第一章 数列（知识归纳与题型突破，4考点7题型）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（北师大版2019选择性必修第二册）

第一章 数列（A考点梳理卷） 姓名______ 班级______ 考号______ 01 考点归纳 考点一、数列的概念 考点二、等差数列 考点三、等比数列 考点四、数列求和 02 知识速记 1、 数列的概念 1．数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定次序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 通项公式 如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的关系式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式 递推公式 如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系. 数列{an}的前n项和 一般地，给定数列{an}，称Sn＝a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和 2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 an＋1>an 其中n∈N+ 递减数列 an＋1<an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列与函数的关系 数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式． 2、 等差数列 1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差． (2)等差中项 如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，且有A＝. 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差为md的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列． 3、 等比数列 1．等比数列有关的概念 (1)定义：一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比. (2)等比中项：如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项，即G2＝xy. 2．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1. (2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m. (3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3．等比数列性质 (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N+.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝a，其中m，n，w∈N+. (2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N+)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0)． (4)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(n为偶数且q＝－1除外) (5)若或则等比数列{an}递增． 若或则等比数列{an}递减． 4、 数列的求和 数列求和的几种常用方法 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和． (1)等差数列的前n项和公式： Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式： Sn＝. 2．分组求和法与并项求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的． 4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见的裂项技巧 (1)＝－. (2)＝. (3)＝. (4)＝－. (5)＝. 03 题型归纳 题型一　数列的概念 例题：1-1．已知数列的前几项为：，则该数列的一个通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 1-2．已知数列满足，且，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 巩固训练 1-1．若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 1-2．在数列中，若，，则下列数不是中的项的是（    ） A． B． C． D． 1-3．设数列满足，则（   ） A．7 B． C． D． 题型二　数列的函数特征 例题：2-1．已知数列的通项公式是（），若数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2-2．已知数列满足，，则（   ） A． B．2 C．3 D． 巩固训练 2-1．已知数列的通项公式为，则中的项最大为（    ） A． B．0 C． D．2 2-2．已知数列满足，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 2-3．已知数列是递增数列，且对于任意，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型三　等差数列的概念及其通项公式 例题：3-1．已知数列中，，若，则（   ） A． B． C． D．19 3-2．已知等差数列中，，则（    ） A．8 B．4 C．16 D．-4 巩固训练 3-1．在等差数列中，，则（    ） A．20 B．10 C． D．5 3-2．在等差数列中，，则的值为（   ） A．7 B．14 C．21 D．28 3-3．在等差数列中，若，则的值为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 题型四　等差数列的前n项和 例题：4-1．已知等差数列，其前项和为，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 4-2．已知等差数列的前n项和为，若，则使得成立的正整数n的最大值为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 巩固训练 4-1．设为等差数列的前n项和，若，则（   ） A．10 B．15 C．21 D．38 4-2．已知等差数列的公差，前项和为，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4-3．已知数列，，，且，则数列的前2023项之和为（   ） A．0 B．2 C．2024 D．4048 题型五　等比数列的概念及其通项公式 例题：5-1．已知等比数列满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5-2．已知数列是等差数列，，数列是等比数列，且，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练 5-1．等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A．5 B．10 C．4 D． 5-2．已知数列为等比数列，其中 为方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 5-3．在等比数列中，若，则（   ） A． B． C． D． 题型六　等比数列的前n项和 例题：6-1．已知在等比数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 6-2．若数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 巩固训练 6-1．若等比数列的前n项和为，且，为与的等差中项，则(    ) A．29 B．33 C．31 D．30 6-2．在正数等比数列中，若，则该数列的前10项和（    ）． A． B． C． D． 6-3．已知数列满足，则数列的前30项和（    ） A． B． C． D． 题型七　数列的综合应用 例题：7-1．已知数列满足，，，数列是各项均为正数的等比数列，，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 7-2．已知数列是递增的等比数列，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 巩固训练 7-1．已知数列的前n项和.求： (1)数列的通项公式； (2)数列的前n项和. 7-3．已知为等差数列，为等比数列，，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和为； (3)若的前项和为，求证：. 7-4．已知数列的首项为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和为； (3)求数列的前项和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 数列（A考点梳理卷） 姓名______ 班级______ 考号______ 01 考点归纳 考点一、数列的概念 考点二、等差数列 考点三、等比数列 考点四、数列求和 02 知识速记 1、 数列的概念 1．数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定次序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 通项公式 如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的关系式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式 递推公式 如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系. 数列{an}的前n项和 一般地，给定数列{an}，称Sn＝a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和 2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 an＋1>an 其中n∈N+ 递减数列 an＋1<an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列与函数的关系 数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式． 2、 等差数列 1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差． (2)等差中项 如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，且有A＝. 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差为md的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列． 3、 等比数列 1．等比数列有关的概念 (1)定义：一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比. (2)等比中项：如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项，即G2＝xy. 2．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1. (2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m. (3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3．等比数列性质 (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N+.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝a，其中m，n，w∈N+. (2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N+)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0)． (4)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(n为偶数且q＝－1除外) (5)若或则等比数列{an}递增． 若或则等比数列{an}递减． 4、 数列的求和 数列求和的几种常用方法 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和． (1)等差数列的前n项和公式： Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式： Sn＝. 2．分组求和法与并项求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的． 4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见的裂项技巧 (1)＝－. (2)＝. (3)＝. (4)＝－. (5)＝. 03 题型归纳 题型一　数列的概念 例题：1-1．已知数列的前几项为：，则该数列的一个通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分析数列前项的规律，用表示即可得答案. 【详解】根据题意，数列的前几项为：…， 即，，，， 故数列的一个通项公式可以为. 故选：B. 1-2．已知数列满足，且，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，依次求出、、，观察规律，进而求出数列的周期，然后通过周期性求得答案. 【详解】由，则， 故，， ，，， 故数列以为周期，即. 故选：B. 巩固训练 1-1．若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过观察前几项的规律即可求解. 【详解】对于D，由，，，， 可得的一个通项公式为，D正确； 对于A，当时，,不合题意； 对于B，当时，,不合题意； 对于C，当时，,不合题意； 故选：D． 1-2．在数列中，若，，则下列数不是中的项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由数列的递推关系及求数列的前几项，确定数列的周期，由此判断结论. 【详解】因为，， 所以，，，，…， 故是以为周期的周期数列，-1不是数列中的项， 故选：A． 1-3．设数列满足，则（   ） A．7 B． C． D． 【答案】C 【分析】当时求出，当时作差得到，即可得解. 【详解】因为， 当时，； 当时，， 所以，则，经检验当时也成立， 所以，则. 故选：C 题型二　数列的函数特征 例题：2-1．已知数列的通项公式是（），若数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单调性的定义即可列不等式求解. 【详解】为单调递增的数列，故， 解得， 故选：C 2-2．已知数列满足，，则（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】先求出数列的周期为，可得. 【详解】因为，， 所以，， ，，……， 所以数列的周期为，所以. 故选：A. 巩固训练 2-1．已知数列的通项公式为，则中的项最大为（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】D 【分析】根据数列的单调性求解. 【详解】. 当时，函数单调递减， 则当时，数列单调递减， 所以中的项最大为. 故选：D. 2-2．已知数列满足，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的周期性，分组求和即可. 【详解】依题意，数列是周期为4的周期数列，将其每4项为一组，先求每组之和，再求总和即可， 因为，所以， 又，所以. 故选：C 2-3．已知数列是递增数列，且对于任意，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数的单调性，结合可得. 【详解】因为，且数列是递增数列， 所以，即. 故选：C 题型三　等差数列的概念及其通项公式 例题：3-1．已知数列中，，若，则（   ） A． B． C． D．19 【答案】B 【分析】由等差数列的通项公式求解． 【详解】∵，∴数列是等差数列，公差为， 又，∴，∴， 故选：B． 3-2．已知等差数列中，，则（    ） A．8 B．4 C．16 D．-4 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质求解. 【详解】解：由等差数列的性质知， 所以， 所以， 所以， 故选：B 巩固训练 3-1．在等差数列中，，则（    ） A．20 B．10 C． D．5 【答案】D 【分析】应用等差中项的性质有，结合已知即可求. 【详解】根据题意，得，则. 故选：D 3-2．在等差数列中，，则的值为（   ） A．7 B．14 C．21 D．28 【答案】B 【分析】由等差中项的性质计算即可； 【详解】因为在等差数列中，， 所以， 所以， 故选：B. 3-3．在等差数列中，若，则的值为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】D 【分析】由等差数列下标和的性质求得，进而可得目标式的值. 【详解】由已知，，则， 所以. 故选：D 题型四　等差数列的前n项和 例题：4-1．已知等差数列，其前项和为，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【分析】利用等差数列性质，结合前项和公式计算即得. 【详解】在等差数列中，，解得 ， 所以. 故选： C. 4-2．已知等差数列的前n项和为，若，则使得成立的正整数n的最大值为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，由条件推得，，则得，推出数列为递增数列，推出即可求得. 【详解】设等差数列的公差为，由可得：，则，， 故数列为递增数列，又，， 故使得成立的正整数n的最大值为21. 故选：B. 巩固训练 4-1．设为等差数列的前n项和，若，则（   ） A．10 B．15 C．21 D．38 【答案】D 【分析】先由题中条件，结合等差数列下标之和的性质求出,再根据等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 则，即，所以，则, 因此. 故选：D 4-2．已知等差数列的公差，前项和为，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】将都用表示即可求解. 【详解】因为等差数列的公差，前项和为， 所以， 故选：B. 4-3．已知数列，，，且，则数列的前2023项之和为（   ） A．0 B．2 C．2024 D．4048 【答案】B 【分析】分析可知，数列的奇数项构成首项为，公差为的等差数列；数列的偶数项构成首项为，公差为的等差数列.利用等差数列的求和公式可求得数列的前项之和. 【详解】当为奇数时，，， 所以数列的奇数项构成首项为，公差为的等差数列； 当为偶数时，，， 所以数列的偶数项构成首项为，公差为的等差数列. 所以，数列的前项和为： . 故选：B. 题型五　等比数列的概念及其通项公式 例题：5-1．已知等比数列满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设等比数列的公比为，由条件结合等比数列通项公式求，由此可求结论, 【详解】数列为等比数列，设数列的公比为， 因为，， 所以， 所以，即， 故. 故选：C. 5-2．已知数列是等差数列，，数列是等比数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差等比数列的下标和性质即可求解. 【详解】因为数列是等差数列，，则，即， 所以， 因为数列是等比数列，，则，即， 所以， 则. 故选：A. 巩固训练 5-1．等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A．5 B．10 C．4 D． 【答案】A 【分析】由等比数列的性质结合对数的运算求解即可； 【详解】由题有，则 . 故选：A. 5-2．已知数列为等比数列，其中 为方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用韦达定理判断的正负，进而判断的正负，结合等比数列下标和性质，即可求得. 【详解】根据题意可得：，，故可得； 根据等比数列下标和性质，，解得， 设的公比为，则，故. 故选：B. 5-3．在等比数列中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等比数列的性质可求得结果. 【详解】在等比数列中，若，则， 由等比数列的性质可得，故. 故选：B. 题型六　等比数列的前n项和 例题：6-1．已知在等比数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的条件，利用等比数列通项求出及. 【详解】设等比数列的公比为，由，，得，因此， 所以. 故选：B 6-2．若数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用并项求和法可求得的值. 【详解】因为数列的前项和为，且， 则. 故选：C. 巩固训练 6-1．若等比数列的前n项和为，且，为与的等差中项，则(    ) A．29 B．33 C．31 D．30 【答案】D 【分析】利用等差中项的性质以及等比数列前公式即可计算出 【详解】设等比数列的等比为， 由，为与的等差中项得， 所以，， 故. 故选：D. 6-2．在正数等比数列中，若，则该数列的前10项和（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知求出首项和公比，即可利用求和公式求出. 【详解】设等比数列的公比为， ∵，∴，∵，∴. ∵，∴，∴. 故选：B. 6-3．已知数列满足，则数列的前30项和（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据裂项相消法求和即可求解. 【详解】把代入整理得：， 故. 故选：D 题型七　数列的综合应用 例题：7-1．已知数列满足，，，数列是各项均为正数的等比数列，，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【详解】（1）， 又，，故， 故为等差数列，首项为2，公差为2， 所以； 设的公比为，则， 又，故，解得， 又，所以； （2）， 设数列的前项和为， 则①， ②， 则①-②得 ， 故 7-2．已知数列是递增的等比数列，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【详解】（1）由可得，又， 故是方程的两个实数根，且 故，进而， 故， （2）由题意得， 故， 因此 巩固训练 7-1．已知数列的前n项和.求： (1)数列的通项公式； (2)数列的前n项和. 【详解】（1）因为， 当时，， 两式相减，得， 当时，满足上式， 故数列的通项公式为. （2）由（1）知，故， 所以. 7-2．已知为等差数列，为等比数列，，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和为； (3)若的前项和为，求证：. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，可得， 又因为，解得， 所以， 设等比数列的公比为， 因为，可得， 解得，所以. （2）因为， 所以， 则， 两式作差得：， 则，整理. （3）因为的前项和， 则，， 又， 所以. 7-3．已知数列的首项为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和为； (3)求数列的前项和. 【详解】（1）因为，， 若，则，与矛盾， 所以，所以， 所以，因为，所以， 所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列. （2）由（1）知， 数列的前项和为. （3）因为， 设数列的前n项和为， 当n为偶数时，， 因为， 所以， 当为奇数时，为偶数. ， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$