期中专题复习1 平行线中的7大拐点模型 2025-2026学年人教版七年级数学下册

期中专题复习1平行线中的拐点7大题型 月录 题型一：铅笔头型 题型二：多铅笔头型 题型三：猪蹄型 题型四：锯齿型 题型五：牛角型 题型六：羊角型 题型七：蛇型 过关检测 题型一 铅笔头型 M 结论：已知：AM∥BN,结论：∠1+∠2+∠3=360° 1.如图所示，BA∥DE,∠B=130°，∠D=140°，则∠C的度数是() A D A.60° B.80° C.90 D.75 2.如图，AB∥CD,若LE=55°，则∠B+∠D= A B D 题型二多铅笔头型 M 已知：AM∥BN,结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° A P P2 Pn-2h 已知：AM/BN,结论：∠1+∠2++∠n=(n-1)180 1.已知AB∥EF,∠B=150°，∠E=140°则∠C+∠D= B 2.(1)如图1，AB∥CD,求∠A+∠AEC+∠C的度数. 解：过点E作EF∥AB. :EF∥AB(己作)， ∠A+∠AEF=180°(). 又：AB‖CD(己知)， ∥ (平行关系的传递性)， .∠CEF+∠ =180°（两直线平行，同旁内角互补）， :LA+∠AEF+∠CEF+∠C=360°（等式性质）， 即∠A+LAEC+∠C=; (2)根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，AB∥EF,则∠B+∠C+∠D+∠E= ； (3)根据(1)和(2)的规律，图3中AB‖GF,猜想：∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= (4)如图4，AB∥CD,在B,D两点的同一侧有M,M2MMn共n个折点，则 ∠B+∠M1+∠M2+.+∠M,+∠D的度数为 (用含n的代数式表示). B B M M C- M 图1 图2 图3 图4 D 题型三 猪蹄型 M N ①结论：已知：AMBN,结论：∠APB=∠A+∠B ②已知：∠APB=∠A+∠B,结论：AMIBN 1.如图，AB∥CD,点0在AB与CD之间，∠A0C=75°，∠C=28°，则∠A=() D —B A.47° B.123 C.51.5° D.30° 2.将等边三角形如图放置，a∥b,∠1=35°，则∠2=() A.209 B.25 C.30 D.35 题型四 锯齿型 M P N 已知：AM‖BN,结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2 A M >P1 PP防 i B N 已知：AMBN,结论：∠P1+∠P3+.+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+.+∠P2m 1.如图，直线AB∥CD,点P和点Q在两直线之间，且2∠P=3∠Q,则∠B,∠C与∠P之 间的数量关系为 B C 2.机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某 次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，AB∥CD,AB⊥BE,∠BEF =130°，∠DCF=120°，则∠EFC的度数为() B D C 图1 图2 A.100 B.110° C.120° D.135 题型五 牛角型 E A B D 已知AB∥CD,结论：∠1=∠2+∠3 已知AB∥CD,结论：∠1+∠3-∠2=180° 1.如图，小明观察抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：已知AB∥CD ,∠BAE=88°，∠DCE=122°，则∠E的度数是 B 2.如图，已知AB∥DE,点C在AB上方，连接BC,CD.∠ABC=145°. C B A D E D 图(1) 图2) (1)如图(1)，若∠EDC=116°，求∠BCD的度数： (2)如图(2)，CB与DF互相垂直，垂足为F,求∠EDF的度数. 题型六 羊角型 已知：ABDE,结论：《=Y-B E 己知：ABIIDE,结论：a十B+Y=180° 1.已知，如图，AB∥EF,∠ABC=75°，∠CDF=135°，则∠BCD等于() A 7500B D 1350 A.45° B.40° C.35° D.30 2.如图，AB∥CD,∠A=45°，∠C=20°，则∠E的度数为 题型七 蛇型 已知：ABIDE,结论：a+Y=B+180° 0>9 已知：ABIDE,结论：x+B=Y+180° 1.如图，AB∥DE,若∠B=30°，∠D=140°，则∠C的度数是」 B C D E 2.如图，AB∥CD,∠BAE=120°，∠DCE=30°，则∠AEC=(). A -B D C A.70° B.150° C.90° D.100° 过关检测 1.如图，已知a∥b,∠1=45°，∠2=125°，则∠ABC的度数为() B 2 b C A.100° B.1059 C.115° D.125° 2.如图，玲玲在美术课上用丝线绣出了一个"2”，AB∥DE,∠A=30°，∠ACE=110°，则 ∠E的度数为() D A B A.30°B.150°C.120°D.100° 3,如图，AB∥EF,∠ABP=∠ABC,∠EFP=∠EFC,已知∠FCD=80°，则∠P的度 4 4 数为() P D A.55° B.60° C.65° D.70° 4.生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关.如图，从光源点P照射到抛物线 上的光线PA,PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若∠CAP=a,∠DBP=B,则 ∠APB的度数为 E B 5.根据图象完成题日： E B B 02 3 2n- 2n C F D D 图① 图② (I)如图①，AB∥CD,E,F分别是AB,CD上任意一点，EO和FO交于点O,则∠1， ∠2，∠3的数量关系是 (2)如图②，AB∥CD,则图中∠1，∠2，∠3，∠4，，∠2n-1,∠2n之间的数量关系 是 6.【基础模型】 (1)如图1，若AB∥CD,点E为拐点，则∠1、∠2、∠3的数量关系为 若将 拐点E左移，如图2，此时∠1、∠2、∠3的数量关系为 【深入探究】 (2)如图3，AB∥CD,BP平分∠ABE，,DP平分LCDE,猜想∠BPD与∠BED之间的 数量关系，并说明理由。 【拓展探究】 (3)如图4，AB∥CD，,若点E在点B的左侧，LCDE=a,∠ABE=B,且a>B,BP平 分∠ABE,DP平分LCDE,请你直接用含a、B的式子表示∠BPD. 图1 图2 图3 图4 .如图1，己知AB∥CD,直线AB与CD之间有一点P(点P在直线AC的右侧)，连接 AP,CP 图1 图2 图3 (1)若∠A=40°，∠C=29°，则∠APC的度数为； (2)探究LA,LAPC与∠C之间的数量关系，并说明理由： (3)己知AB∥CD,点M,N分别在直线AB,CD上，点P,P均在直线MN的右侧，连接 MP,NP,MP,NP,且MP平分∠BMP. ①如图2，若点P,P均在直线AB和CD之间，NP平分∠DNP,且∠MPN=100°，求∠MPN 的度数； ②如图3，若点P在直线AB和CD之间，点P在直线CD的下方，ND平分∠PNP,设 ∠BMP=a,且0°<a<90°，请直接写出∠MPN+∠MPN的度数（用含a的代数式表示）. 期中专题复习1 平行线中的拐点7大题型 目录 题型一：铅笔头型 题型二：多铅笔头型 题型三：猪蹄型 题型四：锯齿型 题型五：牛角型 题型六：羊角型 题型七：蛇型 过关检测 题型一 铅笔头型 结论：已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360° 1.如图所示，BA∥DE，∠B＝130°，∠D＝140°，则∠C的度数是（ ） A．60° B．80° C．90° D．75° 【答案】C 【分析】过点C作CF∥AB∥DE，则可分别求出∠BCF、∠DCF的度数，继而可得出∠C． 【解答】解：过点C作CF∥AB∥DE， ∵CF∥AB∥DE， ∴∠BCF＝180°﹣∠B＝50°，∠DCF＝180°﹣∠D＝40°． ∴∠C＝∠BCF+∠DCF＝90°． 故选：C． 2.如图，，若，则=_______． 【分析】本题考查了平行线的性质．解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．过点作，由，得，根据两直线平行，同旁内角互补得到，，即可得到，即有．而，即可得到． 【解答】解：过点作，如图： ，， ， ， ， ， 即． 而， ． 故答案为：． 题型二 多铅笔头型 已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180° 1.已知，∠B=150°,∠E=140°则_______； 解：如图，过点C作，过点D作， ∴， ∴，，， ∴， ∴； ∵∠B=150°,∠E=140° ∴=250° 2.（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作． （已作）， （   ）． 又（已知）， ______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的推论，图形类规律探索，熟练掌握“两直线平行，同旁内角互补”和“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”是解题关键． （1）根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得、，即可求得； （2）过点C作，过点D作，根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得，，，即可求得； （3）由（1）和（2）总结规律即可求解； （4）根据所得规律可直接求解． 【详解】（1）解：过点E作． （已作）， （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即； （2）如图，过点C作，过点D作， ∴， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知在A，C两点的同一侧有1个折点，其； 由（2）可知在B，E两点的同一侧有2个折点，其； 因为B，F两点的同一侧有3个折点， 所以； （4）由（3）可知． 题型三 猪蹄型 ①结论：已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B ②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN 1.如图，，点在与之间，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． 过点O作，可得，根据平行线的性质可得，即可求出，再根据得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2.将等边三角形如图放置，a∥b，∠1＝35°，则∠2＝（ ） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】B 【分析】过点A作AD∥a，如图，根据平行线的性质可得∠BAD＝∠1，根据平行线的传递性可得AD∥b，从而得到∠DAC＝∠2．再根据等边△ABC可得到∠BAC＝60°，就可求出∠DAC，从而解决问题． 【解答】解：过点A作AD∥a，如图， 则AD∥b， ∴∠BAD＝∠1＝35°． ∵a∥b， ∴AD∥b， ∵∠DAC＝∠2， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠2＝∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝60°﹣35°＝25°． 故选：B． 题型四 锯齿型 已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n. 1.如图，直线，点和点在两直线之间，且，则，与之间的数量关系为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质探究角的关系，过点作，过点作，则，由平行线的性质可得出，，，再得出，，用再结合即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ， ， ，，， ，， ， ， ． 故答案为：． 2.机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，AB∥CD，AB⊥BE，∠BEF＝130°，∠DCF＝120°，则∠EFC的度数为（ ） A．100° B．110° C．120° D．135° 【答案】A 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：过点F作AB的平行线，交BE的延长线于点M， ∵AB∥FM，AB∥CD， ∴∠B+∠BMF＝180°，MF∥CD． ∵AB⊥BE， ∴∠B＝90°， ∴∠BMF＝180°﹣90°＝90°． ∵∠BEF＝130°， ∴∠MFE＝130°﹣90°＝40°． ∵MF∥CD， ∴∠MFC+∠DCF＝180°． ∵∠DCF＝120°， ∴∠MFC＝180°﹣120°＝60°， ∴∠EFC＝∠MFE+∠MFC＝40°+60°＝100°． 故选：A． 题型五 牛角型 已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 1.如图，小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：已知，，，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质．首先过点C作，根据两直线平行内错角相等可得：，根据两直线平行同位角相等可得：，，根据角之间的关系可得：，等量代换可得：． 【详解】解：如图所示，过点C作， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴． 故答案为：． 2.如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，周角，掌握知识点是解题的关键． （1）过点作，求出，推导出，得到，则，即可解答； （2）过点作，得到，，推导出，，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图（1），过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图（2），过点作， ， ， ， ， ，， ， ． 题型六 羊角型 已知：AB∥DE，结论：. 已知：AB∥DE，结论： 1.已知，如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，进而得到，根据平行线的性质求出的度数，再利用角的和差关系计算即可． 【详解】解：过点作，则：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 2.如图，，，，则的度数为 . 【答案】 【分析】通过作辅助线构造平行关系，利用平行线的性质（平行于同一直线的两直线平行、两直线平行内错角相等），结合角的和差关系求出的度数． 【详解】解：如图，过点作． ，且 ． ，， ． ，， ． 由图可知， 将、代入， 可得， 故答案为：． 题型七 蛇型 已知：AB∥DE，结论： 已知：AB∥DE，结论： 1.如图，，若，，则的度数是 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查平行线的性质，关键在于作辅助线平行已知直线，再根据平行线的性质即可求解．先过点作的平行线，然后根据平行线的性质即可求出结果． 【详解】解：如图：过点作， ∴∠BCF=∠B=30∘， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴． 故答案为：． 2.如图，，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，作，根据平行线的性质分别得，根据，即可求解． 【详解】如图，过点作 ， ． 过关检测 1.如图，已知a∥b，∠1＝45°，∠2＝125°，则∠ABC的度数为（　　） A．100° B．105° C．115° D．125° 【答案】A 【分析】解法一：过点B作DE∥a，则∠DBA＝∠1＝45°，易得DE∥b，进而得到∠2+∠DBC＝180°，求得∠DBC＝55°，于是∠ABC＝∠DBA+∠DBC，代入计算即可求解． 解法二：延长AB交b于点F，由平行线的性质得到∠1＝∠3＝45°，再利用三角形的外角性质可得∠2＝∠3+∠CBF，进而求得∠CBF＝80°，最后根据平角的定义即可求解． 【解答】解：解法一：如图，过点B作DE∥a， ∴∠DBA＝∠1＝45°， ∵a∥b，DE∥a， ∴DE∥b， ∴∠2+∠DBC＝180°， ∴∠DBC＝180°﹣∠2＝180°﹣125°＝55°， ∴∠ABC＝∠DBA+∠DBC＝45°+55°＝100°． 解法二：如图，延长AB交b于点F， ∵a∥b， ∴∠1＝∠3＝45°， ∵∠2＝125°， ∵∠2＝∠3+∠CBF， ∴∠CBF＝∠2﹣∠3＝125°﹣45°＝80°， ∴∠ABC＝180°﹣∠CBF＝180°﹣80°＝100°． 故选：A． 2．如图，玲玲在美术课上用丝线绣出了一个“2”，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对平行线的性质，平行公理及推论等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线并灵活运用性质进行推理是解此题的关键．过点C作，得出，根据平行线的性质推出，求出，即可求出选项． 【详解】解：过点C作， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 3.如图，，，，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，过作，利用平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：过作， ， ， ，， ， ∵， ， ， ，， ， ． 故选：C． 4.生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源点P照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与直线平行的方向射出，若，则的度数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等．根据两直线平行，内错角相等可得，，然后相加即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 5.根据图象完成题目：          (1)如图①，，E，F分别是AB，CD上任意一点，EO和FO交于点O，则，，的数量关系是__________________． (2)如图②，，则图中，，，，…，，之间的数量关系是______________________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图①，过点作，结合，得到，推出，，即可得到三个角之间的关系； （2）如图②，取有限个角，并过点作，则．过点作，则，．由（1）的结论得到，于是得到图中，，，，…，，之间的数量关系. 【详解】（1）解：如图①，过点作． ∵， ∴， ∴，， ∴， 即． （2）解：如图②，取有限个角，并过点作，则． 过点作，则，． ∵， ∴， ∴， ∴， 由此推得． 6.【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或 【分析】本题考查平行线的性质，过拐点构造平行线是解题的关键： （1）过点作，根据平行线的性质，进行推导即可； （2）结合（1）中的结论以及角平分线的定义，进行求解即可； （3）分点在直线的下方和上方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）过点作， 如图1： 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2： ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）可知：， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当点在下方时，如图： 则，， ∵平分平分， ∴， ∴； 当点在上方时，如图： 作，则， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； 综上：或． 7．如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)若，则的度数为_； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，掌握知识点是解题的关键． （1）过点P作，则，可知，即可求出的度数； （2）过点P作，则，可知，进而可知与之间的数量关系； （3）①由（2）得，由角平分线可知，，同（2）可得，计算即可； ②如图，过点P作，则有，由角平分线可知，，同（2）可得，根据平行线的判定和性质得到，进而计算即可． 【详解】（1）解：如图1，过点P作， 故答案为：； （2）解：；理由如下： 如图1，过点P作， ， ； （3）解：①由（2）得． 平分平分 ． 同（2）可得 ； ②．理由如下： 如图，过点P作，则有． 平分 ． 平分 ． 同（2）可得， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $