期中压轴题冲刺演练（一）平面向量及其应用新定义问题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期中压轴题冲刺演练（一） 平面向量及其应用新定义问题 1．（24-25高一下·浙江·期中）设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题： (1)已知向量，满足，，，求的值； (2)①若，，用坐标，，，表示； ②在平面直角坐标系中，已知点，，，的面积为，求. (3)已知向量，，，求的最小值. 【答案】(1)1 (2)①；②或 (3). 【分析】（1）借助新定义计算即可得； （2）①借助所给定义及三角函数间的关系，计算可得，②代入数据计算即可得； （3）由，代入数据，结合基本不等式计算即可得. 【详解】（1）由已知，得，所以，即， 又，所以， 所以； （2）①设，，则，， 所以， 所以， 整理得， 所以 ②，， 而， 所以，故或 （3）由（2）得， 故， ， 当且仅当，即时等号成立，取得最小值是. 2．（24-25高一下·浙江温州·期中）如图，设，是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量.若则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作，已知点，分别在，轴，，，，为非零实数，点满足. (1)求向量在坐标系中的坐标； (2)若，，求向量在坐标系中的坐标； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）将表示成以，为基底的向量，即可得出其坐标； （2）根据向量线性运算的坐标表示并利用得到方程，解方程可求得向量的坐标； （3）得出关于坐标的表达式，再利用二次函数性质即可求得其最小值. 【详解】（1）由可得. 即. 即向量在坐标系中的坐标为； （2）若，则. 所以. 因为，. 即. 解得， 所以向量在坐标系中的坐标为； （3）因为，； 所以； 当，即时，取得最小值，最小值为. 3．（24-25高一下·浙江温州·期中）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，点为的费马点，且满足，. (1)求； (2)求的值； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2)-2 (3) 【分析】（1）利用正弦定理可得，利用三角恒等变换可得，可求； （2）利用余弦定理可求得，结合三角形的面积关系可求得，利用向量的数量积的定义可求结论； （3）设，则，，，其中，利用正弦定理可得，，利用三角恒等变换和正弦曲线可求得的取值范围. 【详解】（1）由，得， 所以， 所以.， 所以， 因为，所以， 可得，又，所以； （2）由，可得的三个内角均小于120°，又点为的费马点， 则， 由可得， 由余弦定理可得， 所以，所以， 又， 故， 可得. 所以； （3）设，则，，， 其中， 在中，由正弦定理可得，即， 则， 在中，由正弦定理可得，即， 则， ， 又 ， 又， 所以的取值范围是. 4．（24-25高一下·浙江宁波·期中）对于三维向量，定义“变换”：，其中.记. (1)若，求及； (2)已知， （i）求的值； （ii）将再经过次变换后，最小，求的最小值. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）505. 【分析】（1）根据给定条件，利用定义求出，，进而求得及. （2）（i）设，列出方程组求出；（ii）由（i）可得，再通过变换，探讨最小值. 【详解】（1）由，得，， 所以. （2）（i）设，由，则有或， 当时，得，三式相加得，又，解得， 当时，也得，因此， 所以. （ii）设的三个分量为这三个数， 当时，的三个分量为这三个数，则； 当时，的三个分量为，则的三个分量为的三个分量为， 因此，由，得， 而，则任意的三个分量始终为偶数，且都有一个分量等于2， 于是的三个分量只能是三个数，的三个分量只能是三个数. 因此当时，；当时，， 所以的最小值为505. 5．（24-25高一下·浙江·期中）设非零向量，，并定义. (1)若，，求； (2)写出，，之间的等量关系，并证明； (3)若，为单位向量，求证：集合是有限集. 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意写出及的坐标，即可求得； （2）根据题意写出，，进行判断即可； （3）由，为单位向量可得，设，进而依次写出，，，，可发现周期，从而得证. 【详解】（1），，， ，， ，； （2），，之间的等量关系为， 证明如下： ，， ， 又，， ， ， ； （3）证明：由（2）及，可得，依次类推，     可设，则，，     依题意得： ， ， ， 同理得：， 依次类推可得：， ， ，，所以周期为6， 综上：集合是有限集，最多只有6个元素. 6．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知点为坐标原点，将向量绕逆时针旋转角后得到向量． (1)若，求的坐标； (2)若，求的坐标（用表示）； (3)若点在抛物线上，且为等边三角形，讨论的个数． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）设，得到，逆时针旋转，得到，根据三角函数定义求出的坐标为； （2）设，向量绕逆时针旋转角后得到向量，结合三角恒等变换得到的坐标； （3）设，时，，由（2）知， 将代入抛物线，消去得，将代入上式得，讨论的个数，等价于上式的解的个数，其中时，需找方程的非零解，令，，联立得，再根据两方程的根的判别式分类讨论，得到答案. 【详解】（1）设， 由于，，则，， 又将向量绕逆时针旋转，故，， 所以，， 设，则，， 所以的坐标为； （2）设，， 又，则， 向量绕逆时针旋转角后得到向量， 所以，， 其中， ， 故； （3）设，时，， 由（2）知逆时针旋转得， 即， 均在抛物线上，故， 消去得， 所以， 即，故， 将代入上式得， 由可知，确定，则与之唯一确定， 所以讨论的个数，等价于的解的个数， 其中时，需找方程的非零解， 令①，其中， 令②，其中， 联立①②得， 所以时，方程①②有相同解，， 当时，方程①②均无解，所以的个数为0； 当时，方程①无解，②仅有一个解，所以的个数为1； 当时，方程①无解，②有一个非零解，，所以的个数为1； 当或时，方程①无解，②有两个解，所以的个数为2； 当时，方程①仅有1个解，，②有2个解，或， 所以的个数为2； 当时，方程①②均有两个解，且两方程解均不同，所以的个数为4； 综上，当时，的个数为0；当或0时，的个数为1； 当或时，的个数为2；当时，的个数为4. 7．（24-25高一下·浙江宁波·期中）对于一组向量，，，……，，（且），令，如果存在（），使得，那么称是该向量组的“长向量”. (1)设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数x的取值范围； (2)若，且，向量组，，，……，是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由； (3)若对于一组向量，，，……，（且），记已知T中的每一个向量都为该向量组的“长向量”，求证：. 【答案】(1) (2)存在“长向量”，且“长向量”为，，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据向量模长的不等关系，解得的范围即可； （2）根据“长向量”的定义，结合三角函数的性质解不等式即可； （3）由平方得到， 同理得到：，个式子相加即可求证. 【详解】（1）由题意可得：，，， ， 则，解得：. 所以实数x的取值范围； （2）存在“长向量”，且“长向量”为，，理由如下： 由题意可得，若存在“长向量”，只需使， 因为，，，，，， 所以，故只需使 ， 即，即， 当或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，. （3）由题意，得， 即， 即， 即， 同理， 个式相加并化简，得：， 即， ， 所以， 8．（24-25高一下·江苏苏州·期中）在内一点满足，则称为的布洛卡点，为布洛卡角．小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题：    (1)当，且时，求； (2)角，，所对的边分别为，，，，求证：； (3)在（2）的条件下，若的周长为4，试把表示为的函数，并求的值域． 【答案】(1)； (2)证明见详解； (3) 【分析】（1）由题意，可得，再结合正余弦定理，分别表示，联立求解即可； （2）结合正弦定理可证明； （3）结合向量关系，可求得，进而求其范围即可. 【详解】（1）当，且时，得， 由余弦定理，得，所以， 又，所以，， 在中，由正弦定理得，解得， 比如， 在中，由正弦定理得，解得， 所以，解得. （2）由，则， 在中，由正弦定理得，解得①， 在中，， 由正弦定理得，，得②， 由①②+，即. 由正弦定理，可得. （3）由题意有，，则 ， 所以， 因为，解得， 又由三角形边的关系知，则，即 ，整理得，解得，即， 而时，单调递减，，， 所以的值域为. 9．（24-25高一下·浙江宁波·期中）设A是直线外一点，点M在直线上（点M与点P，Q任一点均不重合），我们称如下操作为“由A点对施以视角运算”：若点M在线段上，记；若点M在线段外，记.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在射线BC上. (1)若D是BC的中点，由A点对BC施以视角运算，求的值； (2)若，，，由A点对BC施以视角运算，，求的周长； (3)若，，由A点对BC施以视角运算，，求的最小值. 【答案】(1)1 (2) (3)36 【分析】（1）由新定义结合正弦定理即可求解； （2）根据所给定义及条件得到，再由余弦定理求出，即可求出，从而求出三角形的周长； （3）依题意可得，由等面积法得到，从而得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】（1） 由定义可知：， 在三角形中，，即， 在三角形中，，即， 因为D是BC的中点，且, 所以 （2）因为点在射线上，，且，所以在线段外，且， 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得， 即，解得（负值已舍去）， 所以， 所以的周长为. （3）因为，所以，则， 因为，所以， 又，所以， 又，所以，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 10．（24-25高一下·云南昭通·期中）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)（ⅰ）设向量的夹角为，证明：； （ⅱ）已知非零向量满足，求． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）（ⅰ）由题意可得，再由同角的平方关系即可得证； （ⅱ）将已知条件代入可求得与的夹角为，再由（ⅰ）的结论即可得答案. 【详解】（1）因为， 可得：． （2）（ⅰ）证明：因为 ， 且，则， 所以． （ⅱ）已知，则． 因为， 所以， 则可得：． 又因为， 所以，即． ， 将代入上式可得：． 设与的夹角为，， 根据向量的夹角公式． 因为， 所以． 因为，且，所以． 与的夹角为， 则． 11．（23-24高一下·吉林·期末）法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，以，，为边向外作三个等边三角形，其中心分别为D，E，F. (1)求角A； (2)若，且的周长为9，求； (3)若的面积为，求的角平分线的取值范围. 【答案】(1)； (2)9； (3). 【分析】（1）由已知，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦公式计算得解. （2）则（1）的结论，利用余弦定理求出，再利用数量积的定义计算即得. （3）由（2）中信息，利用三角形面积公式求出，再求出的范围，借助函数单调性求出范围. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 又，则， 又，于是即，又， 所以. （2）由（1）知，由正的周长为，得， 依题意，， 在中，由余弦定理得， 则，即， 在中，由余弦定理得，即，联立解得， 所以. （3）由正的面积为，得， 由（2）知，即， 由，得， 于是，又，则， 又，即，解得，因此， 令函数，而函数与在上均单调递增， 则函数在上单调递增，从而，则， 所以的取值范围是. 【点睛】思路点睛：求三角形中线段长的最值问题，主要方法有两种，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 12．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）克罗狄斯、托勒密(ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意平面凸四边形(所有内角都小于180°的四边形)中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号．已知圆O是凸四边形ABCD的外接圆，其中． (1)若圆O的半径为r，且， (ⅰ)求的大小； (ⅱ)求的取值范围(用r表示)． (2)若，求线段BD长度的最大值． 【答案】(1)(ⅰ) ，(ⅱ) (2) 【分析】（1）(ⅰ)根据正弦定理和倍角公式即可求得，从而得解； (ⅱ)由(ⅰ)结论得出AC是圆O的直径，设，用表示数量积，再根据的取值范围，求出数量积的范围； （2）令，利用余弦定理和题干中的托勒密定理，用表示BD，再通过换元法，以及函数单调性求出BD的最大值. 【详解】（1）（i）因为 所以 又因为，所以，所以， （ii）因为，所以, 所以，所以AC是圆O的直径，由（i）可得， 设，则， 所以 又，所以 . （2）设， 所以，由余弦定理得 , 在中，, 由余弦定理得,代入整理得： ，解得. 由托勒密定理可知，代入得 . 设， （其中）， 设，则（其中） 因为在区间上单调递增， 所以当，即时，BD取得最大值. 【点睛】关键点点睛：本题第（2）问的关键是设，然后借助余弦定理和托勒密定理，用表示出，看上去很复杂，但是通过两次换元发现，可以简化成，最后利用单调性求出最值. 13．（23-24高一下·浙江丽水·期末）克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号. 如图，半圆的直径为2cm，为直径延长线上的点，2 cm，为半圆上任意一点，且三角形为正三角形. (1)当时，求四边形的周长； (2)当在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值； (3)若与相交于点，则当线段的长取最大值时，求的值. 【答案】(1) cm (2)位置见解析， (3) 【分析】（1）结合已知条件，只需用余弦定理计算即可求周长； （2）设，由已知结合余弦定理可得，计算和的面积之和即可. （3）由定理可得，可得到的最大值，由对角互补结合余弦定理可得和角，，由角平分线性质可得，由相交弦定理可得，再用余弦定理计算，即可计算. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 所以四边形的周长为. （2）设，在中，， 四边形的面积为 ， 当即时，四边形的面积取到最大值为. （3），且为正三角形，，， ，即的最大值为，取等号时，， . 不妨设，则，得，即，故， 在中，由余弦定理得，故为的角平分线， 由角平分线性质可得，，故，. 四点共圆， 由相交弦定理，得或（舍去）. 在中，， . 14．（25-26高一下·重庆·月考）人工智能和大模型的领域内，文字、图象等信息常常是由向量表示的，通过计算向量之间的相似度，就可以说明两段文字或两张图片所表达内容的关联度．非零向量之间的相似度的一种定义为． (1)菱形ABCD中，，动点在直线CD上． （ⅰ）当时，求； （ⅱ）求的取值范围． (2)在信息处理的过程中，有时为了增加的相似度，会选取合适的正实数，将调整为后再纳入模型计算，证明：对任意不共线的向量，及任意正实数，总有． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2)证明见解析 【分析】（1）建立直角坐标系，用坐标法表示有关向量. （ⅰ）利用的定义求值； （ⅱ）先利用定义表示，再利用函数的奇偶性结合基本不等式求的取值范围. （2）先表示出，通过换元法结合基本不等式进行证明. 【详解】（1）如图：以为原点，建立平面直角坐标系，不妨设（）. 则，，所以 （ⅰ）因为点在直线CD上，当时，，所以. 所以，，， 所以. （ⅱ）因为点在直线CD上，可设，则. 所以，，. 所以. 设，由，所以函数为奇函数. 当时，（当且仅当时取等号）. 所以. 所以. （2）因为， ，. 所以. 设，，，. 则，. 问题转化为证明，即. 只需证. 因为不共线，所以， 所以，即成立. 所以成立. 15．（25-26高一下·湖南·月考）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作，关于复向量的有关运算，现定义如下：两个复向量，的积记作，定义为，其中，分别为，的共轭复数，显然两个复向量的积也为复数．复向量的模定义为，与的夹角记作，则，若复向量与满足，则称复向量与平行．定义以复向量，为“邻边”的“平行四边形”的面积为．记i为虚数单位．设复向量． (1)若复向量，求； (2)若复向量，且与平行，求z； (3)若复向量，其中m，，且．试问对于满足条件的任意实数m，n，是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值且该定值为，理由见解析 【分析】（1）直接套用题目定义的复向量内积公式，先求出两个分量的共轭复数，再代入的分量展开计算，利用化简得到结果； （2）根据题目定义的平行条件，将设为的复数倍数，通过分量对应相等求出复数系数，再代入计算得到的值； （3）先利用复向量模的定义，结合求出与，再计算内积并求出其模长，进而由夹角公式得到，再求出，最后代入面积公式验证结果为定值. 【详解】（1）由题意得； （2）设， 则， 得， 又， ， 若与平行，则，即， 整理得，所以，， 所以； （3）设与的夹角为，则 ， 由题意知， ，， 所以，所以， 因为，所以， 即是定值，且该定值为． 16．（24-25高一下·重庆·期末）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． (1)设，，求复向量与的模； (2)已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号； ①求证：对任意实数，，，，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立； (3)当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数的值． 【答案】(1)10；； (2)①证明见解析，当且仅当等号成立；②证明见解析； (3) 【分析】（1）代入“复向量”和模的新定义，即可求解两个向量的模； （2）①首先设实向量，，再分别计算和，再结合公式，即可证明； ②首先设复向量，，根据复数的三角不等式，以及实系数向量不等式，即可证明； （3）根据等号成立的条件，再结合复数的三角不等式，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以的模为10； 因为，所以， 可得的模为； （2）①设实向量，， 则，，，而， 根据已知，当且仅当与平行时取等号，即， 所以，当且仅当时等号成立； ②因为，，所以， 由复数的三角不等式， ，由， 得，所以， 所以， 综上所知，． （3）②中考虑①中等号成立的条件知，结合复数的三角不等式， 复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得， 根据题意，若复向量与平行， 则， 根据中等号成立的条件， 应有，则， 又，则，解得， 所以，所以． 17．（24-25高一下·贵州黔南·期末）在平面直角坐标系中，我们可以用有序实数对表示向量，类似的，我们也可以把有序复数对（，）视为一个向量，记作，称为复向量.对于复向量，，（、、、、），类比平面向量的运算法则我们有如下复向量的运算法则：①；②；③；④. (1)平面向量满足运算律，判断复向量是否满足该运算律，并说明理由； (2)已知i为虚数单位，设复向量，，求和； (3)若复向量与满足，则称复向量与平行，据此判断复向量与，能否平行？若能，求出实数m的值，若不能，请说明理由. 【答案】(1)，理由解析 (2)； (3)不存在实数使得与平行，理由见解析 【分析】（1）根据复向量新定义的运算法则计算可得结论； （2）根据复向量新定义的运算法则计算即可求解； （3）根据复向量新定义的运算法则计算可得，，判断的解情况即可得结论. 【详解】（1），理由如下： 因为量，，所以，， 所以 ； （2）因为，， 所以， ； （3）不存在实数使得与平行.理由如下： 因为 整理得，所以 因为， ，， 所以， 若复向量与，平行， 则可得， 两边平方， 所以， 整理得， 因为， 所以方程无实数解，所以不存在实数使得与平行. 18．（24-25高一下·浙江杭州·期中）对于向量集，记向量．如果存在向量，使得，那么称是向量集的“长向量”． (1)设向量，．若是向量集的“长向量”，求实数x的取值范围； (2)设向量，，则向量集是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由； (3)已知均是向量集的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系xOy中的点集，其中，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值． 【答案】(1) (2)存在“长向量”，且“长向量”为，，理由见解析 (3)4044 【分析】（1）根据向量模长的不等关系，解得的范围即可； （2）根据“长向量”的定义，结合三角函数的性质解不等式即可； （3）根据向量坐标代入计算，结合向量不等式得到，再设，得到向量关系，从而求得最值. 【详解】（1）由题意可得：，，， 则，解得：. （2）存在“长向量”，且“长向量”为，，理由如下： 由题意可得，若存在“长向量”，只需使， 因为，，，，，， 所以，故只需使 ， 即，即， 当或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，. （3）由题意，得，，即， 即，同理， 三式相加并化简，得：， 即，，所以， 设，由，解得， 即 设，则依题意得：， 得， 故， ， 所以， 因为 所以， 当且仅当时等号成立， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题考查向量新定义问题.关键点是根据已学知识，理解题中“长向量”的定义，将向量坐标代入计算，再结合向量不等式得到，得到向量关系，从而求得最值. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中压轴题冲刺演练（一） 平面向量及其应用新定义问题 1．（24-25高一下·浙江·期中）设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题： (1)已知向量，满足，，，求的值； (2)①若，，用坐标，，，表示； ②在平面直角坐标系中，已知点，，，的面积为，求. (3)已知向量，，，求的最小值. 2．（24-25高一下·浙江温州·期中）如图，设，是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量.若则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作，已知点，分别在，轴，，，，为非零实数，点满足. (1)求向量在坐标系中的坐标； (2)若，，求向量在坐标系中的坐标； (3)求的最小值. 3．（24-25高一下·浙江温州·期中）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，点为的费马点，且满足，. (1)求； (2)求的值； (3)求的取值范围. 4．（24-25高一下·浙江宁波·期中）对于三维向量，定义“变换”：，其中.记. (1)若，求及； (2)已知， （i）求的值； （ii）将再经过次变换后，最小，求的最小值. 5．（24-25高一下·浙江·期中）设非零向量，，并定义. (1)若，，求； (2)写出，，之间的等量关系，并证明； (3)若，为单位向量，求证：集合是有限集. 6．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知点为坐标原点，将向量绕逆时针旋转角后得到向量． (1)若，求的坐标； (2)若，求的坐标（用表示）； (3)若点在抛物线上，且为等边三角形，讨论的个数． 7．（24-25高一下·浙江宁波·期中）对于一组向量，，，……，，（且），令，如果存在（），使得，那么称是该向量组的“长向量”. (1)设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数x的取值范围； (2)若，且，向量组，，，……，是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由； (3)若对于一组向量，，，……，（且），记已知T中的每一个向量都为该向量组的“长向量”，求证：. 8．（24-25高一下·江苏苏州·期中）在内一点满足，则称为的布洛卡点，为布洛卡角．小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题：    (1)当，且时，求； (2)角，，所对的边分别为，，，，求证：； (3)在（2）的条件下，若的周长为4，试把表示为的函数，并求的值域． 9．（24-25高一下·浙江宁波·期中）设A是直线外一点，点M在直线上（点M与点P，Q任一点均不重合），我们称如下操作为“由A点对施以视角运算”：若点M在线段上，记；若点M在线段外，记.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在射线BC上. (1)若D是BC的中点，由A点对BC施以视角运算，求的值； (2)若，，，由A点对BC施以视角运算，，求的周长； (3)若，，由A点对BC施以视角运算，，求的最小值. 10．（24-25高一下·云南昭通·期中）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)（ⅰ）设向量的夹角为，证明：； （ⅱ）已知非零向量满足，求． 11．（23-24高一下·吉林·期末）法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，以，，为边向外作三个等边三角形，其中心分别为D，E，F. (1)求角A； (2)若，且的周长为9，求； (3)若的面积为，求的角平分线的取值范围. 12．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）克罗狄斯、托勒密(ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意平面凸四边形(所有内角都小于180°的四边形)中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号．已知圆O是凸四边形ABCD的外接圆，其中． (1)若圆O的半径为r，且， (ⅰ)求的大小； (ⅱ)求的取值范围(用r表示)． (2)若，求线段BD长度的最大值． 13．（23-24高一下·浙江丽水·期末）克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号. 如图，半圆的直径为2cm，为直径延长线上的点，2 cm，为半圆上任意一点，且三角形为正三角形. (1)当时，求四边形的周长； (2)当在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值； (3)若与相交于点，则当线段的长取最大值时，求的值. 14．（25-26高一下·重庆·月考）人工智能和大模型的领域内，文字、图象等信息常常是由向量表示的，通过计算向量之间的相似度，就可以说明两段文字或两张图片所表达内容的关联度．非零向量之间的相似度的一种定义为． (1)菱形ABCD中，，动点在直线CD上． （ⅰ）当时，求； （ⅱ）求的取值范围． (2)在信息处理的过程中，有时为了增加的相似度，会选取合适的正实数，将调整为后再纳入模型计算，证明：对任意不共线的向量，及任意正实数，总有． 15．（25-26高一下·湖南·月考）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作，关于复向量的有关运算，现定义如下：两个复向量，的积记作，定义为，其中，分别为，的共轭复数，显然两个复向量的积也为复数．复向量的模定义为，与的夹角记作，则，若复向量与满足，则称复向量与平行．定义以复向量，为“邻边”的“平行四边形”的面积为．记i为虚数单位．设复向量． (1)若复向量，求； (2)若复向量，且与平行，求z； (3)若复向量，其中m，，且．试问对于满足条件的任意实数m，n，是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 16．（24-25高一下·重庆·期末）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． (1)设，，求复向量与的模； (2)已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号； ①求证：对任意实数，，，，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立； (3)当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数的值． 17．（24-25高一下·贵州黔南·期末）在平面直角坐标系中，我们可以用有序实数对表示向量，类似的，我们也可以把有序复数对（，）视为一个向量，记作，称为复向量.对于复向量，，（、、、、），类比平面向量的运算法则我们有如下复向量的运算法则：①；②；③；④. (1)平面向量满足运算律，判断复向量是否满足该运算律，并说明理由； (2)已知i为虚数单位，设复向量，，求和； (3)若复向量与满足，则称复向量与平行，据此判断复向量与，能否平行？若能，求出实数m的值，若不能，请说明理由. 18．（24-25高一下·浙江杭州·期中）对于向量集，记向量．如果存在向量，使得，那么称是向量集的“长向量”． (1)设向量，．若是向量集的“长向量”，求实数x的取值范围； (2)设向量，，则向量集是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由； (3)已知均是向量集的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系xOy中的点集，其中，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $