第二十章 一次函数（复习课件）数学新教材冀教版八年级下册

单元复习课件 第二十章 一次函数 新教材冀教版·八年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解一次函数与正比例函数的核心概念，掌握函数图象性质及平移规则，学会求自变量取值与函数值，能求解析式，建立函数与方程、不等式的关联 3.灵活运用数形结合思想分析解题，精准突破实际问题中的函数建模，规避参数、符号、增减性等易错点 2.熟练运用待定系数法求一次函数解析式，掌握函数图象性质与平移规律，理清函数和方程、不等式的关联 单元学习目标 一次函数 一次函数的应用 一次函数的概念 直接列式法 待定系数法 一次函数的图像和性质 一次函数的表达式 一次函数与二元一次方程的关系 单元知识图谱 考点一、一次函数的概念 1. 一次函数定义 一般地，形如 ( 是常数，)的函数，叫做一次函数. 2. 正比例函数(特殊的一次函数) 当 时，一次函数 () 叫做正比例函数. 注意事项： 必须满足 ，若 ，函数变为 （常函数），不是一次函数 自变量 x 的次数为 1，且不能出现在分母、根号内 正比例函数是一次函数的特例，但一次函数不一定是正比例函数 判断函数类型时，需先化简整理，再对照定义 考点串讲 考点二、一次函数的图像 1.一次函数的图象形状 一次函数()的图象是一条直线， 记作直线； 正比例函数的图象是过原点(0,0)的直线。 2.两点法画词义函数图象 (1)一般一次函数() 找y轴交点：令，得，交点坐标为(0, b) 找x轴交点：令，解方程，得，交点坐标为(, 0) 描两点，画直线即可 (2)正比例函数 必过原点，再取点，描两点连线。 若k为分数，可取整数点，方便描点。 考点串讲 3.直线的倾斜程度 直线的陡峭程度由决定： 越大，直线越陡，y随x变化越快；越小，直线越平缓，y随x变化越慢 考点二、一次函数的图像 注意事项： 画图象时，x轴、y轴单位长度需统一，否则图象倾斜度失真，影响性质判断 两点法优先选整数坐标点，减少计算误差；若截距为分数，可另选整数点作图 一次函数图象是直线，向两方无限延伸，不要画成线段 若两条直线、平行，则且 考点串讲 考点三、一次函数的性质 1.一次函数的增减性 ：随的增大而增大(递增)，直线从左下向右上倾斜. ：随的增大而减小(递减)，直线从左上向右下倾斜. 2.截距的意义 y轴截距：直线与y轴交点纵坐标b， 交正半轴，过原点，交负半轴。 x轴截距：直线与x轴交点横坐标 考点串讲 3.一次函数图象经过的象限 考点三、一次函数的性质 注意事项： 增减性只与k有关，与b无关；b仅改变直线上下位置，不影响增减趋势。 判断象限时，需结合k、b双符号，不可单看一个参数。 若直线过原点，必为正比例函数，；若直线不过原点，。 k同号则增减性相同，k异号则增减性相反。 考点串讲 考点四、待定系数法求一次函数表达式 1.方法原理 一次函数解析式含有两个待定系数，需两个独立条件（通常是图象上两个点的坐标），列方程组求解。 2.标准解题步骤 设：设函数解析式为()；若为正比例函数，直接设 代：将已知两点坐标、代入解析式，得到二元一次方程组。 解：解方程组，求出、b的具体数值。 写：把回代，写出完整的函数解析式。 3.特殊情况求解 已知直线过原点：只需一个点坐标，设求解。 已知直线与轴交点：直接得的值，再代入一个点求 注意事项： 设解析式时，必须标注，否则会出现常函数的错误情况. 代入坐标时，x与y必须对应，不可颠倒. 解方程组时细心计算，求完后，回代原式检验是否正确. 考点串讲 考点五、一次函数平移规律 1.平移核心结论 一次函数平移k值不变，仅改变b或x，遵循上加下减常数项，左加右减自变量。 2.具体平移方式 上下平移(沿轴)：向上平移个单位→ 向下平移个单位→ 左右平移(沿轴)：向左平移个单位→ 向右平移个单位→ 注意事项： 左右平移时，加减仅针对自变量x，需加括号，不可直接对加减 平移方向和单位要分清，“上加下减、左加右减”不可混淆。 平移前后两条直线互相平行，值相等，可据此求平移后的解析式。 考点串讲 考点六、一次函数与方程、不等式的关系 1.与一元一次方程的关系 求一次函数中时的值，等价于解一元一次方程，方程的解就是直线与轴交点的横坐标 2.与一元一次不等式的关系 ：直线在轴上方部分对应的取值范围 ：直线在轴下方部分对应的取值范围 ：直线在直线上方部分对应的取值范围 考点串讲 3.与二元一次方程组的关系 两个一次函数图象的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解； 方程组的解，就是两个函数图象的交点坐标. 考点六、一次函数与方程、不等式的关系 注意事项： 解不等式时，结合图象直观判断，避免单纯计算出错，尤其时，不等号方向易混淆 方程的解是“点的横坐标”，不等式的解是“的取值范围”，二者概念不同 若两直线平行，对应方程组无解；若两直线重合，对应方程组有无数解 考点串讲 考点七、一次函数实际应用 1.常见应用场景 行程问题、销售利润问题、阶梯计费问题、工程问题、方案选择问题等，核心是建立变量间的一次函数模型. 2.标准解题步骤 审题：找出自变量、因变量，梳理数量关系. 设元：明确代表的实际意义，标注单位. 列解析式：根据题意列出，确定值. 定范围：结合实际意义，确定自变量的取值范围(非负、整数、区间等). 求解作答：利用函数增减性求最值、判断方案、计算数值，检验结果是否符合实际. 注意事项： 实际问题中，自变量取值范围受限(如时间、数量不能为负数，人数为整数) 求最值时，结合k的符号判断：，x最大时y最大；，x最小时y最大. 作答时需贴合实际，舍去无意义的解，单位统一，表述完整。 分段计费问题，需分区间写解析式，明确各段自变量范围。 考点串讲 题型一、判断一次函数和正比例函数 (2)若是关于的一次函数，则 满足_______. (1)若函数是关于的正比例函数,则 的值为___. 1 例1 解:(1)根据题意得，得 (2)根据题意得，得 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法 1. 化简原式：先对函数解析式去括号、合并同类项，整理成标准形式 2. 对照定义： 一次函数：（，次数为1，无分母和根号） 正比例函数：（，） 3. 排除错项：剔除、次数、在特殊位置的解析式 注意事项 切记是核心前提，化简后常函数（）不属于一次函数 正比例函数是特殊一次函数，一次函数不一定是正比例函数 判断函数关系严格遵循“一对一/多对一”，一对多的式子不是函数 题型一、判断一次函数和正比例函数 题型剖析 题型一、判断一次函数和正比例函数 变式1.(1)已知与成正比例，且时， ， 则时， 的值是___. 0 (2)新定义问题 新定义：为函数 ,,为实数 的“关联数”.若“关联数”为 的函数是一次函数, 则这个一次函数为___________. (1)设,当时，解得.即，当时，. (2)函数为，， 题型剖析 例2.已知在一个长方形中，相邻的两边长分别是和 ，设长方形的周长为 . （1）试写出与 之间的关系式； 解：(1)根据长方形的周长公式，得 ， 与之间的关系式为 . （2）求当 时长方形的周长； (2)当时， ， 当时，长方形的周长为 . 题型二、求函数自变量和函数值 （3）求当长方形的周长为时， 的值. (3)当时，，解得 . 当长方形的周长为时， 的值为11. 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法： 1. 求函数值（知求）： 第一步：确认解析式为标准一次函数形式，判断是否在取值范围内 第二步：将已知自变量x的数值直接代入解析式 第三步：按照有理数运算法则计算，得出对应的值（函数值） 2. 求自变量（知求）： 第一步：将已知函数值代入解析式，得到一元一次方程 第二步：解一元一次方程，求出x的数值 第三步：验证所求是否符合自变量取值范围，舍去不合理解 3. 实际问题中的取值与求值： 先确定自变量x的实际约束范围（非负、整数、限定区间等） 再代入计算，结果需贴合实际意义，保留合理数值 注意事项： 纯一次函数（整式）无隐含限制，切勿随意缩小取值范围 实际问题必须兼顾数学意义+生活常识，负数、小数解需舍去 取值范围书写规范，用不等式或区间表示，端点值单独验证 题型二、求函数自变量和函数值 题型剖析 题型二、求函数自变量和函数值 变式2.“绿茵逐梦韵青春，足球飞扬展英姿”.八年级的足球联赛正在火热进行中，志愿者需要印刷活动宣 传单.据了解印刷社的收费（元）与印刷数量 （张）满足一次函数关系： 印刷数量 张 … 100 200 300 400 … 收费 元 … 15 30 45 60 … （1）求收费（元）与印刷数量 （张）之间的函数关系式； 解：(1)设收费（元）与印刷数量（张）之间的函数关系式为 ， 将，;， 分别代入上式， 得解得 收费（元）与印刷数量（张）之间的函数关系式为 . （2）若收费为300元，求印刷活动宣传单的数量. (2)将代入 ，得 ，解得 ， 印刷活动宣传单的数量为2 000张. 题型剖析 题型三、待定系数法求一次函数解析式 例3.已知直线经过点，，则直线 的函数表达式为( ) A A. B. C. D. 解：设，把，分别代入得 解得 所以 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法： 1. 设：设标准解析式；正比例函数设 2. 代：将已知点坐标、截距、平移条件代入解析式，列方程/方程组 3. 解：求解二元一次方程组，算出数值 4. 写：回代，写出完整解析式，标注 注意事项： 代入坐标时严格对应，严禁颠倒，避免计算失误 平移类题型牢记“值不变”，仅调整或自变量x 求解后务必回代检验，确保解析式满足所有已知条件 只给一个点时，优先判断是否为正比例函数，切勿强行设两个参数 题型三、待定系数法求一次函数解析式 题型剖析 题型三、待定系数法求一次函数解析式 变式3.真实任务情境 在鱼类养殖中，减少个体间的体重差异是提高养殖效率和经济收益 的关键管理目标之一，高养殖密度会导致个体间的体重差异增大.已知虹鳟的体重变异系 数为 ，养殖密度为，研究表明，与 成一次函数关系.当虹鳟的养殖密度为 时，体重变异系数为；当虹鳟的养殖密度为 时，体重变异系数 为，则与 之间的函数表达式为 . 解：根据题意得设，把，分别代入得 解得 所以 题型剖析 题型四、一次函数的图像 例4.已知点为第四象限内的点,则一次函数 的图象大致是 ( ) B A. B. C. D. 解：为第四象限内的点，即，, 函数图像递增，过y轴负半轴，故选B项 题型剖析 题型四、一次函数的图像 解决方法和注意事项 解题方法： 1. 图象画法： 找y轴交点：令，得，确定点 找x轴交点：令，解方程，得点 描出两个整数点，用直尺画无限延伸的直线（非线段） 2. 象限判断： 先看k：直线向右上方倾斜，直线向右下方倾斜 再看：交轴正半轴，过原点，交y轴负半轴 结合双符号，对照规律锁定图象经过的象限 3. 图象反推参数符号：根据图象倾斜方向定k，根据与y轴交点定b 注意事项： 画图时x轴、y轴单位长度必须统一，防止图象倾斜度失真 一次函数图象是直线，要向两方无限延伸，切勿画成线段或射线 判断象限时必须结合两个参数，不可单看一个符号下结论 正比例函数图象必过原点，一次函数图象过原点则 平行直线的k值相等、b值不等，垂直x轴的直线不是一次函数 题型剖析 题型四、一次函数的图像 变式4.在同一平面直角坐标系中，一次函数 与正比例函数 的图象可能是( ) D A. B. C. D. 解：A项正比例函数，一次函数，矛盾 B项一次函数递增，过轴负半轴，错误 C项一次函数递减，过轴正半轴，错误 D项，正比例函数，一次函数，正确 题型剖析 题型五、一次函数的性质 例5.已知一次函数 的图象上有两点，， 则与 的大小关系是( ) C A. B. C. D. 解：一次函数为，，函数递减，随增大而减小 题型剖析 题型五、一次函数的性质 解决方法和注意事项 解题方法： 1. 判断增减性： 核心看k的符号：，y随x增大而增大；，y随x增大而减小 越大，直线越陡峭，y随x变化速度越快；越小，直线越平缓 2. 已知增减性求：根据增减趋势直接列不等式（递增→，递减→），结合求解 3. 比较函数值大小： 步骤1：确定解析式中k的符号，明确增减规律 步骤2：比较自变量x的大小关系 步骤3：结合增减性判断y值大小（：x大则y大；：x大则y小） 注意事项： 增减性只由k决定，与b无关，b不影响函数递增或递减趋势 比较函数值时，切忌忽略的情况，避免把增减性用反 若x取值在限定区间内，需结合区间端点和增减性判断最值 遇到含参数k的解析式，先判断，再结合增减性列不等式求范围 多个一次函数比较时，先分别判断各自的符号，再逐一分析 题型剖析 题型五、一次函数的性质 变式5.若点, 都在一次函数为常数的图 象上，且，则 的值可能是( ) B A. 0 B. C. 2 D. 3 解： 一次函数y随x增大而减小，所以 故选B项 题型剖析 题型六、一次函数的平移 例6.将直线 平移得到直线 ，下列说法正确 的是( ) A A. 将向左平移3个单位长度得到 B. 将向左平移6个单位长度得到 C. 将向上平移2个单位长度得到 D. 将向上平移4个单位长度得到 解：一次函数上下平移个单位，加减 所以应向上平移6个单位得到 题型剖析 题型六、一次函数的平移 解决方法和注意事项 解题方法 1. 口诀记忆：上加下减常数项，左加右减自变量 2. 上下平移： 3. 左右平移： 4. 逆推平移：对比平移前后解析式，分析b或x的变化量 注意事项： 左右平移仅针对自变量x，必须加括号，切勿直接对加减 平移前后值不变，可利用此特性快速求参数 区分“平移个单位”和“平移到某点”，避免方向判断错误 题型剖析 题型六、一次函数的平移 变式6.已知直线与轴相交于点，与轴相交于点 . （1）求， 两点的坐标. 解：(1)在中，当时，;当 时， ， . （2）平移直线,使其与轴相交于点，且 ，求平移后直线的表达式. (2)， 点的坐标是 或.设平移后直线的表达式为. ①当点 的坐标为时，将代入，得 ； ②当点 的坐标为时，将代入，得 . 综上所述，平移后直线的表达式为或 . 题型剖析 题型七、一次函数与方程、不等式结合 例7.图中两直线, 的交点坐标可以看作方程组____的解( ) B A. B. C. D. 解：两直线交于点(2,3),所以是方程组的解，故选B项 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法： 1. 求与x轴交点：令，解方程，得横坐标 2. 求与y轴交点：令，得，交点为 3. 解不等式： →x轴上方图象对应x范围 →轴下方图象对应x范围 4. 求两直线交点：联立解析式，解方程组，解即为交点坐标 注意事项： 方程的解是点坐标，不等式的解是取值范围，概念不可混淆 时，解不等式除以k要变号，数形结合可规避符号错误 两直线平行则方程组无解，重合则有无数组解 题型七、一次函数与方程、不等式结合 题型剖析 题型七、一次函数与方程、不等式结合 变式7.如图，这是直线的图象,点 在该 直线的上方,则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 解：根据题意得，得，故选B项 题型剖析 题型八、一次函数的实际应用 例8.王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市．他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是 ，行驶了 后，从B市一高速公路出口驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电 量 与行驶路程 之间的关系如图所示． （1）求与 之间的关系式. （2）已知这辆车的“满电量”为 ，求王师傅驾车从B市这一 高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少． 解：(1)设，将点 ， 分别代入，得 解得 . (2)令，则. . 答：该车的剩余电量占“满电量”的 . 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法总结（五步建模法） 1. 审题：圈画关键词，找出自变量x、因变量y的实际意义 2. 建模：根据数量关系（总价=单价×数量、路程=速度×时间）列解析式 3. 定域：结合实际，确定自变量x的取值范围 4. 求解：利用增减性求最值、代入数值计算、对比方案优劣 5. 作答：规范书写步骤，带单位，验证结果合理性 注意事项 分段计费题型需分区间写解析式，明确各段自变量范围 求最值严格结合k的符号，取x最大值，取x最小值 结果必须符合实际，负数、小数、超出范围的解一律舍去 方案选择类题型，需分类讨论，清晰罗列不同方案的结果 题型八、一次函数的实际应用 题型剖析 题型八、一次函数的实际应用 变式8.A，B两家旅行社推出家庭旅游优惠活动，两家旅行社的票价均 为每人90元，但优惠的办法不同. A旅行社的优惠办法：全家有一人购全票，其余的人半价优惠； B旅行社的优惠办法：全家每人均按 票价优惠. 设某一家庭共有人，A，B两家旅行社的收费分别是元、 元. （1）请直接写出，与 之间的函数关系式. 解：(1)， . （2）请根据不同家庭的人数情况，说明选择哪家旅行社费用较低. (2)若，则 ，即当家庭人数大于3时，A旅行社收费较低； 若，则 ，即当家庭人数等于3时，A，B旅行社收费一样； 若，则 ，即当家庭人数小于3时，B旅行社收费较低. 题型剖析 题型九、参数求值 例9.已知直线与直线 交于 点，点的横坐标为1.现有如下结论： ； ； ③关于的不等式 的解集为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ④关于的不等式的解集为 .其中正确的个数为( ) C 解：把代入得，即点坐标为, 把，代入得，正确 根据图像可得的解集为，③正确 的解集为，④正确 不能确定，故选C项 题型剖析 解决方法和注意事项 解题方法总结 1. 根据图象性质、增减性、交点坐标列不等式/方程 2. 结合的前提条件，求解参数范围/数值 3. 多参数题型，联立条件逐一推导，排除矛盾解 注意事项 永远不忘，避免漏解或错解 求范围时，端点值是否可取需单独验证 多个参数相互制约时，分步求解，不跳步、不遗漏条件 题型九、参数求值 题型剖析 题型九、参数求值 变式9.如图，直线，，点是 上的整点（横、纵坐标都是 整数），设线段所在直线的表达式为 ，则符合 条件的整数 有___个. 8 解：一次函数过点,代入表达式，可得 设B点坐标为,为整数代入表达式，可得 得,为整数 ，若k为整数，则k可取共8个 题型剖析 1.下列函数是一次函数的是( ) D A. B. C. D. 解：A项x次数为2，错误 B项x次数为2，错误 C项为分式，错误 D为正比例函数，正确 针对训练 2.若是正比例函数,则 的值是( ) C A. 0 B. C. 2 D. 解：根据正比例函数的概念，得，，故选C项 针对训练 3.函数 的图象为( ) A A. B. C. D. 解：当时， 当时， 故函数图像过点，选择A项 针对训练 4.一次函数 的图象在平面直角坐标系中的位 置如图所示，这个函数的表达式是( ) C A. B. C. D. 解：根据图像可知，函数图像y随x增大而减小，，排除A,B 过点,当时，，故选C项 针对训练 5.若点和点在一次函数 的图象上， 且当时，，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 解：当时，，可知函数表达式中， 即，解得，故选D项 针对训练 6.对于一次函数 ，下列结论正确的是( ) C A. 当时， B. 随 的增大而增大 C. 它的图象与轴交于点 D. 它的图象经过第一、二、四象限 解：解，得，A错误 ，随增大而减小，B错误 当时，，C正确 函数图像过二、三、四象限，D错误 针对训练 7.如图，水平轴为轴，竖直轴为轴.若点 在第二象 限，则函数 的图象可能是( ) B A. 以为原点的直线 B. 以为原点的直线 C. 以为原点的直线 D. 以为原点的直线 解：若在第二象限，，， 所以函数过一、二、四象限，故应选B项 针对训练 8.如图,直线与 的交点 在轴上,则不等式组 的解集为 ( ) C A. 无解 B. C. D. 解：由图像可知的解集为 的解集为，故不等式组的解集为 针对训练 9.如图，在平面直角坐标系中，点，点. 若将直线向上平移 个单位长度后与线段 有交点，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 解：设平移后的直线为，把代入，得 把代入，得 故的取值范围为 针对训练 10.甲、乙两车沿同一条路同时出发前往B地，甲 车到达B地后立即以原速沿原路返回，乙车到达 B地后停止运动.两车距B地的距离， 与甲车行驶时间 的函数图象如图所示，下列 正确的是( ) D A. B. C. 返程时， D. 两次相遇的时间间隔为 解：根据题意可知，A项错误 把,代入中可得，B项错误 把点,代入中可得，C项错误 解方程组和得第一次相遇时，第二次相遇时，间隔，故D正确 针对训练 11.在平面直角坐标系中,直线与轴、轴分别交于点 ， ,则点的坐标为______.若点在轴负半轴上， 为等腰三角形, 则点 的坐标为________________. 或 解：把，依次代入，可得A点坐标为,B点坐标为 若AB=BC，C点坐标为 若AC=BC，C点坐标为 针对训练 12.已知横、纵坐标都是整数的点叫做整点,在 , 的正方形方框内,函数 的图象经过的整点个数是2（如图）. （1）在, 的正方形方框内,函 数 的图象经过的整点个数是___. 2 （2）在, 为正整数 的正方形方框内,函数 的图象经过的整点个数是____. 解：(1)经过的整点为，共2个整点 (2)满足条件的整点为,共个 针对训练 13.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与 轴交于点 ，与直线交于点 . （1）直线 的表达式为___________. （2）直线与轴交于点，若点是直线 上一动点，且 满足，求点 的坐标. 解：在中，令，则，. 在 中，令，则，，， 设点 的坐标为， ， 解得或 点的坐标为或 . 针对训练 14.在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点 称为一次甲方式；从点移动到点 称为一次乙方式. 例如，点从原点 出发连续移动2次， 若都按甲方式，则最终移动到点； 若都按乙方式，则最终移动到点 ； 若按1次甲方式和1次乙方式，则最终移动到点 . （1）设直线经过上例中的点，，求 的表达式，并直接写出将向上平移9个单位长度得到 的直线 的表达式. 解：设的表达式为，由题意，得 解得 的表达式为. 将 向上平移9个单位长度得到的直线的表达式为 . 针对训练 （2）点从原点 出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式， 最终移动到点.其中，按甲方式移动了 次. ①用含的式子分别表示， ； 点按照甲方式移动了次，点从原点 出发连续移动10次， 点按照乙方式移动了次. 点按照甲方式移动 次后得到的点的坐标为 点按照乙方式移动 次后得到的点的横坐标为 ， 纵坐标为， . 针对训练 ②请说明：无论怎样变化，点 都在一条确定的直线上. 设这条直线为，确定它的表达式 ， 直线的表达式为 . 针对训练 ✅ 知识构建：一次函数 一次函数的概念→ 一次函数的图象与性质 → 一次函数的应用 ✅ 思想方法： 数形结合、函数建模、转化思想、待定系数法 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $