2026年重庆市中考数学自编模拟卷5

2026届重庆市中考数学模拟预测卷8 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成： 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．的相反数是（    ） A． B． C． D．6 2．中国新能源汽车发展迅速，下列各图是国产新能源汽车图标，属于轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．下列调查方式中合适的是（    ） A．调查一批灯泡的使用寿命，采用普查的方式 B．调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查的方式 C．调查文山州中学生喜欢上数学课的人数，采用普查的方式 D．调查中央电视台《新闻联播》收视率情况，采用抽样调查的方式 4．如图，△ABC内接于，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 5．蜜蜂构建的蜂巢展现出了正六边形的精巧设计．下图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的蜂巢结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，第④个图案用了35根小棒，……按此规律排列下去，第⑧个图案用的小棒根数是（    ） A．59 B．76 C．67 D．96 6．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．下列四个数中，最大的是（    ） A． B． C． D． 8．2025年辽宁省首届青少年数字阅读节在沈阳举办．某校为响应活动号召，开放校园数字图书馆．据统计，4月份访问数字图书馆的人次为150次，访问人次逐月递增，到6月份累计访问人次达546次，且访问人次的月平均增长率相同．访问人次的月平均增长率为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在边长为2的正方形中，E在对角线上，且，连接并延长，交边于H点，过D作于F，连接．G为上一点，且，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 10．已知整式M：，其中，，，，为自然数，n，为正整数，且，．下列说法： ①当，时，M的最小值为6； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次整式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有2个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．不透明袋子中有2个红球、5个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出白球的概率是______． 12．如图，把一块三角板的直角顶点放在直尺的边上，如果，那么________． 13．若m为正整数，且满足，的值是_____ 14．若实数，同时满足，则的值为______． 15．如图，已知是圆O的直径，弦于点H，过点B作圆O的切线交的延长线于点E，连接，F为的中点，连接．若，，则_______，点O到的距离_______． 16．一个四位自然数M的各个数位的数字互不相等且均不为0，若千位数字与个位数字的差等于十位数字与百位数字的差，则称其为“骐骥数”．将M的千位与个位数字调换位置，百位与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，则________，若“骐骥数”（a，b，c，d均为整数，且，，，），记N的各个数位上的数字之和为，若为完全平方数，且为整数，则满足条件的所有N的值之和为________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．求不等式组：的所有整数解． 解：解不等式得______， 解不等式得______， 所以，原不等式组的解集为______， 所以，原不等式组的整数解为______． 18．如图，四边形是平行四边形，对角线，交于点O，过点C作，交于点E． (1)尺规作图：过点A作，交于点F，连接，：（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：四边形为平行四边形． 证明：∵四边形为平行四边形，对角线交于点O， ∴①________． ∵，， ∴②________， 在和中， ∴， ∴④________， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．12月13日是南京大屠杀国家公祭日，社会各界开展了形式多样的纪念活动．某中学为增强学生爱国热情，培养学生强国担当，在七、八年级开展了主题为“勿忘国耻，圆梦中华”的学生抗日战争历史知识竞赛活动（以下简称竞赛）．学校为了解竞赛情况，从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩为百分制且均不低于80分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩是：81，83，85，86，87，87，91，92，92，92，92，93，93，95，96，97，99，100，100，100． 八年级20名学生竞赛成绩中B组的成绩是：92，93，94，94． 七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 平均分 中位数 众数 满分率 七年级 92.05 92 b 15% 八年级 92.05 a 89 10% 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七、八年级参加此次竞赛的学生人数分别为800人、750人．请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩为满分的学生人数共有多少人？ 20．先化简，再求值：，其中． 21．2026马年中央广播电视总台《春节联欢晚会》上，人形机器人凭借在武术、小品、歌曲等多类型节目中的精彩亮相，带动行业销量激增．某公司主推A，B两款人形机器人，已知生产6台A款人形机器人和生产7台B款人形机器人的成本相同；且每台A款人形机器人的成本比每台B款人形机器人的成本多3万元． (1)该公司生产的A，B两款人形机器人每台的成本各是多少万元？ (2)该公司对这两款人形机器人实行网上预约销售，且每台B款人形机器人的定价比每台A款人形机器人的定价少20%，当这两款人形机器人的销售额都为800万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出8台．则该公司每台A款人形机器人在网上销售的定价是多少万元？ 22．如图，中，，，点M、N以每秒1个单位长度从中点D点出发，点M沿折线方向运动，点N沿折线方向运动，点M达点B后动点M、N的速度分别变为每秒3个单位长度、4个单位长度，设运动时间为t秒，点M、N的距离为． (1)请直接写出关于t的函数表达式并直接写出自变量t的取值范围； (2)已知，请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质： (3)若，请根据所画图象直接写出t的范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 23．春风有信，花开有期，某公园设置了如图所示、、、四个观景点，这四个观景点在同一平面内，点在点的正东方向，点在点的南偏东45°方向，且在点的南偏东60°方向，点在点的正西方向，且在点的南偏西30°方向，千米．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)若小张和小李分别从观景点、出发，小张以2千米/小时的速度从观景点步行到观景点，小李从观景点以4千米/小时的速度跑到观景点，在运动过程中，小张出发多少千米后恰好与小李相距千米？（结果保留一位小数） 24．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，点和点是直线上的两个动点，，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，抛物线与原抛物线交于点，点为抛物线上一点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25．如图，在等腰三角形中，，点E在直线上，点D是平面内一点，连接. (1)如图1，若，点E在线段上，，连接，将绕点A逆时针旋转至，连接，点D为中点，连接，求出此时的面积； (2)如图2，若，点D在外部，点E，点F分别是，的中点，连接，将绕点F顺时针旋转至，连接，，，试猜想线段和的数量关系，并证明； (3)如图3，若，若点D是平面内一动点，连接，将沿翻折得，当B，D，Q三点共线时，在线段上取一点N，使，点E是直线上的动点，将绕点E顺时针旋转至，连接，当取最小值时，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届重庆市中考数学模拟预测卷5 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成： 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．的相反数是（    ） A． B． C． D．6 【答案】D 【详解】解：的相反数是6． 2．中国新能源汽车发展迅速，下列各图是国产新能源汽车图标，属于轴对称图形的是（   ） A． B．C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A：是轴对称图形，符合题意； B：不是轴对称图形，不符合题意； C：不是轴对称图形，不符合题意； D：不是轴对称图形，不符合题意． 3．下列调查方式中合适的是（    ） A．调查一批灯泡的使用寿命，采用普查的方式 B．调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查的方式 C．调查文山州中学生喜欢上数学课的人数，采用普查的方式 D．调查中央电视台《新闻联播》收视率情况，采用抽样调查的方式 【答案】D 【分析】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查． 【详解】解：A、调查一批灯泡的使用寿命，具有破坏性，适合采用抽样调查的方式；错误； B、调查你所在班级同学的身高，人数少，调查范围小，适合采用普查的方式；错误； C、调查文山州中学生喜欢上数学课的人数，总体数量大，普查工作量过大且成本高，适合采用抽样调查的方式；错误； D、调查中央电视台《新闻联播》收视率情况，调查范围大，工作量大，适合采用抽样调查的方式；正确． 4．如图，内接于，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆周角定理进行求解． 【详解】解：∵内接于，， ∴． 5．蜜蜂构建的蜂巢展现出了正六边形的精巧设计．下图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的蜂巢结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，第④个图案用了35根小棒，……按此规律排列下去，第⑧个图案用的小棒根数是（    ） A．59 B．76 C．67 D．96 【答案】C 【分析】观察可知，后面一个图形比前面一个图形多8根小棒，据此规律求解即可． 【详解】解：第①个图案用了根小棒， 第②个图案用了根小棒， 第③个图案用了根小棒， 第④个图案用了根小棒， ．．．．．．， ∴第⑧个图案用的小棒根数是． 6．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点坐标代入解析式即可计算出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ，解得． 7．下列四个数中，最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法表示的数的大小比较，根据10的指数可判断数的位数，位数越多的数越大，位数相同时再比较系数大小即可得到结果． 【详解】解： ∵和展开后是7位数，和展开后是8位数， ∴ 7位数小于8位数，只需比较和， 又∵， ∴最大， 故选：C． 8．2025年辽宁省首届青少年数字阅读节在沈阳举办．某校为响应活动号召，开放校园数字图书馆．据统计，4月份访问数字图书馆的人次为150次，访问人次逐月递增，到6月份累计访问人次达546次，且访问人次的月平均增长率相同．访问人次的月平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设访问人次的月平均增长率为，则5月份访问的人次为次，6月份访问的人次为次，依题意列出方程，求解即可． 【详解】解：设访问人次的月平均增长率为，则5月份访问的人次为次，6月份访问的人次为次，依题意得： ， 解得：，（舍去）， ∴访问人次的月平均增长率为． 9．如图，在边长为2的正方形中，E在对角线上，且，连接并延长，交边于H点，过D作于F，连接．G为上一点，且，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理；证明，则可得，证明，可得，设，则，利用解直角三角形和勾股定理即可得到和，即可解答，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键． 【详解】解：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， ， ， 则， ， ， ， 故选：A． 10．已知整式M：，其中，，，，为自然数，n，为正整数，且，．下列说法： ①当，时，M的最小值为6； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次整式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有2个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题干给出的次数系数条件，按每个说法的要求分类枚举所有符合条件的整式，再逐一验证说法即可． 【详解】解：由题干条件可知，为正整数，，，，，为自然数，为正整数，满足，且． 验证说法①：， ， ，且． 当时，． ， ， 为正整数， 最小为，此时最小值为． 最小值不是，①错误； 验证说法②：， ， ，且 枚举所有符合条件的整式： ，得； ，得； ，得； 无其他符合条件的整式，求和得：，②正确； 验证说法③：二次整式即， ， ， ，且， 枚举所有整式并判断非负性： 时，，对任意实数都有，符合要求； 时，，当时，，不符合； 时，，当时，，不符合； 时，恒成立，符合要求； 满足条件的所有二次整式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有2个，③正确． 综上可知，② ③正确，正确的个数是2． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．不透明袋子中有2个红球、5个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出白球的概率是______． 【答案】 【分析】如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 本题中摸出白球的概率为白球数量与总球数的比值，据此即可求解． 【详解】解：袋中总球数为，白球有个， 因此摸出白球的概率为． 12．如图，把一块三角板的直角顶点放在直尺的边上，如果，那么________． 【答案】 【详解】解：如图 ， ． ， ． 13．若m为正整数，且满足，的值是_____ 【答案】16 【分析】本题主要考查了无理数的估算、有理数乘方等知识点，确定m的值是解题的关键． 通过比较与相邻整数的平方，确定m的值，再计算即可解答． 【详解】解：∵ ， ，且， ∴， ∵ ∴，即． 故答案为：16． 14．若实数，同时满足，则的值为______． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质对的取值进行分类讨论，求出的值，最后计算. 【详解】解：∵， ∴， 当时，， ∴解得：， 把代入得，（舍）， 当时，， ∴，解得：， 把代入得，， ∴， 故答案为：． 15．如图，已知是圆O的直径，弦于点H，过点B作圆O的切线交的延长线于点E，连接，F为的中点，连接．若，，则_______，点O到的距离_______． 【答案】 8 【分析】如图所示，连接，过点作，根据垂径定理得出，根据，求出，根据与相切，得出，从而求出，，即可得，证明是等边三角形，得出，根据F为的中点，得出，证明是直角三角形，勾股定理求出，等面积法即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作， 是的直径， ， ∵， ∴， ∵与相切， ， ，， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴． 即点O到的距离． 故答案为：8，． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，垂径定理，等边三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形等知识点，解题的关键是掌握以上性质． 16．一个四位自然数M的各个数位的数字互不相等且均不为0，若千位数字与个位数字的差等于十位数字与百位数字的差，则称其为“骐骥数”．将M的千位与个位数字调换位置，百位与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，则________，若“骐骥数”（a，b，c，d均为整数，且，，，），记N的各个数位上的数字之和为，若为完全平方数，且为整数，则满足条件的所有N的值之和为________． 【答案】 【分析】根据新定义直接得出的值，根据，分别求得的值，设千位，百位，十位，个位，得出，根据为完全平方数，得出，则，根据为整数，得出为整数，结合，且数位互不相等，得出，或，，进一步计算，即可求解． 【详解】解：，调换后，则： 已知，且，所有数位数字互不相等且不为0： 若：，十位为，不符合各个数位的数字均不为0的要求，舍去； 若：，设千位，百位，十位，个位，满足，，均不为0． 骐骥数满足，即 对任意四位数，调换后， ∵ ∴ ∴ ∴ 数位和，， 范围内的完全平方数只有， ∴ ∴ ∵为整数， ∴， ∴，即为整数， 又∵结合数位互不相等， 当，时，数位为，符合条件，； 当，时，数位为，符合条件，； 所有满足条件的的和为 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．求不等式组：的所有整数解． 解：解不等式得______， 解不等式得______， 所以，原不等式组的解集为______， 所以，原不等式组的整数解为______． 【答案】 ；；；， 【分析】分别求解两个不等式，取两个解集的公共部分得到不等式组的解集，再找出解集中的所有整数即可． 【详解】解：解不等式， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； 解不等式， 两边同乘去分母得， 化简得， 移项合并同类项得， 系数化为得， 所以，原不等式组的解集为， 所以，原不等式组的整数解为，． 18．如图，四边形是平行四边形，对角线，交于点O，过点C作，交于点E． (1)尺规作图：过点A作，交于点F，连接，：（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：四边形为平行四边形． 证明：∵四边形为平行四边形，对角线交于点O， ∴①________． ∵，， ∴②________， 在和中， ∴， ∴④________， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）利用基本作图，过A点作的垂线即可； （2）先根据平行四边形的性质得到，再证明，接着证明得到，然后根据平行四边形的判定方法可判断四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：如图，即为所作． （2）证明：∵四边形为平行四边形，对角线交于点O， ∴①． ∵，， ∴②， 在和中 ， ∴， ∴④， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．12月13日是南京大屠杀国家公祭日，社会各界开展了形式多样的纪念活动．某中学为增强学生爱国热情，培养学生强国担当，在七、八年级开展了主题为“勿忘国耻，圆梦中华”的学生抗日战争历史知识竞赛活动（以下简称竞赛）．学校为了解竞赛情况，从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩为百分制且均不低于80分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩是：81，83，85，86，87，87，91，92，92，92，92，93，93，95，96，97，99，100，100，100． 八年级20名学生竞赛成绩中B组的成绩是：92，93，94，94． 七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 平均分 中位数 众数 满分率 七年级 92.05 92 b 15% 八年级 92.05 a 89 10% 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七、八年级参加此次竞赛的学生人数分别为800人、750人．请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩为满分的学生人数共有多少人？ 【答案】(1) (2)七年级学生的竞赛成绩好，理由见解析 (3)人． 【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，掌握众数，中位数，扇形图中某项百分比的计算，众数作决策，样本百分比估算总体数量的方法是关键． （1）根据众数，中位数，扇形图中某项百分比的计算方法求解即可； （2）根据众数，满分率作决策即可； （3）根据样本百分比估算总体数量的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：∵七年级20名学生的竞赛成绩分数出现次数最多的是92， ∴， 八年级20名学生竞赛成绩在A组的人数为， 在B组的人数有4人，中位数是第10个和11个数据的平均数，即 ， ，即， 故答案为：； （2）解：七年级学生的竞赛成绩好，理由如下， 七年级学生的竞赛成绩的众数大于八年级学生的竞赛成绩的众数，七年级学生的满分率大于八年级学生的满分率， ∴七年级学生的知识竞赛成绩好； （3）解：（人）， 即七、八年级参加此次竞赛成绩为满分的学生人数共有人． 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】第一步：首先，根据分式的混合运算规则化简分式：按照先展开多项式乘多项式，单项式乘多项式，同时将分式的分子分母进行因式分解及分式通分，再合并同类项，将除法运算变乘法运算进行约分，然后，再进行通分、合并，将分式化为最简形式；第二步：按照实数混合运算法则及特殊角的三角函数值得出；第三步：再将代入化简后的最简分式进行分母有理化运算即可． 【详解】解：原式 ， 由，得 ， ∴原式 ． 21．2026马年中央广播电视总台《春节联欢晚会》上，人形机器人凭借在武术、小品、歌曲等多类型节目中的精彩亮相，带动行业销量激增．某公司主推A，B两款人形机器人，已知生产6台A款人形机器人和生产7台B款人形机器人的成本相同；且每台A款人形机器人的成本比每台B款人形机器人的成本多3万元． (1)该公司生产的A，B两款人形机器人每台的成本各是多少万元？ (2)该公司对这两款人形机器人实行网上预约销售，且每台B款人形机器人的定价比每台A款人形机器人的定价少20%，当这两款人形机器人的销售额都为800万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出8台．则该公司每台A款人形机器人在网上销售的定价是多少万元？ 【答案】(1)A款人形机器人每台成本为21万元，B款人形机器人每台成本为18万元 (2)每台A款人形机器人在网上的售价是25万元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确掌握方程的应用是解题的关键． （1）设每台B款人形机器人的成本为x万元，则每台A款人形机器人的成本为万元．根据题意列出方程，解方程即可． （2）设每台A款人形机器人的售价为y万元，则每台B款人形机器人的售价为（万元），根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每台B款人形机器人的成本为x万元，则每台A款人形机器人的成本为万元． 根据题意可得， 解得， 则（万元）． 答：A款人形机器人每台成本为21万元，B款人形机器人每台成本为18万元． （2）解：设每台A款人形机器人的售价为y万元， 则每台B款人形机器人的售价为（万元）． 根据题意可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：每台A款人形机器人在网上的售价是25万元． 22．如图，中，，，点M、N以每秒1个单位长度从中点D点出发，点M沿折线方向运动，点N沿折线方向运动，点M达点B后动点M、N的速度分别变为每秒3个单位长度、4个单位长度，设运动时间为t秒，点M、N的距离为． (1)请直接写出关于t的函数表达式并直接写出自变量t的取值范围； (2)已知，请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质： (3)若，请根据所画图象直接写出t的范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1)； (2)图象见解析，，随着的增大而增大，，随着的增大而减小； (3)当， t的范围为：． 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，反比例函数的图象与性质，一次函数图象与反比例函数的交点问题，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题中等量关系找一次函数的关系式即可； （2）当时，，当时，，分两种情况讨论即可求解； （3）由图象及其性质即可求解． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 由题意知，， ∴当时，， ∵点M达点B后动点M、N的速度分别变为每秒3个单位长度、4个单位长度， ∴当M、N在A点相遇时， ，， ∴当时，， 即当时，， ∴． （2）解：图象如图： 由图象可知，，随着的增大而增大，，随着的增大而减小． （3）解：联立， 解得：（负值已舍去）， 联立， 解得：（舍去），， ∴当， t的范围为：． 23．春风有信，花开有期，某公园设置了如图所示、、、四个观景点，这四个观景点在同一平面内，点在点的正东方向，点在点的南偏东45°方向，且在点的南偏东60°方向，点在点的正西方向，且在点的南偏西30°方向，千米．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)若小张和小李分别从观景点、出发，小张以2千米/小时的速度从观景点步行到观景点，小李从观景点以4千米/小时的速度跑到观景点，在运动过程中，小张出发多少千米后恰好与小李相距千米？（结果保留一位小数） 【答案】(1)的长度为千米． (2)小张出发2.0千米后恰好与小李相距千米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用等，熟练掌握相关知识点，利用辅助线构建直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点．则，解求出，即可解答； （2）设小时后，小张恰好与小李相距千米，此时，，由题意可知过点作于点，过点作于点．利用解直角三角形和线段的和差，表示出，再利用勾股定理建立方程，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点． 则 在中，， 由题可得， 在中，， 答：的长度为千米． （2）解：如答图，由题意，设小时后，小张恰好与小李相距千米，此时，， ， ， 过点作于点，过点作于点． 在中，， 在中， ， 在中， 解方程，得，（舍） 则 答：小张出发2.0千米后恰好与小李相距千米． 24．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，点和点是直线上的两个动点，，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，抛物线与原抛物线交于点，点为抛物线上一点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)该抛物线的表达式为； (2)点的坐标为，的最小值为； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）把代入，可得，把代入，可得，把，代入，可得，，即可得抛物线的表达式； （2）设，作轴，交直线于点，则，可得，可得，可得当取得最大值时，点的坐标，作平行四边形，连接，，作轴于点，根据勾股定理可得，，作轴，轴，交于点，根据勾股定理可得，即为的最小值； （3）由平移可得，联立两个抛物线的解析式，可得，作，作轴，交于点，作于点，作轴于点，则，可得，用待定系数法可得直线的解析式，与抛物线的解析式联立，可得点的坐标，在轴上取点，使得，则，可得，用待定系数法可得直线的解析式，与抛物线的解析式联立，可得点的坐标． 【详解】（1）解：把代入，可得， ∴， 把代入，可得， ∴，， 把，代入， 可得， 解得， ∴该抛物线的表达式为． （2）解：把代入，可得，， ∴，， 设， 作轴，交直线于点，则， ∴， 由，可得， ∴， 当时，， ∴当取得最大值时，点的坐标为， 直线与轴的交点记为， 把代入，可得， ∴，， 作平行四边形，连接，则，，， ∴，， ∴， 作轴于点，则， ∴， ∴， ∴， 作轴，轴，交于点，则，， 在中，， ∴的最小值为． （3）解：作轴于点， ∵， ∴， ∴， 抛物线沿射线方向平移个单位长度，即向右平移个单位，向上平移个单位，得到抛物线， ∴， 由得， 把代入得， ∴， ∵， ∴， 作，作轴，交于点，作于点，作轴于点，则， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴，点为直线与抛物线的交点， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 由得，（点的横坐标）， 把代入得， ∴， 在轴上取点，使得，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 由得，（点的横坐标）， 把代入得， ∴， ∴点的坐标为或． 25．如图，在等腰三角形中，，点E在直线上，点D是平面内一点，连接. (1)如图1，若，点E在线段上，，连接，将绕点A逆时针旋转至，连接，点D为中点，连接，求出此时的面积； (2)如图2，若，点D在外部，点E，点F分别是，的中点，连接，将绕点F顺时针旋转至，连接，，，试猜想线段和的数量关系，并证明； (3)如图3，若，若点D是平面内一动点，连接，将沿翻折得，当B，D，Q三点共线时，在线段上取一点N，使，点E是直线上的动点，将绕点E顺时针旋转至，连接，当取最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)猜想：，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点F作于点K，证明三角形是等边三角形，再证，在中，求出的长，最后求出； （2）连接，过点D作交延长线于点Q，连接，，先证，再证，最后运用相似三角形性质，特殊角的三角函数值等知识，得出； （3）先证明A，B，C，D四点共圆，再推导出点D在圆上，在上确定一个点F，连接，，使得，连接，，证得，连接，将绕F点顺时针旋转，并将缩短，得到，则点N在圆上，运用瓜豆原理得到点K的运动轨迹，最后得到取最小值时， ． 【详解】（1）解：如图1，过点F作于点K， ∵等腰三角形中，，， ∴三角形是等边三角形， ∵， ∴，， ∵将绕点A逆时针旋转至， ∴，， ∴， ∴，即， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∵点D为中点，， ∴， ∴； （2）解：猜想：，理由如下： 如图2，连接，过点D作交延长线于点Q，连接，， ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵将绕点F顺时针旋转至， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，     ∵，， ∴， ∴． ∵在等腰三角形中，，， ∴， ∵，点E是的中点， ∴，即， 在中，     ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，     ∵， ∴， ∴， ， ∴； （3）解：∵等腰三角形中，，， ∴三角形是等边三角形， ∵将沿翻折得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴A，B，C，D四点共圆， ∴， 设， 则点D在以O为圆心的圆上，点O为等边的内心， 如图3，作，连接，， 则，，， ∴，，， ∴， ∴如图3，点D在以O为圆心，为半径的圆上， 如图4，在上确定一个点F，连接，，使得，连接，， ∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 如图5，连接，将绕F点顺时针旋转，并将缩短，得到， 即，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴点N在以为圆心，为半径的圆上， ∵，， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴，． ∵点E是直线上的动点，将绕点E顺时针旋转至， ∴点K也在直线上运动， 如图6，设点E运动到中点处为，点E运动到B点处为，作出，的对应点，，连接，则点K在直线上运动， 设直线与延长线交于点S，作于点K，当，N，K三点共线，且点N位于之间时，取最小值． ∵，，， ∵为中点，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴， 过点K作于点P，设交于点L， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴如图7，在中， 作于点Z， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了等边及等腰三角形的性质与判定，相似三角形及全等三角形的性质与判定，隐圆，瓜豆线等动点问题，综合难度大． 学科网（北京）股份有限公司 $