专题04 三角恒等变换（期中复习专项训练，九大题型）高一数学下学期人教B版

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04三角恒等变换 题型归纳·内容导航 题型一 利用和（差）角公式化简、求值（重点） 题型六给值求值型问题（重点） 题型二两角和与差的三角函数公式的逆用（重点） 题型七给值求角型问题（重点） 题型三二倍角公式（重点） 题型八三角恒等式的证明 题型四辅助角公式（重点） 题型九三角恒等变换与三角函数的综合（难点） 题型五积化和差和和差化积 题型通关·靶向提分 题型一利用和（差）角公式化简、求值 1.sinl65°的值为() A.5+2 B. 6+迈 C.1+2 D. √6-√2 2 2 4 【答案】D 【详解】sin165°=sin(120°+45)=sin120°cos45°+cos120°sin45°= 52126-2 2 222 4 2.若anr=1,则osg+ 【答案】0 【详解】因为tanr=l,所以tanx=sinx-=l,则sinx=osx, cOSx 且(r+}-牙sin x sin是 4=2(cosx-sinx), 3.已知tantan明=3，cosa-pA)=},则cosa+B)=（) A. B. 9 C.g D. 8 【答案】C 【详解】由题意得cosacos5≠0，所以tanatanB= sinasinB 3 cosacosB 1/28 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 sinasinB=3cosacos,os(-B)cosacosB+sinasin= 1 131 所以cosacosB= 16 sinasinB cos(a+B)=cosccosB-sinasinp =1616 π 且sim2r=sim+3cosx-3则x= 【塔案】号 6 【详解】因为sin2x= [（+}-】-》m-引er}-到 m+号引m-引m+引m-引=m+引m-引 所以o+}m-到-0，即co+写到=0或m-引-0 因为x∈ 5.己知 【答案】-3 【详解】 得，1一 1 2cosa+sina4得2+ana4解得tana=2, cosa tan a tan- 所以tana+ π 4=-3 4 1-tan c tanπ 4 1 6.已知cosa=5a∈(0，，tan(a-B)=2,求 (I)tanB的值； (2)tan(2a-B). 【答案10斤 (2)2 【分析】 【详架】(D架：因为csa号且ee0,,所以sna>0: 2/28 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3 4)2 所以tana=sin-5_3 cosa 44' 又因为tan(a-B)=2, 1 31 可得mB=mla-a-]-1nana-月i中之女 tana-tan(a-B)_4-2 -2 ,3111 42 2解：由0)知ama=且ma-创-分 31 tana+tan(a-B)42 tan(2a-B)tan a+(a-B)-1-tana.tan(a-B)3 42 题型二两角和与差的三角函数公式的逆用 7. 3-tan30° 1+√3tan30° 【答案】55 33 【详解】 √3-tan30°tan60°-tan30° 1+√3tan30°1+tan60°tan30 =tan(60°-30)=tan30=-V5 3 故答案为： 3 3 8.sin224°sin164°-cos44sin254°= 【管案105 【详解】因为sin224=sin(180°+44）=-sin44,sin164°=sin(180°-16）=sinl6°， sin254=sin270°-16）=-cos16°， 所以sin224°sin164°-cos44°sin254°=-sin44°sin16°+cos44°cos16 =c0s(44+16)=c0s60°=1 2 9.在ABC中，“cos AcosB<sin A sin B”是“ABC为锐角三角形的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3/28 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】B 【详解】在ABC中，cos Acos B<sin Asin B台cos Acos B-sin Asin B<0台cos(A+B)<0, 因此A+B是钝角，C是锐角，没有条件判断A,B都是锐角，则不能确定ABC为锐角三角形； 反之，ABC为锐角三角形，则C是锐角，A+B是钝角，cosAcosB<sin Asin B成立， 所以“cos AcosB<sin Asin B”是“ABC为锐角三角形”的必要不充分条件 故选：B 10.已知0为锐角，且tan0tan2=-1,则0=() A.1 C.2- 2 D.π-2 【答案】C 【详解】由tan0tan2=-l得，tan0=- an2即sn、-cos2 cos0 sin2 .cos0 cos 2+sin0 sin 2=0,cos(0-2)=0, 由0e0.0-22-2 、、0-2=二5·故8=2、汇 2 故选：C 11.图①②是斜边为1，一个锐角为的两个全等的直角三角形，图③④是斜边为1，一个锐角为B的两个 全等的直角三角形，下图是由①②③④这四个直角三角形与一个矩形（图⑤）无缝拼接而成，且AG=cosB ,则①②③④⑤这五个图形的面积之和为( ←-Cosβ→ B ③ ② ⑤ ① ② D E ③ 入 B ④ 4④ D A.cos(a+B)B.sin(a+B) C.cos(a-B D.sin(a-B) 【答案】B 【分析】 【详解】方法一：①②两个直角三角形的两条直角边分别为sina和cosa, ③④两个直角三角形的两条直角边分别为sinB和cosB,过F作CD的垂线，垂足为H, 因为AG=cosB,所以HD=cosa, 如图一，则①②③④⑤这五个图形的面积之和为矩形ABHG与矩形HDEF面积的和， 4/28 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设矩形ABHG的面积为S,,矩形HDEF的面积为S2, S sinacosB,S2 cosasinB, 则S,+S2=sinacosB+cosasinB=sina+B）, 故所求五个图形的面积之和为sin(a+阝)， COSB-> (4 ⑤ sina F ⑦ ① ④ sinB ③ B D H cosa 图 图二 方法二：将这五个图形重新组合得到一个边长为1，一个内角为α+B的菱形， 如图二，菱形的高h=1sina+B)=sin(a+B),则该菱形的面积为sina+阝） 故选：B 12.在ABC中，A是锐角，且cosB=1-siB ,则ABC的形状一定为() tanC A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 【答案】B 【详解】由题意可得cosB=(1-sinB).cosC 整理得sinCeosB=cosC-eosCsinB, sinC 移项得sinCcosB+cosCsinB=cosC,故sinB+C)=cosC. 因为在4c中，48+c=a,Ce0,Ae0,引 所以sn(B+G=sm4=cor经A-coc,即受A=C,故8-受 故选：B. 题型三二倍角公式 13.已知cos2a= 4 则}-tanc=（) 1+tano A月 B.2 C. D.-2 【答案】D 5/28 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4 【详解】由cos2a=- 得2ae(π，2π 3 sin2a =-v1-cos22a = 5 1-tana cosa-sina (cosa-sina)2 1-sin2a =-2 1+tana cosa+sina (cosa +sina)(cosa-sina cos2a 4 4 5 5 14.在ABC中，若cos4c0sB=-cos2C +1，则ABC一定是() A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形 【答案】D 【详解】由二倍角的余弦公式可得：-cosS+1=-1+cosC+1-1-cosC 2 2 2 +11-c0sC 所以cos4cosB=-cos2C+】 2 2cosAcosB =1-cosC =1+cos(A+B)=1+cos AcosB-sinAsinB, 所以cos AcosB+sinAsinB=cosA-B=1, 因为0<A<元，0<B<π，则-π<-B<0,-π<A-B<π， 所以由cosA-B)=1可得：A-B=0,所以A=B. 15.已知a∈-π，0)，且3c0s2a+4cosa+1=0,则tana=() A.② 2 B.2√2 C.-2√2 D.- 4 【答案】C 【详解】因为3cos2a+4cosa+1=32cos2a-1+4cosa+1=6cos2u+4cosa-2=0, 解得cos= 或co5a=-1,又ae(-,0),则cosa=3 1 3 所以sina=-V1-osa:-2 ,则tana=sina=-2√2 3 cosa l6.设sina≠0，已知角a的终边经过点P(2sina,sin2a),则sina=() A.2-1 B.5-1 D.5-1 2 2 C.7 2 【答案】D 6/28 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 sin2a 【详解】由题得tana= 2sina =cosa,即sing=cosa,所以sina=cos'a,所以sina=l-sin'a, cosa 解得sina= 5l（sna=-5-1舍去)） 2 17.已知角a的终边经过点P(-2,3)，,则tan2a=() A.、S J 12 B.12 C.2 12 D. 5 5 【答案】D 3 2× 【详解】因为角a的终边经过点P(-2,3),所以tana=- 2,则tan2a= 2tan a 2 -312 1-tan'a 3)2 5 5 1- 2月 4 18.已知tan(a+B),tan(a-B)是关于x的方程x2+mx-2=0的两个不同的根，且tana=2,则m=() B.-4 -3 C.4 D.-4 【答案】C 【详解】因为tan(a+B),tan(a-B)是关于x的方程x2+mx-2=0的两个不同的根，且△=m2+8>0, 所以tan(a+B)+tana-β)=-m,tana+β)tana-β）=-2， tan2a-tan[(+B)+(a-B)]-tan(a+B)+tan(a-B)__m 1-tan(a+B)tan(a-B)3' 又tana=2,tan2a= m。1子所以智手解得=4 题型四辅助角公式 19.若tana=2√5cosa,则cos2a=. 【路】 21-0.6 【详解】由tana sina=2N5cosa,得sina=2W5cos'a=25-25sin2a,所以25sina+sina-2W5=0, cosa 解得sina=- 5 (舍去)，或sina= 25 2 5 所以.cos2a=1-2sin2a=-亏 3 20.若函数f(x)=sinx+0)-cosx+)为偶函数，则O的值可能为() A.- 4 B C. 4 D.-3m 4 7/28 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】A 【详解】f(x)=sin(x+0)-cos(x+0)=V2sinx+0- 4 因为f(x)为偶函数，所以日-交=元 42+a,k∈Z,即6= +knkeZ 4 当k=-1时0=-子，A正确，经检验BCD都不满足 故选：A 21.函数)=m+君引m昏的设小正周期是() B. π 2 C.n D.2元 【答案】D 【m2(昏小传小后昏- 3 所以最小正周期为2π 故选：D 22.若函数f(x)=2 cosx(V3sinr-cosx)的图象关于直线x=m对称，则tan2m=() A.5 B. -V3 C.-1 D.-5 3 【答案】D 【详解1函数f-25 inos--2cosx+1-1=5sin2x-co2r-l=2sim2x-君- 令2r-又=+kr(kEZ),则2x=2+kr(kEZ),则tan2m=ta 2--5 62 3 故选：D 23.已知函数fx)=asinx+cosx,若x=为f(x)的图象的一条对称轴，则a= 【答案】 【详解】f(x=asinx+cosx=Va2+lsin(x+o,其中9为辅助角， 由x号为f八到的图象的一条对称轴，则f得为最大或最小值， /要分.受+d1 8/28 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 整理得a2-23a+3=(a-5)=0,即a=5 24.已知函数f(x)=√5sin2x-2cos2x+n的最大值为5，则实数N=一 【答案】4 【详解1因为)=5sn2-2cos2x+n=5n2r-o2r+n-1=2sn2x- +n-1, 所以函数f(x)的最大值为n+1. 由题意，得n+1=5,解得n=4. 故答案为：4 25.若V5sing+cosg>),则cosa- 5π 的取值范围是() 22 c.) D别 【答案】A 【群解】国为5如9+o号-2sm[侣+引2所以m侣+引号 因此4ssin 0+s1, 26月 所ema-）ma+引}1-2s侣1-2日 m-}owa+1-2m+1-2-l 所以coa-到的取值范围是[-+】 题型五积化和差和和差化积 26.函数fx=sin3x-sinx在0,2π内的零点之和为() A.3π B.5π C.7π D.9 【答案】C 【详解】由函数f(x=sin3x-sinr=2cos2 xsin x,其中xe[0,2π] 令fx)=0,，即cos2 x sinx=0,所以cos2x=0或sinx=0, 当sinx=0时，可得x=0或x=π或x=2π， 当cos2r=0时，可得x=骨或x-经或x-红或x= 4 4 4 9/28 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ,元3m+5m+7=7元 所以y=f(的零点之和为0+π+2m+4+4+4+4 故选：C 3 tan(a+15°） 27.已知sim2a=亏则a tan(a-15°） 【答案】11 an(a+15）sina+15)cosa-15° 【详解】因为 tan(a-15)cos(a+15)sin(a-15' 而snla+15 )cos(-15j-sn2a+sn309=2in2a+子 1 1 1 1 cos(a +15 )sin(a-15)=(sin 2a-sin 30)=sin 2a 4 1 2 sin 2a+ 113,1 tana+l5） 代入可得： 4-2§4=11 tan(a -15 1131 2sin2a-1 4254 28.计算：sin20°sin40sin80°=_ 【答案】3 【详解】因为cos20°=cos40°-20)=cos40cos20°+sin40°sin20°， cos60°=cos40°+20）=cos40°cos20°-sin40°sin20° 1 同理，由积化和差角公式可得，sin80°cos20°=。(sinl00°+sin60), 2 则sin20°sin40°=c0s20-c0s60°_cos20°1 2 24 所以sin20°sin40sin80°= c0s20° sin80°=sin80cos20_1 sin 80' 24 2 4 故sin80cos20°1 2 sin80(sin100'+sin60)-Isin 80Isin60 4 4 8 故答案为： 3 8 29.求c0s273°+c0s247°+c0s73°c0s47°的值. 【答案子 【详解】因为c0s273°+c0s247°+c0s73c0s47°=1+c0s146°+1+c0s94 -+c0s73°c0s47° 2 2 10/28专题04 三角恒等变换 题型一 利用和（差）角公式化简、求值（重点） 题型六 给值求值型问题（重点） 题型二 两角和与差的三角函数公式的逆用（重点） 题型七 给值求角型问题（重点） 题型三 二倍角公式（重点） 题型八 三角恒等式的证明 题型四 辅助角公式（重点） 题型九 三角恒等变换与三角函数的综合（难点） 题型五 积化和差和和差化积 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用和（差）角公式化简、求值 1．的值为（    ） A． B． C． D． 2．若，则______． 3．已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．若，且，则______. 5．已知，则______． 6．已知，求 (1)的值； (2)． 题型二 两角和与差的三角函数公式的逆用 7．____________． 8．___________． 9．在中，“”是“为锐角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知为锐角，且，则（ ） A．1 B． C． D． 11．图①②是斜边为1，一个锐角为的两个全等的直角三角形，图③④是斜边为1，一个锐角为的两个全等的直角三角形，下图是由①②③④这四个直角三角形与一个矩形（图⑤）无缝拼接而成，且，则①②③④⑤这五个图形的面积之和为（ ）           A． B． C． D． 12．在中，A是锐角，且，则的形状一定为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 题型三 二倍角公式 13．已知，，则（   ） A． B．2 C． D．-2 14．在中，若，则一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 15．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 16．设，已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 17．已知角的终边经过点，则（ ） A． B． C． D． 18．已知是关于的方程的两个不同的根，且，则（    ） A． B． C．4 D． 题型四 辅助角公式 19．若，则_____． 20．若函数为偶函数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 21．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 22．若函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C．-1 D． 23．已知函数，若为的图象的一条对称轴，则_________． 24．已知函数的最大值为5，则实数______． 25．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型五 积化和差和和差化积 26．函数在内的零点之和为（    ） A． B． C． D． 27．已知，则________． 28．计算：______． 29．求的值． 30．_____． 31．已知，是函数，的两个零点，则________． 题型六 给值求值型问题 32．已知，则（    ） A． B． C． D． 33．已知，，，则等于（   ） A． B． C． D． 34．若，则（    ） A． B． C． D． 35．已知，则__________. 36．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 37．已知，，且，． (1)求角； (2)求的值． 题型七 给值求角型问题 38．已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 39．已知，且满足，则___________． 40．已知是方程的两个根，且，则的值是________． 41．已知，，其中，. (1)求的值； (2)求的值. 42．已知，. (1)求； (2)若，，求的值. 43．已知，，，． (1)求的值； (2)求的值，并确定的大小． 44．已知，且，． （1）求的值； （2）求的值． 题型八 三角恒等式的证明 45．（多选）当有意义时，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 46．已知，且，证明： (1)； (2). 47．求证： (1)； (2)． 48．求证： (1)； (2)； (3)； (4)． 49．求证： ． 题型九 三角恒等变换与三角函数的综合 50．（多选）关于函数有如下四个结论，其中正确的结论有（　　） A．的最大值为1 B．将的图象向左平移个单位长度，向上平移1个单位长度，得到 C．在单调递增 D．图象的对称中心为 51．已知函数的最小正周期为，如果函数在时取得最大值，则的值为__________. 52．已知函数. (1)求函数的最小正周期与值域； (2)若，且是函数的一个零点，直线是曲线的一条对称轴，求的最大值. 53．已知函数，（）的周期是. (1)求函数的解析式以及函数在上的单调增区间； (2)解不等式； (3)若时，方程f(x)=m恰好有两个不同的根，求的取值范围及的值. 54．已知函数． (1)求函数的周期、单调增区间、对称中心； (2)当时，求函数的值域； (3)当时，方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围． 55．若函数的相邻两个对称轴间的距离为. (1)求的值及的对称轴方程； (2)将的图象向左平移个单位长度，再把每个点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，若且，求的值. 56．已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)若，，都满足，求m的取值范围． $