精品解析：山东省临沂市蒙阴第三中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试卷

2024-2025学年山东省临沂市蒙阴三中八年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是(　　) A. x＞ B. x≥ C. x≤ D. x≤5 2. 下列各组数中能作为直角三角形三边的是（ ） A. 3，3，5 B. 9，6，8 C. 4，5，6 D. 5，12，13 3. 下列二次根式中，可以与合并的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面10m处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为24m，则这棵大树折断处到树顶的长度是（　　） A. 10m B. 15m C. 26m D. 30m 6. 设直角三角形的较长直角边长为x，较短直角边长为y．若 xy＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ） A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 7. 如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是和，则字母B所代表的正方形的面积是( ) A. B. C. D. 8. 已知平面直角坐标系内两点，，那么线段的长是（ ） A. B. C. D. 9. 设，则实数m所在的范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 11. 将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在矩形中，，将矩形沿对角线折叠，点落在点交于点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 26 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 计算的结果是_________． 14. 比较大小：________．（用、或连接） 15. 如图，在中，，，，将沿折叠，使点与点重合，则的长度为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______． 三、计算题：本大题共1小题，共12分． 17. 我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用．其实，还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式． 比如：＝． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较：和的大小可以先将它们分子有理化如下：：，． 因为，所以，． 再例如，求y＝的最大值、做法如下： 解：由x＋2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝＝．当x＝2时，分母有最小值2.所以y的最大值是2 利用上面的方法，完成下面问题： （1）比较﹣和﹣的大小； （2）求y＝﹣＋2的最大值． 四、解答题：本题共5小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 计算： （1）； （2）已知，求的值． 19. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）线段的长为______； （2）求点A到边的距离． 20. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆的底端处，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到点处，发现此时点到旗杆水平距离为，点到地面的距离为，求旗杆的高度． 21. 4月3日6时56分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将遥感四十二号01星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，开启了星辰大海的全新征程，火箭在上升阶段需要地面雷达观测站的实时观测．如图，火箭从地面A处发射，当火箭到达B点时，从地面D处的雷达站测得的距离是6km，；当火箭到达C点时，测得，求火箭从B点上升到C点的高度．（参考数据：，，，结果精确到0.01） 22. 如图在四边形中，，，求的长和四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省临沂市蒙阴三中八年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是(　　) A. x＞ B. x≥ C. x≤ D. x≤5 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：由题意得，5x﹣1≥0， 解得，x≥， 故选B． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 2. 下列各组数中能作为直角三角形三边的是（ ） A. 3，3，5 B. 9，6，8 C. 4，5，6 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：A．，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意； B．，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意； C．，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意； D．，能作为直角三角形三边长度，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查考查的是勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 3. 下列二次根式中，可以与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的定义：二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式；解题的关键是正确化简各选项的二次根式．先化简选项中各个二次根式，然后找出被开方数为的二次根式即可． 【详解】解：A．，不能与合并，故本选项不符合题意； B．的被开方数是，不能与合并，故本选项不符合题意； C．，其被开方数是，能与合并，故本选项符合题意； D．，其被开方数是，不能与合并，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的乘除运算，直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘除运算法则分别化简，进而得出答案． 【详解】A.，故不合题意； B．，故符合题意； C．，故不合题意； D．，故不合题意． 故选：B． 5. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面10m处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为24m，则这棵大树折断处到树顶的长度是（　　） A. 10m B. 15m C. 26m D. 30m 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出大树折断部分的高度即可求解． 【详解】】解：如图所示： ∵△ABC是直角三角形，AB=10m，AC=24m， 故选C 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出BC的长度． 6. 设直角三角形的较长直角边长为x，较短直角边长为y．若 xy＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ） A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设小正方形的边长为 a，根据图形面积关系可得S大正方形＝S小正方形＋4S直角三角形，再根据xy＝8，可列方程求解． 【详解】设小正方形的边长为 a（a＞0）， ∵ S大正方形＝S小正方形＋4S直角三角形，S直角三角形＝x·y， ∴ 25＝a²＋×4×8， 所以a＝3. 故选 D． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 7. 如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是和，则字母B所代表的正方形的面积是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差． 【详解】解：由勾股定理得：字母B所代表的正方形的面积为． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟记：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积． 8. 已知平面直角坐标系内两点，，那么线段的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和平面直角坐标系中两点间的距离，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先构造直角三角形，确定两个直角边的长度，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，如图， ，， ，， 线段的长是． 故选：C． 9. 设，则实数m所在的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键．根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， 即， 故选：B． 10. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用及在数轴上表示实数，关键是先利用勾股定理求出的长度，再根据圆的半径相等得到的长度，最后结合数轴上点的位置关系求出点表示的数． 【详解】解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， ∴； ∵于点，， ∴是直角三角形，， 由勾股定理得：； ∴， ∴点表示的数为， 故选：C． 11. 将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据题意，分类讨论，当筷子直立在水杯中时，；当筷子斜放在水杯中，如图所示，运用勾股定理可得；由此即可求解． 【详解】解：根据题意，当筷子直立在水杯中时，； 当筷子斜放在水杯中，如图所示，，且 ∴， ∴筷子露在外面的部分的长度为， ∴的取值范围为：， 故选：B ． 12. 如图，在矩形中，，将矩形沿对角线折叠，点落在点交于点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】证明，设，则，，可得，再进一步求解即可 【详解】解：四边形为矩形， ，，， 矩形纸片沿对角线折叠， ∴， ∵， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， 的面积． 故选：C． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，熟练的利用方程求解是解本题的关键 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 计算的结果是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，注意：． 14. 比较大小：________．（用、或连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式 的大小比较，熟练掌握二次根式的大小比较的方法是解答的关键．将根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数，再比较被开方数的大小，即可得到答案． 【详解】解：，，且， ，即， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，将沿折叠，使点与点重合，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的折叠，勾股定理，熟练掌握图形的折叠的性质，勾股定理是解题的关键．根据折叠的性质可得，设，则，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意得，， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴ ， 解得：． ∴． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】取点关于直线的对称点，连接，，的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如下图所示，取点关于直线的对称点，连接，， 点与点关于直线对称， ， ， 即的最小值为的长， 在中， ，， ， 的最小值为． 三、计算题：本大题共1小题，共12分． 17. 我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用．其实，还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式． 比如：＝． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较：和的大小可以先将它们分子有理化如下：：，． 因为，所以，． 再例如，求y＝的最大值、做法如下： 解：由x＋2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝＝．当x＝2时，分母有最小值2.所以y的最大值是2 利用上面的方法，完成下面问题： （1）比较﹣和﹣的大小； （2）求y＝﹣＋2的最大值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用分母有理化得到﹣＝，﹣＝，然后根据分母大的分数反而小解答即可； （2）根据二次根式有意义的条件得出，，利用分母有理化得到，根据题意解答即可． 【详解】解：（1）∵﹣＝，﹣＝， ∵， ∴， 即； （2）∵，， ∴， ∵y＝﹣＋2＝， ∴当时，分母有最小值， ∴则的最大值为：． 【点睛】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去，也考查了平方差公式． 四、解答题：本题共5小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 计算： （1）； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简求值，平方差公式，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． （1）先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可； （2）先计算出和的值，再把所求的代数式通分，然后利用整体代入的方法计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ． 19. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）线段的长为______； （2）求点A到边的距离． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：如图，过点A作于点D， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 即点A到边的距离为． 20. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆的底端处，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到点处，发现此时点到旗杆水平距离为，点到地面的距离为，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为 【解析】 【分析】过点作于，设旗杆的高度为，在中，由勾股定理可得，解方程即可求解． 【详解】解：如下图所示，过点作于， 则，，， 设旗杆的高度为，则，， 在中，， ， 解得：， 旗杆的高度为． 21. 4月3日6时56分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将遥感四十二号01星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，开启了星辰大海的全新征程，火箭在上升阶段需要地面雷达观测站的实时观测．如图，火箭从地面A处发射，当火箭到达B点时，从地面D处的雷达站测得的距离是6km，；当火箭到达C点时，测得，求火箭从B点上升到C点的高度．（参考数据：，，，结果精确到0.01） 【答案】火箭从B点上升到C点的高度约为2.20km 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，先在中，求出的长，再在中求出的长，利用求出的长即可． 【详解】解：在中，， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴ 答：火箭从B点上升到C点的高度约为2.20km． 22. 如图在四边形中，，，求的长和四边形的面积． 【答案】的长为，四边形的面积为 【解析】 【分析】连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，利用四边形的面积等于两个直角三角形的面积之和，进行求解即可. 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴四边形的面积 . 【点睛】本题考查勾股定理与逆定理的综合应用，解题的关键是得到为直角三角形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $