精品解析：四川成都市石室天府中学2025-2026学年高二下学期4月学业练习数学试题

2025-2026年度下期高二年级4月学业练习 数学试题 一、单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本初等函数的导数与导数的运算法则逐项计算即可. 【详解】因为是常数，所以，所以A错误； 因为，所以B错误； 因为，所以C正确； 因为，所以D错误. 2. 等差数列中，已知，则该数列的前9项和为（ ） A. 54 B. 63 C. 66 D. 72 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质及前项和公式求解． 【详解】∵，且，∴，， ∴该数列的前9项和为． 故选：A． 3. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（ ） A. B. 4 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先根据抛物线方程求出基本参数和点A的纵坐标，再利用抛物线的定义计算焦半径的长度，或由两点距离公式直接求解. 【详解】由抛物线得，解得，所以焦点，准线方程， 点在抛物线上，代入抛物线方程得：​，解得，即， 根据抛物线的定义，抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离， 可得； 或直接计算两点距离：. 【点睛】本题核心知识点为抛物线的标准方程与定义，利用抛物线定义计算焦半径可以简化运算，是圆锥曲线中抛物线问题的常用技巧. 4. 通过调查某省100家能够提供儿科夜间急诊服务的医疗机构，并统计其夜间提供急诊的时长（单位：h），绘制得到频率分布直方图如图所示，根据图中数据，下列结论错误的是（ ） A. B. 估计夜间提供急诊时长的平均数为12.36 C. 估计夜间提供急诊时长的第三四分位数为11.33 D. 估计夜间提供急诊时长的众数为14 【答案】C 【解析】 【分析】由频率分布直方图的性质，列出方程，求得的值，可判定A正确；由频率分布直方图的平均数的计算公式，求得数据的平均数，可判定B正确；根据百分位数的计算方法，可判定C错误；根据众数的定义与求法，可判定D正确. 【详解】对于A，由频率分布直方图的性质，可得， 解得，所以A正确； 对于B，估计夜间提供急诊时长的平均数为 ，所以B正确； 对于C，第三四分位数为第75百分位数， 因为，所以第三四分位数一定位于内， 由，则估计夜间提供急诊时长的第三四分位数为14，所以C错误； 对于D，估计夜间提供急诊时长的众数为，所以D正确. 故选：C. 5. 已知是等比数列，则“”是“是增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据递增数列的定义并结合对项取值，可得结果 【详解】由数列是等比数列，可假设， 则， 可知，但数列不是递增数列， 若数列是递增等比数列，由定义可知，，故 “”是“是递增数列”的必要不充分条件 故选：B 6. 曲线过坐标原点的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由 ，得 . 设切点为 ，则切线斜率 . 切线方程为 . 将原点 代入得 ， 即 ，因为，所以，解得 . 所以切线斜率 ，切线方程为 . 故所求切线方程为 . 7. 某超市举行抽奖活动，规则如下：从装有编号四个小球的抽奖箱中，每次取出1个小球，记下编号后放回，连续取2次，取出的2个小球号码之和等于7中一等奖，等于6中二等奖，等于5中三等奖，则顾客参与抽奖1次中奖的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理确定基本事件总数，再确定符合条件的基本事件个数，由古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】因为每次取球都有4种可能，且取2次，根据分步乘法计数原理，总的基本事件数种， 小球号码之和等于7的情况有，共2种情况； 号码之和等于6的情况有，共3种情况； 号码之和等于5的情况有，共4种情况， 所以中奖的情况数种，所以中奖的概率为. 故选：D. 8. 已知，若是函数的一个零点，则的值为( ) A. 0 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意求出，然后设函数，利用以及的单调性，并结合对数运算即可求解. 【详解】由题意可知，，所以， 不妨设，()，故， 从而， 易知在上单调递增， 故，即， 从而. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B. 将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法 C. 用0~9这10个数字，可以组成648个没有重复数字的三位数 D. 用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以排成144个无重复数字的四位偶数 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种，故A正确； 对于B，将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法，故B错误； 对于C，百位数有种情况，十位数有种情况，个位数有种情况， 所以用0~9这10个数字，可以组成个没有重复数字的三位数，故C正确； 对于D，当个位数为时，千位数有种情况，百位数有种情况，十位数有种情况， 可以排成个无重复数字的四位偶数， 当个位数不为时，个位数有种可能，千位数有种情况，百位数有种情况，十位数有种情况， 可以排成个无重复数字的四位偶数， 所以用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以排成个无重复数字的四位偶数，故D错误. 10. 已知数列的前项和为，且，首项为1的正项数列满足，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据与的关系，求出，并求得；由项与积的关系求得，可得数列是等比数列，根据等比数列的前项和即可求得. 【详解】因为，所以 当时，，解得； 当时，， 两式相减可得， 即，所以. 故数列是以1为首项、2为公比的等比数列，故，所以A错误. 由，得，所以，所以B正确. 记， 当时，， 即， 故. 因为，故，故数列是以1为首项，为公比的等比数列. 故，所以C、D正确． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且曲线的对称中心为，则 B. 若，函数在上单调递增，则 C. 若，且，则存在实数，使得 D. 若，，且函数有两个极值点、，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用求参数判断A，对函数求导有在上恒成立，结合判别式列不等式判断B，根据已知有，再判断的判别式符号确定函数的单调性判断C，由是的两个根，结合韦达定理判断D. 【详解】对于A，若，则， 由的对称中心为，则， 所以， 所以 ， 所以，则，A对， 对于B，若，则。若在上单调递增， 则其导数在上恒成立， 所以，即，B错， 对于C，由，，不等式两边同乘，得， 的判别式， 故有两个不同零点，即有两个极值点，故不单调， 因此存在使得，C对， 对于D，将代入导函数，得， 极值点是的两个根， 由韦达定理：，D对. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在上的最小值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】对函数的导数，判断函数的单调区间和极值点，从而求出的最小值. 【详解】根据题意可得，令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以是区间上的极小值点，也是最小值点， 则. 13. 已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上一点，满足，且的面积为，则双曲线的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】设，由题意可得、，，由此求解即可. 【详解】设， 因为， 所以①， 又因为为中点，的面积为， 所以的面积为， 则有， 所以②， 由双曲线的定义可知③， 由①②③，可得， 所以， 即， 又因为， 所以. 14. 已知数列满足，当时，，若数列中存在连续5项构成等差数列，则的最小值是______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，正整数从1开始取值，结合等差数列性质依次计算确定的最小值. 【详解】依题意，，当时，数列成等差数列， 则，由，得，则与矛盾， 因此，当时，数列成等差数列， 且，则， 而，，因此，此时，公差， ，，符合题意， 所以的最小值为2. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在直三棱柱中，分别为线段的中点． （1）证明：平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：由已知，两两垂直， 以为原点，正方向所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 已知分别为线段，的中点， 则，所以. 易得为平面的一个法向量. 因为，所以， 又平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，以为原点，建立空间直角坐标系，证明垂直于平面的法向量，即可得证平面； （2）先求平面的法向量，结合（1）中的法向量，使用向量夹角公式即可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知， 设平面的一个法向量为， 由（1）知， 则，令，得. 又平面的一个法向量为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 16. 设函数. （1）若，求的极值； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1）有极小值，无极大值； （2） 当时， 在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减，在上单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减，在上单调递增 【解析】 【分析】（1）根据导数的性质，结合极值的定义进行求解即可； （2）根据导数的性质，结合的不同取值分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 当时，， 所以， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，该函数有极小值，无极大值. 【小问2详解】 由， ， 当时，当时，单调递增，当时，单调递减； 当时，，或， 当时，，函数在时，单调递增， 当时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 综上所述：当时， 在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减，在上单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减，在上单调递增 【点睛】关键点睛：根据一元二次方程两根之间的大小关系分类讨论是解题的关键. 17. 已知数列的前项和为． （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式： （2）若对任意恒成立．求实数的取值范围． 【答案】（1） 证明：由，则，即， 又，所以数列是首项、公差均为的等差数列， 所以，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设递推关系有，结合等差数列定义判断证明，进而写出通项公式； （2）先根据错位相减法求得，再将问题化为恒成立，最后结合作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由， 则， 所以， 所以. 因为对任意恒成立． 所以，整理得对任意恒成立， 令，则， 当时，当时，当时， 所以，即的最小值为， 综上，实数的取值范围为. 18. 已知椭圆的右焦点，短轴长为2. （1）求椭圆的方程； （2）记为坐标原点，直线与椭圆交于两点，过点作直线的垂线，垂足为. （i）求证：直线恒过定点； （ii）求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）设，依题意， 得 ， ， 所以，即得直线的方程为：①. 由图形的对称性可知，若动直线过定点，则定点一定在轴上， 所以令代入①，可得 ， 由（*）得， 所以 得，所以直线恒过定点. （ii） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的焦点及短轴列式计算求解得出 从而可得的方程；    （2）（i）将与直线方程联立可得，直线，令，结合韦达定理求证即可； （ii）设，则，记，则，结合基本不等式计算求解. 【小问1详解】 依题意可知，解得 ，椭圆的标准方程为 . 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）可知直线恒过定点， 所以， 将（*）代入得 ， 设， 则. 因为，所以 ， 所以. 19. 设、为实数，且，函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，， 设， 则， 由于，则 ， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则 ，即. （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义直接求解即可； （2）设，求导，分析函数的单调性，进而求证即可； （3）设，转化问题为函数有且仅有2个零点，分析易得 时才能满足题意，设，分析可得需满足，，设，利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【小问1详解】 当 时，，则， 而，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， 由题意，曲线与直线有且仅有两个交点， 则函数有且仅有2个零点， 而， 令，得，而，则 ， 当 时，，则函数在上单调递增， 此时函数最多有1个零点，不符合题意； 当 时，令 ，得，令 ，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，， 要使函数有且仅有2个零点， 则，即， 设，则， 当时，，则，不满足题意； 当时，设，则， 则函数在上单调递减，又， 则时，，即， 则的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年度下期高二年级4月学业练习 数学试题 一、单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 等差数列中，已知，则该数列的前9项和为（ ） A. 54 B. 63 C. 66 D. 72 3. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（ ） A. B. 4 C. 3 D. 5 4. 通过调查某省100家能够提供儿科夜间急诊服务的医疗机构，并统计其夜间提供急诊的时长（单位：h），绘制得到频率分布直方图如图所示，根据图中数据，下列结论错误的是（ ） A. B. 估计夜间提供急诊时长的平均数为12.36 C. 估计夜间提供急诊时长的第三四分位数为11.33 D. 估计夜间提供急诊时长的众数为14 5. 已知是等比数列，则“”是“是增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 曲线过坐标原点的切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 某超市举行抽奖活动，规则如下：从装有编号四个小球的抽奖箱中，每次取出1个小球，记下编号后放回，连续取2次，取出的2个小球号码之和等于7中一等奖，等于6中二等奖，等于5中三等奖，则顾客参与抽奖1次中奖的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若是函数的一个零点，则的值为( ) A. 0 B. C. 1 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B. 将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法 C. 用0~9这10个数字，可以组成648个没有重复数字的三位数 D. 用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以排成144个无重复数字的四位偶数 10. 已知数列的前项和为，且，首项为1的正项数列满足，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且曲线的对称中心为，则 B. 若，函数在上单调递增，则 C. 若，且，则存在实数，使得 D. 若，，且函数有两个极值点、，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在上的最小值为______． 13. 已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上一点，满足，且的面积为，则双曲线的离心率为______. 14. 已知数列满足，当时，，若数列中存在连续5项构成等差数列，则的最小值是______. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在直三棱柱中，分别为线段的中点． （1）证明：平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16. 设函数. （1）若，求的极值； （2）讨论函数的单调性. 17. 已知数列的前项和为． （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式： （2）若对任意恒成立．求实数的取值范围． 18. 已知椭圆的右焦点，短轴长为2. （1）求椭圆的方程； （2）记为坐标原点，直线与椭圆交于两点，过点作直线的垂线，垂足为. （i）求证：直线恒过定点； （ii）求面积的取值范围. 19. 设、为实数，且，函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $