则， 由对勾函数的性质可知在处取得最小值， 因为，所以当时取得最小值，此时有最大值， 所以. （3）当为奇数时，， 记，则有①， ② ①②得： ， 所以， 当为偶数时，， 记， 则 所以，即， 所以. 重难点20 数列增减项问题 1．解决数列中增减项问题的关键是通过阅读理解题意，要弄清楚增加了(减少了)多少项，增加(减少)的项有什么特征． 2．两个等差(比)数列的公共项是等差(比)数列，且公差(比)是两等差(比)数列公差(比)的最小公倍数，一个等差与一个等比数列的公共项，则要通过其项数之间的关系来确定． 【例20】（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)在数列的任意相邻两项与（）之间，插入k个相同的数，组成一个新的数列，记数列的前n项和为，求． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【分析】（1）应用等差数列定义证明，再应用等差数列通项公式计算求解； （2）应用错位相减法计算求解； （3）应用等差数列计算求和再应用分组求和计算求解. 【详解】（1）由，则，又， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，则， 所以． （2）由， 则， 所以， 所以． （3）数列中在之前共有项，所以， 当时，，当时，，所以 ． 【变式20-1】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列的首项，，．设，在与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前n项和，则________． 【答案】1457 【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式，再逐个项判断间3的个数，进而求出. 【详解】由，，得，又， 则， 因此数列是首项为4，公比为4的等比数列，， 在之间有2个3，之间有个3， 之间有个3，之间有个3，后面还需1个3， 因此数列的前35项包含及它们之间插入的个3， 第36项为3，故前36项中共有31个3， 所以. 【变式20-2】（23-24高二上·福建福州·期末）已知正项数列的前项和为，且． (1)求； (2)若，从中删去中的项，按照原来的顺序构成新的数列，求的前100项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用累加法求得，进而求得. （2）判断出与相同的项，再根据等差数列的前项和公式求得. 【详解】（1）依题意， 所以 ， 由于，所以. 而符合，故. （2）由（1）得，， 是单调递增数列， 又因为是奇数列，，而， 所以数列的前项中有数列的项，即， 所以. 【变式20-3】（21-22高二下·广东肇庆·期中）已知数列的前项和为，且，数列为等差数列，，. (1)求数列，的通项公式； (2)数列是由数列的项删去数列的项后按从小到大的顺序排列构成的新数列，求数列的前30项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由，得到，且，求得，再由题意，求得数列的公差为，进而求得数列，的通项公式； （2）根据题意，得到数列的前30项为数列的前36项的和去掉数列的前6项所得的项，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）解：由数列的前项和为，且， 当时，，解得， 当时，，可得， 所以，即，所以， 设数列的公差为， 由，可得，解得，所以. 所以数列，的通项公式分别为，. （2）解：因为数列是由数列的项删去数列的项后按从小到大的顺序排列构成的新数列，可得数列的前30项为数列的前36项的和去掉数列的前6项所得的项， 所以， 所以数列的前30项和为. 重难点21 数列新情境、新定义问题 对于新信息情境下的数列问题，在读懂题意的前提下，依据题目提供的信息，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决． 【例21】（25-26高二下·重庆·月考）定义为n个正数的“均倒数”．若数列的前n项的“均倒数”为，又，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“均倒数”定义求出后，代入求出的通项公式，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】由“均倒数”定义，得：， 前项和， 整理得： 当时，， 代入得： ：，满足， 因此对所有，成立； 由，代入得：， ， . 【变式21-1】（25-26高二下·湖北·月考）对于实数x，表示不小于x的最小整数，如．定义函数，当时，函数的值域为，记集合中的元素个数为，数列的前n项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从数列的递推关系出发，研究与的关系，即函数在与时值域的个数差别，重点关注差别区间，进而可得，结合累加法与裂项相消即可求解. 【详解】当， 根据函数定义，应含有个整数元素，即， 又， 由累加法可得， 则，所以， 则． 【变式21-2】（25-26高三上·贵州安顺·期末）定义：数列的“间隔和”数列为．若则（   ） A．22 B．30 C．34 D．36 【答案】C 【分析】根据数列的通项公式求出相邻两项的差值，再根据“间隔和”数列的定义计算. 【详解】当时，，由，则， 当时，，则， 所以， 所以， 故选：C 【变式21-3】（2026·广东·模拟预测）定义，我们称为维向量，其模长，维向量可构成维空间.在维空间中放置一个维球，记其半径为，体积为，则.记维向量，已知维球的直径，其体积为. (1)求； (2)证明：； (3)记为数列的前项和，证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意求出维球的直径，利用公式代入计算即可； （2）将，代入公式进行化简，再对问题进行证明； （3）对通项公式进行化简，再结合错位相减法求和计算即可. 【详解】（1）显然，于是， 故， . （2）注意到，， 于是， ， 可得. （3）注意到 ， 设的前项和为， ， ， 两式相减得； 于是. 12 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $