期中压轴题冲刺演练（二）复数新定义问题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期中压轴题冲刺演练（二） 复数新定义问题 1．（24-25高一下·山东聊城·期中）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．两个复向量，的线性运算定义为：；两个复向量，相等定义为：，；两个复向量，的积记作，定义为；复向量的模定义为；若复向量与满足，则称复向量与平行．已知． (1)若复向量，，且． （i）求m，n的值； （ii）判断与是否平行，并说明理由； (2)若复向量，且与平行，求． 2．（24-25高一下·浙江·期中）将复数，表示成三角形式，其中，，，是复数的模，是复数的辐角. (1)求方程的复数根，并用复数的三角形式表示虚部大于零的根； (2)已知，，试推导复数的三角形式； (3)在单位圆的内接六边形中，，P，Q，R分别为，，的中点，判断的形状并证明. 3．（24-25高一下·河南洛阳·期中）对任意复数，定义. (1)若，求相应的复数； (2)证明：； (3)若中的为常数，令，对任意，是否一定有常数使得？若有，这样的是否唯一？说明理由. 4．（25-26高一下·河南安阳·月考）已知复数可以表示为三角形式：，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角. 已知与的乘积运算公式如下：. (1)若，试将复数写成三角形式； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，. 5．（23-24高一下·浙江·月考）被称为“欧拉公式”，之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，则我们可以简化复数乘法． (1)已知，求； (2)已知O为坐标原点，，且复数在复平面上对应的点分别为，点C在上，且，求； (3)利用欧拉公式可推出二倍角公式，过程如下： ，所以． 类比上述过程，求出．（将表示成的式子，将表示成的式子）（参考公式：） 6．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位.它的一个简单而重要的结论是：余弦函数和正弦函数可以用定义在复数集上的指数函数构造出来，即.欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”.当时，得到等式，数学里最重要的五个常数被联系在一起，仿佛一句诗，道尽了数学之美. (1)证明：若，则与互为共轭复数； (2)已知，欧拉公式在复数集内可推广为，需要指出的是，和是复数，它们不是的实部和虚部，且.容易证明，两角和的余弦公式在复数范围内仍然成立，即.定义函数，.证明：； (3)若，令，证明：. 7．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）形如z=a+bi（a，b∈R）的数称为复数的代数形式.任何一个复数z=a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式， 即 其中r为复数z的模，θ是以x轴非负半轴为始边，向量 所在射线（射线OZ）为终边的角，称为复数. 的辐角，规定范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记为 argz. 叫做复数的三角形式.根据复数乘法运算的三角表示知： .推广，到n次幂有： 此结论称为棣莫弗定理.下面我们利用棣莫弗定理探究1的3次方根：设z=r（cosθ+isinθ）（）是1的3次方根，则 所以 因为相等的复数的模相等，辐角可以相差的整数倍.所以,所以1的3次方根是 .由三角函数周期性可得，1的3次方根为： 请结合材料回答以下问题： (1)将 表示成三角形式 （辐角取主值）； (2)在复数范围内，求出1的8次方根； (3)在复数范围内是否存在满足以下条件的集合 （i） ; （ii） 任意m 都有 若存请确定集合S；若不存在，请说明理由. 8．（24-25高一下·江西萍乡·期末）数学家在解决判别式的二次方程时引入了虚数，例如解得：，．实际上高阶方程同样在复数域中有解，如解得：，，；解得：，，，．数学家高斯发现对于一元次多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算，如解得：），这就是著名的代数基本定理． (1)已知方程的复数根在复平面内对应的点必然均分单位圆．试求解方程在复数域中的所有解； (2)已知复数的乘方运算满足，试求在复数域中的所有解； (3)试证明：方程（，且为偶数）在复数域内的所有解的和为． 9．（24-25高一下·新疆巴州·期末）代数基本定理是数学中最重要的定理之一，其内容为：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根.由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而，一元次复系数多项式方程有n个复数根（重根按重数计）. (1)在复数集中解方程：； (2)写出一个以为根的一元六次实系数多项式方程；（不需要写证明过程） (3)已知一元十次实系数多项式满足，求的值. 10．（24-25高一下·浙江衢州·期末）实系数一元三次方程，在复数集内的根为，方程可变形为，展开可得如果一元次方程系数是复数，根与系数的这些关系仍然成立． (1)已知方程有三个根，其中一个为1，求方程的另两个根； (2)设三个顶点在复平面内对应的复数分别为，满足，求内切圆半径； (3)记区间的长度为，若关于的不等式：的解集为，求中所有区间的长度之和（结果用表示）． 11．（24-25高一下·湖北·月考）由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.进而，一元次多项式方程有个复数根.（重根按重数计）.如设实系数一元二次方程，在复数集内的根为，，则方程可变形为，展开得.则有，即：.类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系. (1)设一元三次方程有三个不同实数根，，，求：及的值； (2)设函数的零点分别是，，，求的值； (3)设三个不同的实数，，满足：，，求的最大值. 12．（24-25高一下·湖北·月考）材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数包括重复因式就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理： 代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根. 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而，一元n次多项式方程有n个复数根重根按重数计 下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系. 设实系数一元二次方程 在复数集C内的根为、，容易得到 设实系数一一元三次方程① 在复数集C内的根为、、，可以得到，方程①可变形为 展开得：② 比较①②可以得到根与系数之间的关系： 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： 已知函数，函数的图象上有四个不同的点A、B、C、 (1)对于方程在复数集C内的根为、、，求的值； (2)已知函数，对于方程在复数集C内的根为、、，当时，求的取值范围. (3)若ABCD按逆时针方向顺次构成菱形，设，求代数式的值. 13．（24-25高一下·江苏常州·期中）对于一组复数（且），如果存在，使得，其中，那么称是该复数组的“长复数”. (1)设，，若是复数组，，的“长复数”，求实数的取值范围； (2)若，，复数组是否存在“长复数”?给出你的结论并说明理由； (3)若，，是否，对于，都能满足复数组，，中的每一个复数均为“长复数”?若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由. 14．（24-25高一下·湖北·期中）形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． (1)试将写成三角形式（辐角取主值）； (2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； (3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 15．（23-24高一下·浙江杭州·期末）对于，记为关于的“差比模”.若取遍，记关于的“差比模”的最大值为，最小值为，若，则称关于的“差比模”是协调的. (1)若，求关于的“差比模”； (2)若，是否存在，使得关于的“差比模”是协调的？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若且，若关于的“差比模”是协调的，求的值. 16．（23-24高一下·湖南长沙·期末）任意一个复数的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中为虚数单位，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题. (1)试将写成三角形式； (2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：； (3)计算：的值. 17．（24-25高一下·浙江·期中）类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数.已知复变函数，且，. (1)当时，解关于的方程：. (2)当时，①若，求的最小值. ②若存在实部不为5，虚部不为12的虚数和实数，使得恒成立，求的取值范围. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中压轴题冲刺演练（二） 复数新定义问题 1．（24-25高一下·山东聊城·期中）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．两个复向量，的线性运算定义为：；两个复向量，相等定义为：，；两个复向量，的积记作，定义为；复向量的模定义为；若复向量与满足，则称复向量与平行．已知． (1)若复向量，，且． （i）求m，n的值； （ii）判断与是否平行，并说明理由； (2)若复向量，且与平行，求． 【答案】(1)（i）；（ii）平行，理由见解析 (2) 【分析】（1）（ⅰ）根据复向量的线性公式，以及复向量相等的定义，即可列式求解； （ⅱ）根据复向量平行的定义，结合复向量的积的定义，即可判断； （2）首先设，根据复向量平行的定义，以及复向量积的定义，结合运算公式，利用待定系数法，即可求解 【详解】（1）（i）由题意得， 所以所以解得所以 （ii）由（i）知，所以，， 因为，得， 因为， ， 同理得， 所以，故与平行． （2）设， 则， 得， 又， ， 若与平行，则，即， 化简整理得，所以，，所以． 2．（24-25高一下·浙江·期中）将复数，表示成三角形式，其中，，，是复数的模，是复数的辐角. (1)求方程的复数根，并用复数的三角形式表示虚部大于零的根； (2)已知，，试推导复数的三角形式； (3)在单位圆的内接六边形中，，P，Q，R分别为，，的中点，判断的形状并证明. 【答案】(1)，，， (2) (3)为正三角形，证明见解析 【分析】（1）利用立方和公式因式分解可求解； （2）利用复数的乘法运算求解即可； （3）将六边形按逆时针顺序排列，六个顶点及P，Q，R对应的复数依次记为，设，进而可得，，，进而计算可得为正三角形. 【详解】（1）由立方和公式得，， 可得或， 解得三个根为，，，； （2） ； （3）将六边形按逆时针顺序排列，六个顶点及P，Q，R对应的复数依次记为， 以单位圆的圆心为坐标原点，建立平面直角坐标系， 设，由题意，得， ，，， ，，， ，， ， 由（1）知， ， 由复数乘法的几何意义，逆时针旋转与重合，故为正三角形. 3．（24-25高一下·河南洛阳·期中）对任意复数，定义. (1)若，求相应的复数； (2)证明：； (3)若中的为常数，令，对任意，是否一定有常数使得？若有，这样的是否唯一？说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)有，不唯一，理由见解析 【分析】（1）由复数新定义结合三角函数和指数函数的运算计算可得； （2）由复数的新定义结合复数的除法以及两角差的正余弦公式可得； （3）由复数的新定义结合三角函数的诱导公式计算可得. 【详解】（1）由，得， 由得，从而，， 解得，此时，； 故，. （2）设，， 则 又， 所以， 所以. （3）由题意得，， 因为，，， 所以， 所以令，，，则有， 当取不同值时，也有相应的不同值，故存在这样的，但不唯一. 4．（25-26高一下·河南安阳·月考）已知复数可以表示为三角形式：，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角. 已知与的乘积运算公式如下：. (1)若，试将复数写成三角形式； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，. 【答案】(1) (2)最大值为3，最小值为0 (3)答案见解析 【分析】（1）提取复数的模长，将其代数形式转化为标准三角形式； （2）利用，设，代入并通过模长公式、三角恒等变换化简，结合余弦函数值域求最值； （3）设单位复数，分别用乘积运算公式和多项式乘法计算，对比实部、虚部推导三倍角公式. 【详解】（1）设. （2）因为，故设. 故 ， 故，故的最大值为3，最小值为0. （3）设， 则， 但 ， 故，. 【点睛】本题综合考查复数的三角形式及相应运算，核心方法是利用单位复数的三角表示，将复数问题转化为三角运算问题，实现复数与三角学的联动应用. 5．（23-24高一下·浙江·月考）被称为“欧拉公式”，之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，则我们可以简化复数乘法． (1)已知，求； (2)已知O为坐标原点，，且复数在复平面上对应的点分别为，点C在上，且，求； (3)利用欧拉公式可推出二倍角公式，过程如下： ，所以． 类比上述过程，求出．（将表示成的式子，将表示成的式子）（参考公式：） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意直接代入运算即可； （2）根据复数的几何意义可得，结合向量的坐标运算求解； （3）根据题意将表示成的式子，将表示成的式子，运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知： ． （2）因为，则点，可得， 则， 所以． （3）由题意可得： ， 所以. 6．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位.它的一个简单而重要的结论是：余弦函数和正弦函数可以用定义在复数集上的指数函数构造出来，即.欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”.当时，得到等式，数学里最重要的五个常数被联系在一起，仿佛一句诗，道尽了数学之美. (1)证明：若，则与互为共轭复数； (2)已知，欧拉公式在复数集内可推广为，需要指出的是，和是复数，它们不是的实部和虚部，且.容易证明，两角和的余弦公式在复数范围内仍然成立，即.定义函数，.证明：； (3)若，令，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据欧拉公式展开复数，得出与实部相同，虚部相反，满足共轭复数定义；（2）运用双曲函数和三角函数的转换关系，，应用三角函数加法公式计算；（3）把已知条件代入复数表达式，分离实部和虚部，利用构造方程，得出结论. 【详解】（1）证明：， 的实部为，虚部为 又的实部为，虚部为 与实部相同，虚部相反，互为共轭复数. （2）代入双曲函数定义，应用三角函数加法公式： （3）代入已知复数表达式并分离实部与虚部： 由， ， 得， 由，整理得 7．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）形如z=a+bi（a，b∈R）的数称为复数的代数形式.任何一个复数z=a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式， 即 其中r为复数z的模，θ是以x轴非负半轴为始边，向量 所在射线（射线OZ）为终边的角，称为复数. 的辐角，规定范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记为 argz. 叫做复数的三角形式.根据复数乘法运算的三角表示知： .推广，到n次幂有： 此结论称为棣莫弗定理.下面我们利用棣莫弗定理探究1的3次方根：设z=r（cosθ+isinθ）（）是1的3次方根，则 所以 因为相等的复数的模相等，辐角可以相差的整数倍.所以,所以1的3次方根是 .由三角函数周期性可得，1的3次方根为： 请结合材料回答以下问题： (1)将 表示成三角形式 （辐角取主值）； (2)在复数范围内，求出1的8次方根； (3)在复数范围内是否存在满足以下条件的集合 （i） ; （ii） 任意m 都有 若存请确定集合S；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)以 (2) (3)存在这样的集合， 【分析】（1）根据复数的三角形式的定义计算可求解； （2）设是 1 的 8 次方根，有，求解即可； （3）取，验证可得结论. 【详解】（1）由，, 则，, 由，则， 所以； （2）1 的三角形式： 设是 1 的 8 次方根，则：， 解得：，， 取，得到 8 个不同的根： 所以， 即1 的 8 次方根为：，， ，， ，， ，； （3）取， ， ， 则 ， 因为，，所以， 所以是的整数倍，故. 所以在复数范围内存在满足以下条件的集合 （i） ; （ii） 任意m 都有 . 8．（24-25高一下·江西萍乡·期末）数学家在解决判别式的二次方程时引入了虚数，例如解得：，．实际上高阶方程同样在复数域中有解，如解得：，，；解得：，，，．数学家高斯发现对于一元次多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算，如解得：），这就是著名的代数基本定理． (1)已知方程的复数根在复平面内对应的点必然均分单位圆．试求解方程在复数域中的所有解； (2)已知复数的乘方运算满足，试求在复数域中的所有解； (3)试证明：方程（，且为偶数）在复数域内的所有解的和为． 【答案】(1)答案见解析 (2)． (3)证明见解析 【分析】（1）根据代数基本定理可求得方程的个复数根； （2）化简得，令，利用代数基本定理求出方程的三个复数根据，进而可得出方程的三个复数根； （3）由题意可知方程（，且为偶数），方程的个解对应的点均分单位圆，则相邻两个解夹角为，求出这个复数解与轴正方向的夹角，可知与夹角相差，即，利用并项求和法可证得结论成立. 【详解】（1）有解， 又其余个根在复平面内对应的点与对应的点均分单位圆， 所以复向量与轴正方向夹角分别为、、、、、， 故解为，    ，，，， ． （2）化简得，令，即， 由题知，，则， 其余个解与复数对应点均分单位圆， 所以，， 即，，， 综上，在复数域中的所有解为，， ． （3）对于方程（，且为偶数），设该方程有解， 方程的个解对应的点均分单位圆，则相邻两个解夹角为， 故所有解与轴正方向的夹角分别为， 因为为偶数，所以，……， ， ， 所以与夹角相差，即， 所以当，且为偶数时，方程在复数域内的所有解的和为． 9．（24-25高一下·新疆巴州·期末）代数基本定理是数学中最重要的定理之一，其内容为：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根.由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而，一元次复系数多项式方程有n个复数根（重根按重数计）. (1)在复数集中解方程：； (2)写出一个以为根的一元六次实系数多项式方程；（不需要写证明过程） (3)已知一元十次实系数多项式满足，求的值. 【答案】(1)，，， (2)（答案不唯一） (3) 【分析】（1）将方程因式分解得，再利用一元二次方程求根公式进行求解即可. （2）根据代数基本定理可写出满足条件的一元六次多项式方程，化简可得结果； （3）设，分析的根，根据代数基本定理表示出，令列方程求解a，最后令求解. 【详解】（1）由题意得，， 即，解得、1或， 所以方程在复数集中的解为，，，. （2）以为根的一元六次实系数多项式为： 所以， 所以， 所以， 所以以为根的一个一元六次实系数方程为： . （3）设， 因为是一元十次实系数多项式，所以是一元十一次实系数多项式， 因为，所以， 所以有11个根， 根据代数基本定理，得， 即， 令，则， 所以，解得. 令，得， 所以，解得. 10．（24-25高一下·浙江衢州·期末）实系数一元三次方程，在复数集内的根为，方程可变形为，展开可得如果一元次方程系数是复数，根与系数的这些关系仍然成立． (1)已知方程有三个根，其中一个为1，求方程的另两个根； (2)设三个顶点在复平面内对应的复数分别为，满足，求内切圆半径； (3)记区间的长度为，若关于的不等式：的解集为，求中所有区间的长度之和（结果用表示）． 【答案】(1)2，3． (2) (3) 【分析】（1）利用根与系数的关系求解即可； （2）设，由可知计算可得，得出三角形三个点的坐标，利用等面积法计算即可求得内切圆半径； （3）设，可确定在每一段区间内单调递减，可确定直线与曲线的交点区间，可知不等式的解集为，结合韦达定理可求得所有区间长度之和. 【详解】（1） 利用根与系数的关系可得：，解得． （2）根据三次方程根与系数的关系可知，为的三个根，首先必定有一个为0， 不妨设，则为的两个根， 分解因式得，所以， 所以三角形的三个顶点为， 设三角形内切圆的圆心为，半径为， 则三角形的面积， 即． 因为， 所以． （3）设函数． 反比例函数只存在递减区间，所以只存在递减区间， 故函数在上递减， 易得为函数图象的渐近线． 所以函数的图象与直线相交于个点． 这些点的横坐标为， 它们即为方程的所有解． 故由图象得，原不等式的解集为，    故解集中有个区间，所有区间长度之和为， 联系韦达定理： 可得一个关于的一元次方程，由韦达定理，只需考虑项与项的系数， 易得最高次项的系数为，项的系为，即． 所以有． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是能够充分理解韦达定理的形式，将所求区间长度转化为求解一元高次方程根与系数关系的问题，从而利用韦达定理求得结果. 11．（24-25高一下·湖北·月考）由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.进而，一元次多项式方程有个复数根.（重根按重数计）.如设实系数一元二次方程，在复数集内的根为，，则方程可变形为，展开得.则有，即：.类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系. (1)设一元三次方程有三个不同实数根，，，求：及的值； (2)设函数的零点分别是，，，求的值； (3)设三个不同的实数，，满足：，，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)结合题意利用待定系数法得到方程组求解得到结果, （2）对方程两边同时除以 结合第一问，利用待定系数法求解即可， （3）令 ，把 可看作方程 的三个根，利用第二小问的思路进一步求解得到，同时得到结合的取值范围得到结果即可. 【详解】（1）令 , 则 对比项系数,得: . （2）令 ，则.显然方程两边同时除以， 得: ，即:. 是方程 的三个根. 由 （1） 知: 故. （3）令， 则 ，且 . 可看作方程 的三个根， 令， 则 对比项系数，得: 当时，有. 12．（24-25高一下·湖北·月考）材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数包括重复因式就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理： 代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根. 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而，一元n次多项式方程有n个复数根重根按重数计 下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系. 设实系数一元二次方程 在复数集C内的根为、，容易得到 设实系数一一元三次方程① 在复数集C内的根为、、，可以得到，方程①可变形为 展开得：② 比较①②可以得到根与系数之间的关系： 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： 已知函数，函数的图象上有四个不同的点A、B、C、 (1)对于方程在复数集C内的根为、、，求的值； (2)已知函数，对于方程在复数集C内的根为、、，当时，求的取值范围. (3)若ABCD按逆时针方向顺次构成菱形，设，求代数式的值. 【答案】(1)11； (2)； (3). 【分析】（1）根据已知有，结合已知材料有、，即可求； （2）根据已知，设及多项式相等得，进而有，即可得范围； （3）设菱形的对角线的交点为M，由题意，C为代入函数得到，结合菱形的性质及的坐标表示得到，讨论得矛盾，即可得. 【详解】（1）将变形，已知，则方程为， 由材料得这里， 若根为，根据根与系数的关系有，， （2）由题有的三个实根为，设， 展开得，故， 则，又，故， 综上：当时，的取值范围为； （3）设菱形的对角线的交点为M点，坐标为， 先证点M为函数的对称中心，证明如下： 由题意，A，C两点关于M对称，，故C点坐标为， 将C点坐标代入函数可得， 即 即， 化简可得：， 因为有四个不同的点，所以关于m的方程有四个不同的解，故各项系数均为0， 即，解得，所以，且在上. 又因为ABCD按逆时针方向顺次构成菱形，故 又，则， 所以， 即， ， ， 若，则或，即点A与点M重合或点B与点M重合，此时四边形ABCD不能构成菱形， 故 13．（24-25高一下·江苏常州·期中）对于一组复数（且），如果存在，使得，其中，那么称是该复数组的“长复数”. (1)设，，若是复数组，，的“长复数”，求实数的取值范围； (2)若，，复数组是否存在“长复数”?给出你的结论并说明理由； (3)若，，是否，对于，都能满足复数组，，中的每一个复数均为“长复数”?若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在“长复数”，且“长复数”为 (3)或 【分析】（1），，，是复数组，，的“长复数”，从而，由此能求出结果； （2）由，存在“长复数”，只需要， 列不等式组求出结果； （3）由题意，得，，则可得，同理得，结合二倍角公式可求得的值． 【详解】（1）由题意可得：，又， 故，，， 故， 解得； （2）存在“长复数”，且“长复数”为，理由如下： 由题意可得， 若存在“长复数”，只需要， 又， 故，即，， 当或时，符合要求，故存在“长复数”，且“长复数”为； （3）由题意，得，， 即， 即，解得， 同理，所以，解得， 故， 因为，所以或. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解不等式，结合复数的模长公式，不等式的性质，三角函数的恒等变换等求解. 14．（24-25高一下·湖北·期中）形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． (1)试将写成三角形式（辐角取主值）； (2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； (3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量三角函数形式的定义代入计算辐角即可； （2）先计算得，再代入化简即可； （3）设，代入化简，则，从而得到，最后计算得，从而得到其最值. 【详解】（1）由于，故，所以， 所以，因为，所以， 所以. （2） . . （3）设， 则 . 因为存在实数，使得成立，所以为实数， 所以， 因为，所以， 当时，，符合题意，点A的轨迹为单位圆的一部分． 设所表示的复数为， 则 记所表示的复数为，则， 故， 当时，. 15．（23-24高一下·浙江杭州·期末）对于，记为关于的“差比模”.若取遍，记关于的“差比模”的最大值为，最小值为，若，则称关于的“差比模”是协调的. (1)若，求关于的“差比模”； (2)若，是否存在，使得关于的“差比模”是协调的？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若且，若关于的“差比模”是协调的，求的值. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）由“差比模”定义代入复数，由复数的代数运算及求模可得； （2）由，利用共轭复数的性质与模的性质可得，利用基本不等式可得可知不存在，使得关于的“差比模”是协调的； （3）设，由平方整理再结合辅助角公式可得，利用三角函数有界性可得关于的不等式，由此可解得，结合韦达定理与题意关于的“差比模”是协调的，化简可求. 【详解】（1）由题意得， 故关于的“差比模”为. （2）先证明共轭复数有如下性质：若任意，则. 证明：设， 则， 而， 故. ； ； 故. 综上，共轭复数的性质得证. 记当“差比模”取最大值时的复数为，即. 由已知发现， 由已证明共轭复数的性质与复数模的性质可得 因为， 所以若当时取得，则时取到， 故可知， 由取遍，不恒为常数，则， 故由基本不等式可得， 故不存在，使得关于的“差比模”是协调的. （3）且，设， 则， 平方整理可得： 所以， 即， 平方整理得：， 令，设方程， 则， 故方程有两个不等的实数根，设为，不妨设. 由题意知， ， 则，且， 故方程有两不等的正实数根， 由关于的不等式， 解得， 则，， 由已知关于的“差比模”是协调的，则， 所以， 利用韦达定理，， 则有， 化简可得， 故． 【点睛】结论点睛：有关共轭复数及模的常用性质有： （1）任意，则； （2）任意，则. 16．（23-24高一下·湖南长沙·期末）任意一个复数的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中为虚数单位，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题. (1)试将写成三角形式； (2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：； (3)计算：的值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）借助所给定义计算出模长及其即可得； （2）设模为1的复数为，直接计算出及借助复数乘方公式得到后，结合复数定义即可得； （3）先证明，再借助（2）中所得公式将四次方分别化简后结合积化和差公式计算即可得. 【详解】（1）由于，故， 则； （2）设模为1的复数为， 则 ， 由复数乘方公式可得， 故，； （3）首先证明： ， 由于，则， 则 ，故， 则可得 ， ， 所以 . 【点睛】关键点点睛：本题考查了复数的新定义问题，解答时要注意理解棣莫弗定理的含义以及复数乘方的运算，解答的难点在于第三问的求值，解答时要利用三倍角公式结合恒等变换化简，并结合进行求解. 17．（24-25高一下·浙江·期中）类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数.已知复变函数，且，. (1)当时，解关于的方程：. (2)当时，①若，求的最小值. ②若存在实部不为5，虚部不为12的虚数和实数，使得恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)①；②. 【分析】（1）由题设得，将方程化为求解即可； （2）①令（，且），进而得到，且，结合求最值；②令（且，，），进而得到得代数形式，结合复数的性质有，进而有，即可得范围. 【详解】（1）当时，，则. 由，整理得，则； （2）①令（，且），因为，所以. ， 因为，所以. 因为，当时，. ②当时 令（且，，）， 则 ， 要使的恒成立，所以，即， 所以，则对应点在以为圆心，1为半径的圆周上(不含横坐标为5，纵坐标为12的点)， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $