4.1 同角三角函数的基本关系 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

4.1 同角三角函数的基本关系 北师大版（2019）必修第二册 学习目标 1.能根据三角函数的定义，利用单位圆，推导出三角函数的基本关系式，体现逻辑推理能力（重点） 2.能正确利用基本关系式进行三角函数式的求值运算，并且确定符号，体现数学计算能力（重难点） 课程引入 a b c α 思考一下：求出下面直角三角形的正弦值与余弦值，并尝试总结正弦函数与余弦函数的关系？ 因为a2+b2=c2，所以 新课学习 思考一下：如果在单位圆中，上面的两个结论是否成立？ M O 1 x y α P(cos α ，sin α) 如图，任意角α的终边与单位圆的交点P的坐标是(cos α ，sin α)，OP＝1， MP=sin α，OM=cos α， 所以 sin2 α+cos2 α=1 同角三角形的基本关系 新课学习 同角三角函数的基本关系 平方关系：sin2 α+cos2 α＝1 商数关系： 新课学习 例1：已知sin α= ，且角α的终边在第二象限，求cos α和tan α的值. 由sin2 α+cos2 α=1有cos2 α=1-sin2 α= 又角α的终边在第二象限，cos α＜0，所以 所以 新课学习 例2：已知cos α= ，求sin α和tan α的值. 由sin2 α+cos2 α=1有sin2 α=1-cos2 α= 因为cos α= <0，所以角α的终边在第二或第三象限. 当α的终边在第二象限，sin α>0， 当α的终边在第三象限，sin α<0， 新课学习 例3：已知tan α=m(m≠0)，求sin α和cos α的值. 因为sin2α+cos2α＝1 ①， 由②式得 sin2α=m2cos2α ③ 将③式代入①式得 m2cos2α+cos2α=1 所以 因为tan α=m≠0，即角α的终边不在x轴、y轴上， 所以 当α是第一、第四象限角； 当α是第二、第三象限角. 新课学习 例3：已知tan α＝m(m≠0)，求sin α和cos α的值. 当α是第一、第四象限角； 当α是第二、第三象限角. 注意：利用平方关系求三角函数值时，应根据角α的终边所在象限确定所求三角函数值的范围 新课学习 因为sin2α+cos2α=1， 消去cos α，得 25sin2 α+5sin α-12=0， 解方程，得 代入已知条件，得 所以 新课学习 思考一下：根据上面的例4，总结一下求三角函数值的方法. 求三角函数值的时候，通常利用同角三角函数的基本关系和已知条件把问题归纳为：解正弦（或余弦）函数值的一个一元二次方程，或者解正弦函数和余弦函数值的二次方程组. 新课学习 例5： 已知tan α=3，求 因为 cos α≠0, 所以 新课学习 思考交流：例5的解法比较巧妙，并不需要求得sin α和cos α的值.但如果题目中换成求 呢？ 若α是第一象限角， 则 若α是第三象限角， 则 所以 所以 新课学习 例6: 求证： 所以原式成立. 新课学习 例7: 求证： 由sin2α+cos2α=1，有 因为 所以 方法总结：证明恒等式，既可以利用恒等式的“左式减右式为零”进行证明，也可以证明恒等式的左式、右式分别等于同一个式子. 课程练习 B 课程练习 课程练习 D 课程练习 课程练习 C 课程练习 课程练习 D 课程练习 课程练习 A 课程练习 课程练习 课程总结 1.两角的平方关系 2.两角的商数关系 感谢各位同学的观看 TEACHING COURSEWARE $