2.1平均变化率与瞬时变化率课前导学-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

2.1平均变化率与瞬时变化率 ——高二数学北师大版（2019）选择性必修第二册课前导学 知识填空 1.平均变化率：对一般的函数来说，当自变量从变为时，函数值从变为，它在区间的平均变化率＝. 通常我们把自变量的变化称为__________________，记作______，函数值的变化称作___________________，记作__________.这样函数的平均变化率就可以表示为____________________________，即_________________________.用它来刻画函数值在区间上变化的快慢. 2.瞬时变化率：对于一般的函数，在自变量从变为的过程中，若设，，则该函数的平均变化率为＝. 如果当趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是在点的瞬时变化率.瞬时变化率刻画的是__________________________. 思维拓展 平均变化率与瞬时变化率有什么关系？ 基础练习 1.函数在区间上的平均变化率为( ) A.1 B.2 C. D.0 2.若函数在区间上的平均变化率为，则该函数在时的瞬时变化率是( ) A.-3 B.3 C.6 D.-6 3.已知函数，则从1到的平均变化率为( ) A.2 B. C. D. 4.已知气球的体积V（单位：L）与半径r（单位：dm）之间的函数关系是. （1）求半径r关于体积V的函数r（V）； （2）比较体积V从0L增加到1L和从1L增加到2L半径r的平均变化率；哪段半径变化得快（精确到0.01）？此结论可说明什么意义？ 5.某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程s（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式，求： （1）该运动员在到这段时间内的平均速度； （2）该运动员在这一时刻的瞬时速度； （3）该运动员瞬时速度为的时刻. 【答案及解析】 一、知识填空 1.；自变量的改变量；；函数值的改变量；；函数值的改变量与自变量的改变量之比； 2.；函数在某一点处变化的快慢 二、思维拓展 区别：平均变化率刻画函数值在区间上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在点处变化的快慢； 联系：当趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在处的瞬时变化率，它是一个固定值. 三、基础练习 1.答案：A 解析：在区间上的 平均变化率为， 故选：A 2.答案：D 解析：由题意得当趋于0时，趋于-6，故函数在时的瞬时变化率为-6. 3.答案：B 解析： 故选：B. 4.答案：（1） （2）答案见解析 解析：（1） ， ，即. （2）函数在区间上的平均变化率为（dm/L）， 函数在区间上的平均变化率为（dm/L）. 显然体积V从0L增加到1L时，半径变化得快，这说明气球刚开始膨胀得快，随着体积的增大，半径增加得越来越慢. 5.答案：（1） （2）该运动员在这一时刻的瞬时速度为 （3）该运动员瞬时速度为的时刻为 解析：（1）该运动员在到这段时间内的平均速度. （2）由（1），知在平均速度表达式中，当，趋于0时，趋于109，所以该运动员在这一时刻的瞬时速度为. （3）由（1），知当趋于0时，在到这段时间内的平均速度趋于，即在时刻的瞬时速度为，所以. 所以该运动员瞬时速度为的时刻为. 学科网（北京）股份有限公司 $$