精品解析：重庆市巴蜀中学校2025-2026学年八年级下学期数学学情自测试题

初二数学 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题：（本大题9个小题，每小题4分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列函数中，是一次函数的是（） A. B. C. D. 2. 中式传统纹样类型丰富，并多具有对称美，以下纹样图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中不正确的是（ 　　 ） A. 四条边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 正方形的对角线相等 D. 矩形的对角线互相垂直且平分 5. 如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 估计的值应在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 7. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，过点作，分别交、于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数与，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点M为正方形内一点，且满足，连接，过点A作交的延长线于点N，连接，若，，则的长为（） A. B. C. 2 D. 二、不定项选择题：（本大题1个小题，每小题4分，共4分），在给出的代号为A、B、C、D的四个答案中，有一个或多个选项正确，部分选对得2分，全部选对得4分，有错选得0分． 10. 已知整式，其中为正整数，，，，，均为自然数，令，下列说法正确的有（ ） A. 当，时，若为完整四项式（即各次项系数均不为），则满足条件的整式共有个 B. 若，则所有满足条件的整式的和为 C. 当，时，若有，则所有满足条件的整式中最高次项系数为或或 D. 以上说法均不正确 三、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 据统计，人的头发直径约70微米，在好奇心的驱使下，阳阳同学测得自己的一根头发直径约为，将数据用科学记数法表示应为________． 12. 分解因式________． 13. 若一个正多边形的每个内角比每个外角的2倍还大，则该正多边形的边数为________． 14. 已知直线向下平移个单位长度后经过点，则________． 15. 已知，则代数式的值为_________． 16. 若关于x的一元一次不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程的解为整数．则符合条件的整数m的值和为________． 17. 如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 18. 若一个四位数N，各个数位上的数字均不为零且互不相等，且满足千位上的数字比百位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称N为“创新数”，例如，因为，，所以5467是一个“创新数”．对于一个“创新数”，规定，若C是最大的“创新数”，则________；已知A、B是“创新数”，且满足A的百位数字为a，个位数字为9，B的千位数字为7，个位数字是b，为偶数．规定，当E为整数且取最大值时，则________． 四、解答题：（本大题8个小题，第20题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算题： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值： ，其中x是满足的整数． 21. 数学社团的同学们在学习了统计学相关知识后，为锻炼数据收集、统计分析与数学建模能力，同时为学校优化校园活动安排提供真实参考，以“初中生最喜欢的校园活动”为主题，在校内开展了调研活动． （1）以下获取数据的方式中，最合理的一项是________； ①调查全校共4000名学生的喜好情况 ②在全校随机选择100名男生调查其喜好情况 ③在全校随机选择100名学生调查其喜好情况 （2）选择合适的方式获取数据后，数学社团的同学绘制出了以下不完整的统计图表： 100名样本学生喜好情况频数分布直方图 “学科类”喜好扇形图 ①在图中补全频数分布直方图； ②在频数分布直方图中，________； ③在扇形图中，“科普讲座”对应的圆心角度数为________度； （3）根据以上统计图表，试估计全校4000名学生中喜好“读书会”的学生人数． 22. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，的角平分线交于点E，请完成以下作图和填空． （1）作的角平分线，交于点F，连接，； （2）证明：四边形为菱形． 证明：四边形是菱形 ________①________ 平分，平分 ， ________②________ 在和中， ________④________ 四边形是平行四边形 又且E，F在上 ________⑤________ 四边形是菱形 23. “五·一”小长假期间，某旅行社组织了三峡研学活动，共有80名学生报名参加．已知前往研学目的地有大巴车和游船两种出行方式，大巴车的速度是游船的倍，在同时出发的前提下，乘坐大巴车将比乘坐游船提前24分钟到达，两种出行方式的路程及票价如下表所示． 游船 大巴车 路程 票价 一等票64元/人 88元/人 二等票40元/人 （1）求游船和大巴车的速度（单位：）； （2）该旅行社最终选择乘坐游船出行，若要使得所有学生的票价总和不超过3980元，则最多购买多少张一等票？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与y轴正半轴、x轴负半轴相交于点A，B，直线分别与x轴、y轴相交于点、E，与相交于点C，，的周长为． （1）求直线的解析式； （2）若P是射线上一点，且，求点P的坐标． 25. 如图1，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，称这一变换为对线段作“变换”，T为线段的“变换点”．已知A，B为平面直角坐标系内两点且． （1）对线段作变换后得到线段，连接，求； （2）如图2，若，D，E为y轴上两动点（D在E的上方），，F为线段的“变换点”，G为线段的“变换点”，连接，，求的最小值； （3）在（2）的条件下，若H是直线上一动点，是否存在x轴上一点K使得点K，G，H，A组成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有符合题意的点K的坐标，若不存在，说明理由． 26. 在中，，点D是线段上一点，连接． （1）如图1，，平分，点O是线段的中点，连接，与交于点G，，求的长； （2）如图2，点H为平面内一点，连接，，，，将绕点A逆时针旋转到，使得点D的对应点K落在线段上且，若，求证：； （3）如图3，，，将绕点D逆时针旋转得到，点F是直线上一个动点，连接，，当取得最小值时，将沿所在直线翻折到所在平面内，得到，当取得最小值时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题：（本大题9个小题，每小题4分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列函数中，是一次函数的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一次函数的定义为：形如（，是常数，）的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义，逐一判断各选项的函数类型，即可得到正确结果． 【详解】解：A．，不符合一次函数的形式，不是一次函数； B．，的次数为，不是一次函数； C．，其中，，满足且，符合一次函数定义，是一次函数； D．中不是整式，不符合一次函数定义，不是一次函数． 2. 中式传统纹样类型丰富，并多具有对称美，以下纹样图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，解题的关键是理解轴对称图形是指沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形；观察四个选项，选项B、C、D均能找到一条对称轴使图形对折后重合，而选项A的葫芦形状左右不对称，无法找到这样的对称轴． 【详解】解：轴对称图形是指沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形， 选项B、C、D都能找到一条竖直对称轴，使图形左右对折后完全重合， 而选项A的葫芦形状，左边大右边小，左右不对称，无法找到对称轴使其对折后重合， ∴不是轴对称图形的是选项A， 故选：A． 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于选项A， ，故A错误； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，只有在时成立，题目未给出该条件，故C错误； 对于选项D，，故D正确． 4. 下列说法中不正确的是（ 　　 ） A. 四条边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 正方形的对角线相等 D. 矩形的对角线互相垂直且平分 【答案】D 【解析】 【详解】A、B、C选项的说法均正确． 对于D选项，只有特殊的矩形（正方形）的对角线互相垂直且平分，其他的矩形的对角线互相平分但不垂直． 5. 如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．根据正方形的性质及直角三角形的特征可得，再根据全等三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ∵， ， 在和中， ， ， ， 故选：B． 6. 估计的值应在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的估算，根据，，可得，结合不等式的基本性质，即可求得答案． 【详解】先展开原式，得 ． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴ 的值在和之间． 7. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，过点作，分别交、于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由矩形的性质可得是的垂直平分线，即得，再利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形， ∴，，， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 8. 一次函数与，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，熟知一次函数中：，y随x增大而增大；，y随x增大而减小；，函数图象与y轴交于正半轴；，函数图象与y轴交于负半轴；是解本题的关键．对选项中的分别对应的的值进行分析可得答案． 【详解】解：A、：，，∴； ：； 故此选项不符合题意； B、：，，∴； ：； 故此选项不符合题意； C、：，，∴； ：； 故此选项符合题意； D、：，，∴； ：； 故此选项不符合题意； 故选：C． 9. 如图，点M为正方形内一点，且满足，连接，过点A作交的延长线于点N，连接，若，，则的长为（） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】作于点E，作于点F，证明得，．由三线合一得，，求出，可证，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作于点E，作于点F， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 在和中 ， ∴， ∴，． ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 二、不定项选择题：（本大题1个小题，每小题4分，共4分），在给出的代号为A、B、C、D的四个答案中，有一个或多个选项正确，部分选对得2分，全部选对得4分，有错选得0分． 10. 已知整式，其中为正整数，，，，，均为自然数，令，下列说法正确的有（ ） A. 当，时，若为完整四项式（即各次项系数均不为），则满足条件的整式共有个 B. 若，则所有满足条件的整式的和为 C. 当，时，若有，则所有满足条件的整式中最高次项系数为或或 D. 以上说法均不正确 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干给出的整式系数的性质，结合正整数与自然数的限定，对每个选项逐一计算判断即可． 【详解】解：A、当，时，即， ∵为完整四项式， ∴，，，都不为，四个系数均为不小于的正整数， 满足题意的有： ，，，； ，，，； ，，，； ，，，； ，，，； ，，，； ，，，； ，，，； ，，，； ，，，； 共组，即满足条件的整式共个，故A错误． B、∵，为多项式的次数，为自然数，为正整数，， ∴的可能取值为，，，， 当时，，此时整式， 当时，，满足条件的所有整式为，，，和为； 当时，，满足条件的所有整式为，，，和为； 当时，，满足条件的整式只有； ∴所有整式相加得，故B错误； C、当，时， 设，， 则， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 验证当时，，即， 又， ∴， 又，是自然数， ∴不符合题意，舍去，故C错误； D、综上，A、B、C说法均不正确，故选项D正确． 三、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 据统计，人的头发直径约70微米，在好奇心的驱使下，阳阳同学测得自己的一根头发直径约为，将数据用科学记数法表示应为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握科学记数法的形式(其中为负整数)．将0.000075的小数点向右移动5位得到7.5，则． 【详解】解： 故答案为：． 12. 分解因式________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取原式的公因式，再利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解： 13. 若一个正多边形的每个内角比每个外角的2倍还大，则该正多边形的边数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形的内角与外角的关系以及多边形外角和定理，设该正多边形的每个外角为，可得方程，再根据多边形外角和为，计算得到正多边形的边数． 【详解】设该正多边形的每个外角为，则每个内角为. 由邻补角的性质，可得 解得 因为任意多边形的外角和为， 所以该正多边形的边数． 14. 已知直线向下平移个单位长度后经过点，则________． 【答案】 【解析】 【详解】直线向下平移个单位长度后得到直线，即直线． 因为直线经过点，可得 ． 解得 ． 15. 已知，则代数式的值为_________． 【答案】7 【解析】 【详解】∵=3 ∴ =(x+)2−2⋅x⋅ =32−2=7 故答案为7 16. 若关于x的一元一次不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程的解为整数．则符合条件的整数m的值和为________． 【答案】 【解析】 【分析】先解不等式组结合不等式组至少有3个整数解得出，再解分式方程得出，结合分式方程的解为整数．且求出的值，求和即可得解． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②得：， ∵关于的一元一次不等式组至少有3个整数解， ∴， 解得：， 解分式方程得：， ∵关于的分式方程的解为整数．且， ∴或或或或， 又， ∴符合条件的的值和为． 17. 如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用矩形和折叠的性质可得，，设，则，在中，根据勾股定理可得；连接，当四边形为正方形时，，由勾股定理得出，在中，利用勾股定理求出，进而即可求解． 【详解】解：当与重合时，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 如图，连接， 当四边形为正方形时，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠可得，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 18. 若一个四位数N，各个数位上的数字均不为零且互不相等，且满足千位上的数字比百位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称N为“创新数”，例如，因为，，所以5467是一个“创新数”．对于一个“创新数”，规定，若C是最大的“创新数”，则________；已知A、B是“创新数”，且满足A的百位数字为a，个位数字为9，B的千位数字为7，个位数字是b，为偶数．规定，当E为整数且取最大值时，则________． 【答案】 ①. ②. 1133 【解析】 【分析】易得最大的“创新数”C，即可求得；依题意可确定“创新数”A、B的各位数字，因而可计算出，根据题意可求得a与b的值，即可求解． 【详解】解：“创新数”C最大，则千位为9，从而百位为8，十位数字为6，个位数字为7，即“创新数”C最大为9867，则； ∵A、B是“创新数”，且满足A的百位数字为a，个位数字为9，B的千位数字为7，个位数字是b， ∴A的千位数字为，十位数字为8，B的百位数字为6，十位数字为， ∴，， 则， ∴， ∵为偶数， ∴为整数， ∴当E为整数且取最大值时，必须，且要最大， ∴，即， ∴， ∵“创新数”各个数位上的数字均不为零且互不相等， ∴，不能取6或7或8， ∴， ∵， ∴不能取4或5或6， ∴， 当，则， 此时，，E为整数且取得最大值， ∴． 四、解答题：（本大题8个小题，第20题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算题： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算积的乘方和单项式乘以单项式，再合并同类项即可得到答案； （2）根据多项式除以单项式的运算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值： ，其中x是满足的整数． 【答案】，当时，原式；当时，原式 【解析】 【分析】先根据分式的运算法则把所给分式化简，再从的整数中取一个使原分式有意义的数代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， 为满足的整数且 可取0， 当时，原式， 当时，原式． 21. 数学社团的同学们在学习了统计学相关知识后，为锻炼数据收集、统计分析与数学建模能力，同时为学校优化校园活动安排提供真实参考，以“初中生最喜欢的校园活动”为主题，在校内开展了调研活动． （1）以下获取数据的方式中，最合理的一项是________； ①调查全校共4000名学生的喜好情况 ②在全校随机选择100名男生调查其喜好情况 ③在全校随机选择100名学生调查其喜好情况 （2）选择合适的方式获取数据后，数学社团的同学绘制出了以下不完整的统计图表： 100名样本学生喜好情况频数分布直方图 “学科类”喜好扇形图 ①在图中补全频数分布直方图； ②在频数分布直方图中，________； ③在扇形图中，“科普讲座”对应的圆心角度数为________度； （3）根据以上统计图表，试估计全校4000名学生中喜好“读书会”的学生人数． 【答案】（1）③ （2） ①补全图形如下， ②15；③144 （3）全校4000名学生中喜好“读书会”的学生人数约为480人 【解析】 【分析】（1）根据抽样调查的概念选择即可； （2）根据频数分布直方图得到学科类的人数及的值，由圆心角度数的计算方法得到“科普讲座”对应的圆心角度数； （3）根据学科类人数和百分比得到样本容量100中喜好“读书会”的比例，再根据样本估算总体数量即可． 【小问1详解】 解：根据题意，最合理的一项是③； 【小问2详解】 解：①学科类的人数为（人）， ②根据图示得到，； ③， ∴“科普讲座”对应的圆心角度数为度； 【小问3详解】 解：“学科类”的有40人，其中“读书会”对应的百分比为， ∴（人）， ∴全校4000名学生中喜好“读书会”的学生人数约是480人． 22. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，的角平分线交于点E，请完成以下作图和填空． （1）作的角平分线，交于点F，连接，； （2）证明：四边形为菱形． 证明：四边形是菱形 ________①________ 平分，平分 ， ________②________ 在和中， ________④________ 四边形是平行四边形 又且E，F在上 ________⑤________ 四边形是菱形 【答案】（1） 解：如图：即为所求． （2）；，；，． 【解析】 【分析】（1）先运用尺规作出的角平分线，交于点F，连接，，据此即可； （2）由菱形的性质可证明，再证明可得，即四边形是平行四边形；由菱形的性质可得，从而证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. “五·一”小长假期间，某旅行社组织了三峡研学活动，共有80名学生报名参加．已知前往研学目的地有大巴车和游船两种出行方式，大巴车的速度是游船的倍，在同时出发的前提下，乘坐大巴车将比乘坐游船提前24分钟到达，两种出行方式的路程及票价如下表所示． 游船 大巴车 路程 票价 一等票64元/人 88元/人 二等票40元/人 （1）求游船和大巴车的速度（单位：）； （2）该旅行社最终选择乘坐游船出行，若要使得所有学生的票价总和不超过3980元，则最多购买多少张一等票？ 【答案】（1）游船的速度为，大巴车的速度为 （2）最多购买32张一等票 【解析】 【分析】（1）设游船的速度为，则大巴车的速度为，然后根据等量关系“乘坐大巴车将比乘坐游船提前24分钟到达”列分式方程求解即可； （2）设购买a张一等票，则可购买张二等票，再根据不等关系“所有学生的票价总和不超过3980元”列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设游船的速度为，则大巴车的速度为 根据题意，，解得：， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， ，． 答：游船的速度为，大巴车的速度为． 【小问2详解】 解：设购买a张一等票，则可购买张二等票， 由题意可得：，解得：． 为整数 的最大值为32． 答：最多购买32张一等票． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与y轴正半轴、x轴负半轴相交于点A，B，直线分别与x轴、y轴相交于点、E，与相交于点C，，的周长为． （1）求直线的解析式； （2）若P是射线上一点，且，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）在中，设，则，，由的周长可求得a的值，从而得A、B两点的坐标，再用待定系数法求解即可； （2）由点D的坐标求得直线的解析式，可求得点E的坐标，由求得点P的横坐标，求出点P的纵坐标即可． 【小问1详解】 解：在中，设， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 的周长为， ， 解得， ，， 将，代入直线的解析式中，得 ， 解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：将代入中得， 联立， 解得，即， 令，解得，即， ∵， 解得， 代入得， 点P的坐标为． 25. 如图1，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，称这一变换为对线段作“变换”，T为线段的“变换点”．已知A，B为平面直角坐标系内两点且． （1）对线段作变换后得到线段，连接，求； （2）如图2，若，D，E为y轴上两动点（D在E的上方），，F为线段的“变换点”，G为线段的“变换点”，连接，，求的最小值； （3）在（2）的条件下，若H是直线上一动点，是否存在x轴上一点K使得点K，G，H，A组成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有符合题意的点K的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）易得是等边三角形，由三角形的面积计算公式即可求解； （2）过点O作，且，连接，作关于y轴的对称点，则四边形是平行四边形，得，过点作轴于点M，过点G作轴于点，分别求出点的坐标，由即可求得最小值； （3）分两种情况：为平行四边形的边；为平行四边形的对角线；设点K，H的坐标，利用平行四边形的性质及中点坐标公式即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点D， ∵对线段作变换后得到线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点O作，且，连接，作关于y轴的对称点， 则四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， 过点作轴于点M，则， 由题意得， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点G作轴于点， 由题意得， ∴， 由勾股定理得， 即， ∴， 即的最小值为， 而， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：存在； 由题意，设点K，H的坐标分别为， 当为平行四边形的边时， 若，则， 从而， ∴K点的横坐标为， 即； 若，此时为平行四边形的对角线， 则有，解得：， ∴； 即当为平行四边形的边时，或 当为平行四边形的对角线时， 由题意得：，解得：， 即； 综上，点K的坐标为或或． 26. 在中，，点D是线段上一点，连接． （1）如图1，，平分，点O是线段的中点，连接，与交于点G，，求的长； （2）如图2，点H为平面内一点，连接，，，，将绕点A逆时针旋转到，使得点D的对应点K落在线段上且，若，求证：； （3）如图3，，，将绕点D逆时针旋转得到，点F是直线上一个动点，连接，，当取得最小值时，将沿所在直线翻折到所在平面内，得到，当取得最小值时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 解：在上取一点，使得，过点作交的延长线于点，过点作于点， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴，， 由旋转可得， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∵，均为等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，在上点右侧取点，使得，根据角平分线可得，均是等腰直角三角形，再证明，然后通过勾股定理求解，再由求解即可； （2）在上取一点，使得，过点作交的延长线于点，过点作于点，先证明，然后证明，再证明，由勾股定理可得，最后证明即可； （3）过点作的垂线，再截取，连接，证明，确定出，即可得到点的轨迹，那么当时，取得最小值，而，即，故当点在上时，取得最小值，延长交于点，连接，则四边形为矩形，此时，，可得，则，，那么，再由求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，在上点右侧取点，使得， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∵点O是线段的中点， ∴， ∵平分， ∴，，， ∵， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作的垂线，再截取，连接，如图： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， 由旋转可得， ∴ 设， 则 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当时，取得最小值，如图： ∵翻折， ∴，， ∵，即 ∴当点在上时，取得最小值，如图： 延长交于点，连接， ∵ ∴四边形为矩形， ∴，， ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $