4.2.1 两角和与差的余弦公式及其应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦两角和与差的余弦公式，通过单位圆向量数量积问题链推导公式，衔接向量与三角函数知识，为给值求值、给值求角等应用搭建学习支架。 其亮点在于以问题驱动公式推导培养逻辑推理，通过典型例题（如拆角凑角）提升数学运算，结合规律方法总结与分层评价。学生能深化公式理解，教师可依托资料系统教学，提升课堂效率。

2.1　两角和与差的余弦公式及其应用 　 第四章　§2　两角和与差的三角函数公式 学习目标 1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养.　 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和余弦公式，了解它们的内在联系，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养.　 3.掌握两角和与差的余弦公式的应用，提升数学运算的核心素养. 内容索引 任务一　两角和与差的余弦公式 1 任务二　给值求值 2 任务三　给值求角 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　两角和与差的余弦公式 返回 问题1.如图，设角α，β的终边与单位圆的交点分别记为P，Q，则向量，的坐标分别是什么？其数量积是什么？ 提示：＝(cos α，sin α)，＝(cos β，sin β)，·＝cos αcos β＋sin αsin β. 问题导思 问题2.设问题1中向量，的夹角为θ，θ与α，β有什么关系？根据数量积定义由·可得什么结论？ 提示：若0＜α－β＜π时，，的夹角为θ＝α－β，·＝cos θ＝cos θ＝cos(α－β)，可得结论：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 若π＜α－β＜2π时，，的夹角为θ＝2π－(α－β)，·＝cos θ＝cos θ＝cos(α－β)，可得结论：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 问题3.注意到α＋β＝α－(－β)，结合两角差的余弦公式及诱导公式，cos(α＋β)等于什么？ 提示：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. 两角和与差的余弦公式 新知构建 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的 余弦公式 Cα－β cos(α－β)＝______________________ α，β∈R 两角和的 余弦公式 Cα＋β cos(α＋β)＝______________________ α，β∈R cos αcos β＋sin αsin β cos αcos β－sin αsin β (1)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反.巧记为：余余正正符号反.(2)公式中的α，β均为任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合. 微提醒 (链教材P153例1)求下列各式的值： (1)cos 15°－cos 75°； 解： cos 15°－cos 75°＝cos(45°－30°)－cos(45°＋30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°－(cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°)＝2sin 45°sin 30°＝. 典例 1 (2)cos(θ＋21°)cos(24°－θ)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)； 解：cos(θ＋21°)cos(24°－θ)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°) ＝cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)＝cos[θ＋21°－(θ－24°)]＝cos 45°＝. (3)cos 35°cos 25°＋sin 35°sin 205°. 解：cos 35°cos 25°＋sin 35°sin 205°＝cos 35°cos 25°＋sin 35°sin(180°＋25°) ＝cos 35°cos 25°－sin 35°sin 25°＝cos(35°＋25°)＝cos 60°＝. 两角差(和)的余弦公式常见题型及解法 1.求两特殊角之差(和)的余弦值，利用两角差(和)的余弦公式直接展开求解. 2.求非特殊角的余弦值，把非特殊角转化为两个特殊角的差(和)，然后利用两角差(和)的余弦公式求解. 规律方法 对点练1.(1)cos 40°sin 70°－sin 40°sin 160°＝ A.－ B. C.－ D. √ cos 40°sin 70°－sin 40°sin 160°＝cos 40°cos 20°－sin 40°sin 20°＝cos(40°＋20°)＝cos 60°＝.故选B. (2)已知cos＝m，cos＝－，则tan α·tan β＝ A.－3 B.－ C.－2 D.－ √ 由cos＝m，cos＝－，可得因此cos αcos β＝，sin αsin β＝.因此tan αtan β＝＝－2.故选C. 返回 任务二　给值求值 返回 (链教材P153例2)已知α，β∈，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值. 解：因为α，β∈，所以0＜α＋β＜π， 由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝， 又sin α＝，所以cos α＝， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝. 典例 2 给值求值的解题策略 1.已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角. 2.由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中要根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有： (1)α＝(α－β)＋β；(2)α＝＋；(3)2α＝(α＋β)＋(α－β)；(4)2β＝(α＋β)－(α－β). 规律方法 对点练2.(1)已知角α的终边过点A(1，)，则cos＝ A.－ B.0 C. D. √ 由角α的终边过点A(1，)，则＝2，所以sin α＝，cos α＝.所以cos＝cos α－sin α＝×－×＝0.故选B. (2)已知sin＝，cos＝，α∈，β∈，则cos＝ A. B. C.－ D.－ √ 由α∈，β∈，则α＋∈，β－∈.故cos＝－＝－，sin＝－＝－.故cos＝cos ＝coscos－sinsin＝－×－×＝－.故选C. 返回 任务三　给值求角 返回 已知cos α＝，cos (α＋β)＝－，且α，β∈，求β的值. 解：因为α，β∈，且cos α＝，cos (α＋β)＝－， 所以sin α＝＝，sin(α＋β)＝＝. 又因为β＝(α＋β)－α， 所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－×＋×＝. 又因为β∈，所以β＝. 典例 3 变式探究 (变条件、变设问)已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，求α＋β 的值. 解：因为α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝， 所以cos α＝，cos β＝， 所以cos(α＋β)＝×－×＝. 因为α，β均为锐角，所以0＜α＋β＜π，所以α＋β＝. 已知三角函数值求角的解题步骤 第1步：确定角的范围，根据条件确定所求角的范围； 第2步：求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数； 第3步：结合三角函数值及角的范围求角. 规律方法 对点练3.(1)已知α，β∈，cos＝，tan α·tan β＝5，则α＋β＝ A. B. C. D. √ 由tan α·tan β＝5，得＝5，所以sin αsin β＝5cos αcos β. 又cos＝cos αcos β＋sin αsin β＝，所以cos αcos β＝，sin αsin β＝.所以cos＝cos αcos β－sin αsin β＝－.又α，β∈，所以α＋β∈，所以α＋β＝.故选D. (2)已知0＜α＜，＜β＜π，且cos α＝，sin β＝，则β－α＝________. 因为0＜α＜，＜β＜π，所以0＜β－α＜π.又cos α＝，sin β＝，所以sin α＝＝，cos β＝－＝－.所以cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝，所以β－α＝. 返回 课堂小结 任务再现 1.两角和与差的余弦公式.2.两角和与差的余弦公式的应用——给值求值、给值求角 方法提炼 解方程(组)法、构造法 易错警示 求角时忽视角的范围；观察不出角的变换导致计算错误 随堂评价 返回 1.cos(－)＝ A. B. C. D. √ cos(－)＝cos＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝.故选A. 2.cos 63°cos 53°＋sin 63°sin 53°＝ A.cos 10° B.cos 20° C.cos 53° D.cos 63° √ cos 63°cos 53°＋sin 63°sin 53°＝cos(63°－53°)＝cos 10°.故选A. 3.已知α，β均为锐角，若tan α＝，cos β＝，则cos＝ A. B. C. D. √ 依题意，得解得sin α＝，cos α＝.又cos β＝，故sin β＝.故cos＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.故选C. 4.已知cos＝－，－＜θ＜，则cos θ＝__________. 由已知－＜θ＜，得0＜θ＋＜π.又cos＝－，则sin＝.故cos θ＝cos ＝coscos ＋sinsin ＝ ×＋×＝. 返回 课时分层评价 返回 1.计算：cos 7.5°cos 52.5°－sin 7.5°sin 52.5°等于 A. B. C. D.－ √ cos 7.5°cos 52.5°－sin 7.5°sin 52.5°＝cos＝cos 60°＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知cos α＝－，α∈(，π)，sin β＝－，β是第三象限角，则cos(β－α)的值是 A.－ B.－ C. D. √ 因为cos α＝－，α∈(，π)，所以sin α＝.因为sin β＝－，β是第三象限角，所以cos β＝－.所以cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝(－)×(－)＋(－)×＝－.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知cos＝，cos αcos β＝，则cos＝ A. B.－ C. D.－ √ 因为cos＝cos αcos β－sin αsin β＝，cos αcos β＝，所以sin αsin β＝－＝.所以cos＝cos αcos β＋sin αsin β＝＋＝.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知α∈，若sin＝，则cos α＝ A. B. C. D. √ 因为α∈，所以α－∈，所以cos＞0，所以cos＝＝，所以cos α＝cos(α－＋)＝coscos－sinsin＝×－×＝.故选D. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.(多选题)下列各式化简正确的是 A.cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60° B.cos 75°＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° C.cos＝cos α－sin α D.sinsin α＋coscos α＝sin 45° √ √ √ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 对于A，cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos＝cos 60°，故A正确；对于B，cos 75°＝cos＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°，故B错误；对于C，cos＝cos αcos －sin αsin ＝cos α－sin α，故C正确；对于D，sinsin α＋coscos α＝cos ＝cos 45°＝sin 45°，故D正确.故选ACD. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.若cos＝，cos 2α＝，并且α∈(0，)，β∈(，π)，则α＋β的值为 A. B. C. D. √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 由α∈(0，)，β∈(，π)可得－π＜α－β＜0，因为cos (α－β)＝，所以sin＝－，因为2α∈(0，π)，cos 2α＝，所以2α∈(0，)，α∈(0，)，sin 2α＝.则cos＝cos ＝cos 2αcos＋sin 2αsin＝×－×＝－.又因为α＋β∈，所以α＋β＝.故选C. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.已知α∈，sin α＝，则cos＝________. － 因为α∈，sin α＝，所以cos α＝－＝－.所以cos＝cos αcos －sin αsin ＝－×－×＝－. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.已知α，β都为锐角，cos α＝，sin＝，则cos β＝_______. 因为α，β都为锐角，所以－＜α－β＜.由cos α＝，可得sin α＝＝，由sin＝可得cos＝＝.所以cos β＝cos ＝cos αcos＋sin αsin＝×＋×＝. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.(开放题)满足cos αcos β＝＋sin αsin β的一组α，β的值是_____________ _____________. α＝0，β＝ (答案不唯一) 由cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)＝，所以α＋β＝2kπ＋或α＋β＝2kπ－，k∈Z，当α＝0，β＝时，α＋β＝，满足要求. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)已知角α∈，且cos α＝－. (1)求sin的值； 解：因为α∈，且cos α＝－， 所以sin α＝＝， 所以sin＝－sin α＝－. (2)求cos的值. 解：因为cos α＝－，sin α＝， 所以cos＝cos α＋sin α＝×＋×＝－. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.(新情境)古希腊数学家泰特托斯(Theaetetus，公元前417—公元前369年)详细地讨论了无理数的理论，他通过图来构造无理数，，，…，如图所示，则cos ∠BAD＝ A. B. C. D. √ 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 记∠BAC＝α，∠CAD＝β，由图知：sin α＝cos α ＝，sin β＝，cos β＝，所以cos ∠BAD＝ cos＝cos＝cos αcos β －sin αsin β＝×－×＝.故选B. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)下列说法中，正确的是 A.存在α，β的值，使cos＝cos αcos β＋sin αsin β B.不存在无穷多个α，β的值，使cos＝cos αcos β＋sin αsin β C.对于任意的α，β，都有cos＝cos αcos β＋sin αsin β D.不存在α，β的值，使cos≠cos αcos β－sin αsin β √ √ √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于A，令α＝β＝0，则cos＝1，cos αcos β＋sin αsin β＝1，此时cos＝cos αcos β＋sin αsin β，故A正确；对于B，令α＝β＝2kπ，cos＝1，cos αcos β＋sin αsin β＝1，此时cos＝cos αcos β＋sin αsin β，故B错误；对于C，由两角差的余弦公式可知，对于任意的α和β，cos＝cos αcos β＋sin αsin β，故C正确；对于D，不存在α，β的值，使cos≠cos αcos β－sin αsin β，若存在α和β，则与两角和的余弦公式矛盾，故D正确.故选ACD. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.已知O为坐标原点，点A，B，C，D，则·＝ A.· B.· C.· D.· √ 依题意，得＝，＝，＝，＝.故·＝cos αcos β－sin αsin β＝cos，·＝cos，·＝coscos α＋sinsin α＝cos ＝cos β，·＝cos α，·＝coscos β－sinsin β＝cos ＝cos.因此·＝·.故选A. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P. (1)求sin(α＋π)的值； 解：由角α的终边过点P得sin α＝－， 所以sin＝－sin α＝. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值. 解：由角α的终边过点P得cos α＝－， 由sin＝得cos＝±＝±. 当cos＝时， cos β＝cos＝coscos α＋sinsin α＝×＋×＝－； 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 当cos＝－时， cos β＝cos＝coscos α＋sinsin α＝×＋×＝. 所以cos β＝－或cos β＝. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(新情境)人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，余弦相似度为向量，夹角的余弦值，记作cos(A，B)，余弦距离为1－cos(A，B).已知P(cos α，sin α)，Q(cos β，sin β)，R(cos α，－sin α)，若P，Q的余弦距离为，tan α·tan β＝，则Q，R的余弦距离为 A. B. C. D. √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 由＝，＝，＝，得cos＝＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，cos＝＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，由已知1－cos＝，可得cos＝cos αcos β＋sin αsin β＝①，又因为tan αtan β＝＝②，联立①②可得sin αsin β＝，cos αcos β＝，因此Q，R的余弦距离为1－cos(α＋β)＝1－cos αcos β＋sin αsin β＝1－＋＝.故选A. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，｜a－b｜＝. (1)求cos(α－β)的值； 解：因为a－b＝， 所以｜a－b｜2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2 ＝cos2α＋cos2β－2cos αcos β＋sin2α＋sin2β－2sin αsin β ＝－2cos(α－β)＋2. 因为｜a－b｜2＝＝， 所以－2cos＋2＝， 所以cos＝. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)若0＜α＜，－＜β＜0，且sin β＝－，求cos(－α)的值. 解：因为0＜α＜，－＜β＜0，所以0＜α－β＜π. 因为sin β＝－，cos＝， 所以cos β＝＝，sin＝＝， 所以cos α＝cos＝coscos β－sinsin β＝×－×(－)＝， 又0＜α＜，所以sin α＝＝＝， 所以cos＝coscos α＋sinsin α＝(－)×＋×＝. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 2.1　两角和与差的余弦公式及其应用 返回 $