微专题02 平面直角坐标系中的规律探究（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

微专题02 平面直角坐标系中的规律探究 题型一 周期循环规律探究 1. 先写出前 5～8 个点的坐标，观察纵坐标或运动路线，找到重复出现的周期（常见：4 次、6 次一循环）； 2. 用序号 n÷ 周期，得到商和余数； 3. 余数 = 0 → 对应周期最后一个点；余数≠0 → 对应周期第几个点； 4. 根据余数位置直接写出第 n 个点坐标。 1．（25-26七年级上·山东东营·月考）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标规律探究，通过观察运动次数与坐标的对应关系，总结出横坐标和纵坐标的变化规律，其中横坐标与运动次数相等，纵坐标以“1，0，2，0”为周期循环． 【详解】解：每次运动的横坐标等于运动次数，因此第次运动的横坐标为； 纵坐标规律：观察前几次运动的纵坐标，可得1，0，2，0，1，0，2，，…依次循环 ∵……1， ∴第次运动后，动点的纵坐标与第1次运动后点的纵坐标相等，为1， ∴第次运动后，动点的坐标是； 故选：A． 2．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，平面直角坐标系内，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的规律，第2026次运动到点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查图形类规律的探索，解题的关键是找出点的移动的规律． 根据点的运动规律进行求解即可． 【详解】解：根据点运动规律可得，点每运动1次横坐标向右移动一个单位长度，纵坐标每移动5次为一个循环周期， ∴， ∴点的横坐标为， 纵坐标为2， ∴点的坐标是， 故选：D． 3．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，， ，按此规律，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的坐标变化规律问题，由图可知，从开始，每四个点一次循环，其中点为每次循环的起点，每经过一次循环，起点的横坐标减，纵坐标加，点到点刚刚好经过四次循环，据此解答即可求解，找出点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：由图可知，从开始，每四个点一次循环，其中点为每次循环的起点， 由坐标变化规律可知，每经过一次循环，起点的横坐标减，纵坐标加， ∵，即点到点刚刚好经过四次循环， 又∵， ∴，即， 故选：． 4．如图，在平面直角坐标系中，A1（2，0），B1（0，1），A1B1的中点为C1；A2（0，3），B2（﹣2，0），A2B2的中点为C2；A3（﹣4，0），B3（0，﹣3），A3B3的中点为C3；A4（0，﹣5），B4（4，0），A4B4的中点为C4；…；按此做法进行下去，则点C2022的坐标为（　　） A．（﹣1012，） B．（﹣1011，） C．（﹣1011，） D．（﹣1012，） 【答案】B． 【分析】根据题意得点∁n的位置按4次一周期的规律循环出现，可求得点C2022在第二象限，从而可求得该题结果． 【详解】解：由题意可得，点∁n的位置按4次一周期的规律循环出现， ∵2022÷4＝505……2， ∴点C2022在第二象限， ∵位于第二象限内的点C2的坐标为（﹣1，）， 点C6的坐标为（﹣3，）， 点C10的坐标为（﹣5，）， …… ∴点∁n的坐标为（，）， ∴当n＝2022时，1011，， ∴点C2022的坐标为（﹣1011，）， 故选：B． 【点睛】此题考查了点的坐标方面规律性问题的解决能力，关键是能根据题意确定出该点的出现规律． 5．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第2026秒时，点A的对应点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标规律探索，根据旋转的性质分别求出第时，点A的对应点的坐标，找到规律，进而得出第时，点A的对应点的坐标． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴点A在第一象限的角平分线上， ∵叶片每秒绕原点O顺时针转动， ∴，…， ∴A点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ∵， ∴点与点重合， ∴． 故答案为：． 6．（25-26七年级下·江苏南通·月考）如图，动点在平面直角坐标系中按图中所示方向运动，第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五次运动到点，第六次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是___ ，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据点的运动规律进行求解． 【详解】解：由图知，点，点的坐标是； 根据题意得，点的运动规律呈循环周期，循环周期为7，且依次向右平移一个单位长度，即横坐标依次增加一个单位长度， 周期内纵坐标依次为， ， ∴点的坐标是． 7．如图所示，点，，，，……在平面直角坐标系上的坐标分别是，，，，……则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】观察点的坐标可得，横坐标依次增加，且当点的下标为偶数时，横坐标为下标除以，纵坐标以，，，这个数为一个循环，由此计算即可得出结果． 【详解】解：观察点的横坐标：的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，可发现横坐标依次增加，且当点的下标为偶数时，横坐标为下标除以， 观察纵坐标，的纵坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为，可发现纵坐标以，，，这个数为一个循环， ∵是偶数， 故点的横坐标为， ∵， ∴点的纵坐标为， 故点的坐标为． 8．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，点P1，P2，P3，…均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2），…，根据这个规律，点P2022的坐标为 　 　． 【答案】（﹣505，506）． 【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，点P2022的在第三象限，且横纵坐标的绝对值＝2022÷4的商，纵坐标是2022÷4的商+1，再根据第三项象限内点的符号得出答案即可． 【详解】解：∵2022÷4＝505…2， ∴点P2022在第二象限， ∵P6（﹣1，2），P10（﹣2，3），P14（﹣3，4），…， 6÷4＝1…2，10÷4＝2…2，14÷2＝3..2，…， ∴P2022（﹣505，506）． 故答案为：（﹣505，506）． 【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，是一个阅读理解，猜想规律的题目，解答此题的关键是首先确定点所在的大致位置，所在正方形，然后就可以进一步推得点的坐标． 9．