第6单元 第24节 圆的相关概念与性质-【众相原创·赋能中考】2026年数学课堂精讲册（贵州专用）

第六单元圆 ⑧单元知识体系 孤、弦、圆心角、圆周角 相关概念与基本性质对称性 孤、弦、圆心角 圆的相关 之间的关系 关系 概念与性质 垂径定理 圆周角定理及推论 圆内接四边形 点与圆的位置关系 与圆有关的 位置关系 面线与圆的位置关系礼切线的性质、切线长定理 三角形的内切圆和外接圆 孤长扇形面积：上微-需 nitr 与圆有关 的计算 圆维的相关计算：S=πrl,V=了Sh 正多边形与圆 ③2022年版课标重要变化 ①知道同弧（或等孤）所对的圆周角相等：（新增） ②探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧：（调整为考查内容） ③探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆士一点画圆的切线.（删除）】 第24节 圆的相关概念与性质 核心知识全梳理 教材·课标 知识点①)圆的相关概念与基本性质 1. 相关概念 定义 数学表达 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周，另 圆 个端点A所形成的图形叫作圆.其固定的端点O是① 如图，点A,B,C,D均在 ⊙0上 线段OA是② 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦：③ 是圆中最长的弦 圆上任意两点(A,B)间的部分叫作圆弧，记作AB 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫 则图中的弦有CD,BD: 作半圆 半径有⑤ 弧 大于半圆的弧叫作优弧（用三个点表示）：小于半圆的弧叫作 直径有⑥ 劣弧 优弧有⑦ 劣弧有⑧ 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫作等弧 圆心角有⑨ 圆心角 顶点在④ 的角叫作圆心角 圆周角有0 圆周角 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角 (各填出一个即可) 101 2. 基本性质 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.过① 的任意一条直线都是它的对称 对称性 轴，② 是它的对称中心 旋转不变性 圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合 3. 圆的确定 (1)由圆心和半径可以确定一个圆； (2)不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆. 知识点2)弧、弦、圆心角之间的关系 内容 数学表达 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所 如图，以下三个结论： 定理 对的弦也相等 (1)圆心角相等： ∠AOB=∠A'OB'; 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对 推论1 的圆心角③ (2)弧相等：AB=A'B: ,所对的弦④ (3)弦相等：AB=A'B 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对 只要满足其中一个，另外两个一定成立， 推论2 的圆心角⑤ ,所对的弧⑥ 即“知一求二” 知识点③)垂径定理及其推论(2022版课标调整为考查内容) 内容 数学表达 如图，有以下五个结论： 垂直于弦的直径平分弦，并 定理 且平分弦所对的两条弧 (1)AD=BD:(2)AC=⑩ (3)AM=⑧ ； 0 (4)AB⊥CD: M 平分弦（不是直径）的直径 (5)9 是⊙0的直径 推论 垂直于弦，并且平分弦所对 只要满足其中两个，另外三个一定成立，即“知二求三”（若由 的两条弧 (3)(5)推其他三个结论，应满足AB不是直径) 【技巧点拔】运用垂径定理进行有关弦的计算时，常过圆心向弦作垂线段（弦心距），利用半径、弦心距、 弦的一半组成的直角三角形进行求解， 知识点4)圆周角定理及其推论（重点） 内容 数学表达 条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 如图，AB是⊙0的直径，点C,D在⊙0上，则： 定理 角的一半 ∠ABC=① =2 ∠AOC,∠ACB= 3 同弧或等弧所对的圆周角②④ 推论1 (2022版课标新增) 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90° 推论2 的圆周角所对的弦是直径 D 102 【特别提醒】(1)一条孤只对应一个圆心角，却对应无数个相等的圆周角： (2)一条弦对应两条孤，这两条孤所对的圆周角互补 当已知弦，求其对应的圆周角度数时，需分类讨论： ①如图1，当圆周角的顶点在弦所对的优孤上时，∠B= 2∠a; B C ②如图2，当圆周角的项点在孩所对的劣孤上时，∠β=180°-1 ∠a 图1 图2 知识点⑤圆内接四边形的性质 1.概念：四个顶点都在同一个圆上的四边形叫作圆内接四边形 2.性质 (1)圆内接四边形的对角互补（如图，∠ABC+∠ADC=②四 (2)圆内接四边形的任意一个外角等于和它相邻的内角的对角（如图， ∠DCE=②5 【知识拓展】根据圆周角定理，则必然存在两组相似三角形，如图，△ABF∽△DCF,△ADF∽△BCF 贵州考法变式练 教材·真题·课标 考点1圆的相关概念与基本性质(2024.14) 考点2弧、弦、圆心角之间的关系(2025. 1.(北师九下P73T3改编)如图，AB是⊙0的 23涉及) 直径 3.(人教九上P84思考改编)如图，AB,CD是 ⊙0的两条弦. (1)若AB=CD ①连接OA,OB,OC,OD,下列结论不一定成立 的是 ( (1)图中有 条弦，圆周角是 A.OA=OB=AB 圆心角是 B.∠AOB=∠COD (2)CA是 弧，CAB是 弧； C.AB=DC (3)若⊙0中最长的弦是12cm,则D0的长 D.点O到AB,CD的距离相等 是 cm; ②连接BC,AD,求证：BC=AD (4)连接DB,若∠ODB=60°，则∠DOB的度 数是 2.（2025遵义红花岗区一模)如图，网格中每个 小正方形的边长均为1，点A,B,D都在格点 上，以A为圆心，AB长为半径画弧，交网格线 于点C,则CD的长为 ( (2)易错若AB=2CD,则下列结论成立的是 A.√7 B.3.7 A.∠AOB=∠COD B.AB=2CD C.4-√2 D.√15 C.AB<2CD D.AB=CD 103 【特别提醒】(1)在运用定理、推论时，一定要有6.如图，在△ABC中，CB与⊙0相交于点D,CA “同圆或等圆”的前提.若给出等孤，则可确定是 与⊙0相交于点E. 在同圆或等圆中.而等弦和长度相等的孤不一定 A 是在同圆或等圆中： (2)在同圆或等圆中，若AB=2A'B,则∠AOB= 2∠A'OB成立，但AB=2A'B'不成立. (1)从下面①②③中选取两个作为已知条 考点3垂径定理及其推论 4.(人教九上P83T1改编)如图，CD是⊙0的直 件，另一个作为结论，并证明： 径，AB⊥CD于点E. ①AB是⊙O的直径； ②AC=AB; ③DC=DB. (2)在(1)的条件下，若BC=6,AB=5,连接 D BE,求BE的长 (1)下列结论不一定正确的是 ( A.AE=BE B.OE=DE C.AO=CO D.AD=BD (2)若AB=8,CD=10. ①AE= ,OE= ED= CE= ； ②若F是⊙0上的动点（不与点A,B重合）， 则△ABF面积的最大值为 点拨：根据圆中最长的弦是直径，底边长为定值， 则三角形的高与直径重合时，面积最大.(@链 接：圆中最值问题见本书P109小专题6) 考点4圆周角定理及其推论(2025.23涉及， 2023.23涉及，贵阳2年必考) 5.（2025毕节织金县三模)如图，AB是⊙0的直 径，CD是⊙O的弦，连接AD,BC,BD.若 ∠BCD=20°，则∠ABD= 0 考点5圆内接四边形的性质 7.(北师九下P84T3改编)如图，四边形ABCD 内接于⊙O,E为DC延长线上一点，∠A= 40°，则∠BCD的度数为 ,∠BCE 的度数为 【解题技巧】与圆的基本性质有关的辅助线作 法：(1)作半径，巧用同圆的半径相等（本节T2); (2)连接圆上两，点，巧用同孤所对的圆周角相等 (本节T5);(3)作直径，巧用直径所对的圆周角 是直角（圆周角定理的推论2） 温馨提示请完成分层练习册P56~57习题 104(2)连接AC. ·E为BC的中点，AE⊥BC,AE垂直平分BC, .AC=AB,由(I)得AB=BC,.△ABC是等边三角形， .∠ABC=60°，.∠BCD=120°， ∴.∠EAF=360°-120°-90°-90°=60° 又.AE=AF,∴.△AEF是等边三角形， ·△4EF的面积=4AE=4X4=43 4 第23节正方形（含中点四边形) 核心知识全梳理 ①AD/BC②相等③90°④垂直平分⑤平分⑥4 ⑦对角线的交点⑧相等⑨垂直O相等①AC=BD 2AB=AD,∠DAB=90°（答案不唯一）BAC⊥BD④菱形 5矩形6正方形 贵州考法变式练 1.(1)45(2)67.5(3)①8242②3216③42 2.A3.B 4.(1)证明：.·四边形ABCD为正方形 .∴AB=AD,AB∥CD,∠A=∠D=90°. 又.MF∥AD,.四边形AMFD为矩形 .∠MFD=∠MFN=∠BMF=90°，AD=MF,AB=ME. :BE的垂直平分线交AB于点M,交CD于点N,垂足为 O,∴.∠BMO+∠MB0=∠FMW+∠BM0=90°， ∴.∠MBO=∠FMN. 在△ABE和△FMN中. |∠A=∠MFN, AB=MF. N∠ABE=∠FMN. ·.△ABE≌△FMN(ASA): (2)解：.∠MOB=∠A=90°，∠ABE是公共角， ∴.△BOM∽△BAE,∴.OM:AE=BO:BA .AB=8,AE=6,..BE=VAB+AE=10, 40=28E=50N6=5:8.0W=15 25 .:△ABE≌△FMN,∴.M=BE=10,∴.ON=MN-MO= 5.菱6.(1)A(2)正方形22 7.（1)证明略： (2)解：选择小红：DE∥AB,DFAC. ·.四边形AFDE是平行四边形 又.·∠BAC=90°，∴.四边形AFDE是矩形 (答案不唯一，选择一种证明即可) 【新教材素材】4 单元整合提升 易错题专练 1.5,6,7【变式】B2.C3.D【变式】B 4.2或10【变式】4或12 第六单元圆 第24节圆的相关概念与性质 核心知识全梳理 ①圆心②半径③直径④圆心⑤0A(或0B,0D) ⑥BD⑦ADB(或BAC,CAD,ABD,ADC)⑧AB(或BC C⑦，AD,AC)⑨∠AOB(或∠AOD)①∠BDC①圆心 2圆心B相等④相等⑤相等G相等⑦BC BBM 9CD相等①LADC②} ☒90°②4④180° 2 5∠BAD 贵州考法变式练 1.(1)2∠CAB∠DOB.∠DOA(2)劣优(3)6 (4)60° 2.D3.(1)①A②证明略.(2)C 4.(1)B(2)①4328②325.70 6.解：(1)①②为条件，③为结论，证明略：（答案不唯一） (2)连接BE, BC=6,.BD=3 AD=√AB-BD=√5-3=4， 由题意得AD⊥BC,BE⊥AC, SA =2 BCXAD=ACXBE, 由()得4C=A=5,即宁×6X4=X5B,解得B= 5 7.140°40° 第25节与圆有关的位置关系 核心知识全梳理 ①<②=③<④相切⑤>⑥1⑦0⑧垂直 ⑨半径四-①垂直卫半径BB75角平分 线0180°⑦0EB0F9垂直平分线②①0B①0C 贵州考法变式练 1.(1)上内相交(2)相切相离2.A 3.证明：连接OE交AC于点F E是AC的中点，.0E垂直平分AC,∠OFC=90° BC⊥DE于点D,AB为⊙O的直径， ∴.∠EDB=∠ACB=90°，∴.DE∥AC .∴.∠0ED=∠0FC=90° OE是⊙0的半径，且DE⊥OE,∴DE是⊙O的切线。 4.(1)12(2)60 525(2525 33 6.(1)∠1（答案不唯一）△BCD (2)证明略； (3)解：四边形OAEB是菱形.理由如下： :CE是⊙O的直径，△ABC是等边三角形 0A=0B=)CE,LCME=90°，L1E7∠ACB=30 13