精品解析：浙江省杭州七县2023-2024学年高三第二学期第3次练考数学试题

浙江省杭州七县2022-2023学年高三第二学期第3次练考数学试题 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内.写在试题卷、草稿纸上均无效. 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若，且，则 面积的最大值是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据正弦定理可得，求出，根据平方关系求出.由两端平方，求 的最大值，根据三角形面积公式，求出 面积的最大值. 【详解】 中，， 由正弦定理可得，整理得， 由余弦定理，得. D是AB的中点，且， ，即， 即， ，当且仅当 时，等号成立. 的面积， 所以 面积的最大值为. 故选： . 【点睛】本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算，属于中档题. 2. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得,即可求得结果. 【详解】， 所以，即. 故选:C. 【点睛】本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易. 3. 关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计 的值：先用计算机产生个数对，其中 ， 都是区间上的均匀随机数，再统计 ， 能与构成锐角三角形三边长的数对的个数﹔最后根据统计数来估计 的值.若，则 的估计值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用几何概型的概率计算公式算出 ， 能与构成锐角三角形三边长的概率，然后再利用随机模拟方法得到 ， 能与构成锐角三角形三边长的概率，二者概率相等即可估计出 . 【详解】因为 ， 都是区间上的均匀随机数，所以有，，若 ， 能与构成锐角三角形三边长， 则，由几何概型的概率计算公式知， 所以. 故选：B. 【点睛】本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率，考查学生的基本计算能力，是一个中档题. 4. 函数的定义域为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据被开方数是非负数，求解一元二次不等式，则问题得解. 【详解】由，解得或， 函数的定义域为或． 故选：A 【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，涉及一元二次不等式的求解，属综合基础题. 5. 已知复数满足：（ 为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的乘法、除法运算求出，再根据共轭复数的概念即可求解. 【详解】由，则， 所以. 故选：A 【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题. 6. “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员､面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态､紧跟时代脉搏的热门｡该款软件主要设有“阅读文章”､“视听学习”两个学习模块和“每日答题”､“每周答题”､“专项答题”､“挑战答题”四个答题模块｡某人在学习过程中，“阅读文章”不能放首位，四个答题模块中有且仅有三个答题模块相邻的学习方法有（ ） A. 60 B. 192 C. 240 D. 432 【答案】C 【解析】 【分析】四个答题模块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题模块用插入法．注意按“阅读文章”分类． 【详解】四个答题模块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题模块用插入法，由于“阅读文章”不能放首位，因此不同的方法数为． 故选：C． 【点睛】本题考查排列组合的应用，考查捆绑法和插入法求解排列问题．对相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法是解决这类问题的常用方法． 7. 在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】设，可根据向量关系得出，即可得出. 【详解】由题可设， 则， N为AM中点，, 又，，. 故选：A. 8. 已知函数，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 分别求解不等式得到集合,再利用集合的交集定义求解即可. 【详解】,， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,难度容易. 9. 设为抛物线的焦点， ， ，为抛物线上三点，若，则（ ）. A. 9 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设，，，由可得，利用定义将用表示即可. 【详解】设，，，由及， 得，故， 所以. 故选：C. 【点睛】本题考查利用抛物线定义求焦半径的问题，考查学生等价转化的能力，是一道容易题. 10. 给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（　　） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 64种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分2步进行分析： ①，将4人分成3组，有种分法； ②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况， 将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有种情况， 此时有种情况， 则有种不同的安排方法； 故选C． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 11. 已知直线和平面 ，若，则“”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 不充分不必要 【答案】B 【解析】 【分析】由线面关系可知，不能确定与平面 的关系，若 一定可得，即可求出答案. 【详解】, 不能确定还是， ， 当 时，存在，， 由 又可得， 所以“”是“ ”的必要不充分条件， 故选：B 【点睛】本题主要考查了必要不充分条件，线面垂直，线线垂直的判定，属于中档题. 12. 已知非零向量满足，若夹角的余弦值为，且，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量垂直则数量积为零，结合以及夹角的余弦值，即可求得参数值. 【详解】依题意，得，即. 将代入可得，， 解得（舍去）. 故选：D. 【点睛】本题考查向量数量积的应用，涉及由向量垂直求参数值，属基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 设向量，，且，则 _________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据向量的数量积的计算，以及向量的平方，简单计算，可得结果. 【详解】由题可知： 且 由 所以 故答案为： 【点睛】本题考查向量的坐标计算，主要考查计算，属基础题. 14. 已知不等式组所表示的平面区域为，则区域的外接圆的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先作可行域，根据解三角形得外接圆半径，最后根据圆面积公式得结果. 【详解】由题意作出区域，如图中阴影部分所示， 易知，故 ，又，设的外接圆的半径为，则由正弦定理得，即，故所求外接圆的面积为. 【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离、可行域面积、可行域外接圆等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 15. 过动点 作圆：的切线 ，其中 为切点，若（ 为坐标原点），则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解答：由圆的方程可得圆心C的坐标为(2,2)，半径等于1. 由M(a,b),则|MN|2=(a−2)2+(b−2)2−12=a2+b2−4a−4b+7， |MO|2=a2+b2. 由|MN|=|MO|,得a2+b2−4a−4b+7=a2+b2. 整理得：4a+4b−7=0. ∴a，b满足的关系为：4a+4b−7=0. 求|MN|的最小值，就是求|MO|的最小值． 在直线4a+4b−7=0上取一点到原点距离最小， 由“垂线段最短”得，直线OM垂直直线4a+4b−7=0， 由点到直线的距离公式得：MN的最小值为： . 16. 设常数，如果的二项展开式中 项的系数为-80，那么 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用二项式定理的通项公式即可得出. 【详解】的二项展开式的通项公式：， 令，解得. ∴， 解得 . 故答案为：-2. 【点睛】本小题主要考查根据二项式展开式的系数求参数，属于基础题. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数. （1）讨论的零点个数； （2）证明：当时，. 【答案】（1）时，没有零点，或时，有1个零点，时，有2个零点. （2）证明：令，则，当时，；当时，，∴. 令，则， 当时，，当 时，，∴， ∴，，∴，即. 【解析】 【分析】（1）求出，分别以当， ， 时，结合函数的单调性和最值判断零点的个数.（2）令，结合导数求出；同理可求出满足，从而可得，进而证明. 【详解】（1），， 当时，，单调递减，，，此时有1个零点； 当 时，无零点； 当 时，由得，由得，∴在单调递减，在单调递增，∴在处取得最小值， 若，则，此时没有零点； 若，则，此时有1个零点； 若，则，，求导易得，此时在，上各有1个零点. 综上可得时，没有零点，或时，有1个零点，时，有2个零点. （2）略 【点睛】本题考查了导数判断函数零点问题，考查了运用导数证明不等式问题，考查了分类的数学思想.本题的难点在于第二问不等式的证明中，合理设出函数，通过比较最值证明. 18. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知， （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若，求面积的最大值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】分析：(1)利用正弦定理以及诱导公式与和角公式，结合特殊角的三角函数值，求得角C； (2)运用向量的平方就是向量模的平方，以及向量数量积的定义，结合基本不等式，求得 的最大值，再由三角形的面积公式计算即可得到所求的值. 详解：（1）∵， ， （Ⅱ）取 中点 ，则，在中，， （注：也可将两边平方）即， ，所以，当且仅当时取等号． 此时，其最大值为. 点睛：该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，诱导公式，和角公式，向量的平方即为向量模的平方，基本不等式，三角形的面积公式，在解题的过程中，需要正确使用相关的公式进行运算即可求得结果. 19. 已知函数. （1）若 ，解关于 的不等式； （2）若当时，恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 （1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集. （2）对 分成三种情况，求得的最小值，由此求得 的取值范围. 【详解】（1）当 时，， 由此可知，的解集为 （2）当 时， 的最小值为和中的最小值，其中，.所以恒成立. 当 时，，且，不恒成立，不符合题意. 当时，， 若，则，故不恒成立，不符合题意； 若，则，故不恒成立，不符合题意. 综上，. 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 20. 电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了 名观众进行调查，其中女性有名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图： 将日均收看该体育节目时间不低于 分钟的观众称为“体育迷”． （1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 （2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取名观众，抽取 次，记被抽取的 名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差． 附：. 【答案】（1） 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 “体育迷”与性别无关； （2） ，. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图计算可得“体育迷”的人数，由此可得列联表；根据列联表计算可得，由此可得结论； （2）根据频率分布直方图计算可知，由二项分布概率公式计算可得分布列；由二项分布数学期望和方差计算公式可求得. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知：在抽取的 人中，“体育迷”有人，从而可得列联表如下： 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 将列联表中的数据代入公式计算得：， 没有充分的理由认为“体育迷”与性别有关，即“体育迷”与性别无关. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知抽到“体育迷”的频率为，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为，则， 所有可能的取值为， ，， ，； 的分布列如下： ；. 21. 在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，记△ABC的面积为S，若 （1）求角A的大小； （2）若c=7，cosB=，求a的值. 【答案】（1）；（2）5. 【解析】 【分析】（1）运用面积公式及向量的数量积，得到，从面求出 ； （2）由题意求出，再用正弦定理求出 . 【详解】（1）由，得因为，所以 因为，所以 （2） 中，，所以， 所以. 由正弦定理，得，解得 22. 在本题中，我们把具体如下性质的函数 叫做区间 上的闭函数：① 的定义域和值域都是 ；② 在 上是增函数或者减函数. （1）若在区间上是闭函数，求常数的值； （2）找出所有形如的函数（都是常数），使其在区间上是闭函数. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）依据新定义， 的定义域和值域都是，且 在上单调，建立方程求解；（2）依据新定义，讨论 的单调性，列出方程求解即可． 【详解】（1）当时，由复合函数单调性知，在区间上是增函数，即有 ，解得 ； 同理，当时，有，解得，综上，． （2）若 在上是闭函数，则 在上是单调函数， ①当 在上是单调增函数，则 ，解得，检验符合； ②当 在上是单调减函数，则，解得， 在上不是单调函数，不符合题意． 故满足在区间上是闭函数只有． 【点睛】本题主要考查学生的应用意识，利用所学知识分析解决新定义问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省杭州七县2022-2023学年高三第二学期第3次练考数学试题 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内.写在试题卷、草稿纸上均无效. 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若，且，则 面积的最大值是 A. B. C. D. 2. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计 的值：先用计算机产生个数对，其中 ， 都是区间上的均匀随机数，再统计 ， 能与 构成锐角三角形三边长的数对的个数 ﹔最后根据统计数 来估计 的值.若，则 的估计值为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 5. 已知复数 满足：（ 为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 6. “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员､面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态､紧跟时代脉搏的热门｡该款软件主要设有“阅读文章”､“视听学习”两个学习模块和“每日答题”､“每周答题”､“专项答题”､“挑战答题”四个答题模块｡某人在学习过程中，“阅读文章”不能放首位，四个答题模块中有且仅有三个答题模块相邻的学习方法有（ ） A. 60 B. 192 C. 240 D. 432 7. 在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知函数，集合，，则（ ） A. B. C. D. 9. 设 为抛物线的焦点， ， ， 为抛物线上三点，若，则（ ）. A. 9 B. 6 C. D. 10. 给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（　　） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 64种 11. 已知直线和平面 ，若，则“”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 不充分不必要 12. 已知非零向量满足，若夹角的余弦值为，且，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 设向量，，且，则 _________. 14. 已知不等式组所表示的平面区域为，则区域的外接圆的面积为______． 15. 过动点 作圆：的切线 ，其中 为切点，若（ 为坐标原点），则的最小值是__________． 16. 设常数，如果的二项展开式中 项的系数为-80，那么 ______. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数. （1）讨论的零点个数； （2）证明：当时，. 18. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知， （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若，求面积的最大值． 19. 已知函数. （1）若 ，解关于 的不等式； （2）若当时，恒成立，求实数 的取值范围. 20. 电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了 名观众进行调查，其中女性有名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图： 将日均收看该体育节目时间不低于 分钟的观众称为“体育迷”． （1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 （2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取 名观众，抽取 次，记被抽取的 名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差． 附：. 21. 在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，记△ABC的面积为S，若 （1）求角A的大小； （2）若c=7，cosB=，求a的值. 22. 在本题中，我们把具体如下性质的函数 叫做区间 上的闭函数：① 的定义域和值域都是 ；② 在 上是增函数或者减函数. （1）若在区间上是闭函数，求常数 的值； （2）找出所有形如的函数（都是常数），使其在区间上是闭函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $