专题10 一次函数及其应用（题型专练）（辽宁专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题10 一次函数及其应用 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 一次函数的定义与解析式确定 题型02 一次函数的图象与性质（增减性、截距） 题型03 一次函数图象的平移与对称 题型04 一次函数与一次方程（组）、不等式的综合 题型05 一次函数的实际应用（方案选择、最值、行程） 题型06 一次函数与几何图形的综合应用 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 一次函数的定义与解析式确定 典例引领 【典例01】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知点，关于x轴对称，若正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、坐标与图形变换-轴对称，先根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求得a、b值，可得点C坐标，进而利用待定系数法求解函数表达式即可． 【详解】解：∵点，关于x轴对称， ∴，， ∴， ∵正比例函数的图象经过点， ∴，解得， ∴这个正比例函数的表达式为， 故答案为：． 方法透视 考向解读 一次函数的图象与性质考点较为多样化，但近两年侧重于基础，以求一次函数表达式、求自变量或函数值、求一次函数与坐标轴交点坐标为主进行考查，预计今年中考会继续延续基础考点，同时也不可忽视一次函数增减性、图象与性质、与不等式结合等内容，也可能会融入到与二次函数题目中结合考查。 一次函数的应用主要以解答题形式考查，近年来以销售利润问题为主，其他问题也略有涉猎。主要考查待定系数法求一次函数表达式，以及根据题意列出一次函数表达式，利用一次函数增减性求最值，根据一次函数图像提取关键信息解决问题等，整体难度不大，把握住函数关系建立是解题的重要环节。 方法技能 1.待定系数法求一次函数表达式 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 变式演练 【变式01】（2025·辽宁铁岭·一模）如图，入射光线遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的一次函数关系式为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、求一次函数解析式，由题意可得，延长交轴于点，证明，得出，即，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 如图，延长交轴于点， 由题意可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 将代入得：， 解得：， 故选：B． 题型02 一次函数的图象与性质 典例引领 【典例01】（2025·辽宁辽阳·一模）若点在第三象限，则函数的图象大致是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，点的坐标，根据在第三象限的点的纵横坐标都是小于0，再结合一次函数的图象性质，得的图象经过第一、三、四象限，即可作答． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， ∴ ∴函数的图象经过第一、三、四象限， 故选：C． 方法透视 考向解读 一次函数的图象与性质考点较为多样化，但近两年侧重于基础，以求一次函数表达式、求自变量或函数值、求一次函数与坐标轴交点坐标为主进行考查，预计今年中考会继续延续基础考点，同时也不可忽视一次函数增减性、图象与性质、与不等式结合等内容，也可能会融入到与二次函数题目中结合考查。 一次函数的应用主要以解答题形式考查，近年来以销售利润问题为主，其他问题也略有涉猎。主要考查待定系数法求一次函数表达式，以及根据题意列出一次函数表达式，利用一次函数增减性求最值，根据一次函数图像提取关键信息解决问题等，整体难度不大，把握住函数关系建立是解题的重要环节。 方法技能 一次函数 （）的图像是一条直线，因此一次函数的图像也称为直线 。 倾斜程度：越大，直线越陡峭；越小，直线越平缓； 当 时，y 随 x 的增大而增大； 当 时，y 随 x 的增大而减小。 时，直线与y轴交于正半轴（原点上方）； 时，直线过原点（正比例函数）； 时，直线与y轴交于负半轴（原点下方）。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知一次函数，函数值随自变量的增大而减小，且，则函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据题意得出，进而得出一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可求解． 【详解】解：∵一次函数，函数值随自变量的增大而减小，且， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：C． 题型03 一次函数的平移与对称 典例引领 【典例01】（2025·辽宁锦州·模拟预测）将一次函数的图象沿轴向上平移2个单位长度后，所得新的一次函数图象与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移、一次函数与坐标轴的交点，先根据一次函数的平移法则：左加右减，上加下减得出新函数为，令，则，求解即可得出答案． 【详解】解：将一次函数的图象沿轴向上平移2个单位长度后得到的解析式为， 令，则， 解得：， 所得新的一次函数图象与轴的交点坐标为， 故答案为：． 方法透视 考向解读 一次函数的图象与性质考点较为多样化，但近两年侧重于基础，以求一次函数表达式、求自变量或函数值、求一次函数与坐标轴交点坐标为主进行考查，预计今年中考会继续延续基础考点，同时也不可忽视一次函数增减性、图象与性质、与不等式结合等内容，也可能会融入到与二次函数题目中结合考查。 一次函数的应用主要以解答题形式考查，近年来多以销售利润问题为主，其他问题也略有涉猎。主要考查待定系数法求一次函数表达式，以及根据题意列出一次函数表达式，利用一次函数增减性求最值，根据一次函数图像提取关键信息解决问题等，整体难度不大，把握住函数关系建立是解题的重要环节。 方法技能 1.一次函数的平移规律 平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式 向上平移m个单位 向下平移m个单位 向左平移m个单位 向右平移m个单位 变式演练 【变式01】（2025·辽宁·模拟预测）已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，若把其图象向下平移2个单位长度，则图象经过第一、三、四象限，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与几何变换，一次函数的性质，熟知“上加下减，左加右减”是解题的关键．根据一次函数图象平移规律即可得到，根据一次函数性质判断即可． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限， ， 把其图象向下平移2个单位长度，则图象经过第一、三、四象限， ，解得， ． 故选：B． 题型04 一次函数与一次方程（组）、不等式的综合 典例引领 【典例01】（2025·辽宁大连·一模）如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 观察图象找到当时的值即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故选：A． 方法透视 考向解读 一次函数的图象与性质考点较为多样化，但近两年侧重于基础，以求一次函数表达式、求自变量或函数值、求一次函数与坐标轴交点坐标为主进行考查，预计今年中考会继续延续基础考点，同时也不可忽视一次函数增减性、图象与性质、与不等式结合等内容，也可能会融入到与二次函数题目中结合考查。 一次函数的应用主要以解答题形式考查，近年来多以销售利润问题为主，其他问题也略有涉猎。主要考查待定系数法求一次函数表达式，以及根据题意列出一次函数表达式，利用一次函数增减性求最值，根据一次函数图像提取关键信息解决问题等，整体难度不大，把握住函数关系建立是解题的重要环节。 方法技能 直线 （）与x轴的交点横坐标，就是方程 的解。 不等式 的解集：直线 在x轴 上方 部分对应的x的取值范围； 不等式 的解集：直线 在x轴 下方 部分对应的x的取值范围； 若两个一次函数 ，，则 的解集是直线 在 上方 部分对应的x的取值范围。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁铁岭·二模）如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据一次函数的图象写出不等式的解集，能够根据图象找出函数的交点坐标并选取正确的部分是解题的关键．先求得结合两函数图象，在点P的右边的图象都低于的图象，故应选择点P左边的部分，即可写出解集． 【详解】解：将得 解得：， ∴ 根据函数图象可得：不等式的解集是, 故选：C． 题型05 一次函数的实际应用 典例引领 【典例01】（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)该商品日销售额不能达到元，理由见解析。 【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 将，代入得 ， 解得， 与之间的函数表达式为； （2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下： 依题意得， 整理得， ∴， ∴该商品日销售额不能达到元． 方法透视 考向解读 一次函数的图象与性质考点较为多样化，但近两年侧重于基础，以求一次函数表达式、求自变量或函数值、求一次函数与坐标轴交点坐标为主进行考查，预计今年中考会继续延续基础考点，同时也不可忽视一次函数增减性、图象与性质、与不等式结合等内容，也可能会融入到与二次函数题目中结合考查。 一次函数的应用主要以解答题形式考查，近年来多以销售利润问题为主，其他问题也略有涉猎。主要考查待定系数法求一次函数表达式，以及根据题意列出一次函数表达式，利用一次函数增减性求最值，根据一次函数图像提取关键信息解决问题等，整体难度不大，把握住函数关系建立是解题的重要环节。 方法技能 一次函数的实际应用： 1）一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 4）求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 变式演练 【变式01】（2025·辽宁盘锦·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 【答案】(1)A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元 (2)此次购进至少要花元钱 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用． （1）设购进A种哪吒玩偶的单价是x元，则购进B种哪吒玩偶的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合购进两种玩偶的数量共15个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即购进A种哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出购进B种哪吒玩偶的单价； （2）设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个，根据购进A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元，利用总价=单价×数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设A种哪吒玩偶的单价为元，则B种哪吒玩偶的单价为元． 根据题意，得： 解得： 经检验：是原分式方程的解 B种：元 答：A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元． （2）解：设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个 根据题意，得： 解得： 设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元， 花费 整理，得： ∵，当时，随的增大而减小 ∴当时，取得最小值，最小值元 答：此次购进至少要花元钱． 题型06 一次函数与几何图形的综合应用 典例引领 【典例01】（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点E，点A在线段上，过点A作x轴的平行线，交直线于点B，分别过点A，B作x轴的垂线，当四边形为正方形时，点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正方形的性质，一次函数的性质，先设，再求解，再结合正方形的性质可得答案． 【详解】解：∵A在直线上， ∴设， ∵轴， ∴， 解得：， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 故选B 方法透视 考向解读 一次函数的图象与性质考点较为多样化，但近两年侧重于基础，以求一次函数表达式、求自变量或函数值、求一次函数与坐标轴交点坐标为主进行考查，预计今年中考会继续延续基础考点，同时也不可忽视一次函数增减性、图象与性质、与不等式结合等内容，也可能会融入到与二次函数题目中结合考查。 一次函数的应用主要以解答题形式考查，近年来多以销售利润问题为主，其他问题也略有涉猎。主要考查待定系数法求一次函数表达式，以及根据题意列出一次函数表达式，利用一次函数增减性求最值，根据一次函数图像提取关键信息解决问题等，整体难度不大，把握住函数关系建立是解题的重要环节。 方法技能 建立函数模型解决几何图形问题的一般步骤： ①审题，设定几何图形问题中的变量，明确变量x和y； ②根据几何图形的性质列出一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁丹东·模拟预测）如图，直线分别与轴、轴交于两点；直线与交于点，与过点且平行于轴的直线交于点，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴向左运动，过点作轴的垂线，分别交直线于两点，以为边向右作正方形，设正方形与重叠部分（阴影部分）的面积为（平方单位），点的运动时间为（秒）． (1)求点的坐标． (2)当时，求与之间的函数关系式． (3)求（2）中的最大值． (4)当时，直接写出点在正方形内部时的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3) (4)或 【分析】 本题考查函数基本性质，求函数最值问题，动点问题，解决本题的关键是观察图形，搞清几何坐标，理清思路，运用分类讨论思想． （1）由于点C是直线与直线的交点，把两直线组成方程组即可； （2）需要分情况讨论：①当时，正方形与重叠部分是矩形，用的代数式表示出矩形的长和宽即可，②当时，正方形与重叠部分是正方形，用的代数式表示出正方形的边长即可； （3）由（2）中的与的关系式中，根据二次函数的最值易解决； （4）考虑边界即可，求定点在正方形内部时，的范围，点在轴上运动，要用到分类讨论． 【详解】（1） 解：由题意，得 解得 ∴； （2）解：根据题意，直线分别与轴、轴交于两点， ∴， 可得，， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， 当在上时，， ∴， 当时，，即， 当时，，即； （3）解：当时，， ∴时，， 当时，， ∵时，随的增大而减小， ∴时，， ∵， ∴的最大值为； （4） 解：当时，，三点重合； 当时，知时是临界条件，即 ∴点的纵坐标为，点在正方形边界上，继续往左移动，则点进入正方形内部，但点的纵坐标再减少，当点的纵坐标为时， ∴即， 此时满足条件， ∴， 当时，由图和条件知，则有，要满足点在正方形的内部， 则临界条件点横坐标为， ， 即，此时点的纵坐标为：，满足条件， ∴． 综上所述：或． 题●型●训●练 1．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，求一次函数的解析式，先根据点，，求出这条直线的解析式为，结合平移的性质，得平移后的直线解析式为，再将每个选项进行验证，即可作答． 【详解】解：设过点，的直线解析式为， 把点，分别代入， 得， ∴， ∴， ∵过点，的直线向上平移3个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， 当时，则， 即在直线上，故B选项符合题意，故A选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故D选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故C选项不符合题意； 故选：B 2．（2025·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数过点得出与的关系，再结合随增大而增大得，然后将各选项坐标代入函数，判断是否符合条件 ．本题主要考查了一次函数的性质与图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数中的意义及点坐标与函数解析式的关系是解题的关键． 【详解】∵一次函数过， 把代入得，即． 又随的增大而增大， ． 选项A：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项B：点，代入得， 把代入得， 化简得，不满足，舍去． 选项C：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项D：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，满足． 综上，只有选项D符合条件， 故选：． 3．（2025·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象的平移以及一次函数与线段的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先求出直线平移后的解析式，再根据直线与线段有交点，分别求出直线经过点A和点B时d的值，进而确定d的取值范围，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，将直线向上平移d个单位长度后得 ∵点，点，且直线向上平移d个单位长度后与线段有交点， ∴把代入得，解得； 把代入得，解得； 则， 故选：D． 4．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据题意可知，即可得出随的增大而增大． 【详解】解：，， 随的增大而增大， ， ∴经过一，三象限 ∴B符合条件，C，D不符合条件 ∵直线， ∴直线经过原点 点在x轴上，直线经过原点，但不经过故该选项A不符合， 故选：． 5．（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．先根据可得，从而可得，再可得，然后根据一次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵， ∴， 当时，，，与矛盾， 当时，，  ，与矛盾， 当时，，，与矛盾， 当时，，，与矛盾， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 6．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵， ∴结合图象可得：， 故选：C． 7．（2025·四川南充·中考真题）已知直线与直线的交点在轴上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的交点问题，由直线与直线的交点在轴上可知当时函数值相等，得到，然后代入化简即可．推导知时函数值相等是解题的关键． 【详解】解：当时，，， ∵直线与直线的交点在轴上， ∴， ∴． 8．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组解的对应关系． 明确一次函数与二元一次方程组的联系：两条直线的交点坐标同时满足两个直线对应的函数解析式；因此方程组的解就是两直线交点的坐标；已知直线与交于点，该点坐标即为方程组的解． 【详解】∵直线与直线交于点， ∴点A的坐标同时满足两个函数的解析式， 即方程组的解为点A的坐标． 故答案为：． 9.（2025·辽宁抚顺·模拟预测）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 (1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； (2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【答案】(1)长款服装购进30件，短款服装购进20件； (2)当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设购进服装x件，购进长款服装y件，根据“用4300元购进长、短两款服装共50件，”列二元一次方程组计算求解； （2）设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装，根据“第二次进货总价不高于16800元”列不等式计算求解，然后结合一次函数的性质分析求最值． 【详解】（1）解：设购进短款服装x件，购进长款服装y件， 由题意可得， 解得， 答：长款服装购进30件，短款服装购进20件． （2）解：设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装， 由题意可得， 解得：， 设利润为w元，则， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时， ∴（元）． 答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 10．已知y是自变量x的函数，点在函数图象上，若点P到两坐标轴距离的和等于m（m为常数，），即，则称点P为函数图象上的“m阶定距点”．例如点是一次函数图象上的“4阶定距点”． (1)下列各点中是一次函数图象上的“2阶定距点”的是________． ①   ②   ③   ④ (2)点是一次函数图象上的“3阶定距点”，求n的值． (3)一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P是次函数的图象在第一象限内的“5阶定距点”，点D在直线上，过点D作轴，交直线于点E，当时，求点D的坐标． 【答案】(1)① (2)0或 (3)或 【分析】本题主要考查函数图象上点的坐标特征以及新定义“阶定距点”的应用，正确理解“阶定距点”是解答本题关键． （1）根据“阶定距点”定义分别判断所给出的四点是不是一次函数图象上的“2阶定距点”； （2）根据“3阶定距点”的定义求解即可； （3）设点P的坐标为，把点代入得，，求出，得，，求出直线的解析式为，设，求得，，列式求出的值即可解决问题． 【详解】（1）解：①当时，， 所以，点在函数的图象上， 又， 所以是“2阶定距点”； ②当时，， 所以，点在函数的图象上， 但， 所以不是“2阶定距点”； ③当时，， 所以，点不在函数的图象上， 所以不是“2阶定距点”； ④当时，， 所以，点不在函数的图象上， 所以不是“2阶定距点”； 所以，是一次函数图象上的“2阶定距点”的是①， 故答案为：①； （2）解：点是一次函数图象上的“3阶定距点” ， ， 当时，在一次函数上， ， 解得，， 当时，在一次函数上， ， 解得，， 的值为0或； （3）解：点P是一次函数在第一象限内的“5阶定距点”， 设点P的坐标为， 把点代入得， ， 解得，， ，                          ，         设直线的解析式为，把点代入， 解得， 直线的解析式为，      设， 轴，点E在直线上， ， ，                  ， ， 解得，                   或． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 一次函数及其应用 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 一次函数的定义与解析式确定 题型02 一次函数的图象与性质（增减性、截距） 题型03 一次函数图象的平移与对称 题型04 一次函数与一次方程（组）、不等式的综合 题型05 一次函数的实际应用（方案选择、最值、行程） 题型06 一次函数与几何图形的综合应用 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 一次函数的定义与解析式确定 典例引领 【典例01】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知点，关于x轴对称，若正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的表达式为 ． 方法透视 考向解读 一次函数的图象与性质考点较为多样化，但近两年侧重于基础，以求一次函数表达式、求自变量或函数值、求一次函数与坐标轴交点坐标为主进行考查，预计今年中考会继续延续基础考点，同时也不可忽视一次函数增减性、图象与性质、与不等式结合等内容，也可能会融入到与二次函数题目中结合考查。 一次函数的应用主要以解答题形式考查，近年来以销售利润问题为主，其他问题也略有涉猎。主要考查待定系数法求一次函数表达式，以及根据题意列出一次函数表达式，利用一次函数增减性求最值，根据一次函数图像提取关键信息解决问题等，整体难度不大，把握住函数关系建立是解题的重要环节。 方法技能 1.待定系数法求一次函数表达式 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 变式演练 【变式01】（2025·辽宁铁岭·一模）如图，入射光线遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的一次函数关系式为，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型02 一次函数的图象与性质 典例引领 【典例01】（2025·辽宁辽阳·一模）若点在第三象限，则函数的图象大致是 （    ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 一次函数的图象与性质考点较为多样化，但近两年侧重于基础，以求一次函数表达式、求自变量或函数值、求一次函数与坐标轴交点坐标为主进行考查，预计今年中考会继续延续基础考点，同时也不可忽视一次函数增减性、图象与性质、与不等式结合等内容，也可能会融入到与二次函数题目中结合考查。 一次函数的应用主要以解答题形式考查，近年来以销售利润问题为主，其他问题也略有涉猎。主要考查待定系数法求一次函数表达式，以及根据题意列出一次函数表达式，利用一次函数增减性求最值，根据一次函数图像提取关键信息解决问题等，整体难度不大，把握住函数关系建立是解题的重要环节。 方法技能 一次函数 （）的图像是一条直线，因此一次函数的图像也称为直线 。 倾斜程度：越大，直线越陡峭；越小，直线越平缓； 当 时，y 随 x 的增大而增大； 当 时，y 随 x 的增大而减小。 时，直线与y轴交于正半轴（原点上方）； 时，直线过原点（正比例函数）； 时，直线与y轴交于负半轴（原点下方）。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知一次函数，函数值随自变量的增大而减小，且，则函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 题型03 一次函数的平移与对称 典例引领 【典例01】（2025·辽宁锦州·模拟预测）将一次函数的图象沿轴向上平移2个单位长度后，所得新的一次函数图象与轴的交点坐标为 ． 方法透视 考向解读 一次函数的图象与性质考点较为多样化，但近两年侧重于基础，以求一次函数表达式、求自变量或函数值、求一次函数与坐标轴交点坐标为主进行考查，预计今年中考会继续延续基础考点，同时也不可忽视一次函数增减性、图象与性质、与不等式结合等内容，也可能会融入到与二次函数题目中结合考查。 一次函数的应用主要以解答题形式考查，近年来以销售利润问题为主，其他问题也略有涉猎。主要考查待定系数法求一次函数表达式，以及根据题意列出一次函数表达式，利用一次函数增减性求最值，根据一次函数图像提取关键信息解决问题等，整体难度不大，把握住函数关系建立是解题的重要环节。 方法技能 1.一次函数的平移规律 平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式 向上平移m个单位 向下平移m个单位 向左平移m个单位 向右平移m个单位 变式演练 【变式01】（2025·辽宁·模拟预测）已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，若把其图象向下平移2个单位长度，则图象经过第一、三、四象限，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型04 一次函数与一次方程（组）、不等式的综合 典例引领 【典例01】（2025·辽宁大连·一模）如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 一次函数的图象与性质考点较为多样化，但近两年侧重于基础，以求一次函数表达式、求自变量或函数值、求一次函数与坐标轴交点坐标为主进行考查，预计今年中考会继续延续基础考点，同时也不可忽视一次函数增减性、图象与性质、与不等式结合等内容，也可能会融入到与二次函数题目中结合考查。 一次函数的应用主要以解答题形式考查，近年来以销售利润问题为主，其他问题也略有涉猎。主要考查待定系数法求一次函数表达式，以及根据题意列出一次函数表达式，利用一次函数增减性求最值，根据一次函数图像提取关键信息解决问题等，整体难度不大，把握住函数关系建立是解题的重要环节。 方法技能 直线 （）与x轴的交点横坐标，就是方程 的解。 不等式 的解集：直线 在x轴 上方 部分对应的x的取值范围； 不等式 的解集：直线 在x轴 下方 部分对应的x的取值范围； 若两个一次函数 ，，则 的解集是直线 在 上方 部分对应的x的取值范围。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁铁岭·二模）如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 题型05 一次函数的实际应用 典例引领 【典例01】（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 方法透视 考向解读 一次函数的图象与性质考点较为多样化，但近两年侧重于基础，以求一次函数表达式、求自变量或函数值、求一次函数与坐标轴交点坐标为主进行考查，预计今年中考会继续延续基础考点，同时也不可忽视一次函数增减性、图象与性质、与不等式结合等内容，也可能会融入到与二次函数题目中结合考查。 一次函数的应用主要以解答题形式考查，近年来以销售利润问题为主，其他问题也略有涉猎。主要考查待定系数法求一次函数表达式，以及根据题意列出一次函数表达式，利用一次函数增减性求最值，根据一次函数图像提取关键信息解决问题等，整体难度不大，把握住函数关系建立是解题的重要环节。 方法技能 一次函数的实际应用： 1）一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 4）求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 变式演练 【变式01】（2025·辽宁盘锦·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 题型06 一次函数与几何图形的综合应用 典例引领 【典例01】（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点E，点A在线段上，过点A作x轴的平行线，交直线于点B，分别过点A，B作x轴的垂线，当四边形为正方形时，点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 一次函数的图象与性质考点较为多样化，但近两年侧重于基础，以求一次函数表达式、求自变量或函数值、求一次函数与坐标轴交点坐标为主进行考查，预计今年中考会继续延续基础考点，同时也不可忽视一次函数增减性、图象与性质、与不等式结合等内容，也可能会融入到与二次函数题目中结合考查。 一次函数的应用主要以解答题形式考查，近年来以销售利润问题为主，其他问题也略有涉猎。主要考查待定系数法求一次函数表达式，以及根据题意列出一次函数表达式，利用一次函数增减性求最值，根据一次函数图像提取关键信息解决问题等，整体难度不大，把握住函数关系建立是解题的重要环节。 方法技能 建立函数模型解决几何图形问题的一般步骤： ①审题，设定几何图形问题中的变量，明确变量x和y； ②根据几何图形的性质列出一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁丹东·模拟预测）如图，直线分别与轴、轴交于两点；直线与交于点，与过点且平行于轴的直线交于点，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴向左运动，过点作轴的垂线，分别交直线于两点，以为边向右作正方形，设正方形与重叠部分（阴影部分）的面积为（平方单位），点的运动时间为（秒）． (1)求点的坐标． (2)当时，求与之间的函数关系式． (3)求（2）中的最大值． (4)当时，直接写出点在正方形内部时的取值范围． 题●型●训●练 1．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·四川南充·中考真题）已知直线与直线的交点在轴上，则的值是 ． 8．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是 ． 9.（2025·辽宁抚顺·模拟预测）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 (1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； (2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 10．已知y是自变量x的函数，点在函数图象上，若点P到两坐标轴距离的和等于m（m为常数，），即，则称点P为函数图象上的“m阶定距点”．例如点是一次函数图象上的“4阶定距点”． (1)下列各点中是一次函数图象上的“2阶定距点”的是________． ①   ②   ③   ④ (2)点是一次函数图象上的“3阶定距点”，求n的值． (3)一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P是次函数的图象在第一象限内的“5阶定距点”，点D在直线上，过点D作轴，交直线于点E，当时，求点D的坐标． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $