2025--2026学年北师大版七年级数学下册期中复习 课件

这是一份初中数学北师大版七年级下册期中复习课件，涵盖整式的乘除、相交线与平行线、概率初步三大模块，通过知识结构梳理、要点提炼、重点例题巩固及综合能力提升题，构建系统复习支架。 资料以新课标核心素养为导向，通过幂的运算公式推导培养抽象能力，相交线与平行线判定性质强化几何直观与推理意识，概率事件分类及频率稳定性渗透数据观念，典型例题如整式乘法公式应用、平行线性质证明，帮助学生夯实基础，提升数学思维与应用能力，为教师提供结构化复习资源。 七年级学生处于小学到初中过渡阶段，抽象思维和逻辑推理能力正在发展，需通过系统梳理知识网络、强化基础运算与几何推理训练，逐步培养数学眼光与思维，为后续学习奠定基础。

—— 期中 —— 期中复习 数学北师大版七年级下册 整式的乘除 乘法公式 完全平方公式 平方差公式 单项式乘单项式 整式乘法 单项式乘多项式 多项式乘多项式 单项式除以单项式 整式除法 多项式除以单项式 同底数幂乘法 同底数幂除法 幂的乘方 幂的乘除 积的乘方 负整数指数幂 零指数幂 相交线与平行线 两线四角 相交线 对顶角 两线垂直 补角、余角 定义、表示 性质 平行线 平行线的性质 平行线公理及其推论 平行线的判定 互逆 三线八角 同位角、内错角、同旁内角 尺规作图 概率初步 频率的稳定性 频率与概率的区别与联系 频率及频率稳定性的概念 用频率估计事件的概率 必然事件 事件分类 随机事件 不可能事件 等可能事件的概率 等可能事件 概率公式 游戏规则的公平性 几何概率 同底数幂乘法 am · an =am+n (m，n都是正整数). 法则 公式推广 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. am · an · ap=am+n+p (m，n，p都是正整数). 逆用公式：am+n=am · an (m，n都是正整数). 对于三个及以上的同底数幂乘法仍适用. 要点：①底数必须相同； ②a可以是单项式，也可以是多项式； ③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加； ④指数为1时，计算时不要遗漏. 知识要点提炼 法则：(am) n =amn (m，n都是正整数). 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 幂的乘方 积的乘方 推广：[(am) n]p =amnp (m，n都是正整数). 幂的乘方与积的乘方 逆用公式：amn=(am) n=(an) m (m，n都是正整数). 法则：(ab) n =an· bn(n是正整数). 积的乘方，等于各因数乘方的积. 推广：(abc) n =an· bn· cn(n是正整数). 逆用公式：an· bn=(ab) n (n是正整数). 逆用公式适当的变形可简化运算过程. 知识要点提炼 同底数幂相除，底数不变，指数相减. am÷ an =am-n (a≠0，m，n都是正整数，m>n). 法则 要点 同底数幂的除法 ①底数 a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是 0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式. 逆用公式：am-n= am÷ an (a≠0，m，n都是正整数，m>n). 知识要点提炼 法则：a0=1(a≠0)，即任何不等于0的数的0次幂都等于1. 零指数幂 负整数指数幂 零指数幂与负整数指数幂 注意：底数a不能为0，00无意义. 注意：①a≠0； ②当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数. 由 am÷am=am-m=a0，可推出 a0=1(a≠0). 当m，n是正整数，a≠0时 知识要点提炼 形式： 确定指数中n的方法: 科学记数法——表示绝对值较小的数 用科学记数法表示绝对值较小的数一般形式为|a|×10n，其中1≤ |a|＜10，n是负整数. ①数小数点移动的位数，小数点移动几位，n就是负几； ②从小数点前的第一个0算起至小数点后第一个非0数字前，有几个0，用科学记数法表示这个数时， n就是负几. 知识要点提炼 运算法则： 注意: 单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. ①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算； ③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因数； ④此法则对于多个单项式相乘仍然成立. 知识要点提炼 运算法则： 注意: 单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即m(a+b+c)=ma+mb+mc (a，b，c，m都是单项式) ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式； ②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘； ③注意确定积的符号； ④积的项数与因式中多项式的项数相同. 知识要点提炼 运算法则： 注意: 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn (a，b，m，n都是单项式) ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； ②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的 项数应等于原多项式的项数之积. 知识要点提炼 单项式除以单项式 多项式除以单项式 整式的除法 法则：单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式. 注意：单项式除以单项式分为三个步骤:①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式. 法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式，多项式除以单项式的结果仍是一个多项式. 知识要点提炼 平方差公式 完全平方公式 整式乘法公式 公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 公式特点：有一项完全相同，另一项只有符号不同. 公式：(a+b)2=a2 +2ab+b2 ；(a-b)2=a2 -2ab+b2 逆用：a2 +2ab+b2 =(a+b)2；a2 -2ab+b2 =(a-b)2； (a+b)2=(a-b)2+4ab 知识要点提炼 两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种： (1)相交；(2)平行(表示符号“//”). 位置关系 判断 判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合(因为两点确定一条直线). 知识要点提炼 余角、补角、对顶角 对顶角：我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角. 概念 性质 互为补角：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角. ①对顶角相等； ②同角或等角的余角相等； ③同角或等角的补角相等. 互为余角：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角. 知识要点提炼 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线. 概念 性质 两条直线互相垂直 ①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 表示：用符号“⟂”表示. ②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 知识要点提炼 同位角：在两条被截线同一方，在截线同侧，形如字母“F”. 概念 要点 同位角、内错角、同旁内角 (1)这三类角都是没有公共顶点的，且都是成对出现的； (2)两条直线被一条直线所截，形成的8个角中，有4对同位角，2对内错角，2 对同旁内角. 内错角：在两条被截线之间，在截线两侧，形如字母“Z”. 同旁内角：在两条被截线之间，在截线同侧，形如字母“U”. 知识要点提炼 判定方法 特别强调 平行线的判定 (1)同位角相等，两直线平行； (2)内错角相等，两直线平行； (3)同旁内角互补，两直线平行. 补充平行线的判定方法： (1)平行于同一条直线的两直线平行； (2)平行线的定义； (3)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行. 平行公理——平行线的存在性与惟一性：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 知识要点提炼 性质 注意 平行线的性质 (1)两直线平行，同位角相等； (2)两直线平行，内错角相等； (3)两直线平行，同旁内角互补. (4)两条平行线之间的距离处处相等 ①只有在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论. ②从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质. 常用来证明三角形面积相等. 知识要点提炼 事件 必然事件：在一定条件下进行可重复试验时，有些事件一定会发生，这样的事件称为必然事件. 概念 表示方法 不可能事件：在一定条件下进行可重复试验时，有些事件一定不会发生，这样的事件称为不可能事件. ①用语言叙述可能性的大小；②用图例表示；③用概率表示. 随机事件：在一定条件下进行可重复试验时，有些事件可能发生也可能不发生，这样的事件称为随机事件. 发生的可能是100%(或者1) 发生的可能是 0 发生的可能性在0和1之间 知识要点提炼 概念 要点 频率 频率的稳定性：在大量重复试验的情况下，事件的频率会呈现稳定性，即频率会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性. 知识要点提炼 概率：把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记为P(A). 概念 要点 概率 ①概率取值范固：0≤p≤1； ②必然发生的事件的概率P(A)=1；不可能发生事件的概率P(A)=0；不确定发生事件的概率P(A)为0与1之间的一个常数. 试验次数越多，频率越趋向于概率. 知识要点提炼 区别 要点 用频率估计概率 在大量重复试验中，我们常用不确定事件发生的频率来估计事件发生的概率，说明概率是个定值，而频率随不同试验次数而有所不同，是概率的近似值，二者不能简单地等同. 试验次数越多，频率越趋近于概率. 因此，可以通过观察大量试验中的频率来估计某一事件的概率. 知识要点提炼 等可能事件：设一个试验的所有可能的结果有n种，每次试验有且只有其中的一种结果出现，如果每种结果出现的可能性相同，那么我们就称这个试验的结果是等可能的. 概念 公式 等可能事件的概率 游戏是否公平：是指双方获胜的可能性相同，即获胜概率相同. 知识要点提炼 下列运算正确的是( ) A.(a2b)2=a4b2 B.a2·a4=a8 C.a6÷a3=a2 D.a2+a3=a5 解:(a2b)2=a4b2，正确，故A合题意. a2·a4=a6 ，错误，B不合题意. a6÷a3=a3，错误，C不合题意 a2与a3，不是同类项，无法计算，错误，D不合题意. 故选:A. A 重点知识巩固 已知an=2，am=3，则a2m+n= ；am-n= . 18 对于a2m+n，先根据幂的乘方将a2m变形为(am)2，再根据同底数幂的乘法法则计算；对于am-n，根据同底数幂的除法法则计算. 重点知识巩固 B 重点知识巩固 若一边长为3ab，它的另一边长为(2ab2-3a)，这个长方形的面积为 . 解：根据题意可得这个长方形的面积为： 3ab · (2ab2-3a)=6a2b3-9a2b. 故答案为：6a2b3-9a2b· 6a2b3-9a2b 重点知识巩固 解：(2x-4)(x+m) =2x2+2mx-4x-4m =2x2+(2m-4)x-4m 因为展开式中不含x项，所以2m-4=0，解得m=2. 故选：C. C 重点知识巩固 (-m-n)(-m+n)的化简结果是( ) A. m2+n2 B.m2-n2 C.n2-m2 D.-m2-n2 解：(-m-n)(-m+n)=(-m)2-n2=m2-n2 故选：B. B 重点知识巩固 若(x-p)2=x2-4x+q2，则pq = . 重点知识巩固 重点知识巩固 如图，直线AB，CD相交于点O，AOE=COF=90°，图中AOD的补角有( ) A.4个 B.2个 C.3个 D.1个 解：因为AOE=COF=90°，即AOC+COE=COE+EOF=90° 所以AOC=EOF 因为AOC=BOD 所以AOC=BOD=EOF C 又因为AOD+AOC=180° 所以AOD+AOC= AOD+BOD= AOD+EOF=180° 即图中AOD的补角有3个 故选：C 重点知识巩固 如图，在三角形ABC中，ACB=90°，CD⟂ AB，垂足为D.若AC=4cm，BC=3cm，AB=5cm，则点A到直线BC的距离为 cm，点B到直线AC的距离 为 cm，点C到直线AB的距离为 cm. 4 3 2.4 重点知识巩固 如图，有下列说法：①2与4是同位角；②3与4是同旁内角；③5与6是同旁内角；④1与4是内错角，其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解:①2与4是同位角，正确，故符合题意； ②3与4是同旁内角，正确，故②符合题意； ③5与6是邻补角，不是同旁内角，故③不符合题意； ④1与4是内错角，正确，故④符合题意.其中正确的有3个. 故选：C. C 重点知识巩固 如图，E是AB延长线上一点，下列条件中能判定AB//CD的有( ) A.DAC=BCA B.CBE+BCA+DCA=180° C.DAB=CBE D.BAD=BCD且DAC=BCA 解：A.因为DAC=BCA ，所以AD//BC，原选项不符合题意； B.由CBE+BCA+DCA=180°不能判定AB//CD，原选项不符合题意; C.因为DAB=CBE，所以AD//BC，原选项不符合题意； D.因为BAD=BCD，DAC=BCA 所以BAD-DAC=BCD-BCA，即BAC=DCA， 所以AB//CD，原选项符合题意. 故选：D. D 重点知识巩固 如图，直线m//n，直线m和直线n分别经过三角板的一个锐角顶点和直角顶点，已知1=55°，则2的度数为( ) A.35° B.45° C.55° D.125° 解：如图， 因为直线m//n， 所以3=1=55°, 因为3+2=90°, 所以2=35° 故选：A. A 重点知识巩固 下列事件中，属于随机事件的是( ) A.三角形的内角和是180° B.负数大于正数 C.抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是6 D.明天太阳从西方升起 解：A.三角形的内角和是180°，是必然事件，不符合题意; B.负数大于正数，是不可能事件，不符合题意; C.抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是6，是随机事件，符合题意; D.明天太阳从西方升起，是不可能事件，不符合题意，故选:C. C 重点知识巩固 大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果. D 重点知识巩固 小明用一枚质地均匀的骰子设计了一个游戏：任意掷出骰子，当掷出的是偶数点时，黑方前进一步；当掷出的是奇数点时，红方前进一步.这个游戏 (填“公平”或“不公平”). 公平 重点知识巩固 袋中有100个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个白球的频率稳定在0.4，则估计袋中白球的个数为 个. 解：通过多次摸球试验后发现从中摸出一个白球的频率稳定在0.4，口袋中有100个除颜色外完全相同的小球，所以袋中白球的个数为0.4×100=40(个) 故答案为：40. 40 重点知识巩固 如图，转盘上共有红、黄、蓝三种颜色，已知红色区域的圆心角为60°，黄色区域的圆心角为100°，自由转动转盘，指针落在蓝色区域的概率是 . 重点知识巩固 (1)运用平方差公式计算：51×49; (2)已知a-b=1，a2+b2=17，求ab的值. 解：(1)51×49 =(50+1)×(50-1) =502-12 =2500-1 =2499; (2)因为(a-b)2=a2-2ab+b2 所以2ab=a2+b2-(a-b)2. 因为a-b=1，a2+b2=17. 所以2ab=17-12=16 所以ab=8 综合能力提升 先化简，再求值：(2m+1)(2m-1)-(m-1)2+m4·m4÷(-m2)3，其中m满足m2+m-2=0. 解：原式=4m2-1-(m2-2m+1)+m8÷(-m6) =4m2-1-m2+2m-1-m2 =2m2+2m-2 因为m2+m-2=0，所以m2+m=2 所以原式=2(m2+m)-2=2×2-2=2. 综合能力提升 已知：如图，点F在AB上，EF交BD于G，交CD于E，1=2，3=ABE，ADC+C=180°. 求证：AD//EF. 证明：因为ADC+C=180°，所以AD//BC. 因为1=2，所以1+GBE=2+GBE，即ABE=CBG, 因为3=ABE，所以3=CBG. 所以EF //BC . 所以AD//EF. 综合能力提升 如图，AB//CD，若AP，CP分别是BAQ、DCQ的平分线，试探索AQC、APC之间的数量关系; 解：过P点作直线PN/AB，如图， 因为AB//CD，所以PN//AB//CD. 所以BAP=APN，DCP=CPN 所以BAP+DCP=APN+CPN=APC 同理可得：AQC=BAQ+DCQ 因为AP，CP分别是BAQ，DCQ的平分线， 所以BAQ=2BAP，DCQ=2DCP 所以BAQ+DCQ=2BAP+2DCP=2(BAP+DCP) 所以AQC=2APC. 综合能力提升 一只不透明的袋子中装有三个乒乓球，球面上分别标有数字3、4、5，这些乒乓球除所标数字不同外其余都相同. (1)搅匀后从中任意摸出一个乒乓球，求摸出的乒乓球的球面上恰好标有数字3的概率； (2)搅匀后先从袋子中任意摸出一个球，将球面上所标数字作为一个两位数的十位数字，不放回，再从袋中余下的球中任意摸出一个球，将球面上所标数字作为这个两位数的个位数字，求这个两位数恰好是奇数的概率.(请用画树状图或列表等方法说明理由). 综合能力提升 (2)列表如下： 3 4 5 3 34 35 4 43 45 5 43 54 综合能力提升 $