专题06正方形与三角形中位线专项训练(14大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题06正方形与三角形中位线专项训练 题型01.正方形的性质及应用 题型02.正方形折叠问题 题型03.证明四边形是正方形 题型04.由正方形的性质与判定证明 题型05.由正方形的性质与判定求角度 题型06.由正方形的性质与判定求线段长 题型07.由正方形性质与判定求面积 题型08.正方形性质与判定的实际应用 题型09.正方形与最值问题 题型10.正方形规律探究问题 题型11.正方形动点问题 题型12.正方形与平面直角坐标系综合 题型13.正方形多结论判断题 题型14.三角形中位线综合 解答题6题 知识点01.正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 本质：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形（邻边相等的矩形）、特殊的菱形（有一个直角的菱形），集合了矩形与菱形的所有特征。 知识点02.正方形的性质（核心） 正方形具备平行四边形、矩形、菱形的全部性质： 类别 性质描述 几何语言（以正方形 ABCD 为例) 图示 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 知识点03.正方形的判定（核心） 知识点04.正方形与特殊平行四边形的关系 性质对比： 图形 对边平行 四边相等 四角直角 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 √ × × × × 矩形 √ × √ √ × 菱形 √ √ × × √ 正方形 √ √ √ √ √ .知识点05:三角形的中位线 1. 核心定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线；一个三角形有3 条中位线。 2. 中位线定理（核心性质） 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 DE∥BC，DE =AB。 . 题型01.正方形的性质及应用 1．如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．正方形一条对角线长为，则周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 3．如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积和为（    ） A．313 B．225 C．169 D．144 4．在如图所示的正方形中，点E在边上，把绕点C顺时针旋转得到，且，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 5．已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点E，则______． 6．若正方形对角线的长为，则面积为___________． 7．如图，以正方形的边的中点为原点建立平面直角坐标系．若点的坐标为，则点的坐标为___________． 8．如图，在正方形的外侧，作等边，则__________度． 9．在菱形中，，以为边作正方形，连接，则的度数为___________． 10．如图，四边形和四边形都是正方形．连接．若点是线段上的一点，且，则为________． 11．如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是_______． 题型02.正方形折叠问题 12．如图，将正方形纸片折叠，为折痕，点落在对角线上的点处，则的度数为_______________．    13．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后，点落在平面内的点处，则点的坐标为_______． 14．如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型03.证明四边形是正方形 15．下列命题为真命题的是(   ) A．四边相等的四边形是正方形 B．有一组邻边相等的矩形是正方形 C．对角线相等的四边形是正方形 D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 16．下列条件中能判断一个四边形是正方形的是（    ） A．对角线互相垂直且相等 B．一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角为90度 C．对角线平分每一组对角 D．四边相等且有一个角是直角 17．四边形的对角线、相交于点，下面能判定是正方形的条件是（      ） A．， B． C．，， D．， 18．如图，在中，，C为线段上一点，且，，将沿翻折，点A落在点D处，延长至点E，连接，且，则的值是（    ）    A． B． C． D．5 题型04.由正方形的性质与判定证明 19．如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C．四边形EFPQ是正方形 D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半 20．如图，在矩形中，其中平分，交于点，交于点，以为边，作．则下列结论：    ①；②矩形的面积等于的面积；③；④四边形是正方形； 其中一定正确的结论是______．（填写所有正确结论的序号） 21．如图，已知四边形为正方形．为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①；②矩形是正方形；③；④平分．其中结论正确的序号有（   ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 题型05.由正方形的性质与判定求角度 22．如图，在矩形中，．若点P满足，且，则__________．    23．如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点，连．若，，则与的和为______度；且另一条直角边的长为______．    24．将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 题型06.由正方形的性质与判定求线段长 25．如图，延长到点E，使，以正方形的对角线为一边，以为另一边作菱形．若菱形的面积为，则正方形的边长为（   ） A．2.5 B．3 C．4 D．12 26．如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（    ） A．10 B． C． D． 27．如图，在正方形中，为中点，连接，将沿所在的直线翻折到正方形所在的平面内得，连接、，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型07.由正方形性质与判定求面积 28．如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 29．如图，点是正方形的中心（对角线的交点），以点为直角顶点作，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为8，则重叠部分四边形的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 30．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边分别作正方形BAHI，正方形BCFG与正方形CADE，延长BG，FG分别交AD，DE于点K，J，连接DH，IJ．图中两块阴影部分面积分别记为S1，S2．若S1：S2=1：4，S四边形边BAHE=27，则四边形MBNJ的面积为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 题型08.正方形性质与判定的实际应用 31．如图为某城市部分街道示意图，四边形为正方形，点E在对角线上，，，，小敏行走的路线为，小聪行走的路线为，若小敏行走的路程为，则小聪行走的路程为_________． 32．如图，有一块边长为1米的正方形木板，李师傅按图中尺寸锯掉一角，剩下木板的周长是_______． 33．如图所示的是一块大正方形地板砖，上面的图案是由四个全等的五边形和一个小正方形组成的．若，点是的中点，则图中大正方形地板砖的边长为____________． 34．如图①是手工课上红红剪的窗花，军军将其轮廓绘制到平面直角坐标系中，得到如图②所示的示意图，其中是正方形和正方形的中心，且正方形的顶点均在坐标轴上，与轴平行，若，则与的交点的坐标为（   ） A． B． C． D．. 题型09.正方形与最值问题 35．如图，在边长为2的正方形中，，分别是边，上的动点，且始终满足，，交于点．连接，则线段的最小值为_______． 36．如图，正方形边长为4，以为圆心，为半径画弧，为弧上动点，连接，取中点，连接，则最小值为________________ ． 37．如图，在边长为4的正方形中，与相交于点O，E是同一平面内的一动点，，F是的中点，连接，则的最小值为（） A． B． C． D．2 38．【阅读材料】 在平面几何中，求两条线段和的最小值时可运用转化思想，通过平移将分散的线段转化到同一条直线上，再结合两点之间线段最短及勾股定理等基本性质求解． 【方法应用】 (1)如图①，在边长为6的正方形中，E是的中点，P、Q分别是边、上的动点，且交于F，则______． (2)如图②，在（1）的条件下，连接和，求的最小值． (3)如图③，在中，，点D、E分别在边和上，连接．若，，则的最小值是______． 题型10.正方形规律探究问题 39．如图，正方形的面积为4，分别取，，，的中点得到正方形；再分别取，的中点得到正方形；…．则正方形．的面积为_______ 40．如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形…、正方形，使得点、、、…在直线l上，点、、、…在y轴正半轴上，则点的坐标是__________________． 41．如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为__________． 42．如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点的坐标为，是等边三角形，点坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……，则的坐标是___________． 43．正方形，…按如图所示的方式放置．点，…和点，…分别在直线和x轴上，已知点，则的坐标是（      ） A． B． C． D． 44．在平面直角坐标系中，不同的两点，给出如下定义： 若，则称点互为“等距点”．例如，点互为“等距点”． (1)四个点中，能与坐标原点互为“等距点”的是_____． (2)已知， ①若点是点的等距点，且点在轴上方，且满足的面积为1，求点的坐标． ②已知正方形对角线的交点为，正方形的各边均与坐标轴平行，且边长为2，若正方形上存在一点与点互为等距点，请直接写出的取值范围． 题型11.正方形动点问题 45．如图，正方形的边长为4，E为正方形内的一个动点，连接且满足，线段的最小值为__________________． 46．如图，在边长为6的正方形中，点为对角线上一动点，于于，则的最小值为________． 47．如图，在边长为3的正方形中，点，分别是边，上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 48．如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，，有以下结论∶ ①；②；③；④的最小值为⑤当为等腰三角形时，的面积为8或．其中正确结论的序号为（   ） A．①②③⑤ B．②③④⑤ C．①②③④ D．①③④ 49．如图①，在正方形中，P为线段上的一个动点，线段于点E，交线段于点M，交线段于点N． (1)求证：； (2)如图②，若线段垂直平分线段，分别交，于点E，F．求证：． 题型12.正方形与平面直角坐标系综合 50．正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点坐标，点坐标，则点坐标是________． 51．如图，在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，点O为坐标原点，已知B点横坐标为，则A点坐标为______ ． 52．如图，已知点的坐标为，，点在轴的正半轴上，边长为的正方形绕点旋转，当、、三点共线时，（   ） A． B．或 C．或 D．或 53．如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点E是延长线上一点，M是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点N． (1)①直接写出点C的坐标；②求证：； (2)如图2，若，在上找一点P，使四边形是平行四边形，求点P的坐标； (3)如图，连接交于F，连接，下列两个结论： ①的长为定值； ②平分，其中只有一个正确，选择并证明． 题型13.正方形多结论判断题 54．如图，直线l交正方形的对边，于点P，Q，正方形和正方形关于直线l对称，点H在边上，点B在边上，，交于点M，，交于点N，以下结论正确的是（　　） A．的周长等于线段的长 B．的周长等于线段的长 C．的周长等于线段的长 D．的周长等于线段的长 55．如图，在正方形中，是边上一点，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连结交于点，连结．给出下面四个结论：①；②平分；③；④若是中点，则也是中点．上述结论中，正确结论的序号有________ 56．如图，正方形中，点E在上，且，点F是的中点，延长与的延长线交于点M．以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有_______________（填序号） 57．如图，在正方形中，点O是对角线的交点，过点O作射线分别交于点E、F，且，交于点G．给出下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④．其中正确的有______．（填序号） 题型14.三角形中位线综合 58．如图，小张想估测被池塘隔开的两处景观之间的距离，他先在外取一点，然后步测出的中点，并步测出的长约为，由此估测之间的距离约为（   ） A． B． C． D． 59．若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（　　） A．对角线相等的四边形 B．对角线相等的平行四边形 C．等腰梯形 D．对角线互相垂直的四边形 60．如图，为测量池塘两端A，B的距离，在池塘外选一点C，连接，，分别在线段，上取中点D，E，测得米，则的距离为（   ） A．7.5米 B．15米 C．22.5米 D．30米 61．如图，在中，D、E、F分别是、、的中点，若的周长为，则的周长是 _______． 62．顺次连接正方形四边中点所得的四边形的面积与原正方形的面积的比为______． 63．如图，为测量池塘岸边A，B两点之间的距离，小亮在池塘的一侧选取一点O，测得的中点D，E之间的距离是9米，则A，B两点之间的距离是_______． 64．如图，在Rt中，，，，是平面内一点，且．点是中点，点在线段上，且，连接，则线段的最大值为_____． 65．如图，正方形中，为对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点，交于点，若为的中点，则的值为________． 66．如图，正方形，延长至点E，使，连接平分交于点F，点G为中点，连接与相交于点P．下列结论： ①；②四边形是平行四边形，③； ④是等腰三角形，⑤；⑥，其中结论正确的是_______（只填写序号）． 解答题 67．四边形是正方形，将线段绕点A逆时针旋转至，旋转角为，.连接，与交于O点，过点D作，垂足为点F，连接． (1)如图1，当时，的度数为_________． (2)如图2，当时，用等式写出的数量关系，并证明． (3)在旋转过程中，当时，若，求的长． ∵四边形是正方形， ∴， 68．如图1，正方形的边长为4，连接，点E为线段上任意一点（点E不与B，D重合），过点E作分别交，于点H，F．点G为的中点，连接． (1)若，则_________，_________； (2)如图2，连接，．求证：且； 69．按要求解答问题： 【初步实践】 (1)如图1，在长方形中，若，对角线与相交于点，在线段上任取一点（端点除外），连接，． 求证：； 【问题探究】 (2)如图2，将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处，当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； 【迁移探究】 (3)请帮助小明探究与的数量关系，并说明理由． 70．如图1，在中，对角线与交于点，点关于的对称点为点，连接，，． (1)求证：； (2)当，且时． 如图，若，，三点共线，求四边形的周长； 如图，若，求四边形的面积（直接写出答案）． 71．如图，在中，D，E分别为，的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求AC的长． 72．图①、图②均是的正方形网格．每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点都是格点，点D为线段与水平网格线的交点．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)______度； (2)图①中，在上取点E，使；在线段上找一点F，使； (3)图②中，作点D关于直线的对称点G． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06正方形与三角形中位线专项训练 题型01.正方形的性质及应用 题型02.正方形折叠问题 题型03.证明四边形是正方形 题型04.由正方形的性质与判定证明 题型05.由正方形的性质与判定求角度 题型06.由正方形的性质与判定求线段长 题型07.由正方形性质与判定求面积 题型08.正方形性质与判定的实际应用 题型09.正方形与最值问题 题型10.正方形规律探究问题 题型11.正方形动点问题 题型12.正方形与平面直角坐标系综合 题型13.正方形多结论判断题 题型14.三角形中位线综合 解答题6题 知识点01.正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 本质：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形（邻边相等的矩形）、特殊的菱形（有一个直角的菱形），集合了矩形与菱形的所有特征。 知识点02.正方形的性质（核心） 正方形具备平行四边形、矩形、菱形的全部性质： 类别 性质描述 几何语言（以正方形 ABCD 为例) 图示 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 知识点03.正方形的判定（核心） 知识点04.正方形与特殊平行四边形的关系 性质对比： 图形 对边平行 四边相等 四角直角 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 √ × × × × 矩形 √ × √ √ × 菱形 √ √ × × √ 正方形 √ √ √ √ √ .知识点05:三角形的中位线 1. 核心定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线；一个三角形有3 条中位线。 2. 中位线定理（核心性质） 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 DE∥BC，DE =AB。 . 题型01.正方形的性质及应用 1．如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四边形为正方形，得到，平分，即可求出． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，平分， ∴． 2．正方形一条对角线长为，则周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】利用正方形四角为直角的性质，结合勾股定理求出边长，再计算周长即可得到结果． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵正方形的四个内角都是直角，对角线长为， ∴根据勾股定理得， 整理得， ∵边长为正数， ∴， ∴正方形的周长为． 3．如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积和为（    ） A．313 B．225 C．169 D．144 【答案】B 【分析】利用勾股定理，结合正方形面积公式求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴． ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和正方形的面积和为． 4．在如图所示的正方形中，点E在边上，把绕点C顺时针旋转得到，且，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得到，，由旋转的性质推出，求出，即可得到答案； 【详解】解：四边形是正方形， ，， 由旋转得， ， ， ， 旋转角的度数是， 故选：C． 【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 5．已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点E，则______． 【答案】/22.5度 【分析】利用正方形的性质得到，，从而证得是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形性质求得，最后利用角平分线的定义即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵平分， ∴． 6．若正方形对角线的长为，则面积为___________． 【答案】9 【分析】本题考查了勾股定理和正方形面积的知识，解题的关键在于发现正方形的对角线与边的关系； 本题根据对角线的长，可由勾股定理求出其边长，面积又等于边长边长，通过作图可以使题目更加清晰明了； 【详解】解：如下图所示：下图为对角线的正方形， ， 设正方形的边长为：， 在中，，， 由勾股定理得：， 即， 解得，； ∴该正方形的面积为：． 故答案为：9； 7．如图，以正方形的边的中点为原点建立平面直角坐标系．若点的坐标为，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称点的性质以及正方形性质，根据题意得：D与C关于原点对称，进而得出答案． 【详解】解：∵以正方形的边的中点为原点建立坐标系，点的坐标为， ∴点D的坐标为，， ∴， 故答案为：． 8．如图，在正方形的外侧，作等边，则__________度． 【答案】45 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出为等腰三角形，三角形的内角和定理求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵正方形，等边， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：45． 9．在菱形中，，以为边作正方形，连接，则的度数为___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了菱形的性质和正方形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据题意，分两种情况进行讨论，画出图形，利用菱形和正方形的性质求出相关的角，再利用角的和差进行求解即可． 【详解】解：①如图所示， ∵四边形为菱形，且， ∴，和为等边三角形， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②如图所示， ∵四边形为菱形，且， ∴和为等边三角形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上，的度数为或． 故答案为：或． 10．如图，四边形和四边形都是正方形．连接．若点是线段上的一点，且，则为________． 【答案】 【分析】先根据正方形的性质得，整理得 ，得，则，运用勾股定理算出，根据等面积法进行列式计算得，再证明四边形是矩形，得，，运用勾股定理，在中，，即可作答． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形．， ∴，， 则，， 即， ∴， ∴， ∵，且 ∴ 即 过点G作，过点G作，如图所示： ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中， 11．如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是_______． 【答案】4 【分析】本题考查了利用平方差公式求面积，数形结合，正确表示出阴影部分的面积是解此题的关键．由题意得出，表示出，即可得出答案． 【详解】解：如图， 大正方形与小正方形的面积之差是8， ， 由图可知： ， 故答案为：4． 题型02.正方形折叠问题 12．如图，将正方形纸片折叠，为折痕，点落在对角线上的点处，则的度数为_______________．    【答案】 【分析】先由正方形的性质得到，再由折叠的性质可得，则可得． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后，点落在平面内的点处，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了图形的翻折变换和正方形的性质，要会根据点的坐标求出所需要的线段的长度，灵活运用勾股定理． 过点作，因为，，所以，，根据勾股定理得，故，即点的坐标即可求解． 【详解】解：过点作，如图所示： 四边形是正方形，点的坐标是， ，， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， 即点的坐标为， 故答案为：． 14．如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了正方形和折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积公式及平行线的判定．先根据正方形和折叠的性质分析图形中的边和角关系，再通过全等三角形的判定、勾股定理、面积计算及平行线判定逐一验证四个结论的正确性． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵正方形边长是12， ， 设，则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，，，故②正确； ，故③错误； ， ， ，， ， ，故④正确； ∴①②④正确， 故选：B． 题型03.证明四边形是正方形 15．下列命题为真命题的是(   ) A．四边相等的四边形是正方形 B．有一组邻边相等的矩形是正方形 C．对角线相等的四边形是正方形 D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 【答案】B 【分析】利用正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】A、四边相等的四边形是菱形，故错误，是假命题，不符合题意； B、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，是真命题，符合题意； C、对角线相等的菱形是正方形，故错误，是假命题，不符合题意； D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误，是假命题，不符合题意． 故选： B． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定方法，难度不大． 16．下列条件中能判断一个四边形是正方形的是（    ） A．对角线互相垂直且相等 B．一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角为90度 C．对角线平分每一组对角 D．四边相等且有一个角是直角 【答案】D 【分析】根据各个选项中的说法，可以判断能否构成正方形，不正确的说明理由或举出反例即可． 【详解】解：对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，但是对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，如等腰梯形中的对角线就有可能垂直且相等，故选项A不符合题意； 一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角为90度的四边形不一定是正方形，如直角梯形，故选项B不符合题意； 对角线平分每一组对角的四边形不一定是正方形，如菱形，故选项C不符合题意； 四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定，解答本题的关键是明确正方形的判定方法． 17．四边形的对角线、相交于点，下面能判定是正方形的条件是（      ） A．， B． C．，， D．， 【答案】D 【分析】此题主要考查了正方形判定，掌握这些正方形的判定方法即可． 根据正方形的性质与判定，（1）对角线相等的菱形是正方形，（2）对角线互相垂直的矩形是正方形，（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，（4）一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形，（5）一组邻边相等的矩形是正方形，（6）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，（7）四边均相等，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形（8）有一个角为直角的菱形是正方形，（9）既是菱形又是矩形的四边形是正方形，逐个选项进行判断即可得出答案． 【详解】解：A．；可判定四边形是平行四边形，不能判定它是正方形； B．；可判定四边形是矩形，不能判定它是正方形； C．，可判定四边形是平行四边形，再有可判定它是菱形，不能判定它是正方形； D．可判定四边形是矩形，再有又可判定它是菱形，所以可以判定它是正方形． 故选：D． 18．如图，在中，，C为线段上一点，且，，将沿翻折，点A落在点D处，延长至点E，连接，且，则的值是（    ）    A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】如图，过点E作交的延长线于Q，过点O作交的延长线于T，设．可得四边形是矩形，，由，，可得，从而易证，可得，，因此四边形是正方形，，，，，在中，利用勾股定理有，代入构造方程求解即可解答． 【详解】如图，过点E作交的延长线于Q，过点O作交的延长线于T，设．    ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 由折叠可得， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ． ∵由折叠可得， ∴， ∵在中， ∴， 解得， 即． 故选：B 【点睛】本题考查正方形中的折叠问题，正方形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识，利用勾股定理构造方程是解题关键． 题型04.由正方形的性质与判定证明 19．如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C．四边形EFPQ是正方形 D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半 【答案】D 【分析】根据正方形的性质可证得△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，再根据全等三角形的性质和勾股定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠A=∠B=90°， 又CQ=BP ， ∴AB-BP=BC-CQ，即AP=BQ 在△AFP和△BPQ中， ∵AF=BP，∠A=∠B，AP=BQ， ∴△AFP≌△BPQ（SAS）， ∴∠AFP=∠BPQ，故A选项正确，不符合题意； 同理：△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF， ∴PF=PQ=QE=EF， ∴四边形EFPQ为菱形， ∴EF∥QP，故B选项正确，不符合题意； ∵△AFP≌△BPQ ∴∠BPQ=∠AFP， 又∵∠A=90°， ∴∠AFP+∠APF=90°， ∴∠AFP+∠APF=∠BPQ+∠APF=90°， ∴∠FPQ=180°-（∠BPQ+∠APF）=90°， ∴四边形EFPQ是正方形，故C选项正确，不符合题意； 设正方形ABCD的边长为a，BP=AF=x，则， ∴AB=a， ∴， ∴正方形EFPQ的面积为， 而x的值无法确定， ∴四边形PQEF的面积不一定是四边形ABCD面积的一半，故D选项错误，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和勾股定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 20．如图，在矩形中，其中平分，交于点，交于点，以为边，作．则下列结论：    ①；②矩形的面积等于的面积；③；④四边形是正方形； 其中一定正确的结论是______．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识．由矩形的性质和角平分线的性质可得是等腰直角三角形，即，利用证，可得，进而说明四边形是正方形；利用等角的余角相等证明；求得，不能比较与的大小关系，则；设，，则，求得，，说明②不正确． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是矩形，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是正方形，④说法正确； ∵，， ∴，①说法正确； ∵， ∴， ∵，不能比较与的大小关系， ∴，③说法不正确； ∵，四边形是正方形， ∴， 设，，则， ∴ ∴，， ∵，②说法不正确； 综上，一定正确的结论是①④； 故答案为：①④． 21．如图，已知四边形为正方形．为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①；②矩形是正方形；③；④平分．其中结论正确的序号有（   ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】连接，作于点H，于点L，由正方形的性质得，垂直平分，则，因为平分，所以，再推导出，进而证明，得，所以，可判断①正确；由四边形是矩形，，证明四边形是正方形，可判断②正确；再证明，得，可判断③正确；可证明，则，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点H，于点L，则， ∵四边形是正方形， ∴，，垂直平分， ∵E为上一点， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形，故②正确； ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故③正确； ∴， ∵， ∴， ∴平分， 故④正确． 故选：D． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识． 题型05.由正方形的性质与判定求角度 22．如图，在矩形中，．若点P满足，且，则__________．    【答案】 【分析】本题考查正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形与正方形是解题的关键．过点P作交延长线于M，交延长线于N，过点P作于Q，交于E，证明四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，现证明，从而证明四边形为正方形，利用正方形的性质即可得出结论． 【详解】解：过点P作交延长线于M，交延长线于N，过点P作于Q，交于E，如图，    ∵矩形 ∴，，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ， ∴四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ 在与 ∴ ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∴． 故答案为：． 23．如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点，连．若，，则与的和为______度；且另一条直角边的长为______．    【答案】 180 5 【分析】作于点，交的延长线于点，由正方形的性质得，，而，所以；再证明，得，，则四边形是正方形，所以，则，所以，，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，交的延长线于点，则， 四边形是正方形， ，，，， ，， ， ； ， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：180，5．    【点睛】此题重点考查正方形的判定与性质、四边形的内角和等于、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 24．将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的判定与性质．熟练掌握矩形与折叠，正方形的判定与性质是解题的关键． 由矩形与折叠的性质可证四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． 题型06.由正方形的性质与判定求线段长 25．如图，延长到点E，使，以正方形的对角线为一边，以为另一边作菱形．若菱形的面积为，则正方形的边长为（   ） A．2.5 B．3 C．4 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、正方形的性质等知识点，理解菱形的性质是解题的关键． 设正方形的边长为，则，再根据菱形的面积列方程求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则， 依题意，得：，即，解得（舍去负值）． 故选C． 26．如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质以及勾股定理可得，如图，连接交于点，根据菱形的性质结合可得，再利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，对角线长为， ∴， ∴，即 ∴ 如图，连接交于点， ∵将正方形变形为菱形， ∴，，，， ∵ ∴为等边三角形， ∴，， ， ∴． 27．如图，在正方形中，为中点，连接，将沿所在的直线翻折到正方形所在的平面内得，连接、，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，过点作交的延长线于点，设，利用正方形和折叠的性质推导角度关系，证明以及是等腰直角三角形，进而得出与的数量关系即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ， ∵四边形是正方形， ，， 设，则 ， 沿所在的直线翻折得， ，，，， ，，， ，， 为中点， ， ， ， ， ，， ，，， ， 又， ， ， 又， 是等腰直角三角形， 设， 则， 在和中， ， ， ， ， ． 题型07.由正方形性质与判定求面积 28．如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出的长，再证明四边形是正方形，即可作答． 【详解】在中，，，则：， ∵，，，全等， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是正方形， 则四边形面积为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的性质是解答本题的关键． 29．如图，点是正方形的中心（对角线的交点），以点为直角顶点作，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为8，则重叠部分四边形的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质. 先过点E分别作，，证明四边形是正方形，再得出，故重叠部分四边形的面积为，则，即可作答． 【详解】解：过点E分别作，，如图所示： ∵四边形是正方形，正方形的边长为8， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点E是正方形的中心， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵的两直角边分别交于点M，N， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 则重叠部分四边形的面积为， ∴， 即重叠部分四边形的面积为， 故选：D． 30．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边分别作正方形BAHI，正方形BCFG与正方形CADE，延长BG，FG分别交AD，DE于点K，J，连接DH，IJ．图中两块阴影部分面积分别记为S1，S2．若S1：S2=1：4，S四边形边BAHE=27，则四边形MBNJ的面积为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】先证△CAB≌△DAH（SAS），得∠ADH=90°，则H、D、E三点共线，再证，则BC=FC=FG=BG=2GJ，AC=AD=DE=CE=BC+GJ=3GJ，然后由S四边形BAHE=S△ADH+S梯形ADEB=27，求出GJ=，证△FAN≌△EBM（ASA），则S△FAN=S△EBM，最后由S四边形MBNJ=S矩形CFJE-S四边形BCFN-S△EBM=S矩形CFJE-S△ABC，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形BAHI和四边形CADE都是正方形， ∴AC=AD，AB=AH，∠CAD=∠ABI=∠BAH=∠ADE=90°， ∴∠CAB+∠BAD=∠DAH+∠BAD， ∴∠CAB=∠DAH， 在△CAB和△DAH中， ， ∴△CAB≌△DAH（SAS）， ∴∠ADH=∠ACB=90°， ∵∠ADE=90°， ∴H、D、E三点共线， ∵四边形BCFG和四边形CADE都是正方形，延长BG、FG分别交AD、DE于点K、J， ∴四边形ADJF和四边形BEDK都是矩形，且AF=BE，∠AFN=∠BEM=90°，四边形DKGJ是正方形，四边形CFJE是矩形， ∵S1：S2=1：4， ∴， ∴BC=FC=FG=BG=2GJ， ∵四边形CADE是正方形， ∴∠ADE=90°，AC=AD=DE=CE=BC+GJ=3GJ， 在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB=GJ， 在Rt△ADH中，由勾股定理得：DH==2GJ， ∵S四边形BAHE=S△ADH+S梯形ADEB=27， ∴AD•DH+（AD+BE）•DE=×3GJ×2GJ+（3GJ+GJ）×3GJ=27， 解得：GJ=（负值已舍去）， ∵∠ABC+∠EBM=180°-∠ABI=180°-90°=90°，∠ABC+∠CAB=90°， ∴∠CAB=∠EBM，即∠FAN=∠EBM， 在△FAN和△EBM中，， ∴△FAN≌△EBM（ASA）， ∴S△FAN=S△EBM， ∴S△ABC=S四边形BCFN+S△FAN=S四边形BCFN+S△EBM， ∴S四边形MBNJ=S矩形CFJE-S四边形BCFN-S△EBM=S矩形CFJE-S△ABC =FC•CE-AC•BC =2GJ×3GJ-×3GJ×2GJ=3GJ2=3×（）2=9， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形面积、梯形面积与三角形面积的计算等知识，证明△FAN≌△EBM是解题的关键． 题型08.正方形性质与判定的实际应用 31．如图为某城市部分街道示意图，四边形为正方形，点E在对角线上，，，，小敏行走的路线为，小聪行走的路线为，若小敏行走的路程为，则小聪行走的路程为_________． 【答案】4800 【分析】如图，连接，证明出，得到，推出，证明出四边形是矩形，得到，然后表示出小敏行走的路程和小聪行走的路程，然后整体代入求解． 【详解】解：如图，连接 ∵四边形为正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵小敏行走的路线为，小敏行走的路程为， ∴， ∴， ∴， ∵小聪行走的路线为， ∴小聪行走的路程为． 32．如图，有一块边长为1米的正方形木板，李师傅按图中尺寸锯掉一角，剩下木板的周长是_______． 【答案】 【分析】根据正方形求出，利用勾股定理求出，再计算周长即可． 【详解】解：如图， ，， 在中，， 剩下木板的周长为． 33．如图所示的是一块大正方形地板砖，上面的图案是由四个全等的五边形和一个小正方形组成的．若，点是的中点，则图中大正方形地板砖的边长为____________． 【答案】 【分析】本题考查了考查正方形的性质、勾股定理，解题的关键是通过勾股定理计算小正方形中的长度，最后结合“中点”条件确定大正方形边长． 先利用正方形的性质和勾股定理求出的长度，再结合点是中点的条件推导． 【详解】解：四边形是正方形， ，． 设． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得（负值已舍去）． 是的中点， ， 大正方形地板砖的边长为． 故答案为：． 34．如图①是手工课上红红剪的窗花，军军将其轮廓绘制到平面直角坐标系中，得到如图②所示的示意图，其中是正方形和正方形的中心，且正方形的顶点均在坐标轴上，与轴平行，若，则与的交点的坐标为（   ） A． B． C． D．. 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．设与轴交于点，过点作于点，则四边形是矩形，得到，，根据正方形的性质推出，，得到和都是等腰直角三角形，进而得到，，求出，即可求解． 【详解】解：如图，设与轴交于点，过点作于点，则四边形是矩形， ，， 四边形和四边形都是边长为的正方形， ，，，，， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，， ， 点在第二象限内， 点的坐标为， 故选：D． 题型09.正方形与最值问题 35．如图，在边长为2的正方形中，，分别是边，上的动点，且始终满足，，交于点．连接，则线段的最小值为_______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，由正方形的性质得到，．证明，得到．则可证明，进而可得．取的中点，连接，则，根据，可得当C，P，O三点共线时，线段的值最小，最小值为的值，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，． 在和中， ， ， ． ， ， ． 如图，取的中点，连接，则， ∵， ∴当C，P，O三点共线时，线段的值最小，最小值为的值． 在中，由勾股定理，得， ， ∴线段的最小值为． 故答案为： 36．如图，正方形边长为4，以为圆心，为半径画弧，为弧上动点，连接，取中点，连接，则最小值为________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是将转化为，根据三角形三边关系，得出最小值．在上截取，证明和全等，得到，则，由此得出最小值． 【详解】解：在上截取，连接，， ∵正方形边长为4，以为圆心，为半径画弧 ， ∵是中点， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， 的最小值为， 故答案为：． 37．如图，在边长为4的正方形中，与相交于点O，E是同一平面内的一动点，，F是的中点，连接，则的最小值为（） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、直角三角形的外接圆性质、三角形中位线定理以及勾股定理的应用，解题的关键是通过构造辅助线，将求的最小值转化为求的最小值，利用三点共线时线段最短的原理求解． 由，判定点在正方形的外接圆上；延长至使，根据是中点，得出为的中位线，即；利用正方形性质求出，，，再由勾股定理算出；当、、三点共线时最小，即，最后代入中位线公式求得的最小值． 【详解】解：∵E是同一平面内的一动点，， ∴点E为正方形的外接圆上的一点． 如图，延长至点H，使．连接， ∵F是的中点， ∴为的中位线． ∴． 当点，H三点共线且点E在上时，最小，过点O作于点M，如图， ∵四边形为边长为4的正方形， ，． ，． ． ． 的最小值为． 故选C． 38．【阅读材料】 在平面几何中，求两条线段和的最小值时可运用转化思想，通过平移将分散的线段转化到同一条直线上，再结合两点之间线段最短及勾股定理等基本性质求解． 【方法应用】 (1)如图①，在边长为6的正方形中，E是的中点，P、Q分别是边、上的动点，且交于F，则______． (2)如图②，在（1）的条件下，连接和，求的最小值． (3)如图③，在中，，点D、E分别在边和上，连接．若，，则的最小值是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过P作于H，根据矩形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到； （2）将正方形沿翻折，得到正方形，过点作于点，连接，则，过点Q作交于点M，则四边形为平行四边形，则，，推出当Q，M，E三点共线时， 的值最小，得到，根据勾股定理即可得到结论． （3）将沿对折，D的对应点为，将沿对折，E的对应点为，连接，再将沿方向平移，使A与重合，得，得出，当三点共线时，最短，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：如图，过P作于H， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴； （2）解：将正方形沿翻折，得到正方形，过点作于点，连接，则，过点Q作交于点M，则四边形为平行四边形，则，， ∴， ∴当Q，M，E三点共线时，的值最小， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． （3）解：如图，将沿对折，D的对应点为，将沿对折，E的对应点为，连接， ∴，， 再将沿方向平移，使A与重合，如图，得四边形是矩形， ∴， ∴当，，三点共线时，最短， ∵，， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 题型10.正方形规律探究问题 39．如图，正方形的面积为4，分别取，，，的中点得到正方形；再分别取，的中点得到正方形；…．则正方形．的面积为_______ 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质以及勾股定理，属于规律性题目，得到规律求正方形的面积是解题的关键． 首先由勾股定理求得，即可求得正方形与正方形的面积，然后得规律：正方形的面积为． 【详解】解：正方形的面积为4， ． 又分别是，，，的中点， ． 同理可得，， ， 四边形是边长为的正方形，其面积为． 同理可得，的面积为， 四边形的面积为． 故答案为：． 40．如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形…、正方形，使得点、、、…在直线l上，点、、、…在y轴正半轴上，则点的坐标是__________________． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的特征、正方形的性质等知识，学会从特殊到一般的探究方法是解题的关键．先求出、、的坐标，然后发现规律，运用规律即可解答． 【详解】解：∵直线l：与x轴交于点， ∴，即， 且直线l：与y轴的交点坐标为， ∴直线l：与x轴、y轴所围成的三角形是等腰直角三角形， 在正方形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∵轴，即：坐标， 在正方形中，， ∴， 同理可得：， 综上可知：， ∴点的坐标为． 故答案为：． 41．如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积计算，归纳总结．熟练掌握勾股定理，正方形的面积计算和归纳总结出正方形边长的规律是解题的关键． 通过依次计算前几个正方形的边长，找出边长的规律，进而得到第个正方形的边长，再根据正方形面积公式求出面积即可． 【详解】解：， ， ， ， 通过上述分析，可以总结出第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 个正方形的面积为， 故答案为：． 42．如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点的坐标为，是等边三角形，点坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……，则的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形性质，等边三角形性质，根据三角形的运动方式，依次求出点A的对应点，，，的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：正方形顶点M的坐标为， , 是等边三角形，点B坐标是， 等边三角形高为， 由题知，的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 继续滚动有，的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 不断循环，循环规律为以，，，，12个为一组， ， 的坐标与的坐标一样为， 故答案为：． 43．正方形，…按如图所示的方式放置．点，…和点，…分别在直线和x轴上，已知点，则的坐标是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查正方形的性质，待定系数法求一次函数，由图和条件可知，由此可以求出直线为，的横坐标为的横坐标，纵坐标为的纵坐标，因为的横坐标数列为，所以纵坐标为，最后根据规律就可以求出的坐标，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 【详解】解：点，， ， 代入直线可得，解得 直线为， ， 四边形正方形为正方形， ， 的横坐标为，纵坐标为， 的横坐标为，纵坐标为， … 以此类推可得，的横坐标为，纵坐标为， 的横坐标为的横坐标，纵坐标为的纵坐标 ， 故选：A． 44．在平面直角坐标系中，不同的两点，给出如下定义： 若，则称点互为“等距点”．例如，点互为“等距点”． (1)四个点中，能与坐标原点互为“等距点”的是_____． (2)已知， ①若点是点的等距点，且点在轴上方，且满足的面积为1，求点的坐标． ②已知正方形对角线的交点为，正方形的各边均与坐标轴平行，且边长为2，若正方形上存在一点与点互为等距点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)①点的坐标为或；②或． 【分析】（1）根据“等距点”定义，逐点验证即可得到答案； （2）①设，由题意得到，或再由面积为，列式，解得，代入或，即可得到点的坐标为或； ②根据题意，作出图形，设，当与点互为等距点，则情况：在正方形左边上；当在正方形右边上；当在正方形上边时；当在正方形下边时，分类讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：根据“等距点”定义，得： ， ，即与坐标原点不是“等距点”， ∵， ，即与坐标原点互为“等距点”， ，， ，即与坐标原点不是“等距点”， ，， ，即与坐标原点互为“等距点”； 综上所述，与坐标原点互为“等距点”的是； （2）解：①∵，点是点的等距点， ∴设，则，即， 或， 如图所示： 的面积为1， 由图可知，， 解得：， ∵点在轴上方， ∴ ∴当点在上时，由得到；由得到， ∴点的坐标为， 当点在上时，由得到， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或； ②如图所示： ∵，正方形边长为，设，当与点互为等距点，则， ∴当在正方形左边上，有，，即，得到， 解得：或， 当在正方形右边上，有，，即，得到， 解得：或， 当在正方形上边时，有，，再由，解得或，则或， 解得：或， 当在正方形下边时，有，，再由，解得或，则或， 解得：或， 综上所述，若以点为中心，边长为正方形上存在一点与点互为等距点，的取值范围为或． 题型11.正方形动点问题 45．如图，正方形的边长为4，E为正方形内的一个动点，连接且满足，线段的最小值为__________________． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．取中点F，连接，先由四边形是正方形得，而，则，再由勾股定理求得，再根据两点之间线段最短得到不等式，变形为，即可得答案． 【详解】解：如图，取中点F，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为，. 故答案为：． 46．如图，在边长为6的正方形中，点为对角线上一动点，于于，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，证出四边形为矩形，由矩形的性质得出，当时，取得最小值，此时是等腰直角三角形，得出，即可得出结果．本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及垂线段最短问题；熟练掌握矩形的对角线相等是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵于E，于F， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 当时，取得最小值， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： 47．如图，在边长为3的正方形中，点，分别是边，上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】B 【分析】先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为 的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，则的最小值为2.5． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 点是的中点， ， 如图所示，在延长线上截取，连接， ，，， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ，， ， ， 在中， 由勾股定理得， 的最小值为2.5， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 48．如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，，有以下结论∶ ①；②；③；④的最小值为⑤当为等腰三角形时，的面积为8或．其中正确结论的序号为（   ） A．①②③⑤ B．②③④⑤ C．①②③④ D．①③④ 【答案】C 【分析】①连接，易知四边形为矩形，可得；由可得，所以；②延长，交于，交于点，由矩形可得，则；由，则；由四边形为正方形可得，即，所以，即，可得； ③由②中的结论可得；④由于点为上一动点，当时，根据垂线段最短可得此时最小，最小值为，由①知，所以的最小值为．⑤分两种情况：当时 ，当时 ，分别求出的面积，即可判定． 【详解】解：①连接，交于点，如图， ，， ． ， 四边形为矩形． ，． 四边形为正方形， ，． 在和中， ， ． ． ．故①正确； ②延长，交于，交于点， ， ． 由①知：， ． ． ， ． ． 即：， ．故②正确； ③由②知：． 即：．故③正确； ④点为上一动点， 根据垂线段最短，当时，最小． ，， ． ． 由①知：， 的最小值为，故④正确． ⑤当时 ， ∵正方形 ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴ 当时 ， ∵正方形 ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴ 综上，的面积为8或，故⑤错误， 综上，正确的有①②③④， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定，垂线段最短，勾股定理，等腰直角三角形，矩形的判定与性质，此题属四边形综合题目，熟练掌握相关性质是解题的关键． 49．如图①，在正方形中，P为线段上的一个动点，线段于点E，交线段于点M，交线段于点N． (1)求证：； (2)如图②，若线段垂直平分线段，分别交，于点E，F．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点作交于，则，根据平行四边形和正方形的性质求证，然后根据三角形全等的性质即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质和正方形的性质求得，然后根据等边对等角和等量代换求得，根据直角三角形斜边中线的性质得到，结合（1）问结论即可求证． 【详解】（1）证明：如图①，过点B作交于点H，则． 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ． ，即， ∴四边形为平行四边形， ， ； （2）证明：如图②，连接，，． 正方形是轴对称图形，F为对角线上的一点， ，． 垂直平分， ， ， ． ， ， ， ， ． 由（1），知， ， ． 题型12.正方形与平面直角坐标系综合 50．正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点坐标，点坐标，则点坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，图形与坐标等知识．作轴于点E，先求出．再证明，得到，进而求出，即可得到坐标是． 【详解】解：如图，作轴于点E． ∵点坐标，点坐标， ∴． ∵四边形为正方形， ∴， ∴． ∵轴， ∴， ∴ ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴坐标是． 故答案为： 51．如图，在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，点O为坐标原点，已知B点横坐标为，则A点坐标为______ ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，解决本题的关键是证明 过点A，B，作轴，轴于点D，E，证明，根据勾股定理得，，进而可得A点坐标． 【详解】解：如图，过点A，B，作轴，轴于点D，E， ， 在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形， ，， ， ， ，， 点横坐标为， ， ， 点坐标为， 故答案为： 52．如图，已知点的坐标为，，点在轴的正半轴上，边长为的正方形绕点旋转，当、、三点共线时，（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】当点D在上时，过A作轴于P，过C作轴于H，过E作轴于F，先求得点B坐标， 设，则直线的表达式为，证明得到点E坐标，进而利用待定系数法求得直线的函数表达式为，由点B坐标和勾股定理求得，（负值已舍去），则，再利用两点坐标距离公式求解即可；当点E在上时，同理可求解． 【详解】解：根据题意，分两种情况： 当点D在上时，如图，过A作轴于P，过C作轴于H，过E作轴于F， ∵的坐标为，， ∴，则， ∴， 设，则直线的函数表达式为， ∵四边形是边长为的正方形， ∴，，， ∴， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为， 由题意，点B在直线上， ∴，则， ∵， ∴，（负值已舍去）， ∴， ∴； 当点E在上时，如图， 设，同理可求得直线的函数表达式为，，直线的函数表达式为， 由题意，点B在直线上， ∴，则， ∵， ∴，（正值已舍去）， ∴， ∴； 综上，或， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式、正方形的性质、勾股定理、旋转的性质等知识，利用数形结合、分类讨论及函数思想是解答的关键． 53．如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点E是延长线上一点，M是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点N． (1)①直接写出点C的坐标；②求证：； (2)如图2，若，在上找一点P，使四边形是平行四边形，求点P的坐标； (3)如图，连接交于F，连接，下列两个结论： ①的长为定值； ②平分，其中只有一个正确，选择并证明． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) (3)“平分”正确，证明见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质求解即可； ②在上取点P，使得，证明即可； （2）过点N分别作轴于点H，于点Q，连接，先证明，得到，然后证明，得到，再计算的长即可； （3）延长到点A，使得，连接，先证明，再证明，得到，进一步推得，然后过点M作于点P，即可逐步证明． 【详解】（1）①解：， ， 四边形是正方形， ， 点C的坐标是； ②证明：在上取点P，使得， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 平分，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点N分别作轴于点H，于点Q，连接， 由（1）知， 又 四边形是正方形 ， ，， 四边形是平行四边形， ， 点P的坐标为； （3）解：平分成立． 证明如下：如图，延长到点A，使得，连接， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 过点M作于点P， ， ， ， ， 由（1）知， 又， ， 即平分． 【点睛】本题中，3个小题均运用了添加辅助线，构造全等三角形，这是本类题常用的解题方法． 题型13.正方形多结论判断题 54．如图，直线l交正方形的对边，于点P，Q，正方形和正方形关于直线l对称，点H在边上，点B在边上，，交于点M，，交于点N，以下结论正确的是（　　） A．的周长等于线段的长 B．的周长等于线段的长 C．的周长等于线段的长 D．的周长等于线段的长 【答案】A 【分析】过点H作，垂足为L，连接，证明四边形是矩形，得出，，根据证明，得出，根据轴对称得出，，然后等量代换即可求出的周长． 【详解】解：过点H作，垂足为L，连接， ∵正方形， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵正方形和正方形关于直线l对称， ∴， 又， ∴， ∴， 根据轴对称的性质，， ∴，， ∴． 55．如图，在正方形中，是边上一点，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连结交于点，连结．给出下面四个结论：①；②平分；③；④若是中点，则也是中点．上述结论中，正确结论的序号有________ 【答案】①②③ 【分析】根据线段垂直平分线的性质即可判断①；根据平行线的性质以及等腰三角形即可判断②；过点A作于点E，根据角平分线的性质可得， 证明，可得，证明，可得，即可判断③；假设是的中点，此时，可得，不满足三角形的三边关系，故假设不成立，即可判断④． 【详解】解：①∵垂直平分， ∴，故①正确； ②∴， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴，即平分，故②正确； ③过点A作于点E， ∵平分，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ，故③正确； ④∵是的中点， ∴， 假设是的中点，此时， ∴， ∵， ∴，与在中，相矛盾，故假设不成立，即此时不是的中点，故④错误； 综上所述，正确的有①②③． 56．如图，正方形中，点E在上，且，点F是的中点，延长与的延长线交于点M．以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有_______________（填序号） 【答案】①②④ 【分析】证明，得出，，设正方形边长为4，根据勾股定理求出，得出，根据等腰三角形的性质得出，求出， ，得出． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，故①正确； 设正方形边长为4， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ， 又∵F为的中点， ∴， ∴，故④正确， ∵， ， ∴，故③不正确， 综上，正确的有①②④． 57．如图，在正方形中，点O是对角线的交点，过点O作射线分别交于点E、F，且，交于点G．给出下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④．其中正确的有______．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】利用正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，推理判断即可． 【详解】解：∵正方形，， ∴， ， ∴，， ∴，， ∴，，故①②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴，故③正确； ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 则正确的结论有①②③④． 题型14.三角形中位线综合 58．如图，小张想估测被池塘隔开的两处景观之间的距离，他先在外取一点，然后步测出的中点，并步测出的长约为，由此估测之间的距离约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理． 证明是的中位线，进而作答即可． 【详解】分别是的中点， 是的中位线， ． 故选B． 59．若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（　　） A．对角线相等的四边形 B．对角线相等的平行四边形 C．等腰梯形 D．对角线互相垂直的四边形 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键． 根据菱形的性质，得，结合三角形的中位线定理得，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，四边形是菱形，点、、、分别是、、、的中点， ，，， ， 原四边形一定是对角线相等的四边形． 故选：A． 60．如图，为测量池塘两端A，B的距离，在池塘外选一点C，连接，，分别在线段，上取中点D，E，测得米，则的距离为（   ） A．7.5米 B．15米 C．22.5米 D．30米 【答案】D 【详解】解：∵点D、E分别是线段，的中点， ∴是的中位线， ∴米． 61．如图，在中，D、E、F分别是、、的中点，若的周长为，则的周长是 _______． 【答案】8 【分析】根据三角形中位线定理易得所求的三角形的各边长为原三角形各边长的一半，那么所求的三角形的周长就等于周长的两倍． 【详解】解：∵点D、E、F分别是、、的中点， ∴，，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是． 62．顺次连接正方形四边中点所得的四边形的面积与原正方形的面积的比为______． 【答案】 【分析】根据题意作图，利用中位线定理可证明顺次连接正方形四边中点所得的四边形与原正方形相似，且相似比是，所以可求得的四边形的面积与原正方形的面积的比为． 【详解】解：如图： 四边形是正方形， ，， ，F，G，H是正方形各边的中点， ， ，， ，， 同理：， 四边形是正方形， 四边形四边形， 设，则，， 所得的四边形的面积与原正方形的相似比为， 所得的四边形的面积与原正方形的面积的比为． 63．如图，为测量池塘岸边A，B两点之间的距离，小亮在池塘的一侧选取一点O，测得的中点D，E之间的距离是9米，则A，B两点之间的距离是_______． 【答案】18米 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，掌握“三角形的中位线平行且等于第三边的一半”是解题的关键．根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， 米， 故答案为：18米． 64．如图，在Rt中，，，，是平面内一点，且．点是中点，点在线段上，且，连接，则线段的最大值为_____． 【答案】8 【分析】延长到，使，连接，，可得是的中位线，利用勾股定理可求出，根据三角形中位线的性质可得，利用三角形三边关系可得的最大值为，即可得出的最大值． 【详解】解：如图，延长到，使，连接，， ∵，， ∴，， ∴， ∵点是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴点、、三点在一条直线上时，有最大值， ∴的最大值为， ∴线段的最大值为． 65．如图，正方形中，为对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点，交于点，若为的中点，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：过点作于点，过点作于点，易证四边形是正方形，可得，；再证明可得，进而得到，然后证明可得，即；根据三角形中位线的性质可得，即，运用勾股定理可得，最后代入求比值即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 在正方形中， ∴平分，， ∴四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴，， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 66．如图，正方形，延长至点E，使，连接平分交于点F，点G为中点，连接与相交于点P．下列结论： ①；②四边形是平行四边形，③； ④是等腰三角形，⑤；⑥，其中结论正确的是_______（只填写序号）． 【答案】①②③④⑤⑥ 【分析】利用正方形的性质和已知条件证明即可判断①，利用，，证明四边形是平行四边形，即可判断②，利用直角三角形、中位线、平行四边形的判定和性质证明即可判断③，证明，即可判断④，证明，又由，利用三角形面积公式即可判断⑤，由正方形的性质和等腰直角三角形的性质即可判断⑥． 【详解】解：∵①四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴ 故①正确； ②点E是延长线上的一点，， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， 故②正确； ③设与相交于点H，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴是斜边上的中线， ∴， ∵是直角三角形，， ∴是等腰直角三角形， ∵平分交于点F， ∴， ∴是的中位线， ∴ ∵点G为中点， ∴， ∴， ∵即， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故③正确； ④∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故④正确； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， 故⑤正确； ⑥∵平分， ∴， ∴， 故⑥正确， 综上可知，正确的是①②③④⑤⑥， 故答案为：①②③④⑤⑥ 【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识，综合性较强，熟练掌握相关性质是解题的关键． 解答题 67．四边形是正方形，将线段绕点A逆时针旋转至，旋转角为，.连接，与交于O点，过点D作，垂足为点F，连接． (1)如图1，当时，的度数为_________． (2)如图2，当时，用等式写出的数量关系，并证明． (3)在旋转过程中，当时，若，求的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或 【分析】（1）由旋转的性质，正方形的性质及等腰三角形的性质求得，再根据正方形的性质结合，利用三角形内角和得，从而求解；　 （2）在上截取，连接，先证明为等腰直角三角形，得到，再证明，得到，进而得到，证明，推出，利用勾股定理结合线段的和差关系即可得出结论； （3）分和两种情况，根据全等面积转化，以及同高三角形的面积比等于底边比，结合线段之间的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质得，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 解：，证明如下： 在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得，， ∴，，， ∴， 同理（1）得， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当，分两种情况： ①当，如图， 由（2）可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，延长至点，使，连接， 由旋转的性质得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：的长为或． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线构造全等三角形和特殊三角形，是解题的关键． 68．如图1，正方形的边长为4，连接，点E为线段上任意一点（点E不与B，D重合），过点E作分别交，于点H，F．点G为的中点，连接． (1)若，则_________，_________； (2)如图2，连接，．求证：且； 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出； （2）可证得，从而，进而得出结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ， ∴， ， 四边形是矩形，， ， ， 为的中点， ， ． （2）证明：在正方形和矩形中， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 69．按要求解答问题： 【初步实践】 (1)如图1，在长方形中，若，对角线与相交于点，在线段上任取一点（端点除外），连接，． 求证：； 【问题探究】 (2)如图2，将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处，当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； 【迁移探究】 (3)请帮助小明探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)的大小不发生变化，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）先得出四边形是正方形，进一步得出， 再根据全等三角形的判定定理，即可得证； （2）先过点作于点，作于点，再根据正方形的性质和判定，角平分线的性质，旋转的性质，得出，最后根据全等三角形的性质以及推导角之间的关系，即可解答； （3）先作于点，作于点，作交于点，作于点，再根据等腰直角三角形的判定和性质，得出，进一步得出，进而得出是等腰直角三角形，四边形是矩形，最后利用矩形的性质以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是长方形， 又， 四边形是正方形， ，． ， ． （2）解：的大小不发生变化，理由如下： 如图2，过点作于点，作于点， 四边形是正方形， 平分，， ． 又，， ，，， 四边形是矩形． ， 四边形是正方形， ，． 由旋转得，， 又， ， ． ， ，即， 的大小不发生变化． （3）解：，理由如下： 如图3，作于点，作于点，作交于点，作于点 由（1）（2）可知：，． ， ． ，， ， ． ， ， ， 即． ，， 是等腰直角三角形， ． ， 四边形是矩形， ， ． 70．如图1，在中，对角线与交于点，点关于的对称点为点，连接，，． (1)求证：； (2)当，且时． 如图，若，，三点共线，求四边形的周长； 如图，若，求四边形的面积（直接写出答案）． 【答案】(1)见解析； (2)； 【分析】（）利用平行四边形对角线性质和对称点性质，通过等腰三角形等边对等角证明角相等； （）根据对称性质、等腰直角三角形判定及性质，结合平行四边形判定与性质求周长； 通过作平行线构造平行四边形，利用角度关系、中点性质设未知数，结合勾股定理求解边长，进而求面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点与关于对称， ∴， ∴； （2）解： ，，三点共线，且点与关于对称， ∴，， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 根据勾股定理可得：， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是正方形， ∴，， ∴四边形的周长为； 设与交于点，过点作的平行线，交，分别于点，， ∵点关于的对称点为点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等腰的边的中点， ∴为中点，为中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则，， 在Rt中，， 解得， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，正方形的判定与性质，等腰三角形性质，等腰直角三角形判定与性质、勾股定理，轴对称性质，熟练掌握这些性质定理，灵活运用判定与性质进行推理、计算是解题的关键． 71．如图，在中，D，E分别为，的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求AC的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形中位线定理、矩形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是利用中位线性质和平行关系证明矩形，再通过矩形性质和线段关系构造直角三角形求解． (1)中由分别为中点得，结合证平行四边形，再由得矩形， (2)中由矩形性质得，由中位线性质得，则，在中用勾股定理求，再 由为中点得． 【详解】（1）解：分别为的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形； （2）解：， ， 由(1)知，是的中位线，四边形是矩形， ， ， 在中，， ， 为的中点， ． 72．图①、图②均是的正方形网格．每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点都是格点，点D为线段与水平网格线的交点．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)______度； (2)图①中，在上取点E，使；在线段上找一点F，使； (3)图②中，作点D关于直线的对称点G． 【答案】(1)45 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查利用网格求角的度数，作平行线，作线段的倍数线段，对称点等，掌握三角形中位线的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、轴对称的性质是解题的关键． （1）结合网格，利用正方形的性质进行求解即可； （2）结合网格可得点是线段的中点，结合网格找出线段的中点，连接，此时为的中位线，则；可以看作的矩形的对角线，过点作的矩形的对角线，交于点，此时，则为直角三角形，连接，根据直角三角形斜边中线定理，则； （3）点可以看作所在小正方形的中点，看作是直角边为2和的直角三角形的斜边，先利用的矩形对角线确定中点，然后连接，，且两个直角三角形全等，可以看作的正方形的对角线，此时点与点关于直线对称． 【详解】（1）解：可以看作的正方形的对角线， ∴， 故答案为：45； （2）解：如图，点即为所求； （3）解：如图，点即为所求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $