专题06 矩形、菱形、正方形中旋转问题的三类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06矩形、菱形、正方形中旋转问题的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、矩形中的旋转问题 类型二、菱形中的旋转问题 类型三、正方形中旋转问题 压轴专练 典例详解 类型一、矩形中的旋转问题 方法总结 1.旋转性质：旋转前后图形全等，对应点与旋转中心连线所成角相等，对应边相等。 2.矩形特性：旋转中常利用矩形四个直角、对角线相等且平分的性质，构造直角三角形或全等三角形。 解题技巧 1.找旋转中心：确定旋转中心后，利用旋转角相等列方程或求角度。 2.勾股定理：旋转后常形成直角三角形，设未知数用勾股定理求线段长。 例1.如图，已知矩形ABCD,AB=3,BC=5,将矩形ABCD绕A顺时针旋转a(0°<a<180),得到矩形 AEFG,点B的对应点是点E,点C的对应点是点F,点D的对应点是点G,连结CF. 图① 图② (1)如图①，当a=90°时，CF的长为一； (2)如图②，点M是CF的中点，连结BM,在旋转过程中，线段BM的最大值为一 【变式1-1】已知，矩形CEFG是矩形ABCD绕点C旋转得到的，且点G落在AD边上， 1/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G G 1G 图1 图2 图3 (1)如图1，连接BG,求证：BG平分∠AGC: (2)如图2，在(1)的条件下连接BE交CG于点H,求证：H是BE的中点； 6包肉国3，在旋转的注程中，若CD,F三点其线，侣-子术贺的 BC 【变式1-2】如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,以点C为旋转中心，将矩形ABCD沿顺时针方向旋 转，得到矩形EFCG,点A、B、D的对应点分别是点E、F、G. 图1 图2 图3 (1)如图1，当点F落在矩形ABCD的对角线AC上时，求线段AF的长； 2)如图2，当点F落在矩形ABCD的边CD的延长线上时，连接AB,取AE的中点M,求证：CM=AB: (3)如图3，当点F落在矩形ABCD的对角线BD的延长线上时，求△CDF的面积 【变式1-3】在矩形ABCD中，AB=6,BC=3,以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形ABCD得到 矩形AEFG,旋转角为a(0°<a<180), 图① 图② 图③ (1)如图①，当点E落在DC边上时，线段EC的长度为 (2)如图②，连接CF,当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H,连接AC,求线段DH的长度： (3)如图③，设点P为边GF的中点，连接PB、PE、BE,在矩形ABCD旋转的过程中，求△PBE面积的最 2/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 大值. 类型二、菱形中的旋转问题 方法总结 1. 旋转性质：旋转前后图形全等，对应点与旋转中心连线所成角为旋转角，对应边相等。 2. 菱形特性：旋转中常利用菱形四边相等、对角线垂直平分且平分对角的性质，构造全等三角形或直角 三角形。 解题技巧 1. 抓旋转中心：确定旋转中心后，利用旋转角相等列方程求角度或线段。 2.勾股定理：旋转后形成的直角三角形中，设未知数用勾股定理求解。 例2.如图，菱形0ABC的顶点0(0,0)，A(-1,0),∠B=60°，若菱形OABC绕点0顺时针旋转90°后得到菱 形0A,B,C1，依此方式，绕点0连续旋转2024次得到菱形0A2024B2024C2024,那么点C2024的坐标是（) V 月c（9n(9 【变式2-1】在菱形ABCD中，∠ABC=120°，边长为2cm,现将菱形ABCD绕其外一点O按顺时针方向分 别旋转90°180°、270°后，得到如图的图形，每相邻两个菱形有一个顶点重合，则图中阴影部分的面积为 cm*. 【变式2-2】如图①，菱形ABCD和菱形AEFG有公共顶点A,点E,G分别落在边AB,AD上，连接DF BF. 3/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 D D G E B ① ② 备用图 (I)求证：DF=BF; (2)将菱形AEFG绕点A按逆时针方向旋转.设旋转角∠BAE=a0°≤a≤180)，且AB=6,AE=√5， ∠DAB=∠GAE=60°. ①如图②，当a=90°时，则线段DF的长度是多少？ ②连接BD,当△DFB为直角三角形时，则旋转角O的度数为多少度？ 【变式2-3】在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠EBG=60°，AB=6,BE=2. 图1 图2 图3 (I)如图1，若点E、G分别在边AB、BC上，点F在菱形ABCD内部，连接DF,直接写出DF的长度为 (2)如图2，把菱形BEFG绕点B顺时针旋转a(0<a<360),连接DF、CG,判断DF与CG的数量关系，并 给出证明； (3)如图3，①把菱形BEFG继续绕点B顺时针旋转，连接GD,O为DG的中点，连接C0、E0,试探究CO与 EO的关系；②直接写出菱形BEFG绕B点旋转过程中CO的取值范围. 类型三、正方形中旋转问题 方法总结 1.旋转性质：旋转前后图形全等，对应点与旋转中心连线所成角为旋转角，对应边相等。 2.正方形特性：旋转中常利用正方形四边相等、四角为直角、对角线垂直平分且相等的性质，构造全等 三角形或等腰直角三角形。 解题技巧 1.找旋转中心：确定旋转中心后，利用旋转角相等列方程求角度或线段。 2.巧用45°：正方形旋转常产生45°角，可用三角函数或勾股定理简化计算。 例3.如果把正方形ABCD绕点C旋转得到正方形A'B'CD',点B落在对角线AC上，点A落在CD的 4/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 延长线上，那么∠AAB'= 度 【变式3-1】【特例感知】如图1，点C是正方形ABCD对角线AC上一点，CB,⊥AB于点B, C,D⊥AD于点D (1)求证：四边形AB,C,D,是正方形 (2)BB,:CC:DD,=- 【规律探究】将正方形AB,C,D,绕点A旋转得到图2，连接BB,,CG,DD (3)BB,:CC,:DD的比值是否会发生变化？请说明理由， 【拓展应用】 如图3，在图2的基础上，B,C,D,分别是BB,CC,DD,的中点. (4)求证：四边形. AB,C,D2是正方形. D C C D B B2 B B 图1 图2 图3 【变式3-2】如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G,OC到点E,使 OG=20D,OE=2OC,然后以0G、OE为邻边作正方形OEFG,连接AG,DE. 图1 图2 (1)求证：DE⊥AG; (2)如图2，正方形ABCD固定，将正方形0EFG绕点0逆时针旋转角(0°<《<360°)，得到正方形 OE'F'G'; ①在旋转过程中，当∠0AG'是直角时，求的度数： ②若正方形ABCD的边长为2，在旋转过程中，AF'长的最大值为 【变式3-3】如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C,D不重合），以CG为 一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG,DE·我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关 5/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 系及所在直线的位置关系： 图1 图2 图3 (1)猜想如图1中线段BG,线段DE的数量关系是一；线段BG,DE的位置关系 类比探究： (2)将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2，如图3情 形，请你判断(1)①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断； 拓展应用： (3)已知AB=5,CE=2,在正方形CEFG绕点C旋转的过程中，当点D,E,G在同一条直线上时， DG的长度是多少？请直接写出答案 压轴专练 一、单选题 1.(2025江西赣州一模)如图，坐标平面内有一个矩形ABCD,点A位于原点，点B、D在坐标轴上，点 C的坐标为2,1)，现固定B点并将此矩形按顺时针方向旋转，若旋转后C点的坐标为3,0)，则旋转后D 点的坐标为() (OA B A.（2,3 B.（2,2 C.(3,3) D.(3,2 2.(24-25九年级上河南许昌期末)如图，在平面直角坐标系中，菱形0ABC的顶点B的坐标为(0,4)，点 6/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A在第一象限，∠A0C=60°，将菱形OABC绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转60°，旋转第一次得到四 边形OAB,C(点C与点A重合)，则旋转第四次得到的点B,的坐标是() B A(C) B 0 A.（0,-4 B.-2,-2V3 C.(25,-2 D.(-23,-2 3.(24-25八年级下·江苏宿迁期中)如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点 A旋转一周，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的度数为() B D A.15°或150° B.15°或165° C.30°或165° D.40°或135° 二、填空题 4.(25-26九年级上·天津西青·月考)如图，E为正方形ABCD内一点，∠AEB=135°，△AEB按顺时针方向 旋转角度后成为aCFB,∠EFC= E 5.(25-26九年级上湖北武汉·期中)如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60°，将菱形ABCD绕点A 逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG,点E在AC上，EF与CD交于点P,则DP的长是 7/10 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G D B 6.(24-25八年级上·上海期中)如图，O为坐标原点，矩形0ABC中，A(-8,0),C(0,6),将矩形0ABC绕 点O按顺时针方向旋转度(0<a≤90°)得到矩形0A'B'C',此时直线OA'、直线B'C'分别与射线BC相交 于P、Q.在矩形OABC旋转过程中，若BP=BQ,则点P的坐标为 1 A 三、解答题 7.(25-26九年级上·全国·月考)如图，四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE,如图 所示，如果AF=4,AB=7,求： D E A (1)指出旋转中心和旋转角度； (2)求DE的长度； (3)BE与DF的位置关系如何？ 8.(2025山东青岛一模)在数学课上，老师让同学们动手操作，将一个矩形绕其一个顶点旋转，小明在旋 转的过程中发现，随着旋转角度的变化可以研究很多数学问题.如图，已知矩形ABCD,AB=5,BC=3, 将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转a(0°<a<180),得到矩形AGFE,点B的对应点是点G,点C的对 应点是点F,点D的对应点是点E,连接BG, 8/10 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② 图③ 图④ (1)如图①，当a=60°时，BG= ;如图②，当a=90°时，BG= (2)如图③，当边EF经过点B时，BG=; (3)如图④，当点F落在CB的延长线上时，BG= 9.(25-26八年级上山东淄博·期末)【问题情境】 同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动. 【操作发现】 (1)如图I,正方形ABCD和正方形AEFG,连接DG,BE.线段DG与线段BE之间的数量关系是 直线DG与直线BE的夹角度数为 ；(注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的小于等于90° 的角) (2)如图2，当正方形AEFG绕点A旋转时，线段DG与线段BE之间的数量关系是 ；直线DG与 直线BE的夹角度数为 【深入探究】 (3)如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为菱形，且AB=2AE,，∠DAB=∠GAE=60°，猜想线段 DG与BE的数量关系及直线DG与BE的夹角度数，并说明理由. 【迁移探究】 (4)如图3，在(3)的条件下，AB=2,在菱形AEFG绕点A旋转过程中，求线段CE的最小值， D D G G B 图1 图2 图3 备用图 10.(24-25八年级下·江苏淮安·月考)【课本再现】 (1)如图1，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,正方形A'B'C'D'的顶点A'与点O重合.将正 方形A'B'C'D'绕点A'旋转，在这个过程中，若连接EF,则BE、EF、DF之间的数量关系为 【类比迁移】 9/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，矩形ABCD对角线的交点O是矩形OB'C'D'的一个顶点，D'0与边AB相交于点E,B'O与边 AD相交于点F,连接EF,矩形OB'CD'可绕着点O旋转，猜想BE,DF,EF之间的数量关系，并进行 证明， 【拓展应用】 (3)在菱形ABCD中，∠B=60°，E、F分别是边AB、对角线AC上一点，且AE=AF,以AE、AF为邻 边作菱形AEMF,再将菱形AEMF绕点A逆时针旋转一定角度后得到新的菱形AE'M'F'如图3，连接DM', 点P为线段DM'的中点，连接CP、FP. ①判断CP与F'P的数量关系，并进行证明； ②若AB=4,AE=2,菱形AEMF在旋转过程中，当CP最小时，△CDP的面积为 D C' 图1 图2 图3 10/10 专题06 矩形、菱形、正方形中旋转问题的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、矩形中的旋转问题 类型二、菱形中的旋转问题 类型三、正方形中旋转问题 压轴专练 类型一、矩形中的旋转问题 方法总结 1. 旋转性质：旋转前后图形全等，对应点与旋转中心连线所成角相等，对应边相等。 2. 矩形特性：旋转中常利用矩形四个直角、对角线相等且平分的性质，构造直角三角形或全等三角形。 解题技巧 1. 找旋转中心：确定旋转中心后，利用旋转角相等列方程或求角度。 2. 勾股定理：旋转后常形成直角三角形，设未知数用勾股定理求线段长。 例1．如图，已知矩形，将矩形绕A顺时针旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连结．      （1）如图①，当时，的长为 ； （2）如图②，点是的中点，连结，在旋转过程中，线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】（1）连接、，根据勾股定理先求出对角线的长，再利用旋转得到，，再次利用勾股定理即可解题； （2）连接，交于点O，连接，，则，即点M在以为圆心，以为半径的圆上运动，根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，解题即可． 【详解】解：（1）连接、， ∵是矩形， ∴， 又∵，， ∴， 由旋转可得， ∴； 故答案为：；    （2）连接，交于点O，连接，， ∵是矩形， ∴， ∵点M是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点M在以为圆心，以为半径的圆上运动， 根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，最大为：， 故答案为：．    【变式1-1】已知，矩形是矩形绕点C旋转得到的，且点G落在边上． (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图2，在（1）的条件下连接交于点H，求证：H是的中点； (3)如图3，在旋转的过程中，若C，D，F三点共线，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先根据旋转性质得，结合矩形性质得，再进行角的等量代换，即可作答． （2）由矩形性质得出，．结合旋转性质得，，证明，即可作答． （3）依题意，设，，，运用勾股定理得，以及，代入数值化简，即可作答． 【详解】（1）证明：由旋转可知， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）证明：如图，作于点M， ∴． ∵四边形为矩形， ∴，． ∵平分， ∴． 由旋转可知，， ∴，． 在和中， ∴． ∴， ∴H为的中点． （3）解：∵， ∴设，，， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴． 在中，， ∴， 即， 解得， ∴． 【变式1-2】如图，在矩形中，，，以点C为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点A、B、D的对应点分别是点E、F、G． (1)如图1，当点F落在矩形的对角线上时，求线段的长； (2)如图2，当点F落在矩形的边的延长线上时，连接，取的中点M，求证：； (3)如图3，当点F落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出，由矩形旋转可知：，即可求出线段的长； （2）利用证明，得出，，由得出，然后根据直角三角形斜边中线的性质即可得证； （3）过点作于点，在中，，由矩形旋转可知：，根据，利用三角形面积公式求出，由勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， 在中，， 由矩形旋转可知：， ， 则线段的长为1； （2）证明：连接，， 旋转， ，，， ， ，， 又 ，即， M是中点， ∴； （3）解：如图，过点作于点， 在中，， 由矩形旋转可知：， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 则的面积为． 【变式1-3】在矩形中，，，以点为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形得到矩形，旋转角为． (1)如图①，当点落在边上时，线段的长度为________； (2)如图②，连接，当点落在线段上时，与相交于点，连接，求线段的长度； (3)如图③，设点为边的中点，连接、、，在矩形旋转的过程中，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质，旋转的性质，勾股定理计算即可； （2）①利用直角三角形全等的判定证明即可； ②利用勾股定理计算即可； （3）连接，作于M，当与共线，且时，面积最大，勾股定理计算即可. 【详解】（1）如图①中    ∵ 四边形是矩形， ∴， ∵矩形是由矩形旋转得到， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：. （2）①证明：如图②中，    ∵当点E落在线段上， ∴， 在和中， ∴. ∴， 设 在中，， ∴ 解得 ∴ （3）解：如图3中，连接，作于，    当与共线，且时，面积最大 由题意：. ∵， ∴. ∵. ∴ ， 则， 的面积的最大值为， 故答案为：． 类型二、菱形中的旋转问题 方法总结 1. 旋转性质：旋转前后图形全等，对应点与旋转中心连线所成角为旋转角，对应边相等。 2. 菱形特性：旋转中常利用菱形四边相等、对角线垂直平分且平分对角的性质，构造全等三角形或直角三角形。 解题技巧 1. 抓旋转中心：确定旋转中心后，利用旋转角相等列方程求角度或线段。 2. 勾股定理：旋转后形成的直角三角形中，设未知数用勾股定理求解。 例2．如图，菱形的顶点，，，若菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，依此方式，绕点连续旋转次得到菱形，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的性质，含直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，根据题意得到旋转的规律是解题的关键． 根据题意得到点与点重合，在菱形中算出点坐标，即可解答． 【详解】 解：作于，则， 四边形是菱形，， 点的坐标为， 若菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，依此方式，绕点连续旋转次得到菱形，则菱形绕点连续旋转次，旋转次为一周，旋转次为（周）， 绕点连续旋转次得到菱形与菱形重合， 点与重合， 点的坐标为， 故选：D． 【变式2-1】在菱形中，，边长为，现将菱形绕其外一点按顺时针方向分别旋转后，得到如图的图形，每相邻两个菱形有一个顶点重合，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，交点为点，则为的中垂线，，计算即可． 【详解】如图，连接，交点为点，则为的中垂线， 点在上，由已知条件易得， ， ， 所求面积为． 故答案为：． 【变式2-2】如图①，菱形和菱形有公共顶点A，点，分别落在边，上，连接，． (1)求证：； (2)将菱形绕点A按逆时针方向旋转．设旋转角，且，，． ①如图②，当时，则线段的长度是多少？ ②连接，当为直角三角形时，则旋转角的度数为多少度？ 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②或 【分析】（1）连接，根据菱形的性质，可得到，从而得到，进而得到，即可求证； （2）①连接AF，EG，BD，AC，BD与AC交于点O， AF交EG于点P，根据旋转的性质和菱形的性质可得，△ABD和△AEG是等边三角形，从而得到AF=OD，进而得到四边形AODF是平行四边形，即可求解； ②分两种情况讨论：和，利用矩形的性质、等边三角形的判定与性质求解即可得． 【详解】（1）证明：连接， ∵四边形是菱形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：①如图，连接AF，EG，BD，AC，BD与AC交于点O， AF交EG于点P， 由（1）得当菱形没有旋转时，AC平分∠BAD，AF平分∠EAG， ∴此时点A、F、C三点共线， ∴当菱形绕点按逆时针方向旋转时， ， ∴当时，， 在菱形ABCD中，AB=AD， ，BD⊥AC， ， ∴ ∴， ∴， 在菱形AEFG中，∠EAF= ，AE=AG， ， ∵． ∴△ABD和△AEG是等边三角形， ∴，， ∴ ， ∴ ， ∴AF=3， ∴AF=OD， ∴四边形AODF是平行四边形， ∴ ； ②由①得四边形AODF是平行四边形， ∵， ∴四边形AODF是矩形， ∴， 即为直角三角形， ∴此时旋转角的度数为； 如图，当点F在AD上时， 由①得AF=3， ∵AD=AB=6 ∴， ∴AF=DF， ∵△ABD为等边三角形， ∴BF⊥AD，即， ∴此时△DFB为直角三角形， ∵∠EAF= ， ∴， 即此时旋转角的度数为； 综上所述，当为直角三角形时，旋转角的度数为或． 【变式2-3】在菱形和菱形中，． (1)如图1，若点分别在边上，点F在菱形内部，连接，直接写出的长度为_________； (2)如图2，把菱形绕点B顺时针旋转，连接，判断与的数量关系，并给出证明； (3)如图3，①把菱形继续绕点B顺时针旋转，连接为的中点，连接，试探究与的关系；②直接写出菱形绕B点旋转过程中的取值范围． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，交于点，交于点，根据菱形的性质，证明三点共线，求出的长，用即可求出的长度； （2）过点作，过点作，过点作，得到四边形为平行四边形，证明，得到，进而求出，利用等腰三角形的性质结合30度角的直角三角形的性质，即可得出结论； （3）①延长至点，使，连接，延长，交于点，先证明，推出四边形为平行四边形，再证明，推出为等边三角形，利用等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，即可得出结论；②三角形的三边关系，求出的范围，进而求出的范围即可． 【详解】（1）解：连接，交于点，交于点， ∵菱形，菱形， ∴，， ∵点分别在边上， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴，， ∴， 同理：， ∴； 故答案为：； （2），证明如下： 过点作，过点作，过点作， 则：四边形为平行四边形， ∴，， ∵菱形，菱形，， ∴，， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （3）①延长至点，使，连接，延长，交于点， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵菱形， ∴， ∴，，为等边三角形， ∴四边形为平行四边形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∵，， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴，即：， ∵， ∴． 类型三、正方形中旋转问题 方法总结 1. 旋转性质：旋转前后图形全等，对应点与旋转中心连线所成角为旋转角，对应边相等。 2. 正方形特性：旋转中常利用正方形四边相等、四角为直角、对角线垂直平分且相等的性质，构造全等三角形或等腰直角三角形。 解题技巧 1. 找旋转中心：确定旋转中心后，利用旋转角相等列方程求角度或线段。 2. 巧用 45°：正方形旋转常产生 45° 角，可用三角函数或勾股定理简化计算。 例3．如果把正方形 绕点 旋转得到正方形，点落在对角线上，点落在 的延长线上，那么 度． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；根据旋转的性质以及正方形的性质可得，进而得出，进而即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵ ∴， ∴ 故答案为：． 【变式3-1】【特例感知】如图1，点 是正方形 ABCD 对角线AC上一点，于点 ，于点 （1）求证：四边形是正方形． （2） ； 【规律探究】将正方形 绕点A 旋转得到图2，连接 ，， （3） 的比值是否会发生变化? 请说明理由． 【拓展应用】 如图3，在图2 的基础上，，，分别是 ，，的中点． （4）求证：四边形． 是正方形． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）不变，理由见解析；（4）见解析 【分析】（1）根据正方形的性质和判定即可； （2）根据正方形的性质求解即可； （3）过作于点，过作交于点，证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，再根据性质证明是等腰直角三角形即可； （4）根据正方形的性质和判定即可； 【详解】（1）四边形是正方形， ，平分， ，， ， ,四边形是矩形， 四边形是正方形； （2）由（1）得：四边形是正方形， 四边形是正方形， 设正方形的边长为，正方形的边长为， ，， ， ， 故答案为：； （3）不变，理由： 四边形是正方形，四边形是正方形， ，， ， ， ， 过作于点，过作交于点， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， 易得：， ，， ，即是等腰直角三角形， ， ； （4）四边形是正方形，理由： 由（3）得， ， 点，，分别是，，的中点， ， ， ， ， 四边形是正方形． 【变式3-2】如图1，点是正方形两对角线的交点，分别延长到点，到点，使，，然后以、为邻边作正方形，连接，． (1)求证：； (2)如图2，正方形固定，将正方形绕点逆时针旋转角（），得到正方形； ①在旋转过程中，当是直角时，求的度数； ②若正方形的边长为2，在旋转过程中，长的最大值为______． 【答案】(1)见解析 (2)①当时，或；② 【分析】（1）延长交于，根据四边形是正方形，可推出，得到，再由，得到，推出，得证； （2）①在旋转过程中，是直角时有两种情况，当由增大到过程中，由，，得到，再由，推出，即可；当由增大到过程中，，同理可求，即可求得答案；②在图1连接，根据正方形性质求出和，由题意可知当，、、在一条直线上，此时的长最大，由即可得到答案． 【详解】（1）如图，延长交于， 点是正方形两对角线的交点， ，， 四边形是正方形 在和中， ， ， ， ， ， ， 即； （2）①在旋转过程中，成为直角有两种情况： 如图2，由增大到过程中， 当时， ， 在中， ， ，， ， ，即； 由增大到过程中，当时，如图 同理可求， ， 综上所述，当时，或； ②如图，连接， 四边形是正方形， ，， 正方形的边长为2， ， ， 则， 当时， 、、在一条直线上，此时的长最大， 最大值为， 故答案为：． 【变式3-3】如图1，四边形是正方形，是边上的一个动点（点与不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系：    （）猜想如图中线段，线段的数量关系是______ ；线段，的位置关系____ 类比探究： （）将图中的正方形绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图，如图情形，请你判断（）中得到的结论是否仍然成立，并选取图证明你的判断； 拓展应用： （）已知，，在正方形绕点旋转的过程中，当点在同一条直线上时，的长度是多少？请直接写出答案 【答案】（），；（）（）中得到的结论仍然成立，证明见解析；（）或． 【分析】（）由四边形和四边形是正方形，可得，， ，进而得，即可由证明，得到，延长交于点，由全等三角形的性质得到，进而得到，得到，即得； （）（）中得到的结论仍然成立，同理（）证明即可求证； （）根据题意，画出图形，分两种情况解答即可求解； 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用正方形的性质证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：（）∵四边形和四边形是正方形， ∴，， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 延长交于点，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：，； （）（）中得到的结论仍然成立，在图中证明如下： ∵四边形、四边形都是正方形， ∴，， ， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （）当正方形绕点旋转到如图位置时，    连接与相交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 连接，    由（）（）可知，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴， ∴； 综上，的长为或． 一、单选题 1．（2025·江西赣州·一模）如图，坐标平面内有一个矩形，点A位于原点，点B、D在坐标轴上，点C的坐标为，现固定B点并将此矩形按顺时针方向旋转，若旋转后C点的坐标为，则旋转后D点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质、矩形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 先根据旋转后点的坐标为，得出点落在轴上，再根据旋转的不变性和矩形的性质得到，即可得到点的坐标为． 【详解】解：如图，记旋转后的矩形为， ∵旋转后点的坐标为， ∴点落在轴上， ∵，四边形是矩形， ∴，， ∵旋转， ∴，， ∴点的坐标为， 即旋转后点坐标为 故选：D． 2．（24-25九年级上·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第四次得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形变化-旋转．如图，旋转第四次得到菱形，过作轴于，连接交于，由菱形的性质推出，，，由含30度角的直角三角形的性质求出，，，，求出，即可得到的坐标． 【详解】解：如图，旋转第四次得到菱形， 过作轴于，连接交于， 四边形是菱形， ，，， 的坐标是， ， ， ， ， ， ， ， ， 的坐标是． 故选：D． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形与正三角形的顶点重合，将绕顶点旋转一周，在旋转过程中，当时，的度数为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，正方形和等边三角形的性质，根据所给条件，可得出，再对的位置进行分类讨论即可解决问题． 【详解】当在正方形内部时，如图所示， 四边形是正方形， ，． ∵是等边三角形， ，． 在和中， ， ， ． 当在正方形外部时， 同理可得，， ． ， ． 综上所述，的度数为或． 故选：． 二、填空题 4．（25-26九年级上·天津西青·月考）如图，为正方形内一点，，按顺时针方向旋转角度后成为， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．由正方形的性质得到，由旋转的性质得到，则可得到旋转中心为点B，旋转角度为，可证明是等腰直角三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵按顺时针方向旋转角度后成为， ∴， ∴旋转中心为点B，旋转角度为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图， 在菱形中，，将菱形绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形，点E在上， 与交于点P， 则的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，含角的直角三角形的性质，平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键． 连接交于，由菱形的性质得出，，，，，由直角三角形的性质求出，，得出的值，由旋转的性质得：，，得出，证出，由直角三角形的性质得出，，即可得出结果． 【详解】解：连接交于，如图所示： 四边形是菱形， ，，，，， ， ， ， 由旋转的性质得：，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·上海·期中）如图，O为坐标原点，矩形中，，，将矩形绕点O按顺时针方向旋转α度（）得到矩形，此时直线、直线分别与射线相交于P、Q．在矩形旋转过程中，若，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形变化﹣旋转，掌握旋转的性质和分类讨论是解题的关键．分两种情况：如图1，过点Q作于H，连接OQ，如图2，当点P在点B左侧时，过Q作于H，连接，则，根据三角形面积相等得，设，得，然后根据勾股定理求出x值，进而可以解决问题． 【详解】解：如图1，过点Q作于H，连接，则， ∵，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，． 在中，， 解得， ∴， ∴， 如图2，当点P在点B左侧时， 过Q作于H，连接， 则， ∵，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 在中，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 综上所述：点P的坐标为或， 故答案为：或． 三、解答题 7．（25-26九年级上·全国·月考）如图，四边形是正方形，旋转一定角度后得到，如图所示，如果，，求： (1)指出旋转中心和旋转角度； (2)求的长度； (3)与的位置关系如何？ 【答案】(1)旋转中心为点A；或 (2)3 (3) 【分析】本题考查旋转的性质和正方形的性质，全等三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据旋转的性质，点为旋转中心，对应边、的夹角为旋转角； （2）根据旋转的性质可得，，然后根据计算即可得解； （3）如图所示，延长交于点G，根据旋转可得，可得，然后求出，判断出． 【详解】（1）解：∵旋转一定角度后得到， ∴， ∴，，， ∴旋转中心为点A； ∴绕点A顺时针旋转后得到或绕点A逆时针旋转后得到， ∴旋转角度为或； （2）解：由旋转得，，， ∴； （3）解：如图所示，延长交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（2025·山东青岛·一模）在数学课上，老师让同学们动手操作，将一个矩形绕其一个顶点旋转．小明在旋转的过程中发现，随着旋转角度的变化可以研究很多数学问题．如图，已知矩形，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，点B的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E，连接． (1)如图①，当时，______；如图②，当时，______； (2)如图③，当边经过点B时，______； (3)如图④，当点F落在的延长线上时，______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，当时，可证得是等边三角形，可得，即可得；当时，由旋转的性质可得，在中，根据勾股定理可得，据此即可求出的长； （2）由旋转的性质可得，由矩形的性质可得，进而可得，在中，根据勾股定理可得，于是可得，在 中，根据勾股定理可得，据此即可求出的长； （3）连接，由旋转的性质可得，由矩形的性质可得，利用邻补角互补可得，进而可得，然后可证得，于是可得，垂直平分，根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点， ， 当时，， 是等边三角形， ∴； 如图2，当时， 由旋转的性质可得：， 在 中，根据勾股定理可得：， 故答案为：； （2）解：如图3，由旋转的性质可得：， ∵四边形和都是矩形， ， ， 在中，根据勾股定理可得：， ， 在中，根据勾股定理可得：， ∴的长为； （3）解：如图4，连接， 由旋转的性质可得：， ∵四边形和都是矩形， ， ∵点落在的延长线上， 在和中 ， ， ∴，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴ ∴， ∴． 9．（25-26八年级上·山东淄博·期末）【问题情境】 同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 【操作发现】 （1）如图1，正方形和正方形，连接，．线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________；（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的小于等于的角） （2）如图2，当正方形绕点旋转时，线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________． 【深入探究】 （3）如图3，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想线段与的数量关系及直线与的夹角度数，并说明理由． 【迁移探究】 （4）如图3，在（3）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，求线段的最小值． 【答案】（1），；（2），；（3），直线与的夹角度数为，理由见解析；（4） 【分析】（1）由正方形的性质可得，，，再证明，得出，，延长交于点，求出，即可得出结果； （2）由正方形的性质可得，，，再证明，得出，，延长交于点，求出，即可得出结果； （3）由菱形的性质可得，，，证明，得出，，延长交的延长线于点，交于点，结合三角形内角和定理求出，即可得出结果； （4）由，得出当点在上时，线段取得最小值，连接，交于，由菱形的性质可得，，，求出，由勾股定理可得，则，求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交于点， ， ∵， ∴， ∴， ∴直线与直线的夹角度数为； （2）∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交于点， ， ∵，且， ∴， ∴， 即与直线的夹角度数为； （3）解：，直线与的夹角度数为，理由如下： ∵四边形与四边形都为菱形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ， ∵，，， ∴， ∴直线与的夹角度数为； （4）解：∵， ∴如图，当点在上时，线段取得最小值， ， 连接，交于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为． 10．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线、相交于点O，正方形的顶点A′与点O重合．将正方形绕点A′旋转，在这个过程中，若连接，则、、之间的数量关系为___________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形对角线的交点O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【拓展应用】 （3）在菱形中，，E、F分别是边、对角线上一点，且，以、为邻边作菱形，再将菱形绕点A逆时针旋转一定角度后得到新的菱形如图3，连接，点P为线段的中点，连接、． ①判断与的数量关系，并进行证明； ②若，，菱形在旋转过程中，当最小时，的面积为___________． 【答案】（1）； （2），见解析； （3）①，见解析；②． 【分析】（1）利用正方形的性质准备条件，证明，再根据全等三角形的性质，结合勾股定理即可得出结论； （2）猜想：，连接，交于G，连接，证明，再利用勾股定理证明即可； （3）①延长至Q，使，连接，，DQ，先证明，再证明，利用锐角三角函数即可证明； ②分析可知M′是的中点，作，交的延长线于W，先求出，再求出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）证明：猜想， 如图1， 延长，交于G，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （3）①证明：如图2， ，理由如下： 延长至Q，使，连接，，DQ， ∵点P为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形和四边形是菱形， ∴，，，， ∴，，， ∵， ∴，是等边三角形， ∴，∠ACD=60°，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 故答案为：； ②解：由①知，，， ∴， ∵， ∴当F′在上时，最小，即CP最小， 如图3， 此时M′使的中点，作，交的延长线于W， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $