2026年重庆市中考数学自编模拟卷4

2026届重庆市中考数学模拟预测卷4 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成： 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．实数的相反数是（    ） A．5 B． C． D． 2．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．下列调查中，最适宜采用抽样调查的是（   ） A．了解全市中学生每周课外阅读的时间 B．为实现首次月球背面土壤采集，对嫦娥六号重要零部件进行检查 C．检查乘坐动车的旅客是否携带违禁物品 D．购买班服前统计全班同学衣服尺寸 4．我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知直线，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 7．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 8．下列图形是由同样大小的棋子按一定规律组成的，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑧个图形中棋子的颗数为（    ） A．141 B．106 C．169 D．150 9．如图，在正方形中，点是中点，、交于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．已知整式，其中为非负整数，均为正整数，若，下列说法： ①满足条件的整式中只有个单项式； ②当，且时，满足条件的整式共有个； ③当，且时，所有满足条件的整式的和为． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．劳动节期间，小红和小丽两人计划外出旅游，并从重庆、成都、武汉、长沙这四个城市中随机选择一 12．已知为整数，且，则的值为__________． 13．医保局第十批药品集采政策出台后，某种药品原价100元／盒，经过连续两轮降价后，现在仅卖49元／盒．若两轮降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率为________． 14．若实数同时满足，则的值为_____． 15．如图是以为直径的，点C是圆上一点，将圆形纸片沿着折叠，与交于点D，连结并延长与圆交于点E，若，则的值等于_______． 16．如果一个四位正整数各数位数字均不为0，满足，且，，则称这样的四位数M为“拆解数”．记，如，因为，所以3265是“拆解数”，．若“拆解数”M的千位数字为8，个位数字为1，则“拆解数”M的最大值为________．若(x、y、m、n为整数，且，，，) 是“拆解数”，且为整数，则满足条件的P的最小值为________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．解不等式组：．并写出它所有的非负整数解． 18．综合实践小组对平行四边形进行了以下探究：在平行四边形对角线所在的直线上取两点E、F，使．这样所得的四边形是平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空： (1)如图，用直尺和圆规，在的右侧作，交直线于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：四边形是平行四边形，与交于点，点、是直线上两点，连接、、、，． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，①______． ∴， ∴， ∴②______． 在和中： ∴， ∴③______，， ∴④______． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．某教育平台推出A、B两款人工智能学习辅导软件，相关人员开展了A、B两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分测验，并从中各抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为以下四个等级：不满意：，比较满意：，满意：，非常满意：），下面给出了部分信息． 抽取的对A款人工智能学习辅导软件的所有评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 抽取的对B款人工智能学习辅导软件的评分数据中“满意”的数据：86，89，86，88，87，88，90，88． 抽取的对A、B两款人工智能学习辅导软件的评分统计表 软件 平均数 中位数 众数 方差 A 86 b 96.6 B 86 a 88 抽取的对B款人工智能学习辅导软件评分的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)根据以上数据，你认为哪款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)本次调查中，若有800名用户对A款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名用户对B款人工智能学习辅导软件进行了评分，估计其中对A、B两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户总人数． 20．先化简，再求值：，其中 21．中秋吃月饼是中国传统的习俗，圆圆的月饼不仅承载着文化寓意，更藏着丰富的数学知识．某班举办将数学元素和传统文化结合的“月饼里的数学秘密”主题活动，其中购买25袋“云腿馅”与20袋“豆沙馅”一共花费420元，已知每袋“云腿馅”比每袋“豆沙馅”贵6元． (1)求一袋“云腿馅”和“豆沙馅”的价格分别是多少元？ (2)将数学文化与传统文化结合，提升了学生的跨学科素养，刘老师决定在她的班上也举行这个活动，但是单价发生了变化，每袋“云腿馅”增加的价格是每袋“豆沙馅”增加的价格的2倍，用108元买到的“云腿馅”的数量比用相同价格买到的“豆沙馅”的数量少6袋，此时一袋“云腿馅”和“豆沙馅”的价格分别是多少元？ 22．如图，在矩形中，，点E是边的中点．动点M以每秒1个单位的速度从A出发，按的顺序在边上运动．设运动时间为x秒（），的面积为，的面积与动点M的路程之比为． (1)请直接写出，关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围 ．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 23．如图为某公园平面图，小明沿路线跑步运动，小刚沿路线跑步运动，已知点G位于点A正东方向，点B位于点A正北方向，点C位于点B东北方向，，点D位于点G北偏西方向，点E位于点D北偏西方向，且，已知 米， 米， 米，（参考数据 (1)求的距离．（结果保留到个位） (2)若小明和小刚同时出发，小明刚开始以速度4米/秒匀速跑步，当跑步到点C时由于体力下降，此时小明速度降为2米/秒继续匀速跑到点E，小刚以速度3米/秒匀速跑步至点E，请通过计算说明他们谁先到达点E． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点、点，且过点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作，垂足为．点、是轴上的两个动点（点在点的上方），且，连接，．当线段的长度取得最大值时，求的最大值； (3)如图2，直线上有一点，且点的横坐标为2，连接，．将抛物线关于轴对称得到新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，当时，写出所有符合条件的点的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 25．在△ABC中，，，边绕点B逆时针旋转得到，连接，． (1)如图1，已知，与相交于点M．若，求△CDM的面积； (2)如图2，已知，点E在直线上，连接，过点A作AH⊥DE于点H，交于点G，连接，满足，点F在的延长线上，，点K在边上，连接．若且，探究与的数量关系； (3)如图3，已知，，交于于点E，点R在的延长线上，将沿翻折到，直线交于点T．当的面积最大时，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届重庆市中考数学模拟预测卷4 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成： 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．实数的相反数是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数的判断，根据相反数的定义解答即可． 【详解】的相反数是5． 故选：A． 2．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了轴对称图形．根据轴对称图形得定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B 3．下列调查中，最适宜采用抽样调查的是（   ） A．了解全市中学生每周课外阅读的时间 B．为实现首次月球背面土壤采集，对嫦娥六号重要零部件进行检查 C．检查乘坐动车的旅客是否携带违禁物品 D．购买班服前统计全班同学衣服尺寸 【答案】A 【分析】本题是对抽样调查和全面调查的考查．熟练掌握抽样调查和全面调查的意义是解决本题的关键. 根据全面调查和抽样调查的特点即可作出判断． 【详解】A. 了解全市中学生每周课外阅读的时间，最适宜采用抽样调查； B. 为实现首次月球背面土壤采集，对嫦娥六号重要零部件进行检查，最适宜采用全面调查； C. 检查乘坐动车的旅客是否携带违禁物品，最适宜采用全面调查； D. 购买班服前统计全班同学衣服尺寸，最适宜采用全面调查． 故选：A． 4．我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：用科学记数法将数据1290000000表示为， 故选：C． 5．如图，已知直线，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线定义，由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，再由即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质：对于，当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限，由此可解． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 解得， 故选：A． 7．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接，由是的直径得到，根据圆周角定理得到，得到，再由圆内接四边形对角互补得到答案. 【详解】解：如图，连接，    ∵是的直径， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：B 8．下列图形是由同样大小的棋子按一定规律组成的，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑧个图形中棋子的颗数为（    ） A．141 B．106 C．169 D．150 【答案】A 【分析】本题的图从②个图开始可以看作是由图①的一个棋子为中心依次向外以五边形的形式向外扩张，棋子依次是的整数倍关系．所以第⑥个图形中棋子的颗数也就容易计算了． 【详解】解： ∵第①个图形中棋子的个数为： ＝1＋5×0； 第②个图形中棋子的个数为： ； 第③个图形中棋子的个数为：； … ∴第个图形中棋子的个数为：； 则第⑧个图形中棋子的颗数为： 故应选A． 【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，根据图形中棋子数目的变化找出变化规律是解题的关键． 9．如图，在正方形中，点是中点，、交于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：过点作交的延长线于点，过作于点，易证可得，设正方形的边长为，则，易证四边形为正方形可得进而得到，再证明，根据相似三角形的性质列比例式可得，最后代入求值即可． 【详解】解：如图：过点作交的延长线于点，过作于点， ，   ， ， ， 由题意可知： ， ， ， ， ， 设正方形的边长为，则， ， 点是的中点 ， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， ， ，   ， ． 故选：B． 10．已知整式，其中为非负整数，均为正整数，若，下列说法： ①满足条件的整式中只有个单项式； ②当，且时，满足条件的整式共有个； ③当，且时，所有满足条件的整式的和为． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的规律类探索，理解题意后准确找出变化规律，并运用分类讨论的思想是解题的关键． 根据每个说法所给的条件，利用规律逐项讨论并判断即可解答． 【详解】对于①， 均为正整数，整式要为单项式， ，则， 可以取1，2，3，4共4个，故①正确； 对于②，当，且， 又，即， 时，，共3个； 时，，共2个； 综上，时，且时，满足条件的整式共有5个，故②正确； 对于③，，且时， 当时，，，， 此时，当时，或；当时，； 当时，则，，即， ∵均为正整数， ∴当时，不符合题意； 综上，整式可以为或或， 所有满足条件的整式的和为，故③正确． 故选：A． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．劳动节期间，小红和小丽两人计划外出旅游，并从重庆、成都、武汉、长沙这四个城市中随机选择一个游玩，则她们恰好选择同一个城市的概率为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好游玩同一城市的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：设重庆、成都、武汉、长沙分别为1，2，3，4 画树状图如下： 由图可知，共有16种等可能的情况，他们选择同一个城市的情况有4种， 故他们选择同一个城市的概率是． 故答案为：． 12．已知为整数，且，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算．先根据 得，结合，且为整数，即可得出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且为整数， ∴， 故答案为：9 13．医保局第十批药品集采政策出台后，某种药品原价100元／盒，经过连续两轮降价后，现在仅卖49元／盒．若两轮降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是找出题目中的等量关系． 设该种药品平均每场降价的百分率为，根据原价为元可以表示出两次降价后的价格， 结合现在仅卖元/瓶，列出关于的方程，通过解方程即可得到降价的百分率． 【详解】解：该种药品平均每场降价的百分率为， 根据题意得， 解得或， 由于是平均每次降价的百分率， ∴ ， 故舍去， 即． 故答案为． 14．若实数同时满足，则的值为_____． 【答案】16 【分析】本题考查了绝对值的性质，解二元一次方程组，根据绝对值的性质分类讨论是解题的关键． 根据绝对值的性质，分情况讨论x和y的正负情况，代入方程求解，得到x和y的值，再计算x的y次方即可． 【详解】解：由和，分情况讨论： 当且时，方程化为和，矛盾，无解； 当且时，方程化为和，解得，，但，不成立，无解； 当且时，方程化为和，解得，，符合条件； 当且时，方程化为和，相加得，矛盾，无解． ∴当，时，． 故答案为：16． 15．如图是以为直径的，点C是圆上一点，将圆形纸片沿着折叠，与交于点D，连结并延长与圆交于点E，若，则的值等于_______． 【答案】 【分析】本题考查折叠圆问题，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，根据折叠得到等圆，结合所对的弧不同得到即，再结合和圆周角定理得到，即可得到，，，代入得到，解得，最后计算即可． 【详解】解：连接，，设半径为， ∵， ∴设，， ∵将圆形纸片沿着折叠， ∴， ∴， ∴， ∵为直径的， ∴， ∴， 解得， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 整理解得（负值已舍去）， ∴， 故答案为：． 16．如果一个四位正整数各数位数字均不为0，满足，且，，则称这样的四位数M为“拆解数”．记，如，因为，所以3265是“拆解数”，．若“拆解数”M的千位数字为8，个位数字为1，则“拆解数”M的最大值为________．若(x、y、m、n为整数，且，，，) 是“拆解数”，且为整数，则满足条件的P的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算，解一元二次方程，分类讨论，根据题意可得，，，利用上述关系进行解答即可，熟读题意，找到题中的数量关系，熟练利用分类讨论的思想解题是关键． 【详解】解：∵若“拆解数”M的千位数字为8，个位数字为1， ， ， ，， 即，， ∵， ∴，即， 要使“拆解数”M最大，则取， ， “拆解数”M的最大值为； ∵， ∴千位数字,百位数字,十位数字,个位数字， 要求P的最小值，， 可假设取最小值为，即， ∴，， ∴， ， ， ， ∴， ， ， 为整数 为的倍数， 要求P的最小值，， 尽可能小， ①当时，为的倍数，， ， 只能等于3，， ∵为拆解数， ∴， 可得， 可得， ， 该方程无实数根， 不成立； ②当时，为的倍数， ， 只能取， 此时，， ∵为拆解数， ∴， 可得， 可得， ， 解得， 则或， 综上所述，当时，可取最小值为， 故答案为：；． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．解不等式组：．并写出它所有的非负整数解． 【答案】该不等式组的解集为，所有非负整数解是0，1． 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，正确得出两个不等式的解集是解题关键． 先分别得出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分即可得不等式组的解集，进而可得不等式组的非负整数解． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴该不等式组的解集为， ∴该不等式组的所有非负整数解是0，1． 18．综合实践小组对平行四边形进行了以下探究：在平行四边形对角线所在的直线上取两点E、F，使．这样所得的四边形是平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空： (1)如图，用直尺和圆规，在的右侧作，交直线于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：四边形是平行四边形，与交于点，点、是直线上两点，连接、、、，． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，①______． ∴， ∴， ∴②______． 在和中： ∴， ∴③______，， ∴④______． ∴四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)①，②，③，④ 【分析】本题考查平行四边形的判定及尺规作图，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键， （1）利用尺规作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）证明，即可证得四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：如图，即为所求作角， （2）证明：∵四边形是平行四边形 ∴，． ∴， ∴， ∴． 在和中：， ∴， ∴，， ∴． ∴四边形是平行四边形． 故答案为：①，②，③，④． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．某教育平台推出A、B两款人工智能学习辅导软件，相关人员开展了A、B两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分测验，并从中各抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为以下四个等级：不满意：，比较满意：，满意：，非常满意：），下面给出了部分信息． 抽取的对A款人工智能学习辅导软件的所有评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 抽取的对B款人工智能学习辅导软件的评分数据中“满意”的数据：86，89，86，88，87，88，90，88． 抽取的对A、B两款人工智能学习辅导软件的评分统计表 软件 平均数 中位数 众数 方差 A 86 b 96.6 B 86 a 88 抽取的对B款人工智能学习辅导软件评分的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)根据以上数据，你认为哪款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)本次调查中，若有800名用户对A款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名用户对B款人工智能学习辅导软件进行了评分，估计其中对A、B两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户总人数． 【答案】(1)，85，20 (2)B款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎，理由见解析 (3)估计其中对A、B两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户总人数为440人 【分析】（1）根据众数的定义可得的值，根据中位数的定义可得的值，用1分别减去其他三个等级所占百分比可得的值； （2）通过比较，款的评分统计表的数据解答即可； （3）由、两款的非常满意的人数之和即可得出答案． 本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：在款的评分数据中，85出现的次数最多，共4次， 众数； 款的评分不满意有（个，比较满意有（个，“满意”的数据为86， 86，87，88， 88，88，89，90， 把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是86、87， 中位数， 抽取的对B款人工智能学习辅导软件的评分数据中“满意”的人数为8人，占比为：, 由题意得：，即， 故答案为：，85，20； （2）我认为B款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎， 理由如下：因为B款人工智能学习辅导软件使用满意度评分的中位数为高于A款人工智能学习辅导软件使用满意度评分的中位数所以B款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎（答案不唯一）． （3）解：（人， 答：估计其中对A、B两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户总人数为440人． 20．先化简，再求值：，其中 【答案】； 【分析】本题考查了分式和整式的混合运算，涉及负整数指数幂和零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行整式的混合运算，再进行分式的混合运算，然后计算出，再代入求值即可． 【详解】解： ， 而， ∴原式． 21．中秋吃月饼是中国传统的习俗，圆圆的月饼不仅承载着文化寓意，更藏着丰富的数学知识．某班举办将数学元素和传统文化结合的“月饼里的数学秘密”主题活动，其中购买25袋“云腿馅”与20袋“豆沙馅”一共花费420元，已知每袋“云腿馅”比每袋“豆沙馅”贵6元． (1)求一袋“云腿馅”和“豆沙馅”的价格分别是多少元？ (2)将数学文化与传统文化结合，提升了学生的跨学科素养，刘老师决定在她的班上也举行这个活动，但是单价发生了变化，每袋“云腿馅”增加的价格是每袋“豆沙馅”增加的价格的2倍，用108元买到的“云腿馅”的数量比用相同价格买到的“豆沙馅”的数量少6袋，此时一袋“云腿馅”和“豆沙馅”的价格分别是多少元？ 【答案】(1)一袋“豆沙馅”6元，一袋“云腿馅”12元 (2)一袋“豆沙馅”9元，一袋“云腿馅”18元 【分析】本题考查列一元一次方程和分式方程解应用题： （1）设一袋“豆沙馅”的价格是元，一袋“云腿馅”的价格是元，根据题中等量关系列出方程并求解即可； （2）设每袋“豆沙馅”增加元，每袋“云腿馅”增加元，根据题中等量关系列出分式方程求解并检验即可． 【详解】（1）解：设一袋“豆沙馅”的价格是元，则一袋“云腿馅”的价格是元． 根据题意，得， 解方程，得， 则有， 答：一袋“豆沙馅”的价格是6元，则一袋“云腿馅”的价格是12元． （2）解：设每袋“豆沙馅”增加元，则每袋“云腿馅”增加元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是方程的解． 则有， 答：此时，一袋“豆沙馅”的价格是9元，则一袋“云腿馅”的价格是18元． 22．如图，在矩形中，，点E是边的中点．动点M以每秒1个单位的速度从A出发，按的顺序在边上运动．设运动时间为x秒（），的面积为，的面积与动点M的路程之比为． (1)请直接写出，关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围 ．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1)； (2)图象见解析；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（答案不唯一） (3)或（误差不超过0.2即可） 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数的解析式，求反比例函数的解析式，画动点问题的函数图象，能运用数形结合的思想求得时x的取值范围是解题的关键． （1）根据题意列函数关系式即可； （2）画出函数图象，结合函数图象写出函数的一条性质即可； （3）结合函数图象，写出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ， 点E是边的中点． ， 当点在上时，此时， 可得，则， ； 当点在上时，此时， 可得， ， 综上，； 的面积为， ； （2）解：函数图象如图所示， 函数的性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：列方程， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 时，； 列方程， 解得（舍去）， 经检验，是原方程的解， ， 时，； 故答案为：或（误差不超过0.2即可）． 23．如图为某公园平面图，小明沿路线跑步运动，小刚沿路线跑步运动，已知点G位于点A正东方向，点B位于点A正北方向，点C位于点B东北方向，，点D位于点G北偏西方向，点E位于点D北偏西方向，且，已知 米， 米， 米，（参考数据 (1)求的距离．（结果保留到个位） (2)若小明和小刚同时出发，小明刚开始以速度4米/秒匀速跑步，当跑步到点C时由于体力下降，此时小明速度降为2米/秒继续匀速跑到点E，小刚以速度3米/秒匀速跑步至点E，请通过计算说明他们谁先到达点E． 【答案】(1)的距离为840米 (2)小明先到达点E 【分析】（1）过点C作交于点F，交于点H，交于点I，交于点J，于点K，证明四边形为矩形，四边形为正方形，为等腰直角三角形，设，根据相关性质以及勾股定理求出，，，的长根据，求出x的值，进而得出结果； （2）利用他们没人所走的距离除以速度得出时间进行比较即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作交于点F，交于点H，交于点I，交于点J，于点K， 则四边形为矩形， 设， 点D位于点G北偏西方向，点E位于点D北偏西方向且， ， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， ， ， 米， 米， 点C位于点B东北方向， ， 米， 米， ， 解得：， ， ， 米； （2）由（1）可知米， 小明走到E点所用时间为秒， 小刚走到E点所用时间为秒， ， 小明先到达点E． 【点睛】本题考查了方位角，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的计算，等腰三角形的判定与性质，有理数混合运算的应用，准确作出辅助线，求出相关边长是解题关键． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点、点，且过点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作，垂足为．点、是轴上的两个动点（点在点的上方），且，连接，．当线段的长度取得最大值时，求的最大值； (3)如图2，直线上有一点，且点的横坐标为2，连接，．将抛物线关于轴对称得到新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，当时，写出所有符合条件的点的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 【答案】(1) (2) (3)和，过程见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线表达式即可； （2）先求得点A、C的坐标，进而求得及直线的表达式为，过P作轴交直线于H，则可得，当的长度最大时，的长度最大；设，则，利用二次函数的性质求得最大时点P的坐标，将线段向下平移一个单位，得到，连接，此时，由由三角形的三边关系可得，由两点坐标距离公式求得即可； （3）先求得,进而利用勾股定理及其逆定理得到，设，，则，，利用正切定义得到，，推导出，进而求得；利用关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数得到新抛物线的表达式为，设，分当Q在x轴上方时和当Q在x轴下方时两种情况，分别利用正切定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：将、代入中， 得，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，由得，， ∴，， 当时，，则，， ∴； 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 如图1，过P作轴交直线于H，则， ∵， ∴，当的长度最大时，的长度最大； 设，则， ∴， ∵，， ∴当时，最大，即的长度最大，此时； ∵， ∴将线段向下平移一个单位，得到，连接，此时， ∴，当G在的延长线上时取等号， ∵, ∴的最大值为； （3）解：∵直线上有一点，且点的横坐标为2， ∴当时，，则, ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 设，，则，， ∴，， 下面推导与、的关系， 如图，已知矩形中，，，， 设，，，， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故， 将抛物线关于轴对称得到新抛物线， 则新抛物线的表达式为， 设， 当Q在x轴上方时，， 整理，得， 解得，（舍去），此时； 当Q在x轴下方时，， 整理，得， 解得，（舍去），此时， 综上，满足条件的Q坐标为和． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平移性质、解直角三角形、最值问题等知识，理解题意，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 25．在中，，，边绕点B逆时针旋转得到，连接，． (1)如图1，已知，与相交于点M．若，求的面积； (2)如图2，已知，点E在直线上，连接，过点A作AH⊥DE于点H，交于点G，连接，满足，点F在的延长线上，，点K在边上，连接．若且，探究与的数量关系； (3)如图3，已知，，交于于点E，点R在的延长线上，将沿翻折到，直线交于点T．当的面积最大时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别过点A、C作，，由题意可得是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得，求出，，，从而可得，，，由旋转的性质可得，从而得出，证明，求出，再由三角形面积公式计算即可得解； （2）证明点、、、四点共圆，圆周角定理可得，由平行线的性质可得，，由等角对等边得出，作于，则，，，作交于，证明四边形为菱形，得出，，作于，于， 则，，设，则，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，证明，设，则，由相似三角形的性质可得，证明，求出，从而得出，再证明，求出，再由勾股定理计算即可得解； （3）设，则，求出，得出，即、在的平行线上，即可得出，当时，的面积最大，此时的面积也最大，为等腰直角三角形，解直角三角形得出，，作于，于，令交于，则，，，，，证明，求出，证明，求出，即可得出，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：分别过点A、C作，，如图所示： ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 由旋转的性质可得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积； （2）解：∵，， ∴， ∴点、、、四点共圆， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 作于，如图所示， 则，， ∴， ∴； 作交于，如下图所示， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， 作于，于，如上图所示， 则，， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴； ∴， ∴，即、在的平行线上， ∴， ∵， ∴如图所示，当时，的面积最大，此时的面积也最大，为等腰直角三角形， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 作于，于，令交于， 则，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、旋转的性质、圆周角定理、折叠的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $