精品解析：浙江省建德市寿昌中学2024-2025学年高三上学期10月初检测数学试题

寿昌中学2025届高三数学 （三） 一、单项选择题（6*7分=42分 ） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式得到，然后求交集即可. 【详解】因为，，所以. 故选：C. 2. 设复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算法则计算可得； 【详解】解：因为， 所以 故选：D 3. 已知向量，，且，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量，，得到，再根据向量的数量积的运算，列出方程，即可求解， 【详解】由题意，向量，，∴， 又，可得，解得，故选D. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的坐标运算，以及向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4. 已知等差数列的前项和为，，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式及下标和性质计算可得. 【详解】因为，， 所以，即，解得. 故选：C 5. 已知，则（ ） A. - B. - C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将已知两式平方后相加，结合同角的三角函数关系，以及两角差的余弦公式求得答案. 【详解】由，， 两边平方后相加得， 即,得， 所以, 故选:C. 6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】若在上单调递增, 必有，求解即可. 【详解】根据题意, 函数 ， 若在上单调递增, 必有，解得， 所以的取值范围为. 故选：C 二．多选题（2*7分=14分 ） 7. 若函数的图象经过点，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点为函数图象的对称中心 C. 直线为函数图象对称轴 D. 函数的单调增区间为 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知条件求出的值，可得出函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断BC选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项. 【详解】因为函数的图象经过点，则， 因为，所以，，则. 对于A选项，函数最小正周期为，A对； 对于B选项，，故点不是函数图象的对称中心，B错； 对于C选项，，故直线为函数图象的对称轴，C对； 对于D选项，由得， 因此，函数的单调增区间为，D错. 故选：AC. 8. 已知函数，则以下结论正确的是（ ） A. 函数存在极大值和极小值 B. C. 函数存在最小值 D. 对于任意实数k，方程最多有4个实数解 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数求出单调性可判断AC，根据单调性判断B，转化为，交点问题，数形结合判断D. 【详解】由可得， 由可得：，由可得：， 所以在单调递减，在单调递增，故选项A不正确，C正确： 对于选项B：在单调递增， 因为，所以，故B正确； 对于选项D：方程即，有一根为，令．则 ， 令可得或， 令可得， 所以在和单调递增，在单调递减， ， 作出，的图形如图所示： 所以存在时，方程有3个实数解，此时方程有4个实数解，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（2*7分=14分 ） 9. 在等比数列中，，则的值为__________. 【答案】1或 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式可求得结果 【详解】设等比数列的公比为， 因为， 所以，解得或， 所以的值为1或， 故答案为：1或. 10. 设函数，已知，且，若的最小值为，则的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】令，由图象可知，构造函数，利用导数求函数最小值即得. 【详解】令，则． 因为，则，， 可得，则． 令，则， 当时，即时，在内恒成立， 可知在上单调递减， 则，解得，经检验满足题意； 当时，即时，令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则，解得 这与矛盾，舍去； 综上所述：． 故答案：1. 四、解答题（30分） 11. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）证明：； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正、余弦定理进行角换边即可证明； （2）首先求出，再结合三角形面积公式得，最后利用（1）中结论和余弦定理即可求出周长. 【小问1详解】 由正弦定理及余弦定理可得： 化简得：. 【小问2详解】 因为，且为三角形内角， . ，所以 由余弦定理可得:， 所以， ， ，即， 所以周长为. 12 已知函数. （1）讨论函数的单调性 （2）当时，证明：. 【答案】（1）答案见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导后，分和两类进行分类讨论，结合导数求单调区间的方法即可求解. （2）由题意，将代入函数解析式中，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和最值，进而即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，在上为单调递增； 当时，由，得；由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，的递增区间为； 当时，的递增区间，递减区间为. 【小问2详解】 证明：当时，函数的定义域为， 由（1）知函数在上单调递增，在上单调递减， 则当时，函数取得最大值， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 寿昌中学2025届高三数学 （三） 一、单项选择题（6*7分=42分 ） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且，则 A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 16 5. 已知，则（ ） A. - B. - C. D. 6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多选题（2*7分=14分 ） 7. 若函数的图象经过点，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点为函数图象的对称中心 C. 直线为函数图象对称轴 D. 函数的单调增区间为 8. 已知函数，则以下结论正确的是（ ） A. 函数存在极大值和极小值 B. C. 函数存在最小值 D. 对于任意实数k，方程最多有4个实数解 三、填空题（2*7分=14分 ） 9. 在等比数列中，，则的值为__________. 10. 设函数，已知，且，若的最小值为，则的值为__________． 四、解答题（30分） 11. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）证明：； （2）若，面积为，求的周长． 12 已知函数. （1）讨论函数单调性 （2）当时，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$