2026年中考数学第二轮专题复习之填空题 —15：《三角形及相关概念》讲义

2026 年中考第二轮复习 填空题专题 15.三角形及相关概念  本课时是中考数学几何模块的底层核心必考考点，是三角形及相关概念的解题根基，是二轮复习中 “保底提分、衔接综合” 的关键枢纽。 一、题型特点 1.梯度分层精准，适配二轮复习进阶需求题目严格形成三级梯度，完全匹配中考填空题命题逻辑，贴合二轮复习查漏补缺、分层提升的核心需求：①基础保分层，聚焦三角形三边关系、内角和定理、三线（中线 / 高 / 角平分线）基础性质、等腰 / 等边三角形基础判定，是全员必拿的保底分；②中档提分层，深度融合三角形中线面积模型、折叠变换、勾股定理、全等 / 相似、平面直角坐标系、圆周角定理，是二轮复习的核心突破重点，也是学生失分的重灾区；③压轴拉分层，绑定将军饮马、胡不归 / 阿氏圆、定角定弦轨迹圆等最值模型，是中考填空压轴的高频题型，区分度极强，侧重考查学生的几何综合推理与动态分析能力。 2.考点覆盖全面，核心命题聚焦 “三线 + 三关系”本课时 100% 的题目围绕三角形核心知识体系命题，超 80% 的题目聚焦 “三线”+“三关系”核心考点：“三线” 即中线、高、角平分线的定义与性质，是本课时的命题核心载体；“三关系” 即三边数量关系、内角和与外角的等量关系、边角对应关系，是所有题型的破题底层逻辑。同时摒弃纯概念考查，超 70% 的题目实现跨模块融合，绑定等腰 / 直角 / 等边三角形特殊性质、尺规作图、圆、反比例函数等考点，完全贴合中考 “重基础、强综合” 的命题导向。 3.模型化命题特征显著，可固化解题路径超 85% 的题目围绕中考 6 大必考几何模型命题，形成固定解题路径与结论，适配二轮复习 “模型化、高效率” 的复习需求：①中线平分面积模型；②角平分线双平模型（平行 + 角平分线 = 等腰三角形）；③轴对称折叠全等模型；④将军饮马最值模型；⑤胡不归系数化线段最值模型；⑥定角定弦轨迹圆最值模型。学生可通过模型识别，实现 “见题识型、结论秒解”，大幅缩短填空题解题时间。 4.填空题专属命题陷阱密集，区分度集中在细节与选择题不同，本课时填空题无选项提示，命题人高频设置无图多解题、分类讨论题、隐藏限定条件题，超 60% 的失分题源于细节把控不足。等腰三角形腰与底的分类讨论，均是填空题专属命题陷阱，极易出现 “会做但拿不到分” 的隐性失分，完全贴合中考填空题 “重基础、考细节、辨思维” 的命题特点。 核心素养导向明确，贴合新课标中考要求题目严格对标版新课标，从单一知识点考查转向综合能力考查：基础题侧重数感、符号意识与几何直观，中档题侧重数学运算与逻辑推理，压轴题侧重模型观念与创新意识，完全匹配中考命题改革方向，是培养学生几何核心素养的关键基础课时。 二、答题要点 （一）通用核心答题要点 1.筑牢概念根基，锁定破题底层逻辑必须牢记三角形核心定理：①三边关系：两边之差 < 第三边 < 两边之和，这是所有三角形题目的前提验证标准；②内角和定理：三角形内角和恒为 180°，外角等于不相邻的两个内角和；③三线核心性质：中线平分对边、平分三角形面积，角平分线上的点到角两边距离相等，高与对应边垂直。这是本课时所有题目的破题基础，无任何例外。 2.分类讨论思想贯穿始终，守住填空题得分底线这是本课时填空题的核心得分关键，遇以下情况必须优先分类讨论：①等腰三角形，先分 “已知边为腰 / 底” 两种情况；②无图几何题，先画出所有符合条件的图形；③涉及三角形的高，先分 “锐角三角形（高在形内）/ 钝角三角形（高在形外）”；④动点题，先看运动范围是线段、射线还是直线，再分位置讨论。 3.方程思想为核心解题工具，适配 90% 中档题遇折叠变换、勾股定理、比例线段、角度和差的题目，优先设未知数，利用勾股定理、相似三角形对应边成比例、内角和定理列方程求解，无需复杂辅助线即可破题，这是本课时填空题最通用、最高效的解题方法。 4.模型识别优先，跳过复杂推导实现秒解审题时优先识别几何模型，识别后直接套用固定结论，大幅缩短解题时间。比如遇三角形中线，直接用 “中线分三角形为两个面积相等的三角形，两条中线分割的小三角形面积为原三角形的 ”；遇角平分线 + 平行线，直接找等腰三角形；遇最值题，先定模型再套用对应解法，无需从零推导。 （二）分题型精准答题要点 1.三边关系与等腰三角形题：两步固定破题法第一步：分类讨论，等腰三角形先明确已知边是腰还是底，第三边题先锁定取值范围；第二步：必须验证三边关系，排除 “两边之和≤第三边” 的无效情况，再计算最终结果，再代入方程求解。 2.三角形三线相关题：抓核心性质精准破题 1.中线题：核心抓 “中点 + 面积平分”，遇多个中点优先构造三角形中位线，遇中线倍长构造全等三角形，可用中线平分面积的结论快速求解，无需复杂推导； 2.角平分线题：核心抓 “等角 + 等距”，遇角平分线优先向角的两边作垂线，利用距离相等构造全等；遇 “角平分线 + 平行线”，直接锁定等腰三角形，快速实现等角转换； 3.高的题：核心抓 “垂直构造直角三角形”，优先用勾股定理、面积法求解，同时必须先判断高在形内还是形外，分类讨论。 3.角度计算题：外角定理优先，快速等角转换优先用 “三角形外角等于不相邻的两个内角和” 实现角度转换，再结合内角和定理、等腰 / 等边 / 直角三角形的固定角度求解，无需复杂全等证明。先标注已知角，用外角定理快速推导未知角，大幅简化解题步骤。 4.折叠变换题：两步破题法第一步：锁定折叠核心性质，标注对应边相等、对应角相等，找到全等三角形；第二步：在直角三角形中设未知数，用勾股定理列方程求解，重点关注折叠后点落在边上、延长线上、形内的不同情况，精准定位直角三角形。 5.网格题：割补法 + 面积法两步求解第一步：用割补法求三角形面积，即 “整体矩形面积减去周围多余直角三角形面积”；第二步：用勾股定理求对应边长，再通过面积法求高、线段长，先求△ABC 面积，再用勾股定理求 AC，最终通过面积公式求高 。 6.动点最值题：先定模型，再求解 1.将军饮马模型（两定一动）：以动点所在直线为对称轴，作其中一个定点的对称点，利用 “两点之间线段最短” 求解，利用角平分线的对称性，转化为垂线段最短； 2.胡不归模型（带系数的线段和）：以系数为正弦 / 余弦值构造直角三角形，将带系数的线段转化为垂线段，利用 “垂线段最短” 求解，再求最小值； 3.定角定弦轨迹圆模型：动点对定线段的夹角固定不变时，动点轨迹为圆弧，利用 “定点到圆心的距离 - 半径” 求最小值。 （三）填空题专属秒杀技巧 1.特值法：遇比例题、定值题、代数式化简题，取特殊值（如等边三角形、等腰直角三角形、k=1）代入，快速求出结果，无需严谨推导； 2.测量估算法：中考几何图均为精准绘制，网格题、角度题、边长比例题，可直接用尺子、量角器测量估算，快速锁定答案，适合应急与结果验证； 反推验证法：求出结果后，反代回题干，验证是否符合三边关系、角度范围、动点限定条件，快速排除错误结果，避免隐性失分。 三、避坑指南 （一）概念性避坑：杜绝基础题零分 1.严防三边关系验证缺失，这是最高频易错点等腰三角形分类讨论后，必须验证 “两边之和大于第三边”，学生极易只分类不验证，出现 “2、2、4” 这类无法构成三角形的错误答案，是基础题失分的重灾区。 2.严防三角形 “三线” 概念混淆误用高频易错点：①混淆中线、角平分线、高的定义，错用 “中线平分内角”“高平分对边”；②忽略 “只有等腰三角形三线合一，普通三角形的三线不重合”；③错用 “三角形的高都在形内”，忽略钝角三角形的两条高在形外，导致高的长度、角度计算完全错误。 3.严防内角和与外角定理误用高频易错点：①错记三角形内角和，与多边形内角和混淆；②误用外角定理，忽略 “不相邻” 的核心限定，错把外角等于相邻内角和；③圆周角定理漏解，同一条弦对应的圆周角有两个（优弧、劣弧各一个，两角互补）。 （二）审题性避坑：杜绝非知识性失分 1.严防无图题不分类讨论，漏写多解这是填空题最易失分的点，题干无图的题目，如 “点 D 在直线 AB 上”“高为 XX”，学生极易只画一种符合直觉的图形，忽略其他可能性，。 2.严防限定词漏看，答案超出范围高频易错点：漏看 “不与端点重合”“整数解”“偶数”“锐角三角形” 等核心限定词，导致答案多写、错写。 3.严防设问方向看错，比例式分子分母搞反高频易错点。 4.严防单位不统一，细节失分题干中长度单位有 cm、m 时，学生计算后不统一单位，直接写数值，填空题无步骤分，单位错误直接零分。 （三）计算性避坑：杜绝会做做不对 1.严防面积公式漏乘 ,三角形面积 =× 底 × 高，学生极易漏写 ，是高频低级失误。 3.严防相似三角形对应边错位相似三角形的对应顶点顺序错乱，导致对应边比例式列错，最终线段长计算错误，要求学生写相似时，必须按对应顶点顺序书写，避免对应边错位。 4.严防代数式化简错误代数几何综合题中，分式化简、平方运算、配方错误，导致最终代数式结果错误，避免计算失误。 （四）逻辑推理避坑：杜绝中档、压轴题失分 1.严防动点最值模型识别错误把胡不归模型当成将军饮马，把轨迹圆模型当成直线轨迹，导致最值求解完全错误。 2.严防折叠变换中等量关系找错折叠后对应边、对应角的对应关系错乱。 3.严防多结论题 “不能证伪就默认正确”对无法快速证明的结论，不举反例证伪就默认为正确，导致结论判断错误，尤其在圆周角、相似综合题中，极易出现该类失误。 本课时是中考数学几何模块的底层核心基础考点，是二轮复习中 “全员保底、筑牢根基、衔接综合” 的关键课时，直接决定了后续几何综合专题的复习效果。 四、真题练习 1.（23-24·四川中考）一个三角形的两边长分别是和，则第三边长可以是 （大于小于的数即可） ．（只填一个即可） 【答案】 （大于小于的数即可） 【解析】 根据三角形的三边关系定理可得，再解即可． 【解答】 解：由题意得：， 即：， 的值可以是：（大于小于的数即可）． 故答案为：（大于小于的数即可）． 2.（25-26·江苏模拟）若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的取值范围是__________________． 【答案】 【解析】 此题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系定理．根据三角形的三边关系：①两边之和大于第三边，②两边之差小于第三边，即可得到答案． 【解答】 解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 3.（25-26·甘肃模拟）已知，，分别是等腰三角形三边的长，且是关于的一元二次方程的根，则的值为_________12_______． 【答案】 【解析】 本题考查了三角形的三边关系以及等腰三角形的定义，一元二次方程的根，分情况讨论：当时，当时，分别讨论求解即可． 【解答】 解：，，分别是等腰三角形三边的长， 当时，，，不能构成三角形，不符合题意； 当时， ， ， 故答案为：． 4.（25-26·湖北模拟）已知的两边长为和，第三边长为偶数，则第三边的值为______4________． 【答案】 【解析】 此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．首先设第三边长为，根据三角形的三边关系可得，可得的范围，然后再确定的值即可． 【解答】 解：设第三边长为，由题意得： ， 解得：， 第三边长为偶数， ， 第三边的长为． 故答案为：． 5.（25-26·海南模拟）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为______10________． 【答案】 【解析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．求出一元二次方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案． 【解答】 解： 解得：或， 当等腰三角形的三边为，，时，不符合三角形三边关系，此时不能组成三角形； 当等腰三角形的三边为，，时，符合三角形三边关系，此时能组成三角形，周长为， 所以三角形的周长为， 故答案为：． 6.（25-26·新疆模拟）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． 若三角形为等边三角形，则_____2_______； 下列结论正确的是_____①②_______（写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为 【答案】 ,①②/②① 【解析】 本题主要考查了勾股定理的逆定理，解一元一次不等式组，三角形三边的关系，等边三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． 根据等边三角形的性质可得，据此求解即可； 当，时，可证明，由勾股定理的逆定理可判断①；当，，时，可得；当时，可得，当时，可得，则可求出，据此求出的取值范围即可判断②；当时，则，则可得到；根据题意不妨设，则剩下两个数分别为（为正整数），则可得，解不等式组求出整数即可判断③． 【解答】 解：，，是的三条边长，且是等边三角形， ， ， 故答案为；； ①当，时，， ， ， ， 为直角三角形，故①正确； ②当，，时， ， ； 当时， ， ， ； 当时， ， ， ， ； ， 随的增大而增大， 当时，， 当时，， ，故②正确； ③当时，则， ， ， ； 、、是三个相邻的正整数，， 不妨设，则剩下两个数分别为（为正整数）， ， ， 解得， 符合题意的的值有、、、、、，共个， 符合题意的、、的取值一共有组， 满足条件的的个数为，故③错误； 故答案为：①②． 7.（25-26·河北模拟）平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为______（答案不唯一）______．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，不等式组的整数解，根据题意得出，进而写出一个整数解即可求解． 【解答】 解：依题意， ， 为整数， 可以是，，，， 故答案为：（答案不唯一）． 8.（24-25·江苏中考）如图，在中，，分别是，的中点，，则________. 【答案】 【解析】 根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【解答】 解：∵ 是的中点， ∴ . ∵ 是的中点， ∴ . 故答案为：. 9.（23-24·浙江模拟）如图，是的中线，点，是的三等分点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为______15________． 【答案】 【解析】 根据轴对称的性质可得和的面积相等，所以阴影部分的面积是三角形面积的一半． 【解答】 解：，是的对称轴， 点，是的三等分点， 阴影部分面积． 故答案为：15 10.（24-25·浙江中考）如图，在中，是上的中线，交于点，．若，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 取的中点，连接，，利用三角形中位线定理和勾股定理解答即可． 【解答】 解：取的中点，连接， 是上的中线，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：．   11.（24-25·安徽中考）如图，是的中线，点在上，延长交于点，若，则 . 【答案】 【解析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，过点作，构造相似三角形是解题的关键． 先利用三角形的中线的定义得到，过点作交于，再根据相似三角形的性质得到，由得到，最后由相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】 解：如图， 是的中线， ， 过点作交于， ，， ， ， ． ， ． ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 12.（25-26·江苏模拟）如图，在中，点是边的中点，点在边上，，和交于点，那么和四边形的面积比是_________________． 【答案】 【解析】 本题考查三角形的面积．连接，设，，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将各三角形的面积用含的代数式表示出来，从而求出和四边形的面积比即可． 【解答】 解：如图，连接． 设，， ，点是边的中点， ，， ， ， ， ，即， ， ， ． 故答案为：． 13.（2025-2026·福建模拟）已知，如图，点，和为轴上两点，其中点在点的左侧，连接，若平分，则的值为____________． 【答案】 【解析】 作交延长线于点，可证，对应边成比例，由角平分线的定义，结合等边对等角，可得，设，，则，根据勾股定理可得，，代入，化简可得，即可得的值． 【解答】 解：作交延长线于点，则，， ， ， 平分， ， ， ， ， 作轴， ， ，， 设，，，，则 ，，，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14.（24-25·宁夏模拟）如图，在中，，分别是的高和角平分线，，，则____5____度． 【答案】 【解析】 利用三角形的内角和是可得的度数；是的角平分线，可得的度数；利用是高可得，那么可求得度数，那么． 【解答】 解：因为，， 所以. 因为是的角平分线， 所以. 因为是边上的高， 所以， 所以， 所以． 故答案为：. 15.（25-26·陕西模拟）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点都在格点上，若是的高，则________________． 【答案】 【解析】 本题主要考查了求三角形的高，割补法求三角形面积，勾股定理，先利用割补法求出的面积，再利用勾股定理求出的长，再利用三角形面积公式求出即可． 【解答】 解：， 由勾股定理得， 是的高， ， ， ， 故答案为：． 16.（25-26·全国模拟）如图，、分别为的高和中线，若，则的面积为_____3___. 【答案】 【解析】 此题暂无解析 【解答】  为中线，， ∴ ，  为的高，， ∴ ． 故答案为： 17.（24-25·云南中考）如图，在矩形中，，点、、、分别在、、、上，且，点是直线、之间任意一点，连接、、、，则和的面积和等于________. 【答案】   【解析】 此题暂无解析 【解答】 【解答】解：连接、； ∵ ，， ∴ ， 同理可证：   ∴ ，即四边形是平行四边形； 且 过作、的垂线，交于，于； 则 故答案为：  18.（25-26·浙江模拟）如图，是的内接三角形，若，则______62°______． 【答案】 度 【解析】 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出的度数，然后利用圆周角定理求解即可． 【解答】 解：连接， ，， ， ， ， 故答案为：． 19.（24-25·贵州中考）如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为    或       ． 【答案】 或 【解析】 分两种情况考虑，利用对称的性质及三角形内角和等知识即可完成求解． 【解答】 解：由折叠的性质得,， ； ①当在下方时，如图， ， ， ； ②当在上方时，如图， ， ， ； 综上，的度数为或； 故答案为或． 20.（24-25·上海模拟）如图，已知，，，，那么________________． 【答案】 度 【解析】 此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质， 首先根据三角形内角和定理得到，然后由平行线的性质得到，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【解答】 ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 21.（25-26·四川模拟）如图，点是内部的一点，点到三边，，的距离，若，则的度数为____104°________． 【答案】 度 【解析】 本题考查了角平分线的判定、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线判定定理是解题的关键．先根据点到三边的距离，得到是的角平分线，利用三角形内角和定理可得，然后利用角平分线性质从而利用角平分线的定义可得，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【解答】 解：点到三边的距离， 是的角平分线， ， ， ， ． 故答案为： 22.（25-26·湖南模拟）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，可以求得________25°_________． 【答案】 度 【解析】 本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键． 由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可． 【解答】 解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 23.（25-26·山东模拟）如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点，_____45_______． 【答案】 【解析】 本题主要考查了正多边形内角问题，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据正多边形内角计算公式求出，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形外角的性质即可得到答案． 【解答】 解：八边形是正八边形， ， ， 同理可得， ， 故答案为：． 24.（24-25·湖南模拟）如图，在中，．若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为_______或____________． 【答案】 或 【解析】 本题考查了含的直角三角形的性质，三角形外角的性质，等角对等边等知识，分①点在线段时，②点在线段延长线上时， ③点在线段延长线上时，三种情况讨论求解即可． 【解答】 解：，，， ，， ①点在线段时， ，， ， ， ； ②点在线段延长线上时， ，， ， ， ； ③点在线段延长线上时， 此时，即，故不符合题意，舍去， 综上，的长为或12. 25.（23-24·湖北中考）为等边三角形，分别延长，到点，使，连接，，连接并延长交于点．若，则      ，      ． 【答案】 ； 【解析】 利用三角形的外角性质结合可求得；作交的延长线于点，利用直角三角形的性质求得，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【解答】 解：为等边三角形，，，， ，，，作交的延长线于点， ，， ， ， ， ，即， 解得． 26.（22-23·浙江中考）如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则         （结果用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 先根据轴对称的性质和已知条件证明，再证，推出，通过证明，推出，即可求出的值． 【解答】 解：点和点关于直线对称，， ， ． ， ， 点和点关于直线对称， ， 又， ， ， ，， 点和点关于直线对称， ， ， ， ， 在和中， ， ． 在中，， ，， ， ， ， ， ，， ． ， ， 解得， ． 故答案为：． 27.（25-26·江苏模拟）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则最小值是_____3______ ． 【答案】 【解析】 本题考查的是轴对称——最短路线问题，直角三角形的性质，角平分线的性质，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，再根据是的平分线可知，再由含度角的直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】 如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值． 是的平分线， ， 是点到直线的最短距离（垂线段最短）， ，， ， 的最小值是， 故答案为：． 28.（25-26·山东模拟）如图，已知中，，，，点是内部一点，连接、、，若，则的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 本题考查了相似三角形的应用，解题关键构造相似三角形转化线段关系得出 在上取点，使，构造出，得，再根据两点之间线段最短得出即当在上时，取最小值. 【解答】 解：在上取点，使， 又，， ， 又， ， ， ， ， ， ， 即当在上时，取最小值，为 故答案为 29.（2025-2026·陕西模拟）如图，在菱形中，，连接，点分别是边，对角线上的动点，且，连接，当取得最小值时，的长为__5______． 【答案】 5 【解析】 如图，在 AD的上方作 ，且使得 DG=AD，连接GE，GC.证明 ，得到CF=GE，易证 .当G，E，C三点共线时，CE+CF取最小值，即为GC的长．即可求解. 【解答】 如图，在 AD的上方作 ，且使得 DG=AD，连接GE，GC. 四边形ABCD是菱形， 当G，E，C三点共线时，CE+CF取最小值，即为GC的长. 的长为 即AB的长为 30.（25-26·陕西模拟）如图，点，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是___________． 【答案】 【解析】 根据正方形的性质，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再利用“”证明和全等，则，从而得到；再求出，取的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的三边关系可知当、、三点共线时，的长度最小，据此解答． 【解答】 解：如图， 在正方形中，，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． ， ， ． 取的中点，连接、，如图：   则， 在中，， 根据三角形的三边关系，得， 当、、三点共线时，的长度最小，最小值． 故答案为：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第二轮复习 填空题专题 15.三角形及相关概念  本课时是中考数学几何模块的底层核心必考考点，是三角形及相关概念的解题根基，是二轮复习中 “保底提分、衔接综合” 的关键枢纽。 一、题型特点 1.梯度分层精准，适配二轮复习进阶需求题目严格形成三级梯度，完全匹配中考填空题命题逻辑，贴合二轮复习查漏补缺、分层提升的核心需求：①基础保分层，聚焦三角形三边关系、内角和定理、三线（中线 / 高 / 角平分线）基础性质、等腰 / 等边三角形基础判定，是全员必拿的保底分；②中档提分层，深度融合三角形中线面积模型、折叠变换、勾股定理、全等 / 相似、平面直角坐标系、圆周角定理，是二轮复习的核心突破重点，也是学生失分的重灾区；③压轴拉分层，绑定将军饮马、胡不归 / 阿氏圆、定角定弦轨迹圆等最值模型，是中考填空压轴的高频题型，区分度极强，侧重考查学生的几何综合推理与动态分析能力。 2.考点覆盖全面，核心命题聚焦 “三线 + 三关系”本课时 100% 的题目围绕三角形核心知识体系命题，超 80% 的题目聚焦 “三线”+“三关系”核心考点：“三线” 即中线、高、角平分线的定义与性质，是本课时的命题核心载体；“三关系” 即三边数量关系、内角和与外角的等量关系、边角对应关系，是所有题型的破题底层逻辑。同时摒弃纯概念考查，超 70% 的题目实现跨模块融合，绑定等腰 / 直角 / 等边三角形特殊性质、尺规作图、圆、反比例函数等考点，完全贴合中考 “重基础、强综合” 的命题导向。 3.模型化命题特征显著，可固化解题路径超 85% 的题目围绕中考 6 大必考几何模型命题，形成固定解题路径与结论，适配二轮复习 “模型化、高效率” 的复习需求：①中线平分面积模型；②角平分线双平模型（平行 + 角平分线 = 等腰三角形）；③轴对称折叠全等模型；④将军饮马最值模型；⑤胡不归系数化线段最值模型；⑥定角定弦轨迹圆最值模型。学生可通过模型识别，实现 “见题识型、结论秒解”，大幅缩短填空题解题时间。 4.填空题专属命题陷阱密集，区分度集中在细节与选择题不同，本课时填空题无选项提示，命题人高频设置无图多解题、分类讨论题、隐藏限定条件题，超 60% 的失分题源于细节把控不足。等腰三角形腰与底的分类讨论，均是填空题专属命题陷阱，极易出现 “会做但拿不到分” 的隐性失分，完全贴合中考填空题 “重基础、考细节、辨思维” 的命题特点。 核心素养导向明确，贴合新课标中考要求题目严格对标2022版新课标，从单一知识点考查转向综合能力考查：基础题侧重数感、符号意识与几何直观，中档题侧重数学运算与逻辑推理，压轴题侧重模型观念与创新意识，完全匹配中考命题改革方向，是培养学生几何核心素养的关键基础课时。 二、答题要点 （一）通用核心答题要点 1.筑牢概念根基，锁定破题底层逻辑必须牢记三角形核心定理：①三边关系：两边之差 < 第三边 < 两边之和，这是所有三角形题目的前提验证标准；②内角和定理：三角形内角和恒为 180°，外角等于不相邻的两个内角和；③三线核心性质：中线平分对边、平分三角形面积，角平分线上的点到角两边距离相等，高与对应边垂直。这是本课时所有题目的破题基础，无任何例外。 2.分类讨论思想贯穿始终，守住填空题得分底线这是本课时填空题的核心得分关键，遇以下情况必须优先分类讨论：①等腰三角形，先分 “已知边为腰 / 底” 两种情况；②无图几何题，先画出所有符合条件的图形；③涉及三角形的高，先分 “锐角三角形（高在形内）/ 钝角三角形（高在形外）”；④动点题，先看运动范围是线段、射线还是直线，再分位置讨论。 3.方程思想为核心解题工具，适配 90% 中档题遇折叠变换、勾股定理、比例线段、角度和差的题目，优先设未知数，利用勾股定理、相似三角形对应边成比例、内角和定理列方程求解，无需复杂辅助线即可破题，这是本课时填空题最通用、最高效的解题方法。 4.模型识别优先，跳过复杂推导实现秒解审题时优先识别几何模型，识别后直接套用固定结论，大幅缩短解题时间。比如遇三角形中线，直接用 “中线分三角形为两个面积相等的三角形，两条中线分割的小三角形面积为原三角形的 ”；遇角平分线 + 平行线，直接找等腰三角形；遇最值题，先定模型再套用对应解法，无需从零推导。 （二）分题型精准答题要点 1.三边关系与等腰三角形题：两步固定破题法第一步：分类讨论，等腰三角形先明确已知边是腰还是底，第三边题先锁定取值范围；第二步：必须验证三边关系，排除 “两边之和≤第三边” 的无效情况，再计算最终结果，再代入方程求解。 2.三角形三线相关题：抓核心性质精准破题 1.中线题：核心抓 “中点 + 面积平分”，遇多个中点优先构造三角形中位线，遇中线倍长构造全等三角形，可用中线平分面积的结论快速求解，无需复杂推导； 2.角平分线题：核心抓 “等角 + 等距”，遇角平分线优先向角的两边作垂线，利用距离相等构造全等；遇 “角平分线 + 平行线”，直接锁定等腰三角形，快速实现等角转换； 3.高的题：核心抓 “垂直构造直角三角形”，优先用勾股定理、面积法求解，同时必须先判断高在形内还是形外，分类讨论。 3.角度计算题：外角定理优先，快速等角转换优先用 “三角形外角等于不相邻的两个内角和” 实现角度转换，再结合内角和定理、等腰 / 等边 / 直角三角形的固定角度求解，无需复杂全等证明。先标注已知角，用外角定理快速推导未知角，大幅简化解题步骤。 4.折叠变换题：两步破题法第一步：锁定折叠核心性质，标注对应边相等、对应角相等，找到全等三角形；第二步：在直角三角形中设未知数，用勾股定理列方程求解，重点关注折叠后点落在边上、延长线上、形内的不同情况，精准定位直角三角形。 5.网格题：割补法 + 面积法两步求解第一步：用割补法求三角形面积，即 “整体矩形面积减去周围多余直角三角形面积”；第二步：用勾股定理求对应边长，再通过面积法求高、线段长，先求△ABC 面积，再用勾股定理求 AC，最终通过面积公式求高 。 6.动点最值题：先定模型，再求解 1.将军饮马模型（两定一动）：以动点所在直线为对称轴，作其中一个定点的对称点，利用 “两点之间线段最短” 求解，利用角平分线的对称性，转化为垂线段最短； 2.胡不归模型（带系数的线段和）：以系数为正弦 / 余弦值构造直角三角形，将带系数的线段转化为垂线段，利用 “垂线段最短” 求解，再求最小值； 3.定角定弦轨迹圆模型：动点对定线段的夹角固定不变时，动点轨迹为圆弧，利用 “定点到圆心的距离 - 半径” 求最小值。 （三）填空题专属秒杀技巧 1.特值法：遇比例题、定值题、代数式化简题，取特殊值（如等边三角形、等腰直角三角形、k=1）代入，快速求出结果，无需严谨推导； 2.测量估算法：中考几何图均为精准绘制，网格题、角度题、边长比例题，可直接用尺子、量角器测量估算，快速锁定答案，适合应急与结果验证； 反推验证法：求出结果后，反代回题干，验证是否符合三边关系、角度范围、动点限定条件，快速排除错误结果，避免隐性失分。 三、避坑指南 （一）概念性避坑：杜绝基础题零分 1.严防三边关系验证缺失，这是最高频易错点等腰三角形分类讨论后，必须验证 “两边之和大于第三边”，学生极易只分类不验证，出现 “2、2、4” 这类无法构成三角形的错误答案，是基础题失分的重灾区。 2.严防三角形 “三线” 概念混淆误用高频易错点：①混淆中线、角平分线、高的定义，错用 “中线平分内角”“高平分对边”；②忽略 “只有等腰三角形三线合一，普通三角形的三线不重合”；③错用 “三角形的高都在形内”，忽略钝角三角形的两条高在形外，导致高的长度、角度计算完全错误。 3.严防内角和与外角定理误用高频易错点：①错记三角形内角和，与多边形内角和混淆；②误用外角定理，忽略 “不相邻” 的核心限定，错把外角等于相邻内角和；③圆周角定理漏解，同一条弦对应的圆周角有两个（优弧、劣弧各一个，两角互补）。 （二）审题性避坑：杜绝非知识性失分 1.严防无图题不分类讨论，漏写多解这是填空题最易失分的点，题干无图的题目，如 “点 D 在直线 AB 上”“高为 XX”，学生极易只画一种符合直觉的图形，忽略其他可能性，。 2.严防限定词漏看，答案超出范围高频易错点：漏看 “不与端点重合”“整数解”“偶数”“锐角三角形” 等核心限定词，导致答案多写、错写。 3.严防设问方向看错，比例式分子分母搞反高频易错点。 4.严防单位不统一，细节失分题干中长度单位有 cm、m 时，学生计算后不统一单位，直接写数值，填空题无步骤分，单位错误直接零分。 （三）计算性避坑：杜绝会做做不对 1.严防面积公式漏乘 ,三角形面积 =× 底 × 高，学生极易漏写 ，是高频低级失误。 3.严防相似三角形对应边错位相似三角形的对应顶点顺序错乱，导致对应边比例式列错，最终线段长计算错误，要求学生写相似时，必须按对应顶点顺序书写，避免对应边错位。 4.严防代数式化简错误代数几何综合题中，分式化简、平方运算、配方错误，导致最终代数式结果错误，避免计算失误。 （四）逻辑推理避坑：杜绝中档、压轴题失分 1.严防动点最值模型识别错误把胡不归模型当成将军饮马，把轨迹圆模型当成直线轨迹，导致最值求解完全错误。 2.严防折叠变换中等量关系找错折叠后对应边、对应角的对应关系错乱。 3.严防多结论题 “不能证伪就默认正确”对无法快速证明的结论，不举反例证伪就默认为正确，导致结论判断错误，尤其在圆周角、相似综合题中，极易出现该类失误。 本课时是中考数学几何模块的底层核心基础考点，是二轮复习中 “全员保底、筑牢根基、衔接综合” 的关键课时，直接决定了后续几何综合专题的复习效果。 四、真题练习 1.（23-24·四川中考）一个三角形的两边长分别是和，则第三边长可以是  ．（只填一个即可） 2.（25-26·江苏模拟）若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的取值范围是_______________． 3.（25-26·甘肃模拟）已知，，分别是等腰三角形三边的长，且是关于的一元二次方程的根，则的值为___________． 4.（25-26·湖北模拟）已知的两边长为和，第三边长为偶数，则第三边的值为_____________． 5.（25-26·海南模拟）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为____________． 6.（25-26·新疆模拟）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． 若三角形为等边三角形，则__________； 下列结论正确的是__________（写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为 7.（25-26·河北模拟）平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为___________．（写出一个即可） 8.（24-25·江苏中考）如图，在中，，分别是，的中点，，则________. 9.（23-24·浙江模拟）如图，是的中线，点，是的三等分点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为___________． 10.（24-25·浙江中考）如图，在中，是上的中线，交于点，．若，，则的长为___________．   11.（24-25·安徽中考）如图，是的中线，点在上，延长交于点，若，则 . 12.（25-26·江苏模拟）如图，在中，点是边的中点，点在边上，，和交于点，那么和四边形的面积比是______________． 13.（2025-2026·福建模拟）已知，如图，点，和为轴上两点，其中点在点的左侧，连接，若平分，则的值为__________． 14.（24-25·宁夏模拟）如图，在中，，分别是的高和角平分线，，，则_______度． 15.（25-26·陕西模拟）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点都在格点上，若是的高，则______________． 16.（25-26·全国模拟）如图，、分别为的高和中线，若，则的面积为_______. 17.（24-25·云南中考）如图，在矩形中，，点、、、分别在、、、上，且，点是直线、之间任意一点，连接、、、，则和的面积和等于_______. 18.（25-26·浙江模拟）如图，是的内接三角形，若，则________． 19.（24-25·贵州中考）如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为           ． 20.（24-25·上海模拟）如图，已知，，，，那么_______________． 21.（25-26·四川模拟）如图，点是内部的一点，点到三边，，的距离，若，则的度数为__________． 22.（25-26·湖南模拟）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，可以求得______________． 23.（25-26·山东模拟）如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点，___________． 24.（24-25·湖南模拟）如图，在中，．若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为_____________． 25.（23-24·湖北中考）为等边三角形，分别延长，到点，使，连接，，连接并延长交于点．若，则     ，    ． 26.（22-23·浙江中考）如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则        （结果用含的代数式表示）． 27.（25-26·江苏模拟）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则最小值是_________ ． 28.（25-26·山东模拟）如图，已知中，，，，点是内部一点，连接、、，若，则的最小值为__________． 29.（2025-2026·陕西模拟）如图，在菱形中，，连接，点分别是边，对角线上的动点，且，连接，当取得最小值时，的长为_______． 30.（25-26·陕西模拟）如图，点，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是_________． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $