微专题03 在平面直角坐标系中求图形面积（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

微专题03 平面直角坐标系与面积问题 题型一 直接利用面积公式求图形的面积 先根据点的坐标求出图形的底、高、长、宽等线段长度；横向长度用横坐标相减，纵向长度用纵坐标相减；再直接套用三角形、长方形、正方形、平行四边形的面积公式进行计算。 1．如图，已知三角形ABC如图所示放置在平面直角坐标系中，其中C(－4，4)，则三角形ABC 的面积是（    ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【分析】作CD⊥x轴于D，分别求出AB=6，CD=4，根据三角形面积公式即可求解. 【详解】解：如图，作CD⊥x轴于D， 由图形得AB=6， ∵点C坐标为(－4，4)，CD⊥x轴于D， ∴CD=4， ∴. 故选：C 【点睛】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，理解平面直角坐标系中点的坐标的意义是解题关键. 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知，，，则的面积为________． 【答案】 【分析】根据点A，B的坐标求出AB的长，再求出C到AB的距离，根据三角形的面积公式可求解． 【详解】解： ，，， AB=5-0=5，直线AB：x=-1 , 点C到AB的距离为：-1-(-4)=3， ， 故答案为： ． 【点睛】此题考查了坐标与图形的性质及三角形的面积求解，掌握点的坐标与线段长度之间的互换是解答本题的关键． 3．在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标如图所示，三角形的面积为______．    【答案】2 【分析】根据点A和点B的坐标，求出的长度和边上的高，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】∵， ∴，中边上的高为2， ∴三角形的面积． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了坐标与图形，求三角形面积公式，解题的关键是根据题意求出的长度和边上的高． 4．（23-24八年级下·广西贵港·期末）如图，在直角坐标系中的坐标分别为，，，则的面积为________． 【答案】9 【分析】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键． 根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，∵，，， 则的面积． 故答案为：9． 5．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点均在格点上． (1)将三角形ABC向左平移5个单位，再向下平移3个单位得到三角形，画出平移后的图形，并写出点的坐标； (2)求三角形ABC的面积． 【答案】(1)平移后的图形见解析； (2)6 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出、、的对应点、、，将点、、顺次连接即可画出平移后的图形，根据图形写出点的坐标即可； （2）以为底，根据图形，找到边对应的高，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：平移后的图形如图所示： 点的坐标为： （2）解：∵以为底，底的长度为3个单位，高为4个单位 ∴ 【点睛】本题考查了作图：平移变换，三角形的面积等知识点，掌握平移变换是解答本题的关键． 6．如图所示，将图中的点(－5，2)，(－3，4)，(－1，2)，(－4，2)，(－2，2)，(－2，3)，(－4，3)做如下变化： (1)横坐标不变，纵坐标分别减去4，再将所得的点按图中的顺序依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？ (2)纵坐标不变，横坐标分别加6，再将所得的点按图中的顺序依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？ (3)求以点(－5，2)，(－3，4)，(－1，2)为顶点的三角形的面积． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）4. 【分析】(1)根据点的坐标平移特征得到每个点向下平移了4个单位; (2)根据点的坐标平移特征得到每个点向右平移了6个单位; (3)根据三角形的面积公式即可得到结果. 【详解】解：(1)所得图形可以看作将原来的图形向下平移4个单位长度得到． (2)作图形可以看作将原来的图形向右平移6个单位长度得到． (3)以点(－5，2)，(－3，4)，(－1，2)为顶点的三角形的面积为×4×2＝4. 【点睛】本题考查了坐标与图形性质,三角形的面积,根据点的坐标计算出相应的线段长和判断线段与坐标轴的位置关系是解题的关键. 49．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）如图，在平面直角坐标系中完成以下问题： (1)描出点，并顺次连接点； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】主要考查了点的坐标的意义以及与图形相结合的具体运用． （1）根据平面直角坐标系找出点A、B、C、D的位置，然后顺次连接即可； （2）直接由底乘高计算即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：边上的高为3， 四边形的面积． 题型二 利用割补法求三角形的面积 当三角形的边不与坐标轴平行时，用补形法：将三角形补成一个大长方形，用大长方形面积减去周围三个直角三角形的面积；也可以用分割法分成两个小三角形分别计算再相加。 1．如图在平而直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据坐标系，利用梯形的面积减去多余三角形的面积即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴，过点分别作垂直于，垂足为点， ∵，，， ∴，，则 ∴三角形的面积是 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，若三角形ABC的三个顶点分别为A（2，3），B（3，1），C（﹣2，﹣2），则三角形ABC的面积为（　　） A．6.5 B．13 C．5.5 D．11 【答案】A 【分析】利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解． 【详解】解：∵A（2，3），B（3，1），C（﹣2，﹣2）， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形，熟练掌握平面直角坐标系中的坐标特点及三角形的面积的求法是解题的关键． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A．19 B．20 C．21 D．21.5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质．过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，过点C作轴，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，过点C作轴， ∵点，点，点， ∴， ∴三角形的面积是：． 故选：B 4．（23-24七年级下·天津·期中）在平面直角坐标系中，三个顶点的位置如图（每个小正方形的边长均为1）．将沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后得到；    (1)直接写出、、三点的坐标：（______）；（______）；（______）． (2)求的面积． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了用坐标表示平移，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置． （1）由图得到点A、B、C的坐标，再根据平移的方向与距离得到平移后对应点的横坐标加3，纵坐标加2，即可解答； （2）利用三角形所在的长方形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解． 【详解】（1）解：由图可得：，，， ∵将沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后得到， ∴，，； 故答案为：；； （2）解：． 5．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，已知点，若三角形是由三角形ABC平移后得到的，且三角形ABC中任意一点经过平移后的对应点为． (1)在图中画出三角形； (2)写出点的坐标______； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查坐标与图形变化－平移，坐标与图形的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，然后将这三点顺次连接起来即可； （2）根据点的位置写出坐标即可； （3）利用网格，即可求出三角形面积． 【详解】（1）解：∵点经过平移后的对应点为 ∴把三角形先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得三角形． 如图， （2）解：点的坐标为 ． 故答案为：； （3）解：三角形的面积= ． 6．（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在格点上，每个小正方形的边长都为1个单位长度． (1)写出点、、的坐标： (2)将三角形先向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形，画出三角形： (3)求三角形的面积． 【答案】(1)点坐标为点坐标为点坐标为 (2)见详解 (3)11 【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形； （1）根据点的坐标表示方法写出点、、的坐标； （2）利用点平移的坐标变换规律写出、、的坐标，然后描点即可； （3）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算三角形的面积． 【详解】（1）解：点坐标为点坐标为点坐标为； （2）如图，为所作； （3）三角形的面积 ． 题型三 利用割补法求四边形的面积 不规则四边形无法直接用公式，可将其分割为两个三角形分别计算面积再求和；也可以用补形法补成大长方形，用大长方形面积减去四周空白图形面积，得到四边形面积。 1．如图所示，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(3，4)，C(0，2)，则四边形ABCO的面积为(    ) A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】连接OB，根据S四边形ABCO＝S△ABO＋S△BCO即可计算． 【详解】 如图，连接OB. ∵点A(4,0),B(3,4),C(0,2)， ∴S四边形ABCO＝S△ABO＋S△BCO＝⋅4⋅4＋⋅2⋅3＝11. 故答案C. 【点睛】本题考查的是平面直角坐标系，熟练掌握三角形的性质是解题的关键. 2．如图，已知坐标系中四点，则四边形的面积是（   ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】过点作轴于点，根据点的坐标求出相关线段的长度，然后根据三角形和梯形面积公式进行求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 由得，， ∴， ， ， ∴． 3．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为（    ） A．14 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形，过A作于M，过B作于N，根据A、B、C的坐标可求出，，，，，然后根据求解即可． 【详解】解∶过A作于M，过B作于N， ∵，，，， ∴，，，， ∴，， ∴四边形的面积为 ， 故选：D． 4．（2024七年级·全国·竞赛）在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是点，点，点，点，则四边形的面积为_______． 【答案】94 【分析】本题考查坐标与图形，根据题意画出图形，再分别过点B、C作x轴的垂线、，垂足为E、G，根据四边形的面积为，求解即可． 【详解】解：如图：分别过点B、C作x轴的垂线、，垂足为E、G， 四边形的面积为 故答案为：94． 5．（24-25七年级下·山西大同·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点都在格点上，其中，点的坐标为，点的坐标为． (1)填空：点的坐标是________，点的坐标是________． (2)求四边形的面积． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据点在坐标系中的位置，写出对应点坐标即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，点的坐标是，点的坐标是； （2）解：四边形的面积 6．（23-24七年级下·广东汕头·期中）已知平面直角坐标系内有4个点：、、、    (1)在平面直角坐标系中描出这4个点 (2)顺次连接、、、组成的四边形，求出四边形的面积 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了用点的坐标表示点的位置的方法及在直角坐标系中求四边形面积的方法． （1）根据已知直接描点即可； （2）利用求差计算四边形的面积． 【详解】（1）解：4个点的位置，如图所示；    （2）解：四边形的面积． 题型四 由图形的面积求点的坐标 先设出未知点的坐标，用坐标表示出图形的底或高；根据面积公式列出方程，解方程求出未知的横坐标或纵坐标；注意点可能在上下、左右两侧，会出现多解，不能漏解。 1．（23-24七年级下·江苏南通·月考）已知点和点，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是（   ） A．4 B．4或 C． D．2 【答案】B 【分析】此题主要考查了坐标与图形的性质，需注意坐标轴上到一个点的距离为定值的点有2个． 根据三角形的面积公式和已知条件求解，注意取正负数都符合题意． 【详解】解：直线与坐标轴围成的三角形的面积等于10，， 那么， 解得：， 所以或． 故选：B． 2．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，， (1)求的面积； (2)点P是y轴上一动点，当面积为面积的两倍时，求点P的坐标． 【答案】(1)10 (2)或 【分析】本题主要考查了直角坐标系中点的坐标、三角形的面积等知识点，灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）先求出，再根据点C的坐标知点C到的距离为4，然后根据三角形的面积公式求解即可； （2）设点P坐标为，根据三角形面积公式得，再根据面积为面积的两倍时，然后解方程求得m的值，即可确定点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，点C到的距离为4， ∴． （2）解：设点P坐标为，即，， ∵面积为面积的两倍 ∴，即，解得：， ∴点P坐标为或． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，． (1)求的面积； (2)已知为轴上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1)6 (2)或 【分析】（1）利用分割法计算即可． （2）设，则，根据面积相等，建立方程求解即可． 本题考查了坐标系中的作图，分割法求面积，解绝对值方程，数轴上两点间距离计算，熟练掌握分割法是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，，得的面积为：． （2）解：设，则， 又， 根据题意，得， 解得或， 故点或． 4．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）在平面直角坐标系中，点． (1)在平面直角坐标系中画出三角形； (2)求三角形的面积； (3)若点P在轴上，且三角形与三角形的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点P的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形： （1）在平面直角坐标系里描点并连接，得到三角形； （1）根据长方形减去三个三角形的面积即可求解； （2）设点P的坐标为，根据三角形面积公式列出方程解方程即可求解． 【详解】（1）如图，三角形即为所作； （2）； （3）解：设点P的坐标为， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 5．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中a、b、c满足关系式：． (1)求a、b、c的值； (2)请直接判断与y轴的位置关系； (3)若平面内有一点，且点到的距离为5，请求出的面积； 【答案】(1)，， (2)平行 (3)或 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、非负数的性质、坐标与图形性质、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质得到、、，然后计算即可解答； （2）根据横坐标相同的两点构成的直线与y轴平行即可判断； （3）根据点到的距离为5以及点B、C的横坐标为4，可以求得m的值，然后根据m的值分两种情况求的面积即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ，，， ，，． （2）解：由（1）可知：，， 点、点的横坐标相同， 平行于轴． （3）解：点到的距离为5，，， ， ， 解得：或， 点的坐标为或， 点的坐标为， ， 当时，； 当时，． 综上，的面积为或． 6．（25-26八年级上·广东梅州·期中）如图，已知． (1)求四边形的面积； (2)在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的2倍，求点P 的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）过点C和点D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，点F，根据结合各点的坐标求解即可； （2）求出线段的长和的面积，再根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点C和点D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，点F， ∵， ∴， ∴，， ∴ ； （2）解：∵， ∴； ∵三角形的面积等于四边形面积的2倍， ∴， ∵点P在y轴上， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或； 7．（24-25七年级下·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，将线段平移至，点D在x轴正半轴上，，且．连接，，，． (1)直接写出点C的坐标为_______；点B的坐标为_______； (2)当三角形的面积是三角形的面积的4倍时，求点D的坐标； 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查的是平移变换的性质，非负数的性质，掌握算术平方根和绝对值的非负性，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出a，b，得到点的坐标，根据平移的性质求出点B的坐标； （2）分点在线段上，点在线段的延长线上两种情况，根据三角形的面积公式计算，得到答案； 【详解】（1）解： 解得，， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为， ，， ∴点的坐标为， 故答案为：；； （2）设点的坐标为， ∵的面积是的面积的4倍，即 ①当点在线段上时， 则 解得，， ∴点的坐标为； ②当点在线段延长线上时， 则 解得，， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 8．如图，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(3，4)，C(0，2)． (1)求S四边形ABCO； (2)连接AC，求S△ABC； (3)在x轴上是否存在一点P，使S△APB=4，若存在，请直接写出点P坐标． 【答案】(1)11； (2)7； (3)点P的坐标为（6，0）或（2，0）． 【分析】（1）过点B作BD作BD⊥OA与点D，把四边形分割为直角梯形和直角三角形，即可解答； （2）△ABC的面积=四边形ABCO的面积-△AOC的面积； （3）存在，设点P（x，0），则PA=|x-4|，根据S△PAB=4，所以×|x−4|×4=4，即可解答． 【详解】（1）解：如图1，过点B作BD作BD⊥OA与点D， ∵点A（4，0），B（3，4），C（0，2） ∴OC=2；，OD=3，BD=4，AD=4-3=1， ∴S四边形ABCO=S梯形CODB+S△ABD =×(2+4)×3+×1×4=9+2=11； （2）解：如图2，连接AC， S△ABC=S四边形ABCO-S△AOC=11-×4×2=11-4=7； （3）解：存在，设点P（x，0）， 则PA=|x-4|， ∵S△PAB=4， ∴×|x−4|×4=4， ∴|x-4|=2， 解得：x=6或x=2， ∴点P的坐标为（6，0）或（2，0）． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，解决本题的关键是通过作辅助线，把四边形分割为直角梯形和直角三角形． 题型五 平面直角坐标系中动点与面积的综合 用含 t 的代数式表示动点运动的路程和线段长度；用含 t 的式子表示图形的底和高；代入面积公式得到面积表达式；再根据题目要求计算面积、求时间或判断动点位置。 1．（23-24七年级下·广西南宁·期中）如图在直角坐标系中，已知，，三点，若，，满足关系式： (1)求的值； (2)求四边形的面积； (3)是否存在点，使的面积为四边形的面积的两倍？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)存在．点P的坐标为或． 【分析】本题考查坐标与图形，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）利用非负性进行求解即可； （2）利用梯形的面积公式进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ． （2）解：由（1）得， ∴轴， ∴四边形为直角梯形，且， ∴四边形的面积． （3）解：存在．∵三角形的面积， ， ， ∴点P的坐标为或． 2．（22-23七年级下·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．    (1)求三角形的面积； (2)设点是轴上一点，若，试求点坐标； (3)若点在线段上，求用含的式子表示． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式解答即可； （2）根据三角形的面积公式和坐标特点得出方程解答即可； （3）根据，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：，，， ，， ； （2）解：设点是轴上一点，坐标为， ，， ， ， 即， 解得：或， 或； （3）解：如图，连接，   ，，， ，， ， ，， ， 点在第三象限， ，， ， 整理得：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形的面积公式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 3．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，且a，b满足． (1)填空： ， ； (2)若在第四象限内有一点，用含m的式子表示三角形的面积； (3)在（2）的条件下，线段与y轴相交于点，当时，P是y轴上一动点，当满足，试求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了非负数的性质、平面直角坐标系中三角形面积的计算，解题的关键是利用非负数性质求出a、b的值，再结合坐标与图形性质计算三角形面积． （1）根据非负数的性质，两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0，求出a、b的值； （2）先求出的长度，再根据点的坐标确定三角形的高，最后利用三角形面积公式计算； （3）设出点坐标，求出，由（2）知，再结合已知面积关系求出，利用三角形面积公式列方程求解． 【详解】（1）解：由题意可得： 解，得， 解，得， 故答案为：； （2）解：∵点在第四象限， ， ∵点A，B的坐标分别为 ； （3）解：设点的坐标为， 点， ∵ ∴ 由（2）知， ， ， ， ， ， 解得：或，故点的坐标为或． 4．（24-25七年级下·江苏南通·月考）在平面直角坐标系中，O为原点，点，，． (1)如图1，的面积为 ； (2)如图2，将点B向右平移至点． ①若线段的长为5，求点D到直线的距离； ②点P是x轴上一动点，若的面积等于3，请求出点P的坐标． 【答案】(1)9 (2)①点D到直线的距离为；②点P的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形，点的平移，平面直角坐标系中求三角形面积，平面直角坐标系中求三角形面积时，如果三角形中无一边与坐标轴平行，则常常用割补的方法，使得三角形表示为易于求得面积的三角形或四边形面积的和或差．注意（2）问中点P的坐标有两种情况，不要忽略x轴负半轴上的情况． （1）由题意可得、的长，由三角形面积公式即可求得； （2）①过点D作轴于E，由求出的面积，然后再求出距离即可； ②由面积可得，根据点P在x轴上的位置即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴； 故答案为：9； （2）解：①如图，过点D作轴于E， ∵点D坐标为， ∴点E坐标为， ∵， ∴，，， ∴ ， ∵线段的长为5， ∴点D到直线的距离为： ； ②由题意得：， 即 ∴ ∵点P在x轴上 ∴点P的坐标为或． 5．（24-25七年级下·吉林·月考）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且、满足．点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动，回到点，停止移动．设点运动的时间为； (1)点的坐标为______；当点运动5秒时，点的坐标为______； (2)在点运动过程中，当三角形的面积为一个定值时，则的取值范围是______； (3)在运动过程中，当点到轴的距离为4个单位长度时，求点运动的时间； (4)在路线的运动过程中，是否存在某个时刻，使三角形的面积是10？若存在，求出点运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)秒或秒 (4)秒或秒 【分析】本题考查了非负数的性质，长方形的性质，动点问题． （1）先根据非负数的性质求出a、b的值，进而得，，再根据长方形的性质得，，即可得点B的坐标，当点运动5秒时，，即此时点P与点B重合，； （2）由图可知，当点P在上运动时，三角形的面积为一个定值，求出点运动到点所用的时间，结合（1）可得结论； （3）分两种情况：当点P在上时，；当点P在上时，；分别求出对应的时间即可； （4）设点P的运动时间为t，三角形的面积是10，分两种情况：当点P在上时，；当点P在上时，，则；分别根据面积求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵、满足， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵四边形为长方形， ∴，， ∴点的坐标为； 当点运动5秒时，， 即此时点P与点B重合，， 故答案为：；； （2）解：由图可知，当点P在上运动时，三角形的面积为一个定值， （秒）， 由（1）知，运动到点B需要5秒， ∴的取值范围是， 故答案为：； （3）解：如图， 分两种情况： 当点P在上时，， （秒）； 当点P在上时，，则， ∴， （秒）． 综上，当点到轴的距离为4个单位长度时，点运动的时间为秒或秒； （4）解：设点P的运动时间为t，三角形的面积是10， 分以下两种情况： 当点P在上时，， ∴， ∴， 解得； 当点P在上时，，则， ∴， ∴， 解得； 综上，当点P的运动时间为秒或秒时，三角形的面积是10． 6．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，满足． (1)求、两点的坐标及的面积； (2)若点是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； (3)若是轴上方到轴的距离为6的一条直线，在直线上是否存在点，使的面积等于的面积，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)点的坐标为或； (3)存在这样的点，点坐标为或． 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形等知识； （1）由非负数的性质即可求得a，b的值，从而求得A、B的坐标及的面积； （2）设，由的面积为6，建立关于n的方程，求出n的值，即可求解； （3）设，由（1）知：；分点P位于y轴左侧，点P位于y轴右侧，两种情况考虑即可． 【详解】（1）解：由得：，， ，， ，， ，， ， （2）解：设， ， ， ， 或， 点的坐标为或． （3）解：存在，理由：设， 由（1）知：， ， 当P位于y轴左侧时，设直线交y轴于点D，如图； ， ， ， ； 当P位于y轴右侧时，过点P作轴于点D，如图； ， ， ， ； 存在这样的点，点坐标为或． 7．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中a、b、c满足关系式：．    (1)求a、b、c的值； (2)请直接判断与y轴的位置关系； (3)若平面内有一点，且点到的距离为5，请求出的面积； (4)如果点在平面内，是否存在m，使四边形的面积为面积的3倍？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)平行于轴 (3)或 (4)存在，满足条件的点P的坐标为或 【分析】（1）根据非负数的性质，得到，，，然后计算即可得出答案； （2）根据横坐标相同的两点构成的直线与轴平行即可判断； （3）根据点到的距离为5，点、的横坐标为4，可以求得的值有两种情况，然后代入计算的面积即可； （4）分两种情况进行讨论，当或时，根据四边形与三角形的面积关系列出方程，解得的值，然后写出点的坐标． 【详解】（1）解：， ，，， ，，； （2）解：由（1）可知：，， 点、点的横坐标相同， 平行于轴； （3）解：点到的距离为5，，， ， ， 解得：或， 点的坐标为或， 点的坐标为， ， 当时， ， 当时， ， 综上可得：或； （4）解：存在，理由如下： 当时，   ， ， 四边形的面积为面积的3倍， ， 解得：， 满足条件的点的坐标为； 当时，   ， ， 四边形的面积为面积的3倍， ， 解得：， 满足条件的点的坐标为； 综上所述，满足条件的点P的坐标为或 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，非负数的性质，坐标与图形性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 题型六 坐标系中平移与面积 图形平移只改变位置，形状、大小、面积都不变；先根据平移规则 “右加左减、上加下减” 求出平移后各顶点的坐标，再用公式法或割补法计算平移后图形的面积。 1．（24-25七年级下·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，点B坐标为，且． (1) ， ，点B的坐标为 ． (2)点C在第一象限内，轴，将线段进行适当的平移得到线段，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，连接．若的面积为16，求线段的长． 【答案】(1)3，， (2)8 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了非负数的性质，坐标和图形的性质，三角形的面积，平移的性质等知识，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）由非负数的性质可求出，，则可得出答案； （2）由（1）可知，由平移可知点B的对应点为点C，点B的纵坐标为，可得点D与点A的纵坐标之差为4，得点D到的距离为4，再结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵，且，， ，， ，， 则点B的坐标为， 故答案为：3，，； （2）由（1）可知， ∵轴， ∴点C纵坐标为3， 由平移可知点B的对应点为点C， ∵点B的纵坐标为， ∴点C与点B的纵坐标之差为， ∴点D与点A的纵坐标之差为4， ∵轴， ∴点D到的距离为4， ∵， ∴． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于B，轴于C，，且a，b满足． (1)直接写出点A，B，C的坐标 (2)如图1，点D从点O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正方向运动，点E从点B出发，以每秒2个单位的速度沿x轴负方向运动，设运动时间为t，当时，求t的值； (3)如图2，将线段平移，使点B的对应点M恰好落在y轴负半轴上，点C的对应点为N，连接交y轴于点P，当时，求点N的坐标． 【答案】(1)，，； (2)或； (3)． 【分析】本题考查平面直角坐标系中的点坐标，三角形面积计算以及图形平移相关知识，解题的关键是利用非负数性质求点坐标，根据三角形面积公式列方程求解，结合平移性质找坐标关系． （1）根据非负数的性质求出的值，进而得到点的坐标； （2）分别表示出和的面积，根据面积相等列方程求解； （3）设出平移距离，根据平移性质得到相关点坐标，再结合建立方程求出平移距离，从而得到点N的坐标． 【详解】（1）解：由题意可得： 且。 解得，， 轴于轴于， ； （2）解：时，，， ∴，， ∴， ， 当时，， ∴或， ∴或； （3）解：设，其中， 由平移可知， 若在第二象限，作轴于，连， ∴，， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵，∴， ∴， ∴， 同理．若在第三象限，， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）在平面直角坐标系中、，a、b满足． (1)如图1，求点A、B的坐标； (2)如图2，y轴上有一点E，的面积是6，求点E的坐标； (3)如图3，将线段沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、C，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题是三角形综合题，考查了非负性，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）利用非负性可求a、b的值，即可求解； （2）分两种情况讨论：①当E在直线上方时；②当E在直线下方时；分别根据的面积是6，列方程求解； （3）由与的面积相等，列出方程可求m的值，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， 又∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：设E为， 分以下两种情况讨论： ①如图，当E在直线上方时，作轴，作连接， 则 ， ∴，， ②当E在直线下方时，同样可得， ∴，， ∴点E的坐标为或； （3）解：存在，设点P的坐标为，由平移得、，则、， 依题意知点P不可能在梯形的上方或线段的右上方或线段左方，故分以下两种情形： ①如图，当点P在梯形的内部时， ∵， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， 解得， ∴； ②如图，当点P在梯形的下方时， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点在x轴上， 如图，作轴于G，连接， ， ， ∴， 解得， ∴， 综上所述，P点的坐标为或． 4．（25-26九年级下·江苏南京·月考）长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，动点从点出发，沿的方向以每秒个单位长度的速度移动，与点第二次相遇时停止，设点移动的时间为秒． (1)点的坐标为 ； (2)当时， ；（用含的代数式表示） (3)当点第一次移动到点时，有一条垂直于轴的直线开始从位置出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向平行移动，当点停止时直线也随之停止．在移动过程中，当点在直线上时，求点的坐标； (4)连接，，，当 的面积为时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 (4)的值为或或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系和一元一次方程的应用： （1）根据题意可知，，，据此即可求得答案； （2）当时，点在上运动； （3）分两种情况讨论：当时，此时直线运动的距离点运动的距离，当）时，此时直线运动的距离点运动的距离； （4）分三种情况讨论：当点由向运动时，当点由向运动时，当点由向运动时. 【详解】（1）根据题意可知，，． ∵的坐标为，的坐标为， ∴，． ∴的坐标为． 故答案为： （2）（2）当时，点在上运动，可得． 故答案为： （3）①当时，此时直线运动的距离点运动的距离，可得 ， 解得 x 所以． 所以点的坐标为． ②当时，此时直线运动的距离点运动的距离，即 解得 所以． 所以点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． （4）①当点由向运动时，，． 根据题意，可得 ，即 解得 ②当点由向运动时，，． 根据题意，可得 ，即 解得 ③当点由向运动时，，． 根据题意，可得 ，即 解得 综上所述，当的值为或或时，的面积为． 5．（25-26八年级上·四川广元·期中）在平面直角坐标系中，，，，且． (1)请直接写出点，，的坐标； (2)如图1，点在线段上，点从点出发沿轴负方向平移，线段轴，． ①当线段最短时，求的面积； ②点在运动过程中，探究，，之间的数量关系，并证明； (3)若第一象限的一点是射线上的一点． ①求与的数量关系； ②若点，点在线段上，直线将四边形分成面积之比为1：4的两部分，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)①②或 (3)①② 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行线的性质，非负性等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出的值，然后写出点的坐标即可； （2）①由垂线段最短可知，当时，最短，据此求解即可；②根据平行线的性质得解即可； （3）①由题易得，进而易得；②分两种情况讨论，的面积占总面积的或，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴，，； （2）解：①由垂线段最短可知，当时，最短， 如图，设与轴交于点， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴的面积； ②如图，当点在轴右侧时， ∵轴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图，当点在轴左侧时， 同理可知：， ∴； 综上所述：或； （3）解：①如图，过作轴于点，则， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过作轴，轴，则， ∴， ∴； ②， 若，如图： 则，即，解得：， ∴， ∴； 若，如图： 则，即，解得：，（舍去）， 综上所述：； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题03 平面直角坐标系与面积问题 题型一 直接利用面积公式求图形的面积 先根据点的坐标求出图形的底、高、长、宽等线段长度；横向长度用横坐标相减，纵向长度用纵坐标相减；再直接套用三角形、长方形、正方形、平行四边形的面积公式进行计算。 1．如图，已知三角形ABC如图所示放置在平面直角坐标系中，其中C(－4，4)，则三角形ABC 的面积是（    ） A．4 B．6 C．12 D．24 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知，，，则的面积为________． 3．在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标如图所示，三角形的面积为______．    4．（23-24八年级下·广西贵港·期末）如图，在直角坐标系中的坐标分别为，，，则的面积为________． 5．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点均在格点上． (1)将三角形ABC向左平移5个单位，再向下平移3个单位得到三角形，画出平移后的图形，并写出点的坐标； (2)求三角形ABC的面积． 6．如图所示，将图中的点(－5，2)，(－3，4)，(－1，2)，(－4，2)，(－2，2)，(－2，3)，(－4，3)做如下变化： (1)横坐标不变，纵坐标分别减去4，再将所得的点按图中的顺序依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？ (2)纵坐标不变，横坐标分别加6，再将所得的点按图中的顺序依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？ (3)求以点(－5，2)，(－3，4)，(－1，2)为顶点的三角形的面积． 题型二 利用割补法求三角形的面积 当三角形的边不与坐标轴平行时，用补形法：将三角形补成一个大长方形，用大长方形面积减去周围三个直角三角形的面积；也可以用分割法分成两个小三角形分别计算再相加。 1．如图在平而直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，若三角形ABC的三个顶点分别为A（2，3），B（3，1），C（﹣2，﹣2），则三角形ABC的面积为（　　） A．6.5 B．13 C．5.5 D．11 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A．19 B．20 C．21 D．21.5 4．（23-24七年级下·天津·期中）在平面直角坐标系中，三个顶点的位置如图（每个小正方形的边长均为1）．将沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后得到；    (1)直接写出、、三点的坐标：（______）；（______）；（______）． (2)求的面积． 5．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，已知点，若三角形是由三角形ABC平移后得到的，且三角形ABC中任意一点经过平移后的对应点为． (1)在图中画出三角形； (2)写出点的坐标______； (3)求三角形的面积． 6．（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在格点上，每个小正方形的边长都为1个单位长度． (1)写出点、、的坐标： (2)将三角形先向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形，画出三角形： (3)求三角形的面积． 题型三 利用割补法求四边形的面积 不规则四边形无法直接用公式，可将其分割为两个三角形分别计算面积再求和；也可以用补形法补成大长方形，用大长方形面积减去四周空白图形面积，得到四边形面积。 1．如图所示，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(3，4)，C(0，2)，则四边形ABCO的面积为(    ) A．9 B．10 C．11 D．12 2．如图，已知坐标系中四点，则四边形的面积是（   ） A．4 B． C． D．5 3．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为（    ） A．14 B．11 C．10 D．9 4．（2024七年级·全国·竞赛）在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是点，点，点，点，则四边形的面积为_______． 5．（24-25七年级下·山西大同·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点都在格点上，其中，点的坐标为，点的坐标为． (1)填空：点的坐标是________，点的坐标是________． (2)求四边形的面积． 6．（23-24七年级下·广东汕头·期中）已知平面直角坐标系内有4个点：、、、    (1)在平面直角坐标系中描出这4个点 (2)顺次连接、、、组成的四边形，求出四边形的面积 题型四 由图形的面积求点的坐标 先设出未知点的坐标，用坐标表示出图形的底或高；根据面积公式列出方程，解方程求出未知的横坐标或纵坐标；注意点可能在上下、左右两侧，会出现多解，不能漏解。 1．（23-24七年级下·江苏南通·月考）已知点和点，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是（   ） A．4 B．4或 C． D．2 2．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，， (1)求的面积； (2)点P是y轴上一动点，当面积为面积的两倍时，求点P的坐标． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，． (1)求的面积； (2)已知为轴上一点，若，求点的坐标． 4．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）在平面直角坐标系中，点． (1)在平面直角坐标系中画出三角形； (2)求三角形的面积； (3)若点P在轴上，且三角形与三角形的面积相等，求点的坐标． 5．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中a、b、c满足关系式：． (1)求a、b、c的值； (2)请直接判断与y轴的位置关系； (3)若平面内有一点，且点到的距离为5，请求出的面积； 6．（25-26八年级上·广东梅州·期中）如图，已知． (1)求四边形的面积； (2)在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的2倍，求点P 的坐标． 7．（24-25七年级下·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，将线段平移至，点D在x轴正半轴上，，且．连接，，，． (1)直接写出点C的坐标为_______；点B的坐标为_______； (2)当三角形的面积是三角形的面积的4倍时，求点D的坐标； 8．如图，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(3，4)，C(0，2)． (1)求S四边形ABCO； (2)连接AC，求S△ABC； (3)在x轴上是否存在一点P，使S△APB=4，若存在，请直接写出点P坐标． 题型五 平面直角坐标系中动点与面积的综合 用含 t 的代数式表示动点运动的路程和线段长度；用含 t 的式子表示图形的底和高；代入面积公式得到面积表达式；再根据题目要求计算面积、求时间或判断动点位置。 1．（23-24七年级下·广西南宁·期中）如图在直角坐标系中，已知，，三点，若，，满足关系式： (1)求的值； (2)求四边形的面积； (3)是否存在点，使的面积为四边形的面积的两倍？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 2．（22-23七年级下·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．    (1)求三角形的面积； (2)设点是轴上一点，若，试求点坐标； (3)若点在线段上，求用含的式子表示． 3．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，且a，b满足． (1)填空： ， ； (2)若在第四象限内有一点，用含m的式子表示三角形的面积； (3)在（2）的条件下，线段与y轴相交于点，当时，P是y轴上一动点，当满足，试求点P的坐标． 4．（24-25七年级下·江苏南通·月考）在平面直角坐标系中，O为原点，点，，． (1)如图1，的面积为 ； (2)如图2，将点B向右平移至点． ①若线段的长为5，求点D到直线的距离； ②点P是x轴上一动点，若的面积等于3，请求出点P的坐标． 5．（24-25七年级下·吉林·月考）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且、满足．点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动，回到点，停止移动．设点运动的时间为； (1)点的坐标为______；当点运动5秒时，点的坐标为______； (2)在点运动过程中，当三角形的面积为一个定值时，则的取值范围是______； (3)在运动过程中，当点到轴的距离为4个单位长度时，求点运动的时间； (4)在路线的运动过程中，是否存在某个时刻，使三角形的面积是10？若存在，求出点运动的时间；若不存在，请说明理由． 6．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，满足． (1)求、两点的坐标及的面积； (2)若点是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； (3)若是轴上方到轴的距离为6的一条直线，在直线上是否存在点，使的面积等于的面积，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中a、b、c满足关系式：．    (1)求a、b、c的值； (2)请直接判断与y轴的位置关系； (3)若平面内有一点，且点到的距离为5，请求出的面积； (4)如果点在平面内，是否存在m，使四边形的面积为面积的3倍？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 题型六 坐标系中平移与面积 图形平移只改变位置，形状、大小、面积都不变；先根据平移规则 “右加左减、上加下减” 求出平移后各顶点的坐标，再用公式法或割补法计算平移后图形的面积。 1．（24-25七年级下·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，点B坐标为，且． (1) ， ，点B的坐标为 ． (2)点C在第一象限内，轴，将线段进行适当的平移得到线段，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，连接．若的面积为16，求线段的长． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于B，轴于C，，且a，b满足． (1)直接写出点A，B，C的坐标 (2)如图1，点D从点O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正方向运动，点E从点B出发，以每秒2个单位的速度沿x轴负方向运动，设运动时间为t，当时，求t的值； (3)如图2，将线段平移，使点B的对应点M恰好落在y轴负半轴上，点C的对应点为N，连接交y轴于点P，当时，求点N的坐标． 3．（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）在平面直角坐标系中、，a、b满足． (1)如图1，求点A、B的坐标； (2)如图2，y轴上有一点E，的面积是6，求点E的坐标； (3)如图3，将线段沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、C，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26九年级下·江苏南京·月考）长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，动点从点出发，沿的方向以每秒个单位长度的速度移动，与点第二次相遇时停止，设点移动的时间为秒． (1)点的坐标为 ； (2)当时， ；（用含的代数式表示） (3)当点第一次移动到点时，有一条垂直于轴的直线开始从位置出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向平行移动，当点停止时直线也随之停止．在移动过程中，当点在直线上时，求点的坐标； (4)连接，，，当 的面积为时，直接写出的值． 5．（25-26八年级上·四川广元·期中）在平面直角坐标系中，，，，且． (1)请直接写出点，，的坐标； (2)如图1，点在线段上，点从点出发沿轴负方向平移，线段轴，． ①当线段最短时，求的面积； ②点在运动过程中，探究，，之间的数量关系，并证明； (3)若第一象限的一点是射线上的一点． ①求与的数量关系； ②若点，点在线段上，直线将四边形分成面积之比为1：4的两部分，直接写出点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $