第二十章 第2课时 勾股定理及其应用(2)——运用勾股定理解决实际问题-【金牌导学案】2025-2026学年八年级下册数学同步课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦勾股定理及其应用，通过课前预习巩固直角三角形边长计算基础，课堂讲练以钢索长度、树高测量等实际问题为支架，衔接从定理到应用的知识脉络，分层检测覆盖基础、提升与培优练习。 其亮点在于情境化问题设计，如风筝高度测量、梯子滑动等实例，引导学生用数学眼光抽象现实问题为几何模型，通过逻辑推理（如方程求解）发展数学思维，模型应用（将军饮马求代数式最值）强化数学语言表达。学生能提升应用能力，教师可依托分层资源实施差异化教学。

 第二十章 金牌导学案 勾股定理 金牌导学案 金牌导学案 第2课时　勾股定理及其应用(2) ——运用勾股定理解决实际问题 2 课堂讲练 1 课前预习 3 分层检测 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°. 1．若a＝6，b＝8，则c＝　　　　　． 2．若c＝13，a＝5，则b＝　　　　　． 3．若∠A＝45°，a＝3，则c＝　　　　　． 10　 12　 课前预习 第2课时　勾股定理及其应用(2)——运用勾股定理解决实际问题 1．【例】如图，要从电线杆离地面4 m的点C处向地面拉一条钢索．若地面钢索固定点A到电线杆底部B的距离为2 m，求钢索的长度. 运用勾股定理解决实际问题 解：由题意，得AB＝2 m，BC＝4 m，在Rt△ABC中， 由勾股定理，得AC2＝BC2＋AB2＝42＋22＝20， ∴AC＝2 m. 答：钢索的长度为2 m. 课堂讲练 第2课时　勾股定理及其应用(2)——运用勾股定理解决实际问题 2.小慧同学在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端，他找到了一根长竹竿，想把风筝挑下来，可是竹竿不够长，他想知道树有多高呢？他制订了一个测量树高的方案．如图，在地面A处，测得A到大树的距离AN＝2米，手中剩下的风筝线为4米．后退6米后，在地面B处风筝线恰好用完（点N在点M的正下方，A，B，N在同一 条直线上），即可求出这棵树的高度，请你帮他 求出树的高度MN为多少米？（用含根号的式子 表示） 课堂讲练 第2课时　勾股定理及其应用(2)——运用勾股定理解决实际问题 解：根据题意，得∠MNB＝90°，AB＝6米，BN＝2＋6＝8(米)， 设风筝线长为x米，则AM＝(x－4)米，BM＝x米， ∴MN2＝AM2－AN2，MN2＝BM2－BN2. ∴MN2＝(x－4)2－22，MN2＝x2－82. ∴(x－4)2－22＝x2－82.解得x＝9.5. ∴MN2＝(x－4)2－22＝5.52－4＝26.25＝ . ∴MN＝ 米(负值舍去). ∴树的高度MN为 米． 课堂讲练 第2课时　勾股定理及其应用(2)——运用勾股定理解决实际问题 3.【例】小明周末去莲花山公园放风筝，为了用刚学会的勾股定理解决一些问题，他进行了如下操作：测得牵线放风筝的手与风筝的水平距离BC为15米；根据手中余线长度计算出AB为17米，牵线放风筝的手到地面的垂直距离CD为1.8米，如图． （1）求风筝离地面的垂直高度AD. 解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， 由勾股定理得，AC＝ ＝8(米)，AD＝8＋1.8＝9.8 (米)， ∴线段AD的长为9.8米． 课堂讲练 第2课时　勾股定理及其应用(2)——运用勾股定理解决实际问题 （2）如果小明想让风筝沿DA方向再上升12米，到达点A′处，BC长度不变，那么他应该再放出多少米的线？ (2)风筝沿DA方向再上升12米， 则A′C＝8＋12＝20(米)， 在Rt△A′BC中，∠A′CB＝90°， 由勾股定理得，A′B＝ ＝25(米)， ∵25－17＝8(米)， ∴他应该再放出8米的线． 课堂讲练 第2课时　勾股定理及其应用(2)——运用勾股定理解决实际问题 4.如图，一个梯子AB长25米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为15米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为5米． （1）这个梯子顶端A离地面有多高？ 解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC2＝AB2－BC2＝252－152＝400， ∴AC＝20米． 答：这个梯子的顶端A离地面有20米高． 课堂讲练 第2课时　勾股定理及其应用(2)——运用勾股定理解决实际问题 （2）梯子顶端A下落的高度AE为多少米？ (2)在Rt△CDE中，DE＝AB＝25米， CD＝BC＋BD＝15＋5＝20(米)， 由勾股定理，得EC2＝DE2－CD2＝252－202＝225， ∴EC＝15米．∴AE＝AC－EC＝20－15＝5(米). 答：梯子顶端A下落的高度AE为5米． 课堂讲练 第2课时　勾股定理及其应用(2)——运用勾股定理解决实际问题 5．如图，在高为5 m，坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　） A．17 m B．18 m C．25 m D．26 m 6．如图，市政府准备修建一座过街天桥，已知地面BC为8米，则桥的坡面AC是10米．此街道的交通“限高”为　　　　　米． A　 6 分层检测 第2课时　勾股定理及其应用(2)——运用勾股定理解决实际问题 7．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节． 某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15 m；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25 m； ③牵线放风筝的小明的身高为1.6 m． 分层检测 第2课时　勾股定理及其应用(2)——运用勾股定理解决实际问题 （1）求风筝的垂直高度CE. 解：(1)在Rt△CDB中，由勾股定理， 得CD2＝BC2－BD2＝252－152＝400， ∴CD＝20 m(负值舍去). ∴CE＝CD＋DE＝20＋1.6＝21.6(m). 答：风筝的垂直高度CE为21.6 m. 分层检测 第2课时　勾股定理及其应用(2)——运用勾股定理解决实际问题 （2）如果小明想风筝沿CD方向下降12 m，那么他应该往回收线多少米？ 分层检测 第2课时　勾股定理及其应用(2)——运用勾股定理解决实际问题 8．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析： 是勾股定理的形式， 是直角边长分别是x和3的直角三角形的斜边长， 是直角边长分别是12－x和2的直角三角形的斜边长，因此，我们构造两个 分层检测 第2课时　勾股定理及其应用(2)——运用勾股定理解决实际问题 直角三角形ABC和DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角三角形ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x＋12－x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成 “点B在线段CF的何处时，AB＋DB 最短？ ”根据两点间线段最短，得 到线段AD就是它们的最小值． 分层检测 第2课时　勾股定理及其应用(2)——运用勾股定理解决实际问题 【模型应用】 （1）求代数式 的最小值． 解：(1)如图，设CF＝12，BC＝x，点A在CF的上方，且AC⊥CF，AC＝3，点D在CF的下方，且DF⊥CF，DF＝2，对于线段CF上任意一点B，过点D作DG⊥AC，交AC延长线于点G，连接 AD，则CG＝DF＝2，DG＝CF＝12， 分层检测 第2课时　勾股定理及其应用(2)——运用勾股定理解决实际问题 分层检测 第2课时　勾股定理及其应用(2)——运用勾股定理解决实际问题 （2）变式训练：利用图3，求代数式 的最小值． (2)设CF＝5，BC＝x，点A在CF的上方，且AC⊥CF， AC＝2，点D在CF的下方，且DF⊥CF，DF＝1，对于线段CF上任意一点B，过点D作DH⊥AC，交AC延长线于点H，连接AD，则AH＝2＋1＝3，DH＝CF＝5， 分层检测 第2课时　勾股定理及其应用(2)——运用勾股定理解决实际问题 分层检测 第2课时　勾股定理及其应用(2)——运用勾股定理解决实际问题 感谢聆听 21 $