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点O出发，按图中顺序运动，即→→→→→→→…，按这样的运动规律，完成下列任务： (1)直接写出下列各点的坐标： ①：______；②：______； (2)在动点A的运动过程中，若有连续四点，，，，请写出，，，之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)；理由见解析 【分析】本题考查了点的坐标规律，发现规律是关键． （1）观察点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环，据此求解即可； （2）根据（1）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：观察发现：点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环， ，， ，， 故答案为：①；②； （2）解：． 理由：由点的坐标的变化规律可知：横坐标依次增加1，纵坐标以3，0，，0为周期循环． ，，，为动点A在运动过程中的连续四点， ． 题型二 奇偶项分开规律探究 1. 把点按序号分成两组：奇数项（A₁、A₃、A₅…）、偶数项（A₂、A₄、A₆…）； 2. 分别观察两组的横坐标变化（每次加几）、纵坐标变化（每次加几或固定）；3. 分别写出奇数项、偶数项的坐标公式（用 n 表示）； 4. 判断 n 是奇数还是偶数，代入对应公式计算。 1．（25-26七年级下·江苏南通·月考）如图，点，点，点，点，点…，按照这样的规律下去，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将点按序号分组，观察每一组内点的横、纵坐标变化规律，因为已知多个点的坐标，所以分别提取横、纵坐标的数值，寻找与点的序号对应的通项公式因为2026是确定的序号，所以将 代入推导得到的横、纵坐标通项公式，计算出对应坐标． 【详解】由题可知，点，点，点，点，，，，，，，，（n为正偶数） 当时，，， ∴的坐标为． 2．（2026·江西吉安·一模）光纤通讯是利用光的全反射原理．在一段水平笔直放置的光纤中，以光纤中心轴线为x轴建立平面直角坐标系，如图，一束光从出发，经过第1次全反射到达，在经过第2次全反射到达，在经过第3次全反射到达，依此类推，经过第2025次全反射到达，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据点的下标的情况判断偶数点的横坐标与纵坐标的变化规律，再进一步求解即可． 【详解】解：， ∵如图，一束光从出发，经过第1次全反射到达，在经过第2次全反射到达，在经过第3次全反射到达， ∴下标为奇数的点的纵坐标为，下标为偶数的点的纵坐标为， ∴的纵坐标为， ∵下标为偶数的两个点之间的距离为， ∴的横坐标为：， ∴的坐标为． 3．（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，按照此规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先观察平面直角坐标系中坐标的数据，分别总结出横、纵坐标的变化规律，即可得解． 【详解】解：根据平面直角坐标系中坐标的数据，可得出： 、的横坐标为，、的横坐标为，、的横坐标为，， 的横坐标为； 的纵坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为，， 的纵坐标为， 的纵坐标为； 点的坐标为． 4．（24-25八年级上·重庆·月考）如图．在平面直角坐标系中，一动点从点出发，其顺序按图中“”方向排列，依次为：，，，，，，，…，根据这个规律，第2024个点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 第2024个点为组中的最后一个数字，故横坐标为：0；从以上四组数据看，偶数组第2、4组最后一个数为：，，则第506组纵坐标为，由此求解即可． 【详解】解：通过图象可知，每四组为一个周期， 对应的数据为：第一组：； 第二组：； 第三组：； 第四组：； 而， 则第2024个点为组中的最后一个数字，故横坐标为：0； 从以上四组数据看，偶数组第2、4组最后一个数为：，， 则第506组纵坐标为， 故第2024个点的坐标为：． 5．（25-26七年级下·重庆·月考）规律探究：如图，在平面直角坐标系中，已知，，，，，，…按这样的规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出一定数量的坐标，可得出点（为正整数）的横坐标为，纵坐标为每6个一循环，即可求解． 【详解】解：∵，，，，，，，，，，，， ，，，，，， ∴点（为正整数）的横坐标为，纵坐标为每6个一循环， ∴点的横坐标为， ∵， ∴点的纵坐标与的纵坐标相同为， ∴点的坐标为． 6．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，点，点，点，点按照这样的规律下去，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，对于点，根据题意可知，当为偶数时，该点的横坐标为，纵坐标为． 【详解】解：对于点，根据题意可知，当为偶数时，该点的横坐标为，纵坐标为． 所以，点的坐标为． 故选：A 7．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图所示，，，，，，…，按此规律，点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律，先观察点的横坐标规律，再分析纵坐标规律，最后根据规律求坐标． 【详解】，，，，，…， 横坐标依次为， 的横坐标为． 的横坐标为． 的纵坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为， 当为奇数时，设（为正整数），则： 当时，的纵坐标为； 当时，的纵坐标为； 当时，的纵坐标为； 可得规律：当为奇数时，的纵坐标为；当为偶数时，的纵坐标为； 是奇数， 令， 解得． 是奇数， 的纵坐标为． 点的坐标为． 故选：A． 8．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，在平面直角坐标系上有，点第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至…依照此规律跳动下去，点第次跳动至的坐标______________．    【答案】 【分析】本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是从一般到特殊探究规律，利用规律解决问题，仔细观察点的坐标变化规律，利用规律求解即可． 【详解】解：观察点的跳动规律，奇数次跳动时，横坐标是为跳动次数），纵坐标是． 当时，横坐标为，纵坐标为， 所以的坐标为． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，，…，按照这样的规律下去，点的坐标为_____________. 【答案】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标规律，分别从横坐标、纵坐标进行探究是解题的关键．从横坐标、纵坐标两方面探究即可求解． 【详解】解：从开始，坐标依次为： ， 横坐标为， 横坐标为， 横坐标为， 横坐标为， 纵坐标为1， .纵坐标为2， 纵坐标为3， 纵坐标为， 的坐标： 横坐标：， 纵坐标：2026， 的坐标为． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动： 第一次：原点； 第二次：； 第三次：； 第四次：； 第五次：； ．．． 归纳上述规律，完成下列任务． (1)直接写出下列坐标：_______，_______，________； (2)第2025次运动后，的坐标为_______； (3)点距轴的距离为______，点距轴的距离为_______． 【答案】(1)；； (2) (3)5；299 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据点P的运动方式发现其坐标的变化规律是解题的关键． （1）根据动点P的运动方式，即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）求出点的坐标即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，，，，…， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 令， 解得， ∴． 即点的坐标为． 同理可得，点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：； （2）解：根据（1）的发现可知， 令， 解得， ∴点的坐标为． 故答案为：； （3）解：根据（1）的发现可知， 令， 解得， ∴点的坐标为． 则点到轴的距离是5，到轴的距离是299． 故答案为：5，299． 题型三 平移 / 跳动规律探究 1. 牢记平移口诀：向右→横坐标 +；向左→横坐标−；向上→纵坐标 +；向下→纵坐标−； 2. 找出每次跳动的方向和单位长度； 3. 数清楚跳动总次数，按次数累加横、纵坐标； 4. 若有循环跳动，先算周期，再用余数定位最后位置。 1．（25-26七年级下·云南曲靖·月考）在平面直角坐标系中，一个智能机器人从原点出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其移动路线为：第一次向上移动1个单位到达，第二次向右移动1个单位到达，第三次向下移动1个单位到达，第四次向右移动1个单位到达，……．则第2026次移动后所在位置的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到每4次移动为一个循环周期，每个周期向右移动2个单位长度，纵坐标按循环变化，计算得到余数后即可确定对应坐标． 【详解】解：根据题意可得前几次移动后点的坐标： 可知移动4次为一个循环，每个循环横坐标增加2，纵坐标依次为． 第2026次移动是第507个循环的第2次移动， 横坐标为，纵坐标为， 即第2026次移动后点的坐标为． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度．再竖直向下平移2个单位长度，得点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移6个单位长度得点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移8个单位长度得点…，按此做法进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，观察可知下标为偶数的点在第一象限的角平分线上，进而得到，即可得出结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：观察题图可知，下标为偶数的点在第一象限， ，，，， ∴， 当时，， ∴， 故选：A． 3．（25-26七年级下·江西·月考）如图，在平面直角坐标系上有个点，点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，点第2026次跳动至点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照题中的跳动规律，通过前面几个点的坐标，归纳出坐标的变化规律，再由，找准规律计算即可求解． 【详解】解：根据题中规律可得： ； 、、、； 、、、； 、、、； 、、、，其中为正整数； ， 点第2026次跳动至点的坐标满足，为． 4．（25-26七年级下·湖南长沙·月考）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，，…，则点的横坐标是________． 【答案】675 【分析】根据点的移动可知点的横坐标从的开始，每过三个坐标，则增加1，据此即可解答． 【详解】解：∵，，，，，，，，，，，，， ∴点的横坐标从的开始，每过三个坐标，则增加1， ∵， ∴点的横坐标为． 5．（23-24七年级下·广西北海·期末）如图，点，点向上平移个单位，再向右平移个单位，得到点；点向上平移个单位，再向右平移个单位，得到点；点向上平移个单位，再向右平移个单位，得到点，，按这个规律平移得到点，则点的横坐标______． 【答案】/ 【分析】本题考查了点坐标规律探索，点的平移，先求出点，，，的横坐标，得出规律即可，熟练掌握平移的性质得出坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵点， ∴点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，一架微型机器人在平面直角坐标系的原点处，它第一次向右行驶一格到处；第二次在的基础上向上行驶两格到处；第三次在的基础上向左行驶三格到处；第四次在的基础上向下行驶四格到处；以此类推，这架机器人行驶2025次时到达处的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先分别求出，，处的坐标，归纳类推出处的坐标（其中为正整数），再根据解答即可得． 【详解】解：由题意得：处的坐标为，即， 处的坐标为，即， 处的坐标为，即， 归纳类推得：处的坐标为，即，其中为正整数， ∵， ∴处的坐标为，即， 故答案为：． 7．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令，从原点出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动m，其行走路线如图所示，第次移动到，第次移动到……，第次移动到，则坐标是______；机器人移动第次即停止，则的面积是______． 【答案】 【分析】根据图形得出下标为4的倍数时对应长度即为下标的一半，据此可得． 【详解】解：，，，，，，， ， 的坐标为， 即的坐标为， 由题意知， ， ， ， 则的面积是． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一点从开始按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其运动路线如图所示．根据规律，解决下列问题． （1）填写下列各点的坐标： 点（___，___）， 点（___，___）， 点（___，___）， …… 点的坐标为_________． （2）指出从点到点的移动方向：_________． 【答案】（1），  ， ， ；（2）向右 【分析】本题考查同学们在平面直角坐标系中，循环问题的循环规律，通过奇偶性的不同来分别讨论，通过横纵坐标的不通规律分别讨论，最后通过坐标上两点间的距离求解． （1）通过图象，推理可得到的坐标情况，通过分析各个点的坐标，找到对应的规律，通过分别讨论每个点的横、纵坐标来总结规律； （2）根据（1）发现的规律，每四个点一个循环，进而可得从点到点的移动方向． 【详解】解：（1）由图可知，、、、、、，……，，， 根据各点坐标的规律可知，n为偶数时，的横坐标为，n为奇数时，的横坐标为，n的纵坐标为4次一循环，循环顺序为→→0→0→， 为奇数， 点的横坐标为， ， 点的纵坐标为， 点的坐标为， 故答案为：，  ， ， ； （2）解：因为每四个点一个循环， 所以， 所以从点到点的移动方向是向右． 9．（2026·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“可余点”．将某“可余点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“可余点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下． 若“可余点”按上述规则连续平移20次后，到达点，则点的坐标为________． 【答案】或 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，先分别计算余0，1，2的点的平移规律，然后分两种情况进行反方向平移求解即可． 【详解】解：根据已知：点横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位……，因此发现规律为： ①若“可余点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，先向右平移个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移； ②若“可余点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，则按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移； ③若“可余点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，则按照向左、向上，向左、向上不断重复的规律平移； 若“可余点”按上述规则连续平移20次后，到达点，则按照“可余点”反向运动次即可，可以分为两种情况： 若按照②或③方式：则向右平移次，向下平移次即为“可余点”，则，即； 若按照①方式：则需要向下平移10次，向右平移9次，再向左平移1次，则，即， 综上：点的坐标为或 故答案为：或． 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，设一点自处向上运动个单位长度至，然后向左运动个单位长度至处，再向下运动个单位长度至处，再向右运动个单位长度至处，再向上运动个单位长度至处，，如此继续运动下去，设（为正整数）． (1)_____； (2)_____；_____； (3)求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（）根据平移方式得出点的坐标，进而即可求解； （）根据平移方式得出点的坐标，即可求解； （）由即可求解； 本题考查了点的坐标规律变化问题，根据题意找出点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，，，， ∴，，，， ∴， 故答案为：； （2）解：由平移规律可知，把向左运动个单位长度至处，再向下运动个单位长度至处，再向右运动个单位长度至处，再向上运动个单位长度至处， ∴，，，， ∴，， 故答案为：，； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 题型四 环绕 / 周长相遇规律探究 1. 先算图形周长（长方形：长宽）； 2. 两个点反向运动：路程和 = 周长 × 相遇次数； 3. 用总路程 ÷ 周长，看余数； 4. 余数对应从起点出发走多少单位，确定相遇点坐标。 1．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，．一只蚂蚁从点出发，以每秒钟一个单位长度的速度沿的方向在四边形的边上匀速爬行，则在2026秒时蚂蚁所在位置的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探究．根据题意可得蚂蚁从点出发沿所走路程是：，然后计算，可得第2026秒时蚂蚁在与轴的交点处，进而可得答案． 【详解】解：由点，，，，可知是长方形， ∴，， ∴蚂蚁从点出发沿所走路程是：． ∵， ∴第2026秒时蚂蚁在与轴的交点处， ∴蚂蚁所在点的坐标为． 故答案为：． 2．如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙都从点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇点的坐标是（　　） A．（2，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，0） D．（﹣1，﹣1） 【答案】A． 【分析】根据两个物体运动速度和矩形周长，得到两个物体的相遇时间间隔，进而得到两个点相遇的位置规律． 【详解】解：由已知，矩形周长为12， ∵甲、乙速度分别为1单位/秒，2单位/秒， 则两个物体每次相遇时间间隔为4秒， 则两个物体相遇点依次为（﹣1，1）、（﹣1，﹣1）、（2，0）， ∵2022＝3×673…3， ∴第2022次两个物体相遇位置为（2，0）， 故选：A． 【点睛】本题为平面直角坐标系内的动点坐标规律探究题，解答关键是找到两个物体相遇的位置的变化规律． 3．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从A点出发，沿着循环爬行，其中A点坐标为的坐标为的坐标为，D的坐标为，当蚂蚁爬了2023个单位时，它所处位置的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知：，，，，可求出蚂蚁爬行一周的路程为12个单位，然后求出2023个单位能爬168圈还剩7个单位，结合图形即可确定位置为． 【详解】解：由题意知：，，，， 蚂蚁爬行一周的路程为：， ， 即蚂蚁爬行2023个单位时，所处的位置是与y轴的交点， 其坐标为． 4．（24-25七年级下·贵州安顺·期末）如图，长方形的顶点坐标分别为，，，，点，同时从点出发，在长方形的边上做环绕运动，点以2个单位长度/秒的速度沿顺时针方向运动，点以1个单位长度/秒的速度沿逆时针方向运动，则点，在运动过程中第次相遇时，相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可求出长方形的周长．设点，出发t秒第次相遇，即可列出关于t的等式，解出，从而可求出此时点的路程为．最后根据长方形的周长，即得出相遇点在点A，从而得出相遇点的坐标． 【详解】解：，，，， ，． 长方形的周长． 设点，出发t秒第次相遇，则， 解得：． ∴此时Q的路程为． ∵， ∴相遇点在A． 相遇点的坐标为． 5．（25-26八年级下·广东茂名·开学考试）如图，直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个长度单位，同时点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个长度单位，记，在长方形边上第次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，根据点坐标可得长方形的周长，设点与点每次相遇所需时间为秒，由行程问题的数量关系可得，由此可得每次相遇的时间，从而找出规律计算即可求解． 【详解】解：如图可知， ∴长方形的周长为， ∴每一次相遇后，出发到再相遇，点和点所运动的路程和均为， 设点与点每次相遇所需时间为秒，则，解得， 即每秒相遇一次，则根据运动方式可求出 ，可以发现相遇点的坐标每次完成一循环， 又∵， ∴点的坐标与点的坐标相同，即点的坐标为． 6．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，动点从点出发，以每秒3个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2026次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中坐标的规律问题，掌握点的运动规律，行程问题中的相遇问题的计算方法是解题的关键． 运用行程问题中的相遇问题，根据矩形的周长，确定每次相遇时点的坐标，从而找出规律，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，四边形周长为， 如图，设与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点， ∴，，，， 设点、运动时间为秒， 由题意得，点、第1次相遇时，，解得（秒），则相遇点为， ∵第1次相遇后，点从点按逆时针方向出发，每秒3个单位做环绕运动， 点从点按顺时针方向出发，每秒2个单位做环绕运动，且每次相遇后都按此进行运动， ∴，解得（秒），即每2秒相遇1次，点运动6个单位，点运动4个单位， ∴第2次相遇在点，第3次相遇在点，第4次相遇在点，第5次相遇在点，第6次相遇在点，， ∴每5次相遇点重合一次， ∴， ∴第2026次相遇点的坐标是． 故选：A． 题型五 新定义坐标变换规律探究 1. 看清题目给的变换规则（如伴随点、友好点、派生点）； 2.按规则依次计算前 4 个点坐标（P₁→P₂→P₃→P₄→P₅）； 3.找到循环周期（几乎都是 4 次一循环）； 4. 用 n÷ 周期看余数，余数是几就对应第几个点坐标。 1．（23-24九年级下·江苏南通·自主招生）平面直角坐标系中，经过某种变换后得到，我们把叫做的终结点，已知的终结点为，的终结点为，的终结点为，…这样依次得到．若点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据终结点的变换规则求出前几个点的坐标，找出循环周期，再通过计算余数确定目标点的坐标即可． 【详解】解：根据题意，变换规则为：点的终结点为． ， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 由此可知坐标每次变换为一个循环， ， 的坐标与的坐标相同，为． 2．（25-26八年级下·上海·月考）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为这样依次得到点 ．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的变换规律，解题关键是先根据“伴随点”的定义计算前几个点的坐标，找到变换的周期性，再通过求余数确定所求点在周期中的位置，得到对应坐标。 【详解】∵ 点的伴随点为，且 ∴ 依次计算得： 的坐标为 的坐标为 的坐标为 的坐标为，与坐标相同 ∴ 伴随点的坐标每4次变换为一个周期循环 ∵ ∴ 的坐标与周期中第2个点的坐标相同，为 3．（2026·河北保定·模拟预测）任取一个非零整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数．就将该数除以2，这叫把该数进行1次运算．在平面直角坐标系中，将点(其中x与y均为非零整数）中的分别按上述运算得到新点的横、纵坐标．例如：点经过1次运算得到点，经过2次运算得到点；以此类推．若点（其中均为非零整数）经过10次运算后得到点，则点不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据给定运算规则，先验证得所有选项横坐标都符合要求，只需计算各选项纵坐标经过10次运算的结果，利用周期规律简化推导即可得到答案． 【详解】四个选项横坐标均为，为偶数，每次运算都除以2，经过10次运算后得，符合要求，只需验证纵坐标： A． 纵坐标 ∵是奇数，第1次运算得，第2次运算得，运算周期为2， ∴10次（偶数）运算后结果仍为，符合要求． B． 纵坐标 ∵第1次运算得，第2次运算得，运算周期为2，偶数次运算结果为. ∴10次运算后结果为，不符合要求． C． 纵坐标 ∵是偶数，连续10次除以2得. ∴10次运算后结果为，符合要求． D． 纵坐标 ∵前8次连续除以2得，剩余2次运算，由A的推导可知经过2次运算结果为. ∴10次运算后结果为，符合要求． 综上，点不可能是B选项． 故选：B. 4．（2026八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点称为点P的伴随点．已知点的伴随点为点，点的伴随点为点，点的伴随点为点，……，这样依次得到点，，，，…，（n为正整数）．若点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据新定义，求出前几个点的坐标，进而找到坐标规律，进行判断即可． 【详解】解：根据题意可知： ，即：， ，即：， ，即：， ，即：， ，即， ⋯， 即：的坐标按照：，，，，每四次一个循环， ∵， ∴点的坐标为． 5．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过次运算后得到点______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，点的规律，根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可． 【详解】解：点经过1次运算后得到点为，即为， 经过2次运算后得到点为，即为， 经过3次运算后得到点为，即为， ……， 发现规律：点每经过3次运算一循环， ∵， ∴点经过2026次运算后得到点， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·广西桂林·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的友好点，已知点的友好点为点，点的友好点为点，点的友好点为点，…以此类推，当点的坐标为时，点的坐标为______． 【答案】 【分析】此题考查了坐标规律问题，根据友好点的定义，依次求出点、、、的坐标，发现每4个点坐标循环一次，由于2024是4的倍数，点的坐标与点的坐标相同． 【详解】解：当点的坐标为时， 根据友好点的定义得，点的坐标为，即； 点的坐标为，即； 点的坐标为，即； 点的坐标为，即，与点坐标相同， 因此，点的坐标每4个点循环一次， 因为， 所以点的坐标与点的坐标相同，为． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第2026次运算后得到点是_______． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探究，点的坐标规律，求函数值．通过计算点每次运算后的结果，发现其变化呈现周期性循环，周期为3次．利用周期性规律，确定第2026次运算后的结果． 【详解】解：初始点：（第0次运算）． 第1次：横坐标为偶数，； 纵坐标为奇数，； 得到点； 第2次： 横坐标为奇数，； 纵坐标为偶数，； 得到点； 第3次：横坐标为偶数，；纵坐标为偶数，；得到点，与初始点相同， 即三次一循环， ， ∴第次运算后对应点与第1次运算后的点相同，即． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点P的“美好点”为点Q．例如，点的“美好点”是． (1)①点的“美好点”坐标是_______； ②若点P的“美好点”为，则点P的坐标是________； (2)若点的“美好点”位于x轴上，求a的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】此题考查了点的坐标的知识，熟练掌握“美好点”的定义是关键． （1）①设点的“美好点”为，根据定义进行解答即可； ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为，根据定义进行解答即可； （2）设点P的“美好点”为，根据定义和点的“美好点”位于x轴上进行解答即可． 【详解】（1）解：①设点的“美好点”为， ∴点的“美好点”坐标是； 故答案为： ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为， ∴， 解得 ∴点P的坐标是； 故答案为： （2）由题意可得：设点P的“美好点”为， 又∵Q在x轴上， 所以解得； 9．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“系好友点”；例如：的“系好友点”为，即．请完成下列各题． (1)点的“系好友点”的坐标为 ； (2)若点在轴的正半轴上，点的“系好友点”为点，若在中，，求的值； (3)已知点在第四象限，且满足；点是点的“系好友点”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题中定义直接求解即可； （2）根据点在轴的正半轴上，设，其中，由“系好友点”求出点坐标为，从而得到，结合题中条件列方程求解即可； （3）由题意得到点的坐标是，结合计算确定，再由点在第四象限，即可得到答案． 【详解】（1）解：由“系好友点”定义可知，点的“系好友点”的坐标为，即； （2）解：设，其中， ∴点的“系好友点”为点坐标为， 由于点和点的纵坐标相等，则轴， ， 又， ，解得； （3）解：∵点是点的“系好友点”， 点的“系好友点”点的坐标是， 则， 又， ∴， 则， 解得， 由点在第四象限可知， 即． 【点睛】对于这类新定义题型，理解题中“系好友点”的定义才能正确解答问题． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶派生点”（为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点，． (1)若点的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为_________． (2)若点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到了点，点的“阶派生点”位于坐标轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题考查新定义、点的平移等知识，熟记点的平移，理解“阶派生点”定义是解决问题的关键． （1）由“阶派生点”的定义，代值求解即可得到答案； （2）由点的平移得到点的坐标，再由“阶派生点”定义得到的坐标为，分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶派生点”（为常数，且）， 若点的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为，即， 故答案为：； （2）解：点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到了点， 点的坐标为． ， 点的“阶派生点”的坐标为． 分两种情况讨论： ①当点在轴上时，， 解得， 则， 点的坐标为． ②当点在轴上时，， 解得， 则， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 11．对于任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，即整数部分，{a}表示a的小数部分．例如：[1.3]＝1，{﹣2.6}＝0.4． （1）[]＝　 　，{}＝　 　； （2）在平面直角坐标系中，有一序列点P1（[1]，{1}），P2（[]，{}），P3（[]，{}），P4（[2]，{2}），P5（[]，{}），… 请根据这个规律解决下列问题： ①点P10的坐标是 　 　； ②横坐标为10的点共有 　 个； ③在前2022个点中，纵坐标相等的点共有 　 个，并求出这些点的横坐标之和． 【分析】（1）根据题意直接求解即可； （2）①根据题意找出点Pn的坐标为Pn（[]，{}），然后再求出点P10的坐标即可； ②根据[]＝10，可推出100≤n＜121，再找出其中的整数即可； ③将前几个点的坐标求出，找出规律：当n的值为平方数时，纵坐标为0，只有纵坐标为0时的点的纵坐标相等，再根据4445进行求解即可． 【详解】解：（1）∵1＜2＜4， ∴12， ∴[]＝1， ∵﹣4＜﹣3＜﹣1， ∴﹣21， ∴{}（﹣2）＝2， 故答案为：1，2； （2）∵P1（[1]，{1}），P2（[]，{}），P3（[]，{}），P4（[2]，{2}），P5（[]，{}），… ∴可发现点Pn的坐标为Pn（[]，{}）， ①根据规律可知，点P10的坐标为（[]，{}）， ∵9＜10＜16， ∴34， ∴[]＝3，{}3， ∴点P10的坐标是（3，3）， 故答案为：（3，3）； ②∵点Pn的坐标为Pn（[]，{}）， ∴当[]＝10时，100≤n＜121，其中的整数共21个， 故答案为：21； ③根据题意可得，P1（1，0），P2（1，1），P3（1，1），P4（2，0），P5（2，2），P6（2，2），P7（2，2），P8（2，22），P9（3，0），P10（3，3），… 可以发现，当n的值为平方数时，纵坐标为0，只有纵坐标为0时的点的纵坐标相等， ∵4445， ∴在前2022个点中，纵坐标相等的点共有44个，这些点的横坐标之和为1+2+3+...+44＝990， ∴在前2022个点中，纵坐标相等的点共有44个，这些点的横坐标之和为990， 故答案为：44． 【点睛】本题主要考查规律型：点的坐标，读懂题意，准确找出点的坐标规律是解答此题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题01 平面直角坐标系中的规律探究 题型一 周期循环规律探究 1. 先写出前 5～8 个点的坐标，观察纵坐标或运动路线，找到重复出现的周期（常见：4 次、6 次一循环）； 2. 用序号 n÷ 周期，得到商和余数； 3. 余数 = 0 → 对应周期最后一个点；余数≠0 → 对应周期第几个点； 4. 根据余数位置直接写出第 n 个点坐标。 1．（25-26七年级上·山东东营·月考）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，平面直角坐标系内，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的规律，第2026次运动到点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，， ，按此规律，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，A1（2，0），B1（0，1），A1B1的中点为C1；A2（0，3），B2（﹣2，0），A2B2的中点为C2；A3（﹣4，0），B3（0，﹣3），A3B3的中点为C3；A4（0，﹣5），B4（4，0），A4B4的中点为C4；…；按此做法进行下去，则点C2022的坐标为（　　） A．（﹣1012，） B．（﹣1011，） C．（﹣1011，） D．（﹣1012，） 5．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第2026秒时，点A的对应点的坐标为__________． 6．（25-26七年级下·江苏南通·月考）如图，动点在平面直角坐标系中按图中所示方向运动，第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五次运动到点，第六次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是___ ，点的坐标是 ． 7．如图所示，点，，，，……在平面直角坐标系上的坐标分别是，，，，……则点的坐标为_____． 8．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，点P1，P2，P3，…均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2），…，根据这个规律，点P2022的坐标为 　 　． 9．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点O出发，按图中顺序运动，即→→→→→→→…，按这样的运动规律，完成下列任务： (1)直接写出下列各点的坐标： ①：______；②：______； (2)在动点A的运动过程中，若有连续四点，，，，请写出，，，之间满足的数量关系，并说明理由． 题型二 奇偶项分开规律探究 1. 把点按序号分成两组：奇数项（A₁、A₃、A₅…）、偶数项（A₂、A₄、A₆…）； 2. 分别观察两组的横坐标变化（每次加几）、纵坐标变化（每次加几或固定）；3. 分别写出奇数项、偶数项的坐标公式（用 n 表示）； 4. 判断 n 是奇数还是偶数，代入对应公式计算。 1．（25-26七年级下·江苏南通·月考）如图，点，点，点，点，点…，按照这样的规律下去，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（2026·江西吉安·一模）光纤通讯是利用光的全反射原理．在一段水平笔直放置的光纤中，以光纤中心轴线为x轴建立平面直角坐标系，如图，一束光从出发，经过第1次全反射到达，在经过第2次全反射到达，在经过第3次全反射到达，依此类推，经过第2025次全反射到达，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，按照此规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·重庆·月考）如图．在平面直角坐标系中，一动点从点出发，其顺序按图中“”方向排列，依次为：，，，，，，，…，根据这个规律，第2024个点的坐标为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·重庆·月考）规律探究：如图，在平面直角坐标系中，已知，，，，，，…按这样的规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，点，点，点，点按照这样的规律下去，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图所示，，，，，，…，按此规律，点坐标是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，在平面直角坐标系上有，点第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至…依照此规律跳动下去，点第次跳动至的坐标______________．    9．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，，…，按照这样的规律下去，点的坐标为_____________. 10．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动： 第一次：原点； 第二次：； 第三次：； 第四次：； 第五次：； ．．． 归纳上述规律，完成下列任务． (1)直接写出下列坐标：_______，_______，________； (2)第2025次运动后，的坐标为_______； (3)点距轴的距离为______，点距轴的距离为_______． 题型三 平移 / 跳动规律探究 1. 牢记平移口诀：向右→横坐标 +；向左→横坐标−；向上→纵坐标 +；向下→纵坐标−； 2. 找出每次跳动的方向和单位长度； 3. 数清楚跳动总次数，按次数累加横、纵坐标； 4. 若有循环跳动，先算周期，再用余数定位最后位置。 1．（25-26七年级下·云南曲靖·月考）在平面直角坐标系中，一个智能机器人从原点出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其移动路线为：第一次向上移动1个单位到达，第二次向右移动1个单位到达，第三次向下移动1个单位到达，第四次向右移动1个单位到达，……．则第2026次移动后所在位置的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度．再竖直向下平移2个单位长度，得点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移6个单位长度得点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移8个单位长度得点…，按此做法进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江西·月考）如图，在平面直角坐标系上有个点，点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，点第2026次跳动至点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·湖南长沙·月考）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，，…，则点的横坐标是________． 5．（23-24七年级下·广西北海·期末）如图，点，点向上平移个单位，再向右平移个单位，得到点；点向上平移个单位，再向右平移个单位，得到点；点向上平移个单位，再向右平移个单位，得到点，，按这个规律平移得到点，则点的横坐标______． 6．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，一架微型机器人在平面直角坐标系的原点处，它第一次向右行驶一格到处；第二次在的基础上向上行驶两格到处；第三次在的基础上向左行驶三格到处；第四次在的基础上向下行驶四格到处；以此类推，这架机器人行驶2025次时到达处的坐标为_____． 7．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令，从原点出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动m，其行走路线如图所示，第次移动到，第次移动到……，第次移动到，则坐标是______；机器人移动第次即停止，则的面积是______． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一点从开始按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其运动路线如图所示．根据规律，解决下列问题． （1）填写下列各点的坐标： 点（___，___）， 点（___，___）， 点（___，___）， …… 点的坐标为_________． （2）指出从点到点的移动方向：_________． 9．（2026·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“可余点”．将某“可余点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“可余点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下． 若“可余点”按上述规则连续平移20次后，到达点，则点的坐标为________． 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，设一点自处向上运动个单位长度至，然后向左运动个单位长度至处，再向下运动个单位长度至处，再向右运动个单位长度至处，再向上运动个单位长度至处，，如此继续运动下去，设（为正整数）． (1)_____； (2)_____；_____； (3)求的值． 题型四 环绕 / 周长相遇规律探究 1. 先算图形周长（长方形：长宽）； 2. 两个点反向运动：路程和 = 周长 × 相遇次数； 3. 用总路程 ÷ 周长，看余数； 4. 余数对应从起点出发走多少单位，确定相遇点坐标。 1．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，．一只蚂蚁从点出发，以每秒钟一个单位长度的速度沿的方向在四边形的边上匀速爬行，则在2026秒时蚂蚁所在位置的坐标是_____． 2．如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙都从点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇点的坐标是（　　） A．（2，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，0） D．（﹣1，﹣1） 3．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从A点出发，沿着循环爬行，其中A点坐标为的坐标为的坐标为，D的坐标为，当蚂蚁爬了2023个单位时，它所处位置的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·贵州安顺·期末）如图，长方形的顶点坐标分别为，，，，点，同时从点出发，在长方形的边上做环绕运动，点以2个单位长度/秒的速度沿顺时针方向运动，点以1个单位长度/秒的速度沿逆时针方向运动，则点，在运动过程中第次相遇时，相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·广东茂名·开学考试）如图，直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个长度单位，同时点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个长度单位，记，在长方形边上第次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，动点从点出发，以每秒3个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2026次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型五 新定义坐标变换规律探究 1. 看清题目给的变换规则（如伴随点、友好点、派生点）； 2.按规则依次计算前 4 个点坐标（P₁→P₂→P₃→P₄→P₅）； 3.找到循环周期（几乎都是 4 次一循环）； 4. 用 n÷ 周期看余数，余数是几就对应第几个点坐标。 1．（23-24九年级下·江苏南通·自主招生）平面直角坐标系中，经过某种变换后得到，我们把叫做的终结点，已知的终结点为，的终结点为，的终结点为，…这样依次得到．若点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·上海·月考）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为这样依次得到点 ．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河北保定·模拟预测）任取一个非零整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数．就将该数除以2，这叫把该数进行1次运算．在平面直角坐标系中，将点(其中x与y均为非零整数）中的分别按上述运算得到新点的横、纵坐标．例如：点经过1次运算得到点，经过2次运算得到点；以此类推．若点（其中均为非零整数）经过10次运算后得到点，则点不可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2026八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点称为点P的伴随点．已知点的伴随点为点，点的伴随点为点，点的伴随点为点，……，这样依次得到点，，，，…，（n为正整数）．若点的坐标为，则点的坐标为______． 5．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过次运算后得到点______． 6．（23-24七年级下·广西桂林·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的友好点，已知点的友好点为点，点的友好点为点，点的友好点为点，…以此类推，当点的坐标为时，点的坐标为______． 7．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第2026次运算后得到点是_______． 8．（25-26八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点P的“美好点”为点Q．例如，点的“美好点”是． (1)①点的“美好点”坐标是_______； ②若点P的“美好点”为，则点P的坐标是________； (2)若点的“美好点”位于x轴上，求a的值． 9．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“系好友点”；例如：的“系好友点”为，即．请完成下列各题． (1)点的“系好友点”的坐标为 ； (2)若点在轴的正半轴上，点的“系好友点”为点，若在中，，求的值； (3)已知点在第四象限，且满足；点是点的“系好友点”，求的值． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶派生点”（为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点，． (1)若点的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为_________． (2)若点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到了点，点的“阶派生点”位于坐标轴上，求点的坐标． 11．对于任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，即整数部分，{a}表示a的小数部分．例如：[1.3]＝1，{﹣2.6}＝0.4． （1）[]＝　 　，{}＝　 　； （2）在平面直角坐标系中，有一序列点P1（[1]，{1}），P2（[]，{}），P3（[]，{}），P4（[2]，{2}），P5（[]，{}），… 请根据这个规律解决下列问题： ①点P10的坐标是 　 　； ②横坐标为10的点共有 　 个； ③在前2022个点中，纵坐标相等的点共有 　 个，并求出这些点的横坐标之和． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $