精品解析：浙江省建德市寿昌中学2024-2025学年高三上学期9月检测数学试题

寿昌中学2025届高三数学 （二） 满分：100分 考试时间：40分钟 出卷人： 一、单项选择题（6*7分=42分 ） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4 已知向量，，且，则（ ）. A. B. 4 C. D. 1 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则B等于（ ） A. B. C. D. 6. 若，则函数最小值为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 二．多选题（2*7分=14分 ） 7. 若，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 关于直线对称 C. 的一个对称中心是 D. 在上单调递减 8. 已知函数，则（ ） A. 在单调递增 B 有两个零点 C. 的最小值为 D. 在点处切线为 三、填空题（2*7分=14分 ） 9. 若角终边在第四象限，且，则＝________． 10. 已知函数．若存在2个零点，则a的取值范围是__________. 四、解答题（30分） 11. 已知分别为的内角的对边，且. （1）求角A； （2）若，求出边并求出的面积 12. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求函数的极小值点和极小值； （3）若方程恰好有2个解，则实数范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 寿昌中学2025届高三数学 （二） 满分：100分 考试时间：40分钟 出卷人： 一、单项选择题（6*7分=42分 ） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】特称量词的否定是全称量词，据此得到答案. 【详解】特称量词的否定是全称量词： 命题“，”的否定是， 故选： 【点睛】本题考查了特称量词的否定，意在考查学生的推断能力. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数中真数大于零，分式中分母不等于零列不等式，解不等式即可得到定义域. 【详解】由可得，又因为，所以函数的定义域为. 故选：C. 4. 已知向量，，且，则（ ）. A. B. 4 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标形式可求的值. 【详解】因为，故，即， 故选：D 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则B等于（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，设,利用余弦定理求解. 【详解】解：在中，， 设, 由余弦定理得， 因为， 所以， 故选：C 6. 若，则函数的最小值为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式分析求解. 【详解】因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为15. 故选：D. 二．多选题（2*7分=14分 ） 7. 若，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 关于直线对称 C. 一个对称中心是 D. 在上单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】由周期公式可判断A；根据正弦型函数的对称轴过最值点，直接验证可判断B；根据正弦型函数的对称点即为零点，直接验证可判断C；由，利用正弦函数的增减区间，可判断D. 【详解】选项A，的最小正周期为，故A正确； 选项B，因为， 所以的图象不关于直线对称，故B错误； 选项C，因为，所以的一个对称点是，故 C正确； 选项D，由，而正弦函数在上单调递增， 在上单调递减，所以在区间上不单调， 故D错误. 故选：AC. 8. 已知函数，则（ ） A. 在单调递增 B. 有两个零点 C. 的最小值为 D. 在点处切线为 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先求函数导数，并判断函数的单调性，即可判断ABC，再根据导数的几何意义求切线方程，判断D. 【详解】，， 对于A，当时，，所以在单调递增，故A正确； ，得， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 所以当时，取得最小值，C正确， 当时，，当时，， 所以函数只有1个零点，故B错误， 对于D，，，所以曲线在点处的切线方程为，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题（2*7分=14分 ） 9. 若角的终边在第四象限，且，则＝________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系及和角的正切公式化简计算. 【详解】角的终边在第四象限，且，所以，，所以. 故答案为：. 10. 已知函数．若存在2个零点，则a取值范围是__________. 【答案】或 【解析】 【分析】将零点问题转化为方程的两个根，然后转化为函数图像的交点问题，结合图像即可得到结果. 【详解】 令，即有两个根， 即与有两个交点， 分别画出与的图像如图所示， 由图可知，直线与始终有一个交点， 当时，直线与相切时， 即， 由可得，； 当时，要使得与有一个交点，则，即 综上可得，或 故答案为：或 四、解答题（30分） 11. 已知分别为的内角的对边，且. （1）求角A； （2）若，求出边并求出的面积 【答案】（1）； （2），面积为5 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得答案； （2）由余弦定理求出，再利用面积公式求出面积即可. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 在中，， 所以由余弦定理得， 整理得， 解得（舍去），或， 可得面积为. 12. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求函数的极小值点和极小值； （3）若方程恰好有2个解，则实数的范围. 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为，； （2）函数的极小值点为0，极小值为0. （3）. 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负求解， （2）根据函数的单调性，结合极值的定义即可求解， （3）结合函数的单调性和极值，作出函数图象，根据函数图象即可求解.. 【小问1详解】 因为，所以，定义域为R， 令，可得，所以或， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 故的单调递增区间为，单调递减区间为， 【小问2详解】 由（1）知：当时，函数取极小值，极小值为0， 所以函数的极小值点为0，极小值为0. 【小问3详解】 由（1）函数在，单调递减，在单调递增， 且，， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以函数的大致图象如下： 由图可知当且仅当时，方程恰好有2个解， 所以； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$