广东省五校(东莞中学、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学等)2024-2025学年高一下学期5月联考数学试题

东莞中学、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学 2027届高一下学期五校联考试题 数学 2025.5 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 12 3. 已知，为空间中不重合的直线，，，为空间中三个不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 4. 在平面直角坐标系中，角，的顶点与原点重合，它们的始边与轴的非负半轴重合，它们的终边关于轴对称.若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则此正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，某同学为了测量某塔高度，在塔对面笔直的临江大道上的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，（即点，，为水平地面上共线的三点），且米，则该塔的高度（ ）米 A. B. C. D. 7. 在中，，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆锥的底面直径为2，高为4，过线段上的一点作平行于底面的截面，以截面为底面挖出一个圆柱，则该圆柱表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则是钝角三角形 D. 若，，，则有且仅有一个解 10. 已知复数的虚部大于0，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 11. 在正方体中，，为中点，以为球心的球的半径为，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，球的球面与该正方体的面没有公共点 B. 当时，球的球面与该正方体的棱有12个公共点 C. 当时，球的球面与该正方体的棱共有24个公共点 D. 当时，该正方体的表面被球截得的所有弧长之和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，则实数________. 13. 已知锐角，满足，则式子的取值范围为________. 14. 清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的全等正四面体组合而成（每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点）.如图，若正四面体棱长为2，则该组合体的表面积为__________；该组合体的外接球体积与两正交四面体公共部分的内切球体积的比值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 已知向量，，且满足. （1）求的值； （2）若，求的值. 16. 如图，直三棱柱的体积为4，是的中点. （1）求证：平面； （2）若的面积为，求点到平面的距离. 17. 记的内角，，的对边分别为，，，，. （1）求的面积； （2）若，求的值. 18. 在长方体中，，，，，，，分别为，，，的中点. （1）求证：平面； （2）点在矩形内（不含边界）运动，若平面，求运动轨迹的长度； （3）点在矩形内（不含边界）运动，若直线平面，求的最小值. 19. 设次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由可得切比雪夫多项式.；由可得切比雪夫多项式. （1）求切比雪夫多项式； （2）请利用求的值. （3）若在内有三个不同的零点，，，求的值. 东莞中学、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学 2027届高一下学期五校联考试题 数学 2025.5 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 27 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）； （2）. 【16题答案】 【答案】（1） 连接，交于点，连接， 因为，分别是，的中点，所以是的中位线， 所以，因为平面，平面， 所以平面. （2）. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $