精品解析：安徽宣城市2025—2026学年九年级第二次质量监测 数学试题

2025—2026学年度九年级第二次质量监测 数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 据统计，2024年我国对共建“一带一路”国家合计进出口万亿元，其中万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 某几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 已知实数 满足：，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，点P从D点出发，沿运动，过点P作直线的垂线，垂足为点Q，设点P运动的路程为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，点在边上，且点、分别为边、上的动点，将沿直线翻折得到，则的最小值是（    ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 12. 因式分解：______． 13. 小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．请根据图中信息，则点坐标为________． 14. 如图，在边长为的正方形中，是边上一动点（不与，两点重合），将沿直线翻折，点落在点处；在上取一点，使得将沿直线翻折后，点落在直线上的点处，直线交于点，连接，． （1）的周长为_______； （2）当在边上运动时，的面积的最小值为_______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，请作出； （2）将绕点A按顺时针方向旋转得到，请作出； （3）当四边形为平行四边形时，请直接写出点D的坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中“□”的个数为________． （2）第1个图案中“▲”的个数可表示为，第2个图案中“▲”的个数可表示为，第3个图案中“▲”的个数可表示为，……，第n个图案中“▲”的个数可表示为________． 【规律应用】 （3）若第n个图案中“□”比“▲”多33个，求正整数n的值． 18. 如图1所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即 于点，，于点是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．(这里的小腿都包括脚面部分，上身包括头部部分)．已知 ，，求∶ （1）的度数 （2）点P距离地面的高度．(结果精确到．参考数据∶) 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 第九届亚洲冬季运动会于今年2月7日至日在哈尔滨举办，本届亚冬会吸引了来自亚洲个国家和地区的余名运动员参赛，创下历届参赛人数和代表团数量之最．某校为了解学生对体育运动的了解程度，组织七、八年级全体学生进行了相关的知识竞赛．为了解竞赛成绩，抽样调查了七、八年级部分学生的分数，过程如下， 【收集数据】从该校七、八年级学生中各随机抽取名学生的分数，其中八年级学生的分数如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 【整理、描述数据】将抽取的七、八年级学生的竞赛成绩（分）分组整理如表所示： 分数／分 七年级人数 2 3 6 5 4 八年级人数 1 3 7 【分析数据】七、八年级学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 年级 平均数／分 中位数／分 众数／分 七年级 八年级 根据以上提供的信息，解答下列问题． （1）填空：______，______，______． （2）已知该校七、八年级各有名学生，为表扬在这次竞赛中表现优异的学生，该校决定给两个年级竞赛成绩在分及以上的学生颁发奖状，请估计该校需要准备多少张奖状？ （3）该校决定从七、八年级竞赛获得分的学生（其中七年级2名）中随机选取2名学生参加市级竞赛，请用列表或画树状图的方法，求选中的两名学生恰好在同一年级的概率． 20. 如图，在中，为直径，与为弦，于点E，于点F，与相交于点G． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践如何利用闲置纸板箱制作储物盒根据以下素材，完成探索任务． [素材1]小翼想把家中一个长，宽的区域作为自己的储物空间，用于放置自己的私人物品． [素材2]如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为的长方形纸板． [素材3]小翼分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作成储物盒． 纸板①的制作方式：在四个角上裁去4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒，如图①；纸板②的制作方式：将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒，如图②． [任务1]熟悉材料 （1）按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a的值为________． 利用任务1计算所得的数据a，进行进一步的探究 [任务2]初步应用 （2）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． [任务3]储物收纳 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． （4） 七、（本题满分12分） 22. 已知点在内，，，，． （1）当时（如图1）， 判断的形状，并说明理由； 求证：； （2）当时（如图2），求的值． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，与轴相交于点，抛物线与轴的两个交点分别为点，． （1）求，的值； （2）当时，的最大值与最小值的差为，求的取值范围； （3）若为线段的中点，且点在第二象限内，为抛物线的顶点，当的面积最小时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度九年级第二次质量监测 数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值的基本性质，根据绝对值的定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 负数的绝对值等于它的相反数，且 ， ∴ ． 2. 据统计，2024年我国对共建“一带一路”国家合计进出口万亿元，其中万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中＜，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：万亿用科学记数法表示为 故选：B． 3. 某几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由几何体的三视图还原几何体．根据三视图逐项判定即可． 【详解】解：由题意知，该几何体分上下两层，上层为圆柱，下层为长方体，故选项A，B，D均不符合题意，则该几何体如下；     故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的运算性质、二次根式的性质以及合并同类项法则，依次判断各选项的计算是否正确即可． 【详解】解：选项A：，∴A计算正确； 选项B：，∴B计算错误； 选项C：，仅当时，结论不恒成立，∴C计算错误； 选项D：与不是同类项，不能合并，∴D计算错误． 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可判断． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：； 所以，不等式组的解集为：， 把不等式组的解集在数轴上表示为：． 6. 如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积（，其中为圆心角的度数、为半径），熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去扇形的面积即可得． 【详解】解：∵圆心角，，， ∴阴影部分的面积等于 ， 故选：D． 7. 物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】根据得，结合图象解答即可． 【详解】解：根据图象得，，， 又， 故． 8. 已知实数 满足：，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故错误； ∵， ∴， ∴，故错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故错误； ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故正确； 故选：． 9. 如图，在菱形中，，点P从D点出发，沿运动，过点P作直线的垂线，垂足为点Q，设点P运动的路程为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了函数的图象，菱形的性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，掌握知识点的应用和分类讨论的数学思想是解题的关键．根据点的运动位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用锐角三角函数求出和，即可求出与的函数关系式，即可判断出各种情况下的图象即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴当点到点时，；当到点时，；当到点时，， 当点在上，即时，如下图所示 此时， ∴，， ∴，此时图象为开口上的抛物线的一部分； 当点在上，即时，如下图所示，过点作于， 此时，， ∴四边形为矩形， 在中，，， ∴，， ∴， ∴，此时图象为逐渐上升的一条线段； 当点在上，即时，如下图所示， 此时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，此时图象为开口上的抛物线的一部分； 综上：符合题意的图象为， 故选：． 10. 如图，在矩形中，，，点在边上，且点、分别为边、上的动点，将沿直线翻折得到，则的最小值是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识点，学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题是解题的关键． 作点关于的对称点，连接，，推出，又是定值，即可推出当、、、共线时，定值最小，最小值，再根据矩形的性质以及勾股定理求得即可解答． 【详解】解：如图：作点关于的对称点，连接，． ， ， 是定值， 当、、、共线时，定值最小，且为 ，，点在边上，且． ，， ， ∴最小值， 的最小值为． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】x≥4 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解． 【详解】解：由题意得：x-4≥0， ∴x≥4， 故答案为：x≥4． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 13. 小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．请根据图中信息，则点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数综合题，考查了求函数解析式，一次函数的平移问题，一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键．由图形可知，，利用待定系数法求出反比例函数解析式和直线的解析式，再根据一次函数的平移得到直线的解析式，联立反比例函数和直线，求出交点坐标即可． 【详解】解：由图形可知，， 设反比例函数解析式为， 反比例函数图象过点， ， 比例函数解析式为， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 由图象可知，直线可由直线向上平移3个单位得到， 直线的解析式为， 联立，解得：或， 点在第二象限， 故答案为： 14. 如图，在边长为的正方形中，是边上一动点（不与，两点重合），将沿直线翻折，点落在点处；在上取一点，使得将沿直线翻折后，点落在直线上的点处，直线交于点，连接，． （1）的周长为_______； （2）当在边上运动时，的面积的最小值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查相似形综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，添加常用辅助线． （1）利用翻折的性质和正方形的性质证明，得出，进而即可得出的周长； （2）证明，进而证明，设，则，得出，作于G，所以最小时的面积最小，构建二次函数，求得的最小值，进而根据三角形的面积公式进行计算． 【详解】解：（1）∵将沿直线翻折，点B落在点E处， ∴，，，且四边形是正方形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴的周长为：； 故答案为：． （2）∵，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∴， 设，则， ∴， 过点作于G， ∴最小时的面积最小， ∵， ∴时，最小值， ∴的面积的最小值为 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 方程两边同时乘以， 得， 去括号，得， 解得：， 检验：当时， 分式方程的解为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，请作出； （2）将绕点A按顺时针方向旋转得到，请作出； （3）当四边形为平行四边形时，请直接写出点D的坐标． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，是向右平移5个单位长度，向下平移6个单位长度得到的△，根据平移的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）结合平行四边形的性质可得答案． 本题考查作图平移变换、旋转变换、平行四边形的性质，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、平行四边形的性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示即为所求 【小问2详解】 解：如图所示即为所求 【小问3详解】 解：四边形为平行四边形， ，， 点的坐标为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中“□”的个数为________． （2）第1个图案中“▲”的个数可表示为，第2个图案中“▲”的个数可表示为，第3个图案中“▲”的个数可表示为，……，第n个图案中“▲”的个数可表示为________． 【规律应用】 （3）若第n个图案中“□”比“▲”多33个，求正整数n的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，图形规律，运用代数式表达式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据图形个数的变化规律，得出第n个图案中，“□”的个数为，即可作答． （2）结合题干条件，直接得出第n个图案中，“▲”的个数可表示为； （3）根据条件以及（1），（2）的结论进行列方程，即可作答． 【详解】解：（1）观察图形，得出 第1个图案中，“□”的个数为； 第2个图案中，“□”的个数为； 第3个图案中，“□”的个数为； ……， 以此类推，得出第n个图案中，“□”的个数为； （2）观察图形，得出 第1个图案中，“▲”的个数为； 第2个图案中，“▲”的个数为； 第3个图案中，“▲”的个数为； ……， 以此类推，得出第n个图案中，“▲”的个数为； （3）∵第n个图案中“□”比“▲”多33个， ∴， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴正整数. 18. 如图1所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即 于点，，于点是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．(这里的小腿都包括脚面部分，上身包括头部部分)．已知 ，，求∶ （1）的度数 （2）点P距离地面的高度．(结果精确到．参考数据∶) 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行线的性质，垂线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由垂线的定义得到，再证明，由平行线的性质可得，据此可得答案； （2）过点P作交延长线于T，证明，解求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点A作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解；如图所示，过点P作交延长线于T， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：点P距离地面的高度约为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 第九届亚洲冬季运动会于今年2月7日至日在哈尔滨举办，本届亚冬会吸引了来自亚洲个国家和地区的余名运动员参赛，创下历届参赛人数和代表团数量之最．某校为了解学生对体育运动的了解程度，组织七、八年级全体学生进行了相关的知识竞赛．为了解竞赛成绩，抽样调查了七、八年级部分学生的分数，过程如下， 【收集数据】从该校七、八年级学生中各随机抽取名学生的分数，其中八年级学生的分数如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 【整理、描述数据】将抽取的七、八年级学生的竞赛成绩（分）分组整理如表所示： 分数／分 七年级人数 2 3 6 5 4 八年级人数 1 3 7 【分析数据】七、八年级学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 年级 平均数／分 中位数／分 众数／分 七年级 八年级 根据以上提供的信息，解答下列问题． （1）填空：______，______，______． （2）已知该校七、八年级各有名学生，为表扬在这次竞赛中表现优异的学生，该校决定给两个年级竞赛成绩在分及以上的学生颁发奖状，请估计该校需要准备多少张奖状？ （3）该校决定从七、八年级竞赛获得分的学生（其中七年级2名）中随机选取2名学生参加市级竞赛，请用列表或画树状图的方法，求选中的两名学生恰好在同一年级的概率． 【答案】（1）4；5； （2）张 （3） 【解析】 【分析】（1）对八年级学生的分数进行分组整理即可求出a和b，根据中位数的定义即可求出c； （2）用样本估计总体即可； （3）先画出树状图或列表，再根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：根据八年级学生的分数情况，分数在之间的人数有4人，在之间的人数有5人， ∴，，； 故答案为：4，5，； 【小问2详解】 （张）． 答：估计该校需要准备张奖状． 【小问3详解】 由八年级学生的分数可知，八年级有两名学生获得分，将七年级两名学生记为，，八年级两名学生记为，， 画树状图如下： 所有等可能的结果共种，其中选中的两名学生恰好在同一年级的结果有4种， 选中的两名学生恰好在同一年级的概率为． 【点睛】本题主要考查了中位数，用样本估计总体，画树状图或列表法，概率公式等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 20. 如图，在中，为直径，与为弦，于点E，于点F，与相交于点G． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关图形的判定和性质． （1）先求出，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出答案即可； （2）连接，根据，得出，根据垂径定理得出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ， 于点F， ， ， 与都是弧所对的圆周角， ． 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践如何利用闲置纸板箱制作储物盒根据以下素材，完成探索任务． [素材1]小翼想把家中一个长，宽的区域作为自己的储物空间，用于放置自己的私人物品． [素材2]如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为的长方形纸板． [素材3]小翼分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作成储物盒． 纸板①的制作方式：在四个角上裁去4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒，如图①；纸板②的制作方式：将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒，如图②． [任务1]熟悉材料 （1）按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a的值为________． 利用任务1计算所得的数据a，进行进一步的探究 [任务2]初步应用 （2）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． [任务3]储物收纳 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． （4） 【答案】（1）40 （2）储物盒的容积为 （3）玩具机械狗不能完全放入该储物盒，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程和二元一次方程组是解题的关键． （1）根据储物区域的长为，储物盒可以完全放入储物区域，求出图1中的四角裁去小正方形的边长，即可解决问题； （2）设裁去的小正方形的边长为，储物盒的底面积是，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）设小长方形的宽为，长为，根据“和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为”，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵储物区域的长为，储物盒可以完全放入储物区域， ∴图①中的四角裁去小正方形的边长为， ； 【小问2详解】 解：由图①知，设小正方形的边长为， 由题意可得， 解得（舍去），， 容积为 答：储物盒的容积为． 【小问3详解】 解：设小长方形的宽为，长为， 由题意可得， 解得（舍去）或， 小长方形的宽为．当，两边恰好重合且无重叠部分，储物盒的高为， 玩具机械狗不能完全放入该储物盒． 七、（本题满分12分） 22. 已知点在内，，，，． （1）当时（如图1）， 判断的形状，并说明理由； 求证：； （2）当时（如图2），求的值． 【答案】（1）为等边三角形，理由见解析 见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据三个角都是的三角形是等边三角形解答即可； 连接，证明得，，进而求得，，在中，，所以，即可得证； （2）连接，证明得，即，证明得，，所以，设，在中，，，在中，，所以，即可得解． 【小问1详解】 解：为等边三角形，理由如下： 当时，， ， ， ， 为等边三角形； 连接， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ，， 在中，， ，即； 【小问2详解】 解：连接， ，， ， ，即， 又， ，，， ， 设，在中，，， 在中，， ， ． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，与轴相交于点，抛物线与轴的两个交点分别为点，． （1）求，的值； （2）当时，的最大值与最小值的差为，求的取值范围； （3）若为线段的中点，且点在第二象限内，为抛物线的顶点，当的面积最小时，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数与面积问题，二次函数最值问题等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）由抛物线，则当时，；当时，，从而可求出的取值范围； （）联立得，求出点的坐标为，则点，过点作轴于点，过点作轴于点，轴于点，通过面积公式得，然后由二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：将点，分别代入， 得， 解得； 【小问2详解】 解：由（）知， ∴抛物线， 当时，；当时，， ∵点的坐标是， ∴的取值范围是； 【小问3详解】 解：由（）知，点的坐标为， 联立得， ∴， 解得，， 当时，， ∴点的坐标为， ∵点， ∴点， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，轴于点， 则，，，，， ∴ ， ∴当时，最小， ∴的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $