第6章 第26节 圆的相关概念与性质-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（陕西专用）

EF=2...BC=BE+EF+CF=2AB+EF=8...AB=3. 综上所述，AB的长为3或5. 【变式1】4或45【变式2】46°或106° 第六章圆 第二十六节圆的相关概念与性质 ①圆心②半径③圆心④BD⑤2⑥优弧⑦劣弧 ⑧直径⑨圆心0平分①平分②垂直3平分 4BM5-半G相等①∠ADC8】⑩90 ②四互补@180° 1.②④ 2.(1)①A ②证明：AB=CD,.B=CD .AB+AC=C⑦+AC,即BAC=ACD.BC=AD (2)C 3.(1)B(2)①4：3：2：8②32(3)554.A 5.90:64:64:64:32【变式】66°6.90°7.C【变式】2 8.弦AB所对的圆周角的度数为45°或135°， 【变式1】30°或150°【变式2】80°或120° 9.水的深度为8cm或18cm.【变式】20或140 第二十七节与圆有关的位置关系 ①<②=③相切④<⑤=⑥>⑦垂直⑧垂直 ⑨半径0一个①垂直平分线②三个顶点32 B角平分线雪三条边雪】 1.(1)圆上；圆外；圆内(2)相交：相切：相离 2.证明：(1)如解图1，连接0C. OA=OB,CA=CB,.OC⊥AB. 又：OC是⊙0的半径.直线AB是⊙0的切线. C D 解图1 解图2 (2)如解图2，过点0作OD⊥AB于点D. .0A=0B=13,AB=24, D2.OD=AD=5. .·⊙0的直径为10，.⊙0的半径为5. .OD为⊙0的半径，.直线AB是⊙0的切线， 3.证明：如解图，连接0D. :△ABC是等边三角形， .∴.∠C=∠A=60° .0C=0D ∴.∠CD0=∠C=∠A=60°， ..OD//AB. .DF⊥AB,∴.OD⊥DF OD是⊙0的半径，DF是⊙0的切线。 4.证明：如解图，连接OE. AB是⊙O的直径， ∠AEB=90°， 即∠AEO+∠OEB=90° AE平分∠CAB, .∠CAE=∠EAB. ,·OA=OE,∴.∠EAB=∠AE0 .·∠BEF=∠CAE,∴.∠BEF=∠AEO ∠BEF+∠OEB=90°，.OE⊥EF :OE是⊙0的半径，.EF是⊙0的切线. 5.证明：如解图.连接OC ⊙0的半径为3，PB=2, .OB=OC=3,OP=0B+PB=5. 在△0PC中，PC=4,0C=3, 0P=5. .0C2+PC2=0p2, .△0CP是直角三角形，0C⊥PC. 0C是⊙0的半径，.PC是⊙0的切线. 6.证明：如解图.连接0C.OD :OC=0D,△C0D是等腰三角形. .·AB⊥CD,.∠COE=∠DOE 在△COE和△DOE中， OC=OD. ∠COE=∠DOE OE=OE. .∴.△COE≌△DOE(SAS) ∴.∠OCE=∠ODE, :DE是⊙0的切线，∴∠0DE=90°，∴.∠0CE=90. :0C是⊙0的半径，.CE为⊙0的切线. 7.(1)证明：如解图，过点D作DF⊥BC于点F :∠BAD=90°，BD平分∠ABC, AD=DF,.DF是⊙D的半径，.BC是⊙D的切线. B (2)解：∠BAC=90°，∴AB与⊙D相切. BC是⊙D的切线，.AB=FB. AB=5,BC=13. .CF=BC-BF=8,AC=BC-AB=12. 设DF=T,则AD=T,DC=12- 在Rt△DFC中，DF2+FC2=DC2,即r2+82=(12-T)2, 解得r=写CB=AC-2r=12-2x0_16 10 33 81)2(2)609.(1)25(2)525 3；3 10.(1)证明：EF⊥AB,.∠AFE=90°， .∠AEF+∠EAF=90°. .·∠AEF=∠D,∠ABE=∠D. .∠AEF=∠ABE,.∠ABE+∠EAF=90°， .∠AEB=90°，∴.AD⊥BC. (2)证明：BC是⊙0的直径，∠BAC=90°， 7第六章 圆 第二十六节 圆的相关概念与性质 一阶教材知识全梳理 知识点①圆的相关概念与基本性质 1.相关概念 (1)如图，在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另一 个端，点A所形成的图形叫作圆.其固定的端点O叫作① 线段OA 圆 叫作② 0 (2)圆心为O、半径为r的圆可以看成所有到定点O的距离等于定长r的 点的集合 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆.同圆或等圆的半径相等 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如图中的线段CD,BD 弦 经过③ 的弦叫作直径，如图中的线段④ 【特别提醒】直径是一个圆中最长的弦；直径等于半径的⑤ 倍 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条 弧都叫作半圆.如图中的半圆BD 圆上任意 两点间的 大于半圆的弧叫作⑥ (用三个点表示)，如图 弧 部分叫作 中ABD 圆弧，简 小于半圆的弧叫作⑦ 如图中CD 称弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧（注意：等孤 只存在于同圆或等圆中，长度相等的孤不一定是等孤) 圆心角 顶点在圆心的角叫作圆心角，如图中∠AOB,∠AOD 圆周角 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角，如图中∠BDC 2.基本性质 既是轴对称图形，又是中心对称图形.任意一条⑧ 所在直线都是它的对称轴， 对称性 ⊙ 是它的对称中心 旋转不变性 圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合 3.圆的确定 (1)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； (2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆， 95 知识点2)弧、弦、圆心角之间的关系 文字语言 符号语言 图形语言 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 定理 如图，有以下三个结论： 的弧相等，所对的弦也相等 (1)圆心角相等：∠AOB= 在同圆或等圆中，如果两条弧相等， ∠A'OB'; 推论1 那么它们所对的圆心角相等，所对的 弦相等 (2)弧相等：4B=AB: (3)弦相等：AB=A'B 在同圆或等圆中，如果两条弦相等， 只要满足其中一个，另外两个 推论2 那么它们所对的圆心角相等，所对的 定成立，即“知一求二” 优弧和劣弧分别相等 【注意事项】 ()在运用定理、推论时，一定要有“同圆或等圆”的前提条件.若给出等孤，则确定是在同圆或等圆中，而 等弦和长度相等的孤不一定是在同圆或等圆中； (2)在同圆或等圆中，若AB=2A'B,则∠AOB=2∠A'OB'成立，但AB≠2AB'. 知识点③垂径定理及其推论（重点） 文字语言 符号语言 图形语言 垂直于弦的直径⑩ 如图，有以下五个结论： 定理 弦，并且① 弦所对 (1)AD=BD:(2)AC=BC: 的两条弧 (3)AM=④ 平分弦（不是直径）的直径 (4)AB⊥CD: ② 于弦，并且 (5)CD是⊙0的直径 M B 推论 3 弦所对的两 只要满足其中两个，另外三个一定成立， 条弧 即“知二求三” 【易错警示】使用垂径定理的推论时，要注意“弦（不是直径）”这个条件，因为所有的直径都互相平分，但 互相平分的直径不一定互相垂直 【技巧点拨】 (1)运用垂径定理进行有关弦的计算时，常需过圆心向弦作垂线段（弦心距），构造以半径、弦心距、弦的 一半为边的直角三角形，利用勾股定理求解如图1，+（分）尸=户 图1 图2 (2)如图2，AB是⊙0的弦，C是圆上的动，点，则当点C在优孤AB上，且C0⊥AB时，SABc取得最大值， 96 知识点④圆周角定理及其推论（重点） 文字语言 符号语言 图形语言 ·条弧所对的圆周角等于它所 如图，AB是⊙O的直径，点C,D在 定理 对的圆心角的⑤ ⊙0上，则：∠ABC=⑦ 同弧或等弧所对的圆周角 18 ∠AOC,∠ACB=9 推论1 6 【特别提醒】(1)一条孤只对应一个 半圆（或直径）所对的圆周角是 圆心角，却对应无数个圆周角； 推论2直角，90的圆周角所对的弦是 (2)一条弦对应两条孤，这两条孤所 直径 对的圆周角互补 知识点⑤)圆内接四边形 概念 四个顶点都在同一个圆上的四边形叫作圆内接四边形 (1)圆内接四边形的对角②四 (如图，∠ABC+∠ADC= ① 性质 (2)圆内接四边形的任意一个外角等于和它相邻的内角的对角 (如图，∠DCE=∠BAD) 【知识拓展】连接圆内接四边形的对角线，则必然存在两组相似三角 形，如图，△ABF∽△DCF,△ADF∽△BCF 二阶 母题变式练考点 教材·真题·课标 考点①圆的相关概念与基本性质 ①连接OA,OB,OC,OD,下列结论不一定成 1.(北师九下P68T3改编)下列说法正确的 立的是 是 (填序号) A.OA=OB=AB ①经过已知点，且半径为2cm可以确定唯一 B.∠AOB=∠COD 一个圆： C.AB=CD ②半径为2cm的圆中最长的弦为4cm; D.点O到AB,CD的距离相等 ③圆中任意一条弦都对应两条弧，一条是劣 ②连接BC,AD,求证：BC=AD. 弧，一条是优弧； ④同一个圆中，同一条弧所对的圆心角一定 大于它所对的圆周角 考点2弧、弦、圆心角之间的关系 2.(人教九上P85T1改编)如图，AB,CD是⊙0 的两条弦. (2)若AB=2CD,则弦AB与弦CD的大小关 系是 () A.AB>2CD B.AB=2CD (1)若AB=CD. C.AB<2CD D.AB=CD 97 考点3垂径定理及其推论(8年3考) ∠DAB= 3.(人教九上P83T1改编)如图，CD是⊙0的直 径，且CD=10,AB是弦且不是直径，CD⊥AB 于点E. 变式(2025陕西12题3分)如图，AB为⊙0 的直径，BC=BD,∠CDB=24°，则∠ACD的度 数为 (1)下列结论不一定正确的是 ( A.AE=BE B.OE=DE C.AO=CO D.AD=BD (2)若AB=8. 6.(2024陕西11题3分)如图，BC是⊙0的弦， ①AE= ,0E= .ED= 连接OB,OC,∠A是BC所对的圆周角，则∠A CE= 与∠OBC的和的度数是 ②若F是⊙0上的动点（不与点A,B重合）， 则△ABF面积的最大值为 (3)若劣弧AB沿AB所在直线向上翻折，恰好 经过圆心O,则AB= 4.(2023陕西7题3分)陕西饮食文化源远流 考点5圆内接四边形 长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图2 7.(北师九下P83习题T1)如图，四边形ABCD 是从正面看到的一个“老碗”（图1）的形状示 是⊙0的内接四边形，若∠B0D=140°，则∠A 的度数为 () 意图.AB是⊙0的一部分，D是AB的中点，连 接OD,与弦AB交于点C,连接OA,OB.已知 AB=24cm,碗深CD=8cm,则⊙0的半径OA 为 A.40° B.70° C.110° D.140° D 变式如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交 图1 图2 于点A,B,点A的坐标为(0,2)，M为第三象 A.13 cm B.16 cm 限内0B上一点，∠BM0=120°，则⊙C的半 C.17 cm D.26 cm 径为 考点4圆周角定理及其推论（必考） 5.(北师九下P73T3改编)如图，AB为⊙0的直 径，C,D是⊙O上两点，且OD∥BC,∠BAC= C 26°，则∠BCA= °，∠B= ∠ADC= °，∠D0B= 98 重难点与圆的性质有关的分类讨论 8.已知⊙0的半径等于4，AB为⊙0的弦，其长为42，求弦 类型1当已知弦，求其对应的圆周角度数 AB所对的圆周角的度数 时，需要分类讨论： (1)如图1，当圆周角的顶点在优孤上时， 1 LB= 2<e; (2)如图2，当圆周角的顶点在劣孤上时， ∠B=180°-2∠a 1 a B 变式1A,B为⊙0上的两个定点，P为⊙0上的动点(P B C 不与A,B重合).若⊙0的半径为1，AB=1,则∠APB的度 图1 图2 数为 类型2已知两弦平行，但两弦的位置不确 变式2已知点0是三角形ABC的外心，∠BOC+∠A=定时，需要分类讨论： 240°，则∠A的度数为 如图，设两条平行弦之间的距离为d: 9.往一个水平放置的直径为26cm的圆柱形容器内装入一些 (1)如图1，两条平行弦在圆心异侧， 水以后，若水面宽AB=24cm,求水的深度. d=0E+OF; (2)如图2，两条平行弦在圆心同侧， d=OF-OE. 图1 图2 此类问题的解题步骤如下： 分类 当弦AB,CD讨论在圆心同侧 位置不定时画图在圆心异侧 过圆心 作垂线利用垂径定理和勾 变式如图，一下水管道横截面为圆形，直径为200cm,下 连半径股定理求线段长度 雨前水面宽为120cm,一场大雨过后，水面宽为160cm,则 水位上升 cm 温馨提示请完成分层练习册P59~P61习题 99