4.2.1 两角和与差的余弦公式及其应用课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

4.2.1 两角和与差的余弦公式及其应用 北师大版（2019）必修第二册 学习目标 1.会用向量的数量积推导出两角和与差的余弦公式，体现逻辑推理能力（重点） 2.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算，体现数学计算能力（难点） 课程引入 已知一个斜坡的倾斜角是45°，另一个与之相连的坡面角度是30°，那么这两个坡面之间的夹角是75°。我们能否不查表，直接计算出cos75°的精确值？ 因为75°＝45°+30°，所以cos 75°＝cos(45°+30°)． 因此有人会猜想 cos 75°＝cos 45°+cos 30°＝ 但这显然是不对的，那么怎样根据α，β的三角函数求出cos(α-β)? 新课学习 思考：已知任意角α，β的正弦、余弦，能推出α+β和α-β的余弦吗？ 现在，考虑cos(α-β)与角α，β的正弦和余弦的关系. 因为余弦函数是偶函数，所以可以只讨论α≥β. 如图，设角α，β的终边与单位圆的交点分别记为P，Q，则点P和点Q的坐标分别为(cos α，sin α)和(cos β，sin β)， 如果0≤α－β≤π，那么可以用向量的数量积求cos(α－β). 由于向量 和向量 都是单位向量，它们的夹角是α－β， 新课学习 思考：已知任意角α，β的正弦、余弦，能推出α+β和α-β的余弦吗？ 根据向量数量积的定义知 ， 再利用向量的坐标表示，得 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β. 如果π＜α－β＜2π，那么2π-(α-β)是向量 和向量 的夹角(如图)，由诱导公式知 所以 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β. 新课学习 思考：已知任意角α，β的正弦、余弦，能推出α+β和α-β的余弦吗？ 对于任意角α，β的正弦、余弦，因为α+β=α-(-β)，所以 cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cos αcos (-β)+sin αsin (-β) =cos αcos β-sin αsin β. 这里用的是加法和减法运算的联系，因为Cα－β中对任意α，β都成立，所以把其中的β换成-β也一定成立. 新课学习 两角和与差的余弦公式 Cα－β：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； Cα＋β：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. 新课学习 思考：利用两角和与差的余弦公式，证明 由Cα－β可知 新课学习 思考：利用两角和与差的余弦公式，证明cos(π-α)＝-cos α 由Cα－β可知 新课学习 例1：利用两角差的余弦公式求 cos 15°的值. 方法一：15°可以用60°-45°表示 cos 15°=cos(60°-45°) 方法二：15°可以用45°-30°表示 cos 15°=cos(45°-30°) =cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30° =cos 60°cos 45°+sin 60°sin 45° 新课学习 观察已知的两个角α-β，β与未知角α之间的运算关系，可以得到α=(α-β)+β.因此，求cos α的值可以看成求两个角α-β，β和的余弦值. 新课学习 因此 cos α=cos[(α-β)+β] =cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β 课程练习 D 课程练习 课程练习 B 课程练习 课程练习 D 课程练习 课程练习 B 课程练习 课程练习 B 课程练习 课程练习 课程练习 课程总结 您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后，在此框中选择粘贴，并选择只保留文字。 1.两角和的余弦公式 2.两角差的余弦公式 感谢各位同学的观看 TEACHING COURSEWARE